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第5節 圓中相似
前言：在圓的綜合題中，總是少不了相似的影子，由圓周角定理等可得圓中潛在諸多相等角，而兩組角相等即可得相似.了解常見的圓中相似，有助于更快找到解題突破口.
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知識導航
常見相似
(1) 射影定理
如圖, AB是直徑, CD⊥AB.
結論：
(2) 母子型相似
如圖, 若∠ABD=∠C.
結論: △ABD∽△ACB, AB =AD·AC.
(3)弧中點相似
點P是AB 中點，點C是優弧AB 上任意一點.
結論: △PDA∽△PAC; △PDB∽△PBC.
(4) 圓冪定理
相交弦定理：PA·PB=PC·PD;
切割線定理：
割線定理: PA·PB=PC·PD.
注：圓冪定理結論用前需先證明.
引例1:如圖, AB為⊙O的直徑, AB=4, C為半圓AB的中點，P為AC 上一動點，延長BP至點Q，使BP·BQ=AB .若點 P 由A 運動到 C，則點 Q 運動的路徑長為 .
解析: 由BP·BQ=AB , ∴△BPA∽△BAQ,
∴∠BAQ=∠BPA=90°, 即AQ⊥AB, 當點 P與點 C重合時,此時AQ的長即為點Q運動路徑長，即AQ=AB=4.
常見問題
直接證明相似的問題并不多，常以線段關系作為問題，與相似相關的問題有：
(1)線段求值；
(2) 證明乘積關系，
如證 AD或AB·AC=AD·AE;
(3) 乘積求值, 如求AB·AC 的值;
(4) 比例求值, 如求4B/L的值;
解題關鍵在于找到那組恰當的相似，分析問題中線段所在的三角形，尋找可能的相似.
若問題中的線段并無相關相似，考慮轉化線段或轉化比例.
引例2：如圖，在以線段AB為直徑的⊙O上取一點C, 連接AC、BC. 將△ABC沿AB翻折后得到△ABD.
(1) 試說明點D在⊙O上;
(2) 在線段AD的延長線上取一點E，使 求證: BE為⊙O的切線;
(3)在(2)的條件下, 分別延長線段AE、CB相交于點 F,若BC=2, AC=4, 求線段EF的長.
解析:(1)連接OC、OD, 則OD=OC=r, ∴點D在⊙O上.
(2) ∵AD=AC, ∴AB =AD·AE ,
∴△ADB∽△ABE,
∴∠ABE=∠ADB=90°, ∴BE⊥AB,
∴BE是⊙O的切線.
(3) 連接CD, 則CD⊥AB, 垂足記為H,
∵BD=BC=2, AD=AC=4, 且BD =AD·DE,
∵DC⊥AB, BE⊥AB, ∴△FEB∽△FDC,
設EF=x, 則 解得：
∴EF的長為
引例3:如圖, AB是⊙O 的直徑, 弦CD⊥AB于點E, 點F是⊙O上一點, 且AC=CF, 連接FB、FD, FD交AB于點N.
(1) 若AE=1, CD=6, 求⊙O的半徑;
(2) 求證: △BNF為等腰三角形;
(3) 連接FC并延長, 交BA的延長線于點 P, 過點 D作⊙O的切線，交BA的延長線于點 M.
求證: ON·OP=OE·OM .
解析:(1) ∵CD=6, ∴CE=3, 設半徑為r,連接OC, 則OC=r,
由題意可得：
解得: r=5,
故圓O的半徑為5.
(2) 連接BC、AC,∵DA=AC=CF, ∴AC∥DF,
∵AB是直徑, ∴∠ACB=90°, 即BC⊥AC,
∴BC⊥DF, 又BC平分角ABF,
∴∠BNF=∠BFN,
∴△BNF為等腰三角形.
(3) 連接OD, 則OD⊥DM,
由題意得△BNC≌△BFC,
∴∠BNC=∠BFC,
∵OB=OC, ∴∠OBC=∠OCB,
又∠BOC=∠FBC,
∴∠OCB=∠FBC,
∴OC∥BF, ∴∠PCO=∠PFB,
∴∠ONC=∠OCP,
∴△ONC∽△OCP,
∴ON·OP=OE·OM .
真 題 演 練
1. 如圖, 已知AB是⊙O的直徑,CB⊥AB, D為圓上一點, 且AD∥OC,連接CD、AC、BD,AC與BD交于點 M.
(1) 求證: CD為⊙O的切線;
(2)若 求 的值.
2. 如圖,AB是⊙O的直徑, 點E為線段OB上一點(不與O、B重合), 作EC⊥OB, 交⊙O于點 C, 作直徑CD, 過點C的切線交 DB 的延長線于點 P, 作AF⊥PC于點F, 連接CB.
(1) 求證: AC平分∠FAB;
(2) 求證:
(3)當. 且 時，求劣弧BD的長度.
3. 已知AD為⊙O的直徑, BC為⊙O的切線，切點為 M，分別過A、D兩點作 BC的垂線，垂足分別為B、C, AD的延長線與BC相交于點 E.
(1) 求證: △ABM∽△MCD;
(2) 若AD=8, AB=5, 求ME的長.
4. 如圖，點P在以MN為直徑的半圓上運動(點P不與 M，N重合), PQ⊥MN, NE平分∠MNP, 交 PM于點E, 交PQ于點F.
(2) 若 則
5.如圖, 在△ABC中, ∠BAC=90°, 點E在 BC邊上, 且CA=CE, 過A、C、E三點的⊙O交AB于另一點 F, 作直徑 AD, 連結 DE 并延長交 AB 于點 G, 連結CD、CF.
(1) 求證: 四邊形 DCFG是平行四邊形.
(2) 當 時，求⊙O的直徑長.
6. 如圖, △ABC內接于⊙O, AB=AC, 過點 A 作 AD∥BC, 與∠ABC的平分線交于點D, BD與AC交于點E, 與⊙O交于點 F.
(1) 求∠DAF的度數;
(2) 求證:
(3) 求證: AD是⊙O的切線.
7. 如圖, AB為⊙O的直徑, C為⊙O上一點, D 是弧 BC的中點, BC與AD、OD 分別交于點 E、F.
(1) 求證: DO∥AC;
(2) 求證:
(3)若 求 的值.
8. 如圖, 在 中， D是AC上一點, 過B、C、D三點的⊙O交AB于點E, 連接ED、EC, 點F是線段AE上的一點, 連接FD, 其中∠
(1) 求證: DF是⊙O的切線;
(2) 若D是AC的中點, 求DF的長.
9.如圖,已知BC⊥AC, 圓心O在AC上, 點 M 與點 C分別是AC與⊙O的交點, 點 D 是 MB 與⊙O的交點，點P是AD延長線與BC的交點，且
(1) 求證: PD 是⊙O的切線;
(2) 若AD=12, AM=MC, 求 的值.
10.如圖,△ABC中, AB=AC, 以AB為直徑的⊙O 交 BC于點 D, 交AC 于點 E, 過點 D作 FG⊥AC于點F，交AB的延長線于點 G.
(1) 求證: FG是⊙O的切線;
(2)若tan∠C=2, 求. 的值.
11. 如圖, PA是⊙O的切線, A 是切點, AC是直徑, AB是弦, 連接PB、PC, PC交AB 于點 E,且PA=PB.
(1) 求證: PB是⊙O 的切線;
(2) 若∠APC=3∠BPC, 求 的值.
12. 如圖,線段AB是⊙O的直徑, 弦CD⊥AB于點 H, 點 M是CBD上任意一點, AH=2, CH=4.
(1) 求⊙O的半徑r的長度;
(2) 求sin∠CMD;
(3) 直線 BM交直線 CD于點E, 直線MH交⊙O于點 N,連接BN交 CE于點F, 求HE·HF的值.
第5節 圓中相似
解析: (1) ∵AB 是直徑, ∴AD⊥BD,
∵AD∥OC, ∴OC⊥BD,
連接OD, 易證△OBC≌△ODC, ∴∠ODC=∠OBC=90°,∴CD是圓O的切線.
(2) 記OC與BD交點為H, 易證( 設AD=a, 則(
代入得： 解得：
2. 解析: (1) ∵AF⊥PF, OC⊥PF, ∴AF∥OC,∴∠FAC=∠ACO, ∵OA=OC, ∴∠OAC=∠OCA,∴∠FAC=∠OAC, ∴AC平分∠FAB.
(2) 易證△ACF≌△ACE, ∴∠ACF=∠ACE,
∵∠ACE+∠BCE=90°, ∠ACE+∠BCP=90°,
∴∠BCE=∠BCP, 延長CE與BD交于點Q,易證CQ=CP, 在Rt△BCQ中,
根據射影定理可得：BC =CE·CQ, ∴BC =CE·CP.
(3) 易證
△OBC是等邊三角形, ∴∠BOD=120°,
∴弧 ∴弧BD的長為
解析: (1)∵AD是直徑, ∴∠AMD=90°,又∠ABM=∠DCM=90°, 易證△ABM∽△MCD.
,
易證△EDC∽△EOM, ∴BD=DCM,設ED=x,
代入得： 解得: x=12,
易證EM =ED·EA (切割線定理),
∴EM =12×20=240, ∴EM=4
故 ME的長度為
解析: (1) 由題意得: △PFN∽△MEN,
(2)由射影定理可得：PN =NQ·NM ,∴NQ=PM,設MQ=1,NQ=k, 則 由勾股定理得： 解得： (舍);
解析: (1) 連接AE, ∵∠BAC=90°, ∴CF 是圓 O的直徑, 又CA=CE, ∴AE⊥CF, ∵AD是直徑, ∴AE⊥DE,∴CF∥DG,又∠DCA=∠CAF=90°, ∴∠DCA+∠CAF=180°,∴CD∥AB, ∴四邊形DCFG是平行四邊形.
(2) 易證 CD=GF=AF, ∴DC: BG=3: 2,易證
∴CE=6, CA=6, AB=8, CD=3, ∴AD=3 ∴圓O的直徑長為3
6. 解析: (1) ∵AD∥BC, ∴∠ABC+∠BAD=180°,
∵∠ABC=72°, ∴∠BAD=108°,
∵∠BAC=36°, ∠CAF=∠CBF=36°, ∴∠DAF=36°.
(2) 易證△AEF∽△DEA,
(3) ∵△AEF∽△DEA, ∴∠EAD=∠EFA=72°,連接OA、OB、OC, 易證△AOB≌△AOC (SSS),
∴∠COA=∠BOA=18°, ∴∠OAD=18°+72°=90°,∴OA⊥AD, ∴AD 是圓O的切線.
解析: (1) ∵點D是弧BC中點, ∴OD⊥BC,∵AB 是直徑, ∴∠ACB=90°, ∴AC⊥BC,∴DO∥AC.
(2) ∵∠DCB=∠DAC, ∴△DEC∽△DCA,
(3) 思路1: 連接BD, 則BD=CD, ∠DBC=∠DAC,設DE=a, 則DB=2a, DC=2a, DA=4a,
又∠CDA=∠ABC, ∴sin∠CDA=
思路2： 則
即 可得
解析:(1)連接BD、DE,∵∠BCD=90°, ∴BD 是直徑,
∵∠DCE+∠BCE=90°, ∠FDE=∠DCE, ∠EDB=∠ECB,
∴∠FDE+∠EDB=90°, ∴∠FDB=90°, 即FD⊥DB.
∴DF是圓O的切線.
(2) 過點F作FH⊥AC交AC于H點,易證△FHD∽△DCB, 設FH=x, 則 解得： 又∠A=30°, ∴AH= x, 解得： ∴DF的長為
解析: (1) 連接OP、OD、CD,
∴△AMD∽△AOP, ∴∠ADM=∠APO, ∴OP∥MD,
又點O是MC中點, ∴點P是BC中點,在Rt△BCD中,
易證△POD≌△POC, ∴∠PDO=∠PCO=90°,∴PD是圓O的切線.
易證△AMD∽△ADC, 設AM=x, 則AC=2x,則x·2x=12 ,解得：x=6 , ∴AM=MC=6
設 MD=m, 則( 的值為
10. 解析: (1) 連接 OD, 則 OD=OB, ∴∠ODB=∠OBD,∵AB=AC, ∴∠C=∠ABC, ∴∠C=∠ODB, ∴AC∥OD,.又∵FG⊥AC, ∴FG⊥OD, ∴FG是圓O的切線.
(2) 連接AD, tan∠ABC=tan∠C=2, ∴ADB=2,易證 即 的值為
11. 解析: (1) 連接OB、OP, 易證△POA≌△POB,∴∠PBO=∠PAO=90°,
∴OB⊥PB, ∴PB是圓O的切線.
(2)記OP與AB交點為H,設OH=a,連接BC,則BC=2a,
∵∠APC=3∠BPC, ∴∠OPC=∠BPC,
∵OP⊥AB, BC⊥AB, ∴OP∥BC, ∴∠OPC=∠BCP,
∴∠BPC=∠BCP, ∴AP=BP=BC=2a,
由射影定理得: PA =PH·PO, 設PH=x,
代入得： 解得：
易證△PHE∽△CBE,
12. 解析: (1) 如圖1中, 連接OC.
∵AB⊥CD, ∴∠CHO=90°,在Rt△COH中, ∵OC=r, OH=r-2, CH=4,
(2) 如圖1中, 連接OD.
∵AB⊥CD, AB是直徑,
∴∠CMD=∠COA, ∴sin∠CMD=sin∠COA==
(3) 如圖, 連接AM.
∵AB 是直徑, ∴∠AMN=90°, ∴∠MAB+∠ABM=90°,
∵∠E+∠ABM=90°, ∴∠E=∠MAB,
∴∠MAB=∠MNB=∠E,
∵∠EHM=∠NHF, ∴△EHM∽△NHF, ∴EN=HMF,
∴HE·HF =HM·HN,
∵HM·HN=AH·HB (相交弦定理),
∴HM·HF=AH·HB=2×8=16.

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