資源簡介

第3章 正方形
第1節 常見構圖
前言：正方形是最特殊的四邊形，邊、角、對角線均具有特殊性質，同時，由其自身的軸對稱性及中心對稱性，使得正方形有更多的考法.
中小學教育資源及組卷應用平臺
知識導航
基本性質
四邊相等: AB=BC=CD=DA;
四角都是直角: ∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°;
對角線: OA=OB=OC=OD, AC⊥BD.
引例1:如圖, 點 P 是正方形 ABCD內位于對角線 AC 下方的一點, ∠1=∠2, 則∠BPC 的度數為 °.
解析: ∵∠2+∠BCP=45°, ∠1=∠2,
∴∠1+∠BCP=45°,
∴∠BPC=135°.
引例2:如圖,邊長為 的正方形ABCD的對角線AC與BD 交于點 O, 將正方形 ABCD沿直線 DF折疊，點 C落在對角線 BD上的點 E處，折痕DF交AC于點M, 則OM=( )
A.
解析: ∵AD=DC= , ∴AC=BD=2, OD= BD=1,
∴選D.
引例3:如圖,在正方形紙片ABCD中, E是CD 的中點，將正方形紙片折疊，點B 落在線段 AE 上的點G處, 折痕為AF. 若AD=4, 則 CF的長為 .
解析:∵E點是 CD中點, 由折疊可知AG=AB=4, ∴EG=2 -4,設CF=x,則BF=4-x, FG=4-x,
在Rt△EFG中,
在Rt△CEF中,
解得：
∴CF的長為
雙正方形
(1) 與模型相關
手拉手模型: △ABG≌△CBE.
三垂直模型: △FGM≌△MCD.
“8”字型: △AMD∽△EMF.
(2)與對角線相關
若連接BF、BD, 則BF⊥BD.
若連接EG、BD, 則EG∥BD, SAEDG=S△EBG·
引例4:如圖, 點C在線段AB上,且AC=2BC, 分別以AC、BC為邊在線段AB 的同側作正方形ACDE、BCFG,連接EC、EG,則tan∠CEG= .
解析:連接CG,則CE⊥CG,∵AC=2BC,∴tan∠CEG=
真 題 演 練
1. 如圖, 在正方形ABCD中, E是邊AD的中點. 將△ABE 沿直線 BE 翻折, 點 A 落在點 F 處, 連接DF, 那么∠EDF的正切值是 .
2. 如圖,在邊長為2 的正方形ABCD中，點E、F分別是邊AB、BC的中點, 連接EC、FD, 點G、H分別是EC、FD的中點，連接GH，則GH的長度為 .
3. 如圖,在正方形ABCD中,對角線AC與BD交于點O,點E在CD的延長線上,連接AE, 點F是AE的中點, 連接OF交AD于點 G. 若DE=2, OF=3, 則點A到DF的距離為 .
4. (2020·廣東)如圖,在正方形ABCD中,AB=3,點E、F分別在邊AB、CD上, ∠EFD=60°. 若將四邊形 EBCF沿EF 折疊, 點 B 恰好落在AD 邊上, 則 BE 的長度為( )
A. 1 B. C. D. 2
5. (2020·溫州) 如圖, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°,以其三邊為邊向外作正方形，過點C作CR⊥FG于點R，再過點C作PQ⊥CR 分別交邊DE、BH于點 P、Q.若QH=2PE, PQ=15, 則 CR 的長為 ( )
A. 14 B. 15 C. 8 D. 6
6. 如圖,正方形ABCD的邊長為4,延長CB至 E使 EB=2, 以EB為邊在上方作正方形 EFGB, 延長FG交DC于 M,連接AM、AF, H為AD的中點, 連接FH分別與AB、AM交于點 N、K. 則下列結論:
①△ANH≌△GNF; ②∠AFN=∠HFG; ③FN=2NK; ④ 其中正確的結論有( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
7. 如圖, 正方形ABCD和正方形 CGFE的頂點 C、D、E在同一條直線上，頂點B、C、G在同一條直線上. O是EG的中點, ∠EGC的平分線GH過點D, 交BE于點H，連接FH交EG于點M，連接OH. 以下四個結論：①GH⊥BE; ②△EHM∽△FHG; ④ 其中正確的結論是 ( )
A. ①②③ B. ①②④
C. ①③④ D. ②③④
8.如圖, 正方形ABCD 的邊CD在正方形ECGF的邊CE上,連接DG,過點A作AH∥DG,交BG于點H. 連接HF、AF, 其中AF交EC于點 M.
(1) 求證: △AHF為等腰直角三角形.
(2) 若AB=3, EC=5, 求EM的長.
9. 如圖1,正方形ABDE和BCFG的邊AB、BC 在同一條直線上, 且AB=2BC, 取 EF 的中點 M, 連接MD, MG, MB.
(1) 試證明DM⊥MG, 并求 的值.
(2) 如圖 2, 將圖 1 中的正方形變為菱形, 設∠EAB=2α(0<α<90°), 其它條件不變, 問(1)中 的值有變化嗎 若有變化，求出該值(用含α的式子表示)；若無變化，說明理由.
1.解析: 如圖, 點F如圖所示, 連接BF、DF、EF、AF, 記AF與BE交點為H，
由對稱可知AF⊥BE，點H是AF中點，又點E是AD中點，∴EH是△DF邊所對的中位線, ∴EH∥DF,∴∠EDF=∠AEB, ∴tan∠EDF=tan∠AEB=2.
2解析：勾股定理可得GH=1.
解析:∵DE=2,∴FG=1,∴OG=2,CD=4,∴AD=4,AE=2 由等積法可得點 A 到 DF的距離為 距離為
4. D.
解析: ∵∠EFD=60°, ∴∠B'EF =∠BEF=60°,∴∠AEB'=60°, ∴BE=B'E=2AE, ∴BE=2. 故選 D.A.
5.解析: 連接CE、CH, 易證△CPE∽△CQH, ∴
∴CD=2 , CM=4, AB=10, MR=10, ∴CR=14,∴選A.
6.C.
解析: ∵H是AD中點, 易證△ANH≌△GNF, 故結論①正確;
∵∠HFG=∠AHF, ∠AFN≠∠AHF, ∴∠AFN≠∠HFG, 故結論②錯誤；
易證點K是HN中點, ∴FN=NH=2NK, 故結論③正確;
考慮到
故結論④正確.
綜上, 選C.
7. A.
解析: 易證△BCE≌△DCG, ∴∠BEC=∠DGC,又∠BEC+∠EHD=∠DGC+∠DCG,
∴∠EHD=∠DCG=90°, ∴GH⊥BE. 故結論①正確;
∵∠EHG=∠EFG=90°, ∴E、F、G、H四點共圓,
∴∠HEM=∠GFM, 又EF=GF, ∴∠EHF=∠GHF,
∴△EHM∽△FHG, 故結論②正確;
∵GH平分∠EGB, 且GH⊥BE, ∴△BGE是等腰三角形,
故結論③正確；
易證
故結論④錯誤.
綜上, 選A.
8解析:(1)∵AH∥DG,易證△ABH≌△DCG,∴BH=CG,
∴BC=HG, ∴AB=HG, 易證△ABH≌△HGF, ∴AH=HF,
∵△AHB≌△HFG, ∴∠AHB=∠HFG,
∵∠HFG+∠FHG=90°, ∴∠AHB+∠FHG=90°,
∴∠AHF=90°, ∴△AHF為等腰直角三角形.
(2) 易證△AMD≌△FME, ∴MDE=HD=
∴又
∴EM的長為
解析: (1) 延長GM與DE交于點N,易證△MGF≌△MNE
不妨設正方形 ABDE 邊長為2a, 正方形 BCFG的邊長為 a,則NE=GF=a, ∴DN=2a-a=a, ∴DN=DG, ∴△DNG為等腰直角三角形, 又M為NG中點, ∴DM⊥MG.
過點 M 作 MH⊥BD 交 BD 于點 H, 則
(2) 連接BF, 易證 BF∥DM, 延長MG與BF交于點 Q,則MQ⊥BF,
易證△MGD≌△QGB, 設MG=m,則

展開更多......

收起↑