資源簡介

第6節 半角模型
前言：如果說手拉手側重在旋轉本身，三垂直側重在模型構造，半角模型則更多地體現在題型變化. 半角模型一般條件如下：(1) 角含半角；(2) 鄰邊相等；(3)對角互補. 其中鄰邊相等與對角互補，以正方形為背景即可，至于角含半角，是明面上的半角模型，可替換為其他條件，模型條件的等價條件，亦是模型的重點.
中小學教育資源及組卷應用平臺
知識導航
模型認識
如圖,在四邊形ABCD中,∠BAD+∠BCD=180°,AB=AD,點E、F分別在 BC、CD上, 且
求證: EF=BE+DF.
證明: 延長CD至點G使得DG=BE,
∵∠BAD+∠BCD=180°, ∴∠B+∠ADC=180°,又∠ADC+∠ADG=180°, ∴∠B=∠ADG,在△ABE和△ADG中,
∴∠BAE=∠DAG,
即∠GAF=∠EAF, 又AE=AD,
∴△EAF≌△GAF(SAS)
∴EF=GF=DF+DG=DF+BE,即EF=BE+DF.
正方形中的半角
如圖, 在正方形ABCD中, E、F分別在BC、CD上,且∠EAF=45°, 連接EF.
結論1: EF=BE+DF.
若E、F分別在 CB、DC延長線上時, 則EF=DF-BE .
總結反思 作輔助線時， 時而截長， 時而補短， 截長、補短只是形式， 關鍵點在于已知半角的情況下， 構造相應的另一個半角， 此處通過旋轉即可得另一半角. 若想要將一個三角形恰好地旋轉到另一位置， 需要：鄰邊相等， 對角互補. 正方形可滿足要求.
結論2: 連接AD, 與AE、AF分別交于 M、N.則
模型進階
結論3：若 則點F是CD邊中點. 反之亦然.
引例1:如圖1,已知四邊形ABCD是正方形,將△DAE, △DCF分別沿DE、DF向內折疊得到圖2, 此時DA與DC重合A、C都落在G點),若GF=4,EG=6,則DG的長為 .
解析: 從∠EDF=45°考慮到半角模型,從4和6之間的關系考慮結果： 顯然正方形邊長為12, ∴DG=12.
引例2: 如圖, 在△ABC中,tan∠BAC=1, AD⊥BC于點 D,若BD=6, CD=4, 則△ABC的面積是 .
解析： 面積為60.
結論4: AE平分∠BEF, AF平分∠DFE.
引例3：如圖，在直角坐標系中，以坐標原點O(0, 0)、A(0, 4)、B(3, 0) 為頂點的 Rt△AOB, 其兩個銳角對應的外角角平分線相交于點 P，且點 P恰好在反比例函數 的圖像上，則k的值為( )
A. 36 B. 48 C. 49 D. 64
解析: 過點 P分別作PM、PN、PQ垂直于y軸、x軸、AB, 則△PMA≌△PQA, △PNB≌△PQB,∴∠APB=45°, AB=AM+BN, 又OM=ON,∴AM=2, BN=3, OM=ON=6, ∴k=36. ∴選A.
模型總結
在正方形ABCD中, 條件∠EAF=45°等價于:
(1) EF=BE+DF;
且
(3) EA平分∠BEF或FA平分∠DFE.
以上在正方形中有其一則可推其他結論.
引例4：如圖，在邊長為1 的正方形ABCD中, 動點E、F分別在邊AB、CD上, 將正方形ABCD沿直線EF折疊，使點B的對應點 M始終落在邊AD上(點M不與點A、D重合), 點C落在點N處, MN與CD交于點 P,設BE=x.
(1)當 時，求x的值；
(2)隨著點M在邊AD上位置的變化，△PDM的周長是否發生變化 如變化，請說明理由； 如不變，請求出該定值；
解析:(1) BE=x, 則AE=1-x, 在 Rt△AEM中, 代入得： 解得： 故x的值為
(2)不變.
連接BM、BP, 過點B作BH⊥MP交MP于點H,
∠BME+∠BMH=90°, ∠EBM+∠BMA=90°,又∠BME=∠EBM, ∴∠BMH=∠BMA,
∴△BAM≌△BHM,
∴AM=HM, BA=BH,連接BP, 則△BHP≌△BCP,
∴HP=CP, ∴MP=MH+HP=AM+CP,
∴C△PDM=DM+DP+MP=DA+DC=2.
∴△PDM的周長不變，周長始終是2.
模型拓展
結論5: A、B、E、N四點共圓, A、D、F、M四點共圓.
結論6: M、N、F、E四點共圓.
證明: ∵∠MEF=∠MFN, ∴M、N、F、E四點共圓.
結論7: △MAN∽△MDA, △NAM∽△NBA.
結論8: 連接AC, 則△AFC∽△AMB, △AEC∽△AND.且
結論9: △AFE∽△AMN. 且 由結論6可得∠ANM=∠AEF, ∠AMN=∠AFE.
∴△AFE∽△AMN.
由結論8可得：
真題演練
1. 如圖, 正方形ABCD的邊長為2, 點 E、F分別在邊 AD、CD上, 若∠EBF=45°, 則△EDF 的周長等于 .
2. 如圖,在正方形ABCD內作∠EAF=45°,AE交BC于點E,AF交CD于點 F,連接EF,過點A作AH⊥EF, 垂足為 H, 將△ADF 繞點A順時針旋轉90°得到△ABG, 若BE=2, DF=3, 則AH的長為 .
3. 如圖,正方形ABCD中, AB=6,G是BC的中點. 將△ABG沿AG對折至△AFG, 延長GF交DC于點E, 則DE的長是( )
A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5
4.如圖,在正方形ABCD中, E是BC邊上的一點, BE=4,EC=8,將正方形邊AB沿AE折疊到AF,延長EF交DC于 G,連接AG、FC, 現在有如下4個結論:①∠EAG=45°; ②FG=FC; ③FC∥AG;④S△GFC=14.其中正確結論的個數是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 如圖,已知正方形ABCD的邊長為a, E為CD邊上一點(不與端點重合) ，將△ADE沿AE 對折至△AFE, 延長EF交 邊BC于點 G, 連接AG, CF.
給出下列判斷: ①∠EAG=45°; ②若. 則AG∥CF;③若E為CD的中點，則△GFC的面積為 ④若CF=FG,則 ⑤BG·DE+AF·GE=a .
其中正確的是 . (寫出所有正確判斷的序號)
6. 如圖, 在正方形ABCD中, E、F分別是BC、CD上的點, 且∠EAF=45°, AE、AF分別交 BD于M、N, 連按EN、EF、有以下結論:
①AN=EN; ②當AAF時, ③BE+DF=EF;④存在點 E、F, 使得NF>DF. 其中正確的個數是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 如圖, 在矩形ABC中, AB=2, BC=4, 點E、F分別在BC、CD上,若AE= , ∠EAF=45°,則AF的長為 .
8. 如圖, 四邊形ABCD中, AD∥BC,∠BCD=90°,AB=BC+AD,∠DAC=45°,E為CD上一點,且∠BAE=45°, 若CD=4, 則△ABE的面積為( )
A. B. C. D.
9. 已知如圖, 在正方形中, AD=4, E、F分別是 CD、BC上的一點, 且∠EAF=45°, EC=1, 將△ADE繞點 A 沿順時針方向旋轉90°后與△ABG 重合, 連接 EF,過點B作BM∥AG,交AF于點M,則以下結論:①DE+BF=EF, 正確的是( )
A. ①②③ B. ②③④
C. ①③④ D. ①②④
10.如圖1, 在正方形ABCD內作∠EAF=45°,AE交BC于點E,AF交CD于點 F,連接EF,過點A作AH⊥EF, 垂足為H.
(1) 如圖2, 將△ADF 繞點 A 順時針旋轉90°得到△ABG.
①求證: △AGE≌△AFE;
②若BE=2, DF=3, 求AH的長.
(2)如圖3, 連接BD交AE于點 M, 交AF于點 N. 請探究并猜想：線段BM、MN、ND之間有什么數量關系 并說明理由.
11.在矩形ABCD的CD邊上取一點 E,將△BCE沿BE翻折，使點 C恰好落在AD邊上點F處.
(1) 如圖1, 若BC=2BA, 求∠CBE的度數;
(2)如圖2, 當AB=5, 且AF·FD=10時, 求BC的長;
(3)如圖3, 延長EF, 與∠ABF的角平分線交于點 M, BM交AD于點N, 當NF=AN+FD時, 求 的值.
12.如圖, 正方形ABCD的對角線相交于點O, 點 M, N分別是邊BC, CD上的動點(不與點B, C, D重合), AM, AN分別交BD于點 E, F, 且∠MAN始終保持45°不變.
(1) 求證:
(2) 求證: AF⊥FM;
(3)請探索：在∠MAN的旋轉過程中，當∠BAM等于多少度時，∠FMN=∠BAM 寫出你的探索結論，并加以證明.
13.問題背景: 如圖 1, 在四邊形 ABCD中, ∠BAD=90°, ∠BCD=90°, BA=BC, ∠ABC=120°,∠MBN=60°, ∠MBN繞 B 點旋轉, 它的兩邊分別交 AD、DC于 E、F. 探究圖中線段AE、CF、EF之間的數量關系.小李同學探究此問題的方法是：延長FC到G，使CG=AE，連接 BG, 先證明△BCG≌△BAE, 再證明△BFG≌△BFE,可得出結論，他的結論就是 ；
探究延伸1: 如圖2, 在四邊形ABCD中, ∠BAD=90°, ∠BCD=90°, BA=BC, ∠ABC=2∠MBN, ∠MBN繞B點旋轉. 它的兩邊分別交 AD、DC于 E、F，上述結論是否仍然成立 請直接寫出結論(直接寫出“成立”或者“不成立”)，不要說明理由；
探究延伸2: 如圖3,在四邊形ABCD中, BA=BC, ∠BAD+∠BCD=180°, ∠ABC=2∠MBN, ∠MBN繞B 點旋轉. 它的兩邊分別交 AD、DC于 E、F. 上述結論是否仍然成立 并說明理由；
實際應用：如圖 4，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心(O處)北偏西30°的A處.艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以75海里/小時的速度前進，同時艦艇乙沿北偏東 50°的方向以 100 海里/小時的速度前進，1.2小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達 E、F處. 且指揮中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為 70°. 試求此時兩艦艇之間的距離.
第6節 半角模型
1.解析：根據半角模型結論可知EF=AE+CF，∴△EDF的周長等于DA+DC=4, 故△EDF的周長為4.6.
2.解析: EF=BE+DF=5, 設正方形邊長為x, 則 CE=x-2,CF=x-3, 勾股定理得: 解得x=6或-1(舍), 故AH=AB=6, AH的長為6.C.
3.解析: ∵AG平分∠BGE, 且 故選 C.
4. B.
解析: ①③正確, 選 B.
5. ①②④⑤
解析: 結論①正確, 易證△ADE≌△AFE,△AFG≌△ABG,
結論②正確，若 則G是BC中點, GC=GF,∴∠GCF=∠GFC, 又∠CFG+∠GFC=∠FGB,∴∠GFC=∠FGA, ∴AG∥CF.
結論③錯誤, ∠FGB=2∠FGA, ∴∠FGC=∠FGA, ∴AG∥CF.若E為CD中點,則 有
結論④正確, 若GF=FC, 則DE=BG, 不妨設DE=BG=x, 則GE=2x, EC=GC=a-x, 由△ECG是等腰直角三角形, 可得： 解得：
結論⑤正確, 正方形面積是a , AF·GE 是五邊形 ABGED的面積,故證明△GEC面積為BG·DE 即可.設BG=m,DE=n,則 EG=m+n, CG=a-m, CE=a-n, 根據勾股定理可得:
化簡得：
綜上所述，正確的是①②④⑤.
6.B.
解析: 根據∠EAN=45°=∠EBN, ∴A、B、E、N 四點共圓,∴∠ANE+∠ABE=180°, 又∠ABE=90°,
∴∠ANE=90°, ∴△ANE 是等腰直角三角形, ∴AN=EN,故結論①正確；
不妨設正方形邊長為1, 設CE=x, 則CF=x, BE=DF=1-x,由半角模型可得 EF=BE+DF, ∴EF=2-2x, 在 Rt△CEF 中,
代入得： 解得：
故結論②錯誤；
由半角模型可得: BE+DF=EF, 故結論③正確;
易證△DNF∽△BNA, ∴NEA=DFBA,即
在△ABN中, 顯然AN≤AB,
∴在△DNF中, NF≤DF,
故結論④錯誤.
綜上，正確的①③，故本題選B.
7.
解析: 如圖, 延長AB 至點M使得 BM=2, 延長DC 至點 N使得 CN=2,連接MN,則四邊形AMND 是正方形,∵BE=1,
∴MG=2, 即點G是MN中點,
8. D.
解析: 過點 B 作 BH⊥AD 交 AD 于點 H, 則 DH=BC, 設BC=x, 則AB=x+4, AH=4-x,
在 Rt△AHB中, ,代入解得: x=1,
即BC=1,考慮∠BAE=45°, 過點A作AF⊥AD交CB 延長線
于點 F，則四邊形 ADCF 是正方形，由半角模型可得：
BE=BF+DE=3+DE, 設DE=y, 則 CE=4-y, 在 Rt△BCE 中,
代入得：
解得：
故選 D.
9. D.
解析：結論①顯然正確；
設BF=x, 則EF=3+x, CF=4-x, 勾股定理得:
解得： 故結論②正確；
故結論③錯誤；
∵BM∥AG, ∴△FBM∽△FGA, 且
故結論④正確； 綜上所述，選D.
解析: (1) ①∵∠EAF=45°, ∴∠BAE+∠DAF=45°,∵△ADF≌△ABG, ∴∠DAF=∠BAG,
∴∠BAE+∠BAG=45°, 即∠EAG=45°,在△AGE和△AFE中,
②AH=6.
證明略.
11. 解析:(1)BF=BC=2BA, ∴∠AFB=30°, ∴∠CBF=30°,又BE平分∠CBF, ∴∠CBE=15°.
(2) 由題意得:△EDF∽△FAB, ∴ AB·DE=AF·FD=10, ∴DE=2, CE=3,
(3) 過點 M作MP⊥BA交 BA 延長線于點 P, 由題意得:△BPM≌△BFM,∠FNM=∠PMN=∠FMN,∴FN=FM=PM,設 AB=1, BC=m, 則 由勾股定理得： 解得：
12. 解析: (1) ∵∠EAF=45°=∠EBM, ∴△AEF∽△BEM,
∴∠EMF=∠EBA=45°, ∴∠AFM=90°,
∴△AFM是等腰直角三角形，
(2) ∵∠AFM=90°, ∴AF⊥FM.
(3) ∠AMN=∠AMB, ∠FMN=∠AMN-45°,∠BAM=90°-∠AMB=90°-∠AMN,若∠FMN=∠BAM, 則∠AMN-45°=90°-∠AMN ,解得: ∠AMN=67.5°, 此時∠BAM=22.5°,∴當∠BAM為22.5°時, ∠FMN=∠BAM.
13.解析: 問題背景: EF =AE+CF.
探究延伸1：成立.
探究延伸2：成立.
延長DA 至點G使得AG=CF, ∵∠BAD+∠C=180°,∠BAD+∠BGA=180°, ∴∠BAG=∠C,
在△BAG和△BCF中,
∴△BAG≌△BCF(SAS), ∴BG=BF, ∠ABG=∠CBF,
∵∠ABC=2∠MBN,
∴∠GBE=∠GBA+∠ABE=∠CBF+∠ABE=∠MBN,在△BGE和△BFE中,
∴△BGE≌△BFE(SAS), ∴EG=EF, ∴EF=AE+CF.
(4)由題意可得： (海里), (海里),
∴EF=AE+BF=90+120=210 (海里), 即兩艦艇之間的距離為210海里.

展開更多......

收起↑