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第7節 手連心模型與對補四邊形
前言：旋轉本身或許并不難，難的是構造旋轉，確定旋轉的一個必要前提：鄰邊相等，再加入其它的料，會有不用的結果.
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知識導航
1 手連心模型
(1)手連心模型：如圖，正方形ABCD的對角線AC、BD交于點 E,以點 E為一頂點作正方形 EFGH, 其中 EF交AB邊于點 M, EH交BC邊于點N.
結論: EM=EN.
思路1: 可證△EMN≌△ENC(ASA), ∴EM=EN;
思路2: 可證△EMA≌△ENB (ASA), ∴EM=EN;
思路3: 過點E作EP⊥AB交AB于點 P, 作EQ⊥BC交BC于點 Q, 可證△EPM≌△EQN (ASA), ∴EM=EN.
(2) 模型變式
△ABC是等腰直角三角形，E是斜邊AC中點，作直角∠FEH分別交AB、BC于點 M、N.則有△EBM≌△ECN, △EAM≌△EBN.
條件變換: ∠EFH=90°可替換為 BM=CN.
模型變式：延長線上的思考
若點 M、N分別在 BA、CB延長線上時，則同樣可證：△EAM≌△EBN、△EBM≌△ECN.
模型探究
手連心模型看似是旋轉，但旋轉是果而非因，事實上條件有如下兩：
(1) 角平分線: BE平分∠ABC;
(2) 對角互補: ∠MBN+∠MEN=180°.
由角平分線得EP=EQ，
由∠MEN=90°=∠PEQ, 得∠PEM=∠QEN.
可證: △EPM≌△EQN, ∴EM=EN.
條件等價于：在四邊形 EMBN中，
(1) 鄰邊相等: EM=EN,
(2) 對角互補: ∠MBN+∠MEN=180°.
即可構造旋轉型全等: △EMB≌△ENB'.
引例1:如圖,△ABC是⊙O的內接正三角形,點O是圓心, 點 D, E分別在邊 AC, AB 上, 若DA=EB,則∠DOE的度數是 度.
解析: 連接OA、OB, 易證△OAD≌△OBE,∴∠DOE=∠AOB=120°, 即∠DOE的度數是120度.
對角互補四邊形
如圖, 在四邊形 ABCD 中, AB=AD, ∠BAD+∠BCD=180°,則可將△ABC 繞點 A 旋轉得△ADE, 其中 C、D、E 共線,且△ACE是等腰三角形.
AB=AD可得旋轉后的重疊關系；
對角互補可得旋轉后的共線關系.
特別地，
若∠BAD=90°, 則△ACE是等腰直角三角形,有
若∠BAD=60°, 則△ACE是等邊三角形,有 CB+CD=CA.
一般地，若AB: AD: BD=a: a: b, 則可得a·(CB+CD)=b·CA
如若再去掉“鄰邊相等”，只有“對角互補”，這就是托勒密定理討論的內容了
引例2: 已知, 在Rt△ABC中, ∠ABC=90°, AB=5, 以斜邊AB 為邊向外作正方形 ACDE, 連接AD、CE交于點 M, 連接BM, 若 則BC= .
解析:延長BC至點N使得CN=AB,易證△MAB≌△MCN,△BMN是等腰直角三角形，. 又CN=AB=5, ∴BC=7.
引例3：如圖，是具有公共邊AB 的兩個直角三角形, 其中AC=BC, ∠ACB=∠ADB=90°.
(1)如圖1,若延長DA到點E,使AE=BD,連接CD、CE.
①求證: CD=CE, CD⊥CE;
②求證：
(2) 若△ABC與△ABD位置如圖2所示，請直接寫出線段AD、BD、CD的數量關系.
解析: (1) 在△CBD和△CAE中,
∴△CDB≌△CAE(SAS),
∴CD=CE, ∠BCD=∠ACE,
∴∠DCE=∠ACD+∠ACE=∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°.
∴CD=CE, CD⊥CE.
(2) 過點C作CE⊥CD交AD于點E,
∵∠ACB=∠DCE=90°, ∴∠BCD=∠ACE,
∵∠CBD+90°=∠CAE+90°,
∴∠CBD=∠CAE,
在△CDB和△CEA中,
∴△CDB≌△CEA(ASA)
∴BD+DE=AD,
又
∴AD、BD、CD的數量關系是:
其他結論
如圖, 連接MN, 則.
真題演練
1.如圖, 等邊三角形 ABC 的邊長為4, 點O是△ABC的中心, ∠FOG=120°, 繞點O旋轉∠FOG,分別交線段AB、BC于D、E兩點，連接DE，給出下列四個結論: ①OD=OE; ②S△ODE=S△BDE;③四邊形 ODBE 的面積始終等于 ④△BDE 周長的最小值為6.上述結論中正確的個數是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 如圖, 在四邊形ABCD中, AB=AD,∠BAD=∠BCD=90°, 連接AC, 若AC=6, 則四邊形ABCD的面積為 .
3. 已知, 在△ABC中, ∠A=90°,AB=AC, 點D為BC的中點.
(1) 如圖1, 若點E、F分別為AB、AC上的點,且DE⊥DF, 求證: BE=AF;
(2) 若點E、F分別為AB、CA延長線上的點, 且DE⊥DF, 那么BE=AF嗎 請利用圖2說明理由.
4. 定義：若四邊形有一組對角互補，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾角為直角，像這樣的圖形稱為“直角等鄰對補”四邊形，簡稱“直等補”四邊形.
根據以上定義，解決下列問題：
(1)如圖1, 正方形ABCD中, E是CD上的點, 將△BCE繞B點旋轉，使BC與BA重合，此時點E的對應點 F在 DA 的延長線上，則四邊形 BEDF 為“直等補”四邊形，為什么
(2) 如圖2，已知四邊形ABCD是“直等補”四邊形，AB=BC=5, CD=1, AD>AB , 點 B 到直線 AD 的距離為BE. 求BE的長.
5. 在四邊形ABCD中, ∠B+∠D=180°, 對角線AC平分∠BAD.
(1)如圖1,若∠DAB=120°,且∠B=90°,試探究邊AD、AB 與對角線AC的數量關系并說明理由.
(2) 如圖2, 若將(1) 中的條件“∠B=90°”去掉,(1)中的結論是否成立 請說明理由.
(3)如圖3, 若∠DAB=90°, 探究邊AD、AB 與對角線AC的數量關系并說明理由.
6. (1)【探究發現】
如圖1，∠EOF的頂點 O在正方形ABCD兩條對角線的交點處, ∠EOF=90°, 將∠EOF繞點O旋轉, 旋轉過程中, ∠EOF 的兩邊分別與正方形ABCD的邊 BC和CD交于點E和點F (點F與點 C, D 不重合). 則 CE、CF、BC之間滿足的數量關系是 .
(2)【類比應用】
如圖2,若將(1)中的“正方形ABCD”改為“∠BCD=120°的菱形ABCD”, 其他條件不變, 當∠EOF=60°時, 上述結論是否仍然成立 若成立，請給出證明； 若不成立，請猜想結論并說明理由.
(3)【拓展延伸】
如圖3， OA平分∠BOD, 且OB>2OA,點C是OB上一點,∠CAD=60°,求OC的長.
7. 在△ABC中,∠C=90°, AC>BC, D是AB的中點. E為直線AC上一動點，連接DE. 過點D作DF⊥DE, 交直線BC于點F, 連接EF.
(1) 如圖1, 當 E是線段 AC的中點時, 設AE=a, BF=b,求EF 的長(用含a，b的式子表示)；
(2)當點E在線段CA的延長線上時，依題意補全圖2，用等式表示線段AE、EF、BF之間的數量關系，并證明.
8.感知: 如圖1, AD平分∠BAC.
∠B+∠C=180°, ∠B=90°, 易知: DB=DC.
探究: 如圖 2, AD 平分∠BAC, ∠ABD+∠ACD=180°,∠ABD<90°, 求證: DB=DC.
應用: 如圖3,四邊形ABCD中,∠B=45°,∠C=135°, DB=DC=a,則AB-AC= .(用含a的代數式表示)
9. 如圖,已知∠MON=90°, OT是∠MON的平分線, A 是射線 OM 上一點, OA=8cm. 動點 P 從點 A 出發，以1cm/s的速度沿AO水平向左作勻速運動，與此同時，動點Q從點O出發，也以1cm/s的速度沿ON豎直向上作勻速運動. 連接PQ, 交OT于點B. 經過O、P、Q三點作圓,交 OT 于點 C, 連接 PC、QC. 設運動時間為 t(s), 其中0(1) 求OP+OQ的值;
(2) 是否存在實數t，使得線段 OB 的長度最大 若存在，求出t的值； 若不存在，說明理由.
(3) 求四邊形OPCQ的面積.
從手連心模型到對補四邊形
1.C.
連接OB、OC, 由題意得: △OBD≌△OCE,∴OD=OE, 結論①正確;
考慮∠FOG是可以旋轉的，△ODE面積和△BDE面積并非始終相等，故結論②錯誤；
∵△OBD≌△OCE, ∴四邊形ODBE的面積等于△OBC的面積， 故結論③正確；
考慮 BD=CE, ∴BD+BE=CE+BE=4, 只要DE最小,△BDE周長就最小，△ODE是頂角為120°的等腰三角形，故OD 最小, DE便最小, 當OD⊥AB時, OD取到最小值 此時 ∴周長最小值為6，故結論
④正確. 綜上, 正確的有①③④, 選 C.
2.18.
解析: 延長 CB 至點 E 使得 BE=DC, 則△ADC≌△ABE, 即四邊形ABCD的面積為18.
3. 解析: (1) 連接DA, 則DA⊥DB, ∵DE⊥DF,
∴∠BDE=∠ADF, 又∠B=∠DAF=45°, DB=DA,
∴△DEB≌△DFA, ∴BE=AF.
(2) 成立, ∵DB⊥DA, DE⊥DF, ∴∠BDE=∠ADF,又DB=DA, ∠DBE=135°=∠DAF, ∴△DBE≌△DAF,∴BE=AF.
解析:(1)由題意得:△BCE≌△BAF,∴∠CBE=∠ABF,BF=BF,又∠D=90°,∴四邊形 BEDF為“直等補”四邊形.
(2)延長DA至點F使得AF=CD,∵∠BAD+∠BCD=180°,∴∠BAF=∠BCD,又BA=BC, ∴△BAF≌△BCD(SAS), ∴BF=BD, ∠ABF=∠CBD,
∴∠ABF+∠ABD=∠CBD+∠ABD=90°,即△BDF是等腰直角三角形，連接AC，
∵BA=BC=5, ∴AC=5 , 又CD=1, ∴AD=7,
∴DF=AD+AF=AD+CD=8,
即BE的長為4.
解析: (1) AC=AB+AD.
由題意得：
延長AB至點E使得∠E=∠CAE,則∠CAD=∠E,CA=CE,∵∠D+∠ABC=180°,∴∠D=∠CBE,
∴∠ACD=∠ECB, ∵∠DAB=120°, ∴∠BCD=60°,
∴∠ACE=60°, ∴△ACE是等邊三角形,
∴AC=AE=AB+BE=AB+AD, 即 AC=AB+AD.
(3) 同理可證△CDA≌△CBE, ∵∠DAB=90°,
∴∠DCB=90°, ∴∠ACE=∠DCB=90°,
即△ACE是等腰直角三角形，
即
解析: (1) BC=CE+CF.
(2)不成立，結論為
取BC中點G,連接OG,則(OG= BC=CG,∵∠BCD=120°,
∴∠BCO=60°, ∴△OGC是等邊三角形,
∴OG=OC, ∠OGC=60°=∠OCF, ∵∠COG=∠EOF=60°,
∴∠EOG=∠COF, 在△OEG和△OFC中,
∴△OEG≌△OFC (ASA),
∴GE=CF, ∴CE+CF=CE+EG=CG= BC,即
(3) 過點A作AH⊥OB交OB于點 H,
設OH=x, 則.AH= x, BH=4-x,
在 Rt△AHB中, .
代入得：
解得： (舍), ∴OA=1,
過點A作AP⊥OD交OD于點 P, 則△AOH≌△AOP,
可證△AHC≌△APD,
7. 解析: (1) 由題意得CE=AE=a, BF=CF=b,
(2)作BG⊥BF交ED延長線于點G,可得△DAE≌△DBG,
∴AE=BG, ∵DF垂直平分EG, ∴EF=GF,
解析: (1) 過點 D 分別作 AB、AC 的垂線, 垂足分別記為M、N, 則由題意得DM=DN, ∵∠AMD=∠AND=90°, ∴∠MAN+∠MDN=180°, 又∠MAN+∠BDC=180°,
∴∠MDN=∠BDC, ∴∠BDM=∠CDN,
在△DMB 和△DNC中,
∴△DMB≌△DNC (ASA), ∴DB=DC.
連接 AD, 則 AD 平分∠BAC, 在 AB 上取點 E 使得AE=AC, 則△ACD≌△AED,
∴∠AED=∠ACD=135°,
∴∠BED=45°, △BED是等腰直角三角形,
解析: (1) 連接 CA, 易證△CQO≌△CPA, ∴OQ=AP,∴OP+OQ=OP+AP=OA=8cm, ∴OP+OQ的值為8cm.
(2)過點B作BH⊥OA交OA于點H,設BH=x,則OH=x, 可得 化簡得： 當x=4時, x取到最大值2, 此時 OB 最大,OB的最大值是2 cm.
∴四邊形OPCQ的面積為16.

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