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第6節 圓中線段計算
前言：在上一節《圓中相似》已經出現了關于線段長度的計算，除了利用相似外，勾股定理與銳角三角函數也是計算線段長度的常用方法，解題題目給的條件，選擇恰當方法.
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知 識 導 航
1 勾股定理
如圖，由垂徑定理中構造出直角三角形，存在如下數量關系：( 結合已知條件可求線段長度.
引例1:如圖, AB是⊙O的直徑, CD與⊙O相切于點 C, 與AB的延長線交于點 D, CE⊥AB于點 E.
(1) 求證: ∠BCE=∠BCD;
(2) 若AD=10, CE=2BE, 求⊙O的半徑.
解析: (1) 連接OC, 則OC⊥CD,
∵∠BCE+∠CBE=90°, ∠BCD+∠BCO=90°,
且∠CBE=∠BCO,
∴∠BCE=∠BCD.
(2)設BE=x, 則CE=2x,
在Rt△OCE中,(
即 解得：
解得：
∴⊙O 的半徑為
三角函數
無論是在圓中還是在其他幾何圖形中，已知角的三角函數值，即可求與該角相關的直角三角形的各邊長.
引例2:如圖,AB是⊙O的直徑, C是⊙O上一點, D是AC的中點, E為OD延長線上一點, 且∠CAE=2∠C, AC與BD交于點H, 與OE交于點F.
(1) 求證: AE是⊙O的切線;
(2) 若 求直徑AB的長.
解析: (1) ∠BAC+∠AOF=90°, ∠AOF=2∠C=∠CAE,
∴∠BAC+∠CAE=90°,
∴AE是⊙O的切線.
(2) 連接AD, 則∠DAC=∠C, ∴tan∠DAC=
∵DH=9, ∴DA=12,
∴AB=20, 故直徑AB的長為20.
相似三角形
與三角函數度量一個三角形三邊之比不同，相似三角形滿足對應邊成比例，但只要存在比例，就可用于求長度的問題.
引例3:如圖, AD是⊙O的直徑, AB為⊙O的弦, OP⊥AD, OP與AB的延長線交于點 P, 過B 點的切線交OP 于點 C.
(1) 求證: ∠CBP=∠ADB.
(2) 若OA=2, AB=1, 求線段BP 的長.
解析: (1) 連接OB, 則OB⊥BC,
∴∠PBC+∠OBA=90°,
∵AD是直徑, ∴∠ABD=90°, ∴∠D+∠A=90°,又∠A=∠OBA,
∴∠CBP=∠ADB.
(2) 連接PD, ∵OP⊥AD且點O是AD中點,
∴PA=PD, ∴△PAD 是等腰三角形,
∴△OAB∽△PAD,
代入得：
解得: PA=8,
∴PB=PA-AB=8-1=7,
∴PB 的長為7.
真 題 演 練
1. 如圖, ⊙O是△ABC的外接圓,∠BAC=45°, AD⊥BC于點D, 延長AD交⊙O于點E, 若BD=4, CD=1, 則DE的長是 .
2. △ABC 內接于⊙O, AB為⊙O的直徑,將△ABC繞點C旋轉到△EDC, 點E在⊙O上, 已知AE=2, tanD=3, 則AB= .
3. 如圖, 點P為⊙O外一點, 過點 P 作⊙O的切線 PA、PB, 點 A、B 為切點, 連接AO 并延長交 PB 的延長線于點 C, 過點 C 作 CD⊥PO, 交 PO 的延長線于點D. 已知PA=6, AC=8, 則CD的長為 .
4. 如圖, D是△ABC的BC邊上一點, 連接AD, 作△ABD 的外接圓, 將△ADC 沿直線 AD 折疊, 點 C的對應點E落在⊙O上.
(1) 求證: AE=AB.
(2) 若 求 BC 的長.
5. 如圖, 在△ABC中, ∠ABC=∠ACB, 以AC為直徑的⊙O分別交AB、BC于點 M、N, 點P在AB的延長線上，且
(1) 求證: CP 是⊙O 的切線;
(2)若 求點 B 到 AC 的距離.
6.如圖, ⊙O是△ABC的外接圓, AB 是直徑, D是AC中點, 直線OD與⊙O相交于E、F兩點, P是⊙O 外一點, P 在直線OD 上, 連接PA、PC、AF, 且滿足∠PCA=∠ABC.
(1) 求證: PA 是⊙O的切線;
(2) 證明:
(3)若 求DE的長.
7. 如圖, AB為⊙O的直徑, C為⊙O 上一點, D為BA延長線上一點, ∠ACD=∠B.
(1) 求證: DC為⊙O的切線;
(2) 線段DF分別交AC、BC于點E、F且∠CEF=45°, 圓O的半徑為5， 求CF的長.
第6節 圓中線段計算
1.
解析: 連接OB、OC, 則 過點O作OH⊥AE交AE于點H,則 由勾股定理可得： 又 ∴DE的長是
2.10
解析: 連接CO并延長交AE于點H, 則 CH⊥AE,∵∠CEA=∠CBA=∠D, ∴tan∠CEA=3,∵EH=1,∴CH=3, 故AB的值為
3.解析: 連接OB, 則OB⊥PC, 易證△POB≌△POA,∴PB=PA=6, 又1 易證△CBO∽△CAP, ∴CO=5, BO=3, ∴AO=3, ,易證△PDC∽△PAO, ∴≌△=PC,代入得： 解得： ∴CD的長為2
解析: (1) ∵∠B=∠AED=∠ACB, ∴AB=AC,∵AC=AE, ∴AB=AE.
(2)連接BE, 過點A作AH⊥BE交BE于點H, 則H點是BE中點, ∵BE=2, ∴EH=BH=1,
∵cos∠ADB= , ∠ADB=∠AEB, ∴cos∠AEB=
∴AE=3, ∴AB=AE=3, ∴BC= AB=3 故BC的長為3
解析: (1) 連接AN, 則AN⊥BC,又∠ABC=∠ACB, ∴△ABC是等腰三角形,∴AN平分∠BAC, ∴∠CAN=∠BAN=∠BCP,∵∠CAN+∠ACN=90°, ∴∠BCP+∠CAN=90°,∴CP是圓O的切線.
(2) 過點B作BH⊥AC交AC于點H,
∴BC·AN=AC·BH, 代入解得:
故點B到AC的距離為
解析: (1)∵D是AC中點, ∴OD⊥AC, ∴PA=PC,
∴∠PAC=∠PCA=∠ABC,
∵∠BAC+∠ABC=90°, ∴∠PAC+∠BAC=90°,
∴PA⊥AB, ∴PA 是圓O的切線.
(2)根據射影定理可得： 又 即
(3) 設AD=2a, 則DF=3a, 又BC=8,∴OD=4, OF=3a-4, ∴OA=3a-4,在Rt△AOD中, ，代入得：
解得：
故DE的長為
7.解析: (1) 連接OC, 則OB=OC, ∴∠B=∠OCB,又∠ACD=∠B, ∴∠ACD=∠OCB,∵AB是直徑, ∴∠ACB=90°, ∴∠OCB+∠OCA=90°,∴∠ACD+∠OCA=90°, 即∠OCD=90°, OC⊥CD,∴DC是圓O的切線.
又 易證
是等腰直角三角形，
, 又
設CE=x, 則(
代入得： 解得：

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