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第3節 動圓相切 (二)
前言：本節討論關于動圓相切的另類問題：(1) 直線與圓交點個數的分析；(2) 動圓相切構造最值. 動圓相切不僅僅是類題型，也可以是某些最值問題的方法.
知 識 導 航
交點個數的分析
圓與線段或圖形交點個數問題，考慮交點個數變化的位置，當：①圓與線段相切、②圓過線段端點時，交點個數會發生改變.確定整個運動過程中的所有特殊位置是解題關鍵.
引例1：如圖，在坐標系中，點A坐標為(1，0)，點B坐標為(0,3), 以點P(m,0)(m<0)為圓心, 4為半徑作圓,若⊙P與線段AB只有1個交點，求m的取值范圍.
解析: 考慮⊙P與AB 相切: 過點 P作 PH⊥AB,
當PH=4時, ⊙P與AB相切,
由題意得：△PHA∽△BOA, ∴PA=4
即
當⊙P過點A時, m=-3;
當⊙P過點B時， 故
綜上，當 或 時,⊙P 與線段AB 只有1個交點.
相切構造最值
(1) 角度最值(米勒問題)
【問題背景】
1471年，德國數學家米勒向諾德爾提出這樣一個問題：如圖，點A、B直線l的同一側，在直線l上取一點P，使得∠APB最大, 求P 點位置.
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【知識鋪墊】
圓外角：如圖，像∠APB 這樣頂點在圓外，兩邊和圓相交的角叫圓外角.
相關結論：圓外角等于這個角所夾兩條弧的度數差(大減小)的一半.
如圖，
換句話說，對同一個圓而言，同弧所對的圓周角>圓外角.
問題結論
結論: 當點 P 不與A、B 共線時, 作△PAB 的外接圓, 當圓與直線l相切時，∠APB 最大.
證明：在直線l上任取一點 M (不與點 P重合)，連接AM、BM, ∠AMB 即為⊙O的圓外角,
∴∠APB>∠AMB, ∠APB 最大.
∴當圓與直線l相切時，∠APB 最大.
特別地，若點A、B與P分別在一個角的兩邊，如下圖，則有 (切割線定理)
證明: ∵∠POA=∠BOP, ∠OPA=∠OBP (弦切角定理) 即可通過OA、OB線段長確定 OP 長，便知P 點位置.
引例2: 如圖, 在平面直角坐標系中, A(1, 0)、B(5,0)直線l經過點 C(-1,2),點P是直線l上的動點,若∠APB的最大值為45°，求直線l的解析式.
解析：考慮到直線l 未知但∠APB 的最大值已知為 45°，可構造圓. 記△ABP 外接圓圓心為 M 點，
則∠AMB=2∠APB=90°, ∴可確定 M點位置.
根據A(1, 0)、B(5, 0), 可得M點坐標為(3, 2),連接MC、MP, ∵⊙M與直線CP 相切,
∴MP⊥CP, △CPM是直角三角形.
∵MC=4, MP=MA=2
即△CPM是等腰直角三角形，
可得P 點坐標為(1, 4),
又C點坐標為(-1, 2),
∴直線l的解析式為y=x+3.
(2) 線段最值
引例3:如圖, 在 Rt△ABC中, ∠ABC 是直角, AB=3, BC=4, P是 BC邊上的動點, 設BP=x, 若能在AC 邊上找到一點 Q, 使∠BQP=90°, 則 x 的取值范圍是
解析: 點Q滿足∠BQP=90°,則以BP為直徑作圓,與AC邊交點即為點Q，存在這樣的點Q即圓與AC有交點. 求x的取值范圍即分別確定BP 的最大值和最小值.
當圓與AC相切時，BP 最小，
圓心記為點 O, 連接OQ, 則OQ=OB,
由 得
當點P與點 C重合時，BP最大，最大值為4，故x的取值范圍是3≤x≤4.
真 題 演 練
1. 如圖, 在矩形 ABCD 中, AB=6,BC=8，動點Q從點A出發，沿著AB方向以1個單位長度/秒的速度勻速運動，同時動點 P從點 B 出發，沿著對角線BD方向也以1 個單位長度/秒的速度勻速運動，設運動時間為t秒(0(1) 填空: FB= (用t的代數式表示);
(2) 當t為何值時，點Q與點F相遇
(3) 當線段 QE 與⊙P 有兩個公共點時，求t 的取值范圍.
2. 如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點, 點A、B的坐標分別為(8, 0)、(0, 6). 動點Q從點O、動點 P從點A 同時出發，分別沿著OA方向、AB 方向均以 1 個單位長度/秒的速度勻速運動，運動時間為 t(秒)(0(1) 求當t為何值時，點Q與點D 重合
(2)設△QCD的面積為S，試求S與t之間的函數關系式，并求S的最大值；
(3)若⊙P與線段QC 只有一個交點，請直接寫出t的取值范圍.
3. 如圖1 和 2, 在平行四邊形 ABCD 中, 點 P 為AB 延長線上一點，過點A作⊙O切CP于點 P, 設BP=x.
(1)如圖1, x為何值時, 圓心O落在 AP上 若此時⊙O交AD于點E，直接指出 PE與BC的位置關系；
(2)當x=4時, 如圖2, ⊙O與AC交于點Q, 求∠CAP的度數，并通過計算比較弦 AP 與劣弧PQ長度的大??；
(3)當⊙O與線段AD只有一個公共點時，直接寫出x的取值范圍.
4. 如圖, 菱形ABCD的邊長為2cm,∠DAB=60°. 點 P 從 A 點出發, 以 的速度, 沿 AC向C作勻速運動； 與此同時，點Q也從A點出發，以1cm/s的速度，沿射線AB 作勻速運動. 當P 運動到 C 點時，P、Q都停止運動. 設點 P 運動的時間為 ts.
(1) 當P異于A、C時, 請說明PQ∥BC;
(2)以P為圓心、PQ長為半徑作圓，請問：在整個運動過程中，t為怎樣的值時，⊙P 與邊 BC分別有1個公共點和2個公共點
5. 如圖1,平行四邊形ABCD中,AB⊥AC,AB=6, AD=10, 點 P 在邊 AD 上運動, 以 P 為圓心, PA為半徑的⊙P與對角線AC交于A、E兩點.
(1) 如圖2, 當⊙P 與邊 CD相切于點F時, 求AP的長;
(2)不難發現，當⊙P 與邊CD相切時，⊙P 與平行四邊形ABCD的邊有三個公共點，隨著AP的變化，⊙P 與平行四邊形 ABCD 的邊的公共點的個數也在變化，若公共點的個數為4，直接寫出相對應的AP的值的取值范圍 .
6. 如圖, 在 Rt△ABC中, ∠ACB=90°, ∠B=30°, AB=4, D是BC上一動點, CE⊥AD于E, EF⊥AB 交BC于點 F, 則CF 的最大值是 .
7. 如圖 1, 在等腰直角△ADC 中, ∠ADC=90°, AD=4. 點E是AD的中點, 以DE為邊作正方形DEFG, 連接AG、CE. 將正方形DEFG繞點D順時針旋轉，旋轉角為( 延長CE交直線AG于點P，在旋轉過程中，線段 PC長的最大值是 .
8.如圖, 拋物線 與x軸交于A(-1, 0)、B兩點, 與y軸交于點C, 過點 C作CD⊥y軸交拋物線于另一點 D，作DE⊥x軸，垂足為點E，雙曲線 經過點 D, 連接BD.
(1) 求拋物線的表達式；
(2)動點P從點O出發，以每秒1個單位長度的速度沿OC方向運動，運動時間為t秒，當t為何值時，∠BPD的度數最大 (請直接寫出結果)
9. 如圖，在直角坐標系中，四邊形OABC是平行四邊形, 經過 A (-2, 0)、B、C三點的拋物線 與x軸的另一個交點為D，其頂點為M，對稱軸與x軸交于點 E.
(1) 求這條拋物線對應的函數表達式；
(2) 已知 P 是拋物線對稱軸上的點，滿足在直線 MD 上存在唯一的點 Q, 使得∠PQE=45°, 求點 P的坐標.
第3節 動圓相切(二)
1.解析：
(2)AQ=t,若點Q與點F相遇,則AQ+BF=6,
即 解得：
故t為 時，點Q與點F相遇.
(3)考慮何時QE與圓P相切,即當QE⊥BD時,
又BQ=6-t, BE=2t, 代入得: 解得： 從相切開始，至點Q與點F重合，有2個交點，故t的取值范圍是
2解析： 若點Q與點D重合，則(OQ+AQ=8,即 解得：
(2)當 時，
當 時，
則
綜上，
當t=5時, S的最大值為15.
(3)1個交點：在CQ與圓P相切及之前，在 Q、D相遇之后， 解得：
當 或 時, 圓 P 與線段 QC 只有 1 個交點.
3. 解析:( ∴PC=12, PB=9, ∴x的值為9時, 點O落在AP 上.此時PE⊥BC, ∵PE⊥AD, AD∥BC, ∴可得PE⊥BC.
(2) 過點C作CH⊥AP交AP于點 H, 設PH=x,
則
∴AH=3+12=15, ∴AH=CH, ∴∠CAP=45°.
過點O作ON⊥AP交AP于點N, 則 易證△PNO∽△CHP, 又PH=5, CH=12, ∴CP=13, 代入得： 解得：
∴弦AP長度大于弧PQ長度.
(3) x≥18.
當 BP=18時, 圓O與DA 相切, 當BP>18時, 圓O與AD邊只有一個交點A.
4解析: (1) 由題意得:
∴△APQ∽△ACB, ∴∠APQ=∠ACB, ∴PQ∥BC.
(2) 當圓P與BC相切時，有1個公共點，
當圓P過點B時，圓P與BC邊有2個交點，此時△PBQ是等邊三角形，點P為AC中點，
當圓P過點C時， 解得： 則
當點P與點C重合時，圓P與BC邊有1個交點，此時t=2；
綜上所述，當 或 或 t=2 時, 圓 P 與BC邊有1個交點；
當 時，圓P與BC有2個交點.
5解析: (1) 連接PF, 則PF⊥CD, 且PA=PF,
設 PA=x, 則
解得： ∴AP的長為409.
(2) 從圓P與CD邊相切開始，有4個交點，直到圓 P與BC邊相切于點 M，
此時PM⊥BC, 易求
之后交點個數大于4，直到如下圖，圓P過點D，則過點C，且與BC邊有1交點，
此時
綜上所述，公共點個數為4時， 或.AP=5.
6解析: ∠AEC=90°且 AC為定值, 故 E 點軌跡是以AC 為直徑的圓弧. 考慮 EF⊥AB, 且E 點在圓上, 故當 EF與圓相切的時候,CF取到最大值.連接OF,易證△OCF≌△OEF,
7解析：
由題意可得∠APC=90°,∵AC為定值,∴當∠ACP最小時,CP長最大，由旋轉可知E點軌跡是以點D為圓心的圓，當CP 與圓 D 相切時∠PCD 最大, 即∠PCA 最小, ∵DE=2,DC=4, ∴CE=2 又 EP=ED=2, ∴PC 長的最大值為
8.解析：(1) 考慮到點D縱坐標與點C相同，為3，代入反比例解析式，可得D點坐標為(2，3)，根據A、D坐標可得拋物線解析式：
(2) 求t即求P 點位置.
思路1：作外接圓.
作過點B、D的圓且與y軸相切時，切點即為所求P點，考慮到本題只要直接寫出結果即可，所以做法只要做對就可.由拋物線解析式可得 B 點坐標為(3, 0),結合 D (2, 3),則BD中點N坐標為
作BD的垂直平分線，即過N點作BD的垂線，
利用 可求得垂直平分線解析式為
三角形 PBD 圓心記為Q, 點Q 在 BD 垂直平分線上, 設Q點坐標為
根據QP=QB, 可得:
解得： (舍)
故Q點坐標為 P點坐標為 所以t的值為
思路2：切割線定理
延長BD交y軸于 M點，當 ·MB 時, ∠BPD 最大.
考慮到B(3,0)、D(2,3),可得直線BD解析式: y=-3x+9,故直線BD與y軸交點 M點坐標為(0, 9),
∴P點坐標為
故t的值為
9解析:(1)由題意得BC=AO=2, BC∥AO, ∴C點坐標為(2, )，設解析式為. 將點 A 坐標代入，解得： ∴拋物線的表達式為
(2)由題意得頂點M坐標為(1，3)，令 解得： ∴D點坐標是 (4, 0).
①當點 P線段 EM上時，以PE為斜邊在對稱軸右側作等腰直角△PNE，以N為圓心、PN為半徑作圓，與MD 相切時，切點即唯一的點Q, 滿足∠PQE=45°. ∵△MED是等腰直角三角形，∴點Q為MD中點，∴點Q坐標為( , ),對應P點坐標為(1, ).
②當點 P在M點處時, 過點 E作 EN⊥PD, 則△PEN是等腰直角三角形，以點N為圓心，PN 為半徑作圓，過點 D，此時∠PDE=45°, 點 D 即滿足條件的點Q, 對應P 點坐標為(1, 3)
③當點P在x軸下方拋物線上時，可得點P坐標為(1，-3).
綜上, P 點坐標為(1, ) 或(1, 3) 或(1, - 3).

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