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第4節 弧中點的構造
前言：縱觀中考題中的圓的綜合題，有些問題出現得很多，比如切線的判定，有些是條件出現得很多，比如本節所要介紹的“弧中點”，對于常見條件，總結其常用的處理方法，有助于高效解題.
知識導航
與垂徑定理相關
若點P是AB中點, 連接OP, 則OP⊥AB.
若過點P作MN∥AB, 則MN是⊙O的切線.
變換條件: 連接BP、AP, 若∠BPN=∠A, 則MN是⊙O的切線.
引例1:如圖, BD為△ABC外接圓⊙O的直徑, 且∠BAE=∠C.
(1) 求證: AE與⊙O相切于點A;
(2) 若 求AD的長.
解析:(1) 如圖, 連接OA交BC于點H,
∵BD是直徑, ∴∠BAD=90°,
∵∠BAC=∠D=∠OAD, 且∠OAD+∠OAB=90°,
∴∠BAE+∠OAB=90°, ∴∠OAE=90°,
∴OA⊥AE,
∴AE與圓O相切于點A.
(2) ∵AE∥BC, ∴OA⊥BC, ∴點A是弧BC中點,
又.
勾股定理得: AH =1, 設半徑為 r, 則 OB=r, OH=r-1,
在 Rt△OHB中,
代入得： 解得: r=4,
∴BD=2r=8, 在Rt△ABD中,
勾股定理可得：
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與圓周角定理相關
若點P是AB中點, 點 C是圓上一點, 則∠PCA=∠PCB.
特別地, 若點 P是半圓中點, 則∠PCA=∠PCB=45°.
若連接PA、PB, 則∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB.
可得: △PDA∽△PAC; △PDB∽△PBC.
可得: △CAP∽△CDB; △CAD∽△CPB.
引例2: 如圖, AD 是△ABC的外接圓⊙O的直徑, 點 P在BC延長線上, 且滿足∠PAC=∠B.
(1) 求證: PA是⊙O的切線;
(2)弦CE⊥AD交 AB 于點 F, 若AF·AB=12, 求AC的長.
解析: (1) ∵∠B=∠D, 且∠ADC+∠CAD=90°,
∴∠PAC+∠CAD=90°, 即AD⊥AP,
∴PA是⊙O的切線.
(2)∵AD⊥CE, ∴AE=AC, ∴∠ACE=∠ADC,
∵∠ADC=∠ABC, ∴∠ACE=∠ABC,
∴△AFC∽△ACB, ∴AFC=ACB,
∴AC =AF·AB=12, ∴AC=2
∴AC的長為2
真 題 演 練
1. 如圖, 在四邊形ABCD中, 以AB為直徑的半圓O經過點C、D. AC與BD相交于點 E, , 分別延長AB、DC相交于點 P, PB=BO, 則BO的長是 .
2.如圖, ⊙O是△ABC的外接圓, ∠BAC的平分線交⊙O于點D，交BC于點E，過點D 作直線DF∥BC.
(1) 判斷直線DF與⊙O的位置關系，并說明理由；
(2)若 求BD的長.
3.如圖, 四邊形ABCD內接于⊙O, 點E在BC的延長線上，且
(1) 求證: DE是⊙O的切線;
(2)若. 當 時, 求AC的長.
4. 如圖, AB 是⊙O的直徑, C為⊙O上一點，AD和過點C的切線互相垂直，垂足為D.
(1) 求證: ∠CAD=∠CAB;
(2)若 求CD的長.
5.如圖,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,點H是 的內心，AH的延長線和三角形ABC的外接圓O相交于點 D, 連結DB.
(1) 求證: DH=DB;
(2) 過點 D 作 BC 的平行線交 AC、AB 的延長線分別于點E、F, 已知CE=1, ⊙O的直徑為5.
①求證: EF為⊙O的切線;
②求DF的長.
6. 如圖, AB是⊙O的直徑, 點C為BD的中點, CF為⊙O的弦, 且CF⊥AB, 垂足為E, 連接BD交CF于點G, 連接CD、AD、BF.
(1) 求證:
(2) 若AD=BE=2, 求BF的長.
7. 如圖,△ABC內接于⊙O, AD平分∠BAC交BC邊于點E,交⊙O于點D,過點A作AF⊥BC于點 F,設⊙O的半徑為R, AF=h.
(1)過點D作直線. 求證: MN是⊙O的切線;
(2)求證: AB·AC=2R·h;
(3) 設∠BAC=2α, 求 的值(用含α的代數式表示).
8.已知: AB為⊙O 的直徑, 延長AB 到點P,過點 P作⊙O的切線,切點為C,連接AC,且.
(1) 求∠P的度數;
(2) 若點 D 是弧 AB 的中點, 連接 CD交 AB 于點 E, 且DE·DC=20, 求⊙O的面積. (π取3.14)
9. 如圖, M、N是以AB為直徑的⊙O上的點，且 弦 MN交 AB 于點 C, BM平分 于點F.
(1) 求證: MF 是⊙O的切線;
(2) 若 求CM的長.
10.如圖1, 在△ABC中, AB=AC, ⊙O是△ABC的外接圓, 過點 C 作∠BCD=∠ACB 交⊙O 于點 D,連接AD交 BC于點 E, 延長 DC至點 F, 使 CF=AC, 連接AF.
(1) 求證: ED=EC;
(2) 求證: AF 是⊙O的切線;
(3)如圖2, 若點 G 是△ACD 的內心, BC·BE=25, 求BG的長.
11. 如圖, 在 Rt△ABC中, ∠C=90°, AD平分∠BAC交BC于點D,O為AB上一點,經過點A、D的⊙O分別交AB、AC于點E、F, 連接OF交AD于點 G.
(1) 求證: BC是⊙O的切線;
(2)設AB=x, AF=y, 試用含x, y的代數式表示線段AD的長；
(3) 若 求DG的長，
第4節 弧中點的構造
1.4
解析: ∵CD =CE·CA, ∴△CED∽△CDA,
∴∠CDE=∠CAD, ∴CD=BC, 連接OC, 則OC⊥BD,
易證△POC∽△PAD,∴答D=PO= , ∴PC=4
易證△PBC∽△PDA, 代入得：
解得: r=4, ∴BO的長是4.
解析: (1) 相切.
∵AD平分∠BAC, ∴點D 是弧BC中點,連接OD, 則OD⊥BC, 又∵DF∥BC, ∴OD⊥DF,∴DF是圓O的切線.
(2) 連接CD, 可證△AEB∽△CED,
代入得： 解得： ∴BD的長為
(1) 如圖, 連接BD, ∵∠BAD=90°, ∴BD是直徑,
∵∠BAC=∠BDC, ∠BDC+∠CBD=90°,
∴∠BAC+∠CBD=90°, 又∠DEC=∠BAC,
∴∠DEC+∠CBD=90°, ∴∠BDE=90°, 即BD⊥DE,
∴DE是圓O的切線.
(2)∵BD⊥DE,AC∥DE,∴BD⊥AC,∴D是弧AC中點,易證△BAD≌△BCD,∴AC=AB=8,記BD與AC交點為H,射影定理可得：
代入可得: CD=4, ∴BD=4
易證△DHC∽△DCB, 可得: 代入得： 解得：
故AC的長為
解析: (1) 連接OC, 則OC⊥DC, ∵AD⊥DC,∴OC∥AD,∴∠DAC=∠ACO,又OA=OC,∠ACO=∠CAB,∴∠CAD=∠CAB;
(2) 連接CB, 則∠ACB=90°, 又∠DAC=∠CAB,∴△DAC∽△CAB, 設 AD=2m, 則 AB=3m,代入得： 解得: m=2, ∴AD=4, ∴CD的長為：2
解析: (1) 連接BH,
易證
∴∠BHD=45°,又∠BDH=90°,∴△BDH是等腰直角三角形,∴DH=DB.
(2)①連接OD, ∵AD平分∠BAC, ∴D是弧BC中點,
∴OD⊥BC, ∵EF∥BC, ∴OD⊥EF,
∴EF是圓O的切線.
②記BC與OD交點為 M點, 則DM=CE=1,
∴DF的長為
6.解析:(1)由題意可得:∠CDB=∠CFB,∠CGD=∠BGF,連接BC, ∵點C是弧BD中點, ∴CD=BC,又BC=BF, ∴CD=BF, ∴△BFG≌△CDG (AAS).
(2) 考慮到DC=CB=BF, ∴BD=CF,設半徑為r，則 故 解得: r=1(舍) 或3,
解析:(1)連接OD,∵AD平分∠BAC,∴弧BD=弧CD,∴OD⊥BC,∵MN∥BC,∴OD⊥MN,∴MN是圓O的切線.
延長DO與圓交于點Q, 連接AQ, ∵AF⊥BC, DQ⊥BC, ∴AF∥DQ, ∴∠EAF=∠ADQ, ∴△AFE∽△DAQ, 即AE·AD=AF·DQ, 連接CD,易證△ACD∽△AEB,∴∠CE=ADAB,即AE·AD=AB·AC,∴AB·AC=AF·DQ, ∴AB·AC=2R·h.
(3)延長BA至點G使得BG=AC,又∠DBG=∠DCA,DB=DC,∴△DBG≌△DCA, AB+AC=AB+BG=AG,
過點D作DH⊥AG交AG于點H, 則H是AG中點,
8. 解析: (1) 連接OC, 則∠OAC=∠OCA,.
∵AC=CP, ∴∠CAP=∠CPA, 又CP 是圓O的切線,則OC⊥CP, ∴∠OAC+∠OCA+∠P=90°, ∴∠P=30°.故∠P 的度數是30°.
(2) 連接BC, 易證△DEB∽△DBC,
即DB =DE·DC=20, ∴DB=2
解析: (1) 連接 OM, 則 OM=OB, ∴∠OBM=∠OMB,
∵MB 平分∠ABD, ∴∠OBM=∠FBM, ∴∠OMB=∠FBM,
∵∠BMF+∠FBM=90°, ∴∠FMB+∠OMB=90°,即∠OMF=90°, ∴MF是圓O的切線.
(2) ∵點N是弧AB中點, ∴∠ABN=45°=∠BMN,
易證 代入得：
解得：
故CM的長為
10.解析: (1) 易證∠EDC=∠ECD, ∴ED=EC.
(2) 連接OA, 則OA⊥BC,
∵∠BAD=∠ADC, ∴AB∥CD,
又CF=AC=AB, ∴四邊形ABCF是平行四邊形.
∴AF∥BC, ∴OA⊥AF, ∴AF是圓O的切線.
(3)易證△BEA∽△BAC,∴BA =BE·BC=25,∴BA=5,連接AG,∠BAG=∠BAE+∠DAG,∠BGA=∠BCA+∠CAG,又∠BAE=∠BCA, ∠DAG=∠CAG,
∴∠BAG=∠BGA, ∴BA=BG, ∴BG=5.
11. 解析: (1) 連接OD, ∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD,又OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∴∠CAD=∠ODA, ∴AC∥OD, ∵AC⊥BC, ∴OD⊥BC,
∴BC是圓O的切線.
解得: r=5,
易證
故DG的長為

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