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第2節(jié) 弦圖的構(gòu)造
前言：在證明勾股定理的時候，我們認識了“外弦圖”，以此為起點，可作進一步的探究.
知識導(dǎo)航
弦圖的構(gòu)造
如圖, 有△AED≌△BFA≌△CGB≌DHC.
稍作變形, 若DE⊥AF, 則可得: △DAE≌△ABF.
一般地,在正方形ABCD中,若MN⊥PQ,則必有MN=PQ.
思路1: 分別將 PQ、MN平移至 AF、DE 位置(作平行線)證明AF=DE即可.
思路2: 過點 P作 PE⊥BC, 過點N作 NF⊥AB交AB 于點F, 可證△PEQ≌△NFM.
反之, 若已知PQ=MN, 但不一定存在PQ⊥MN.
如下: EF=PQ=MN, 但EF不與MN垂直.
由位置關(guān)系可推數(shù)量關(guān)系，
但由數(shù)量關(guān)系未必可推位置關(guān)系.
引例1:如圖,已知正方形ABCD 的邊長為5,點 E、F分別在AD、DC上, AE=DF=2, BE與AF相交于點G, 點H為BF的中點, 連接GH, 則 GH的長為 .
解析: ∵AE=DF, ∴△BAE≌△ADF, ∴∠ABE=∠DAF,
∵∠DAF+∠BAG=90°, ∴∠ABE+∠BAG=90°,
∴∠AGB=90°. ∵DF=2, ∴CF=3,
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模型變式
(1) 弦圖與對稱：對稱點連線被對稱軸垂直且平分.
沿 MN折疊, 則AA'=MN 且 AA'⊥MN.
(2)弦圖與輔助圓：垂足H軌跡是個圓弧(定邊對直角)
以AD中點M為圓心，MA為半徑的圓弧，點A、O為圓弧兩端點.
(3) 弦圖與四點共圓: C、D、H、F四點共圓.
連接 DF, 取 DF 中點 N, 以點 N為圓心, DN為半徑作圓, C、D、H、F四點共圓.
特別地, 若E、F分別是AB、BC中點, 連接CH,則CH=CD.
證明: ∵∠CHD=∠CFD=∠AED=∠CDE, ∴CH=CD.
(4) 矩形中的弦圖構(gòu)造：
在矩形ABCD 中, E、F分別是AB、BC上的點, 且AF⊥DE, 則
證明：由題意得：△ABF∽△DAE,
引例2:如圖, 在矩形ABCD中, AB=2,BC=3, 若點E是邊CD的中點, 連接AE, 過點B作BF⊥AE交AE于點 F, 則BF的長為( )
解析: ∵AD=3, DE=1, ∴AE=
可得: △ADE∽△BFA,
代入解得：
解得：
∴選B.
引例3:在正方形ABCD中, E是邊CD上一點(點 E不與點 C、D 重合), 連結(jié)BE.
【感知】如圖1, 過點A作AF⊥BE交BC于點F. 易證△ABF≌△BCE.(不需要證明)
【探究】如圖2, 取BE的中點M, 過點M作FG⊥BE交BC于點 F, 交AD于點G.
(1) 求證: BE=FG.
(2) 連結(jié)CM, 若CM=1, 則FG的長為 .
【應(yīng)用】如圖3, 取BE的中點 M, 連結(jié) CM. 過點C作CG⊥BE交AD于點 G, 連結(jié)EG、MG. 若CM=3, 則四邊形 GMCE的面積為 .
解析:(1) 過點A作AP∥GF,則四邊形APFG是平行四邊形, ∴AP=FG, 又∵GF⊥BE, ∴AP⊥BE,由題意得△ABP≌△BCE, ∴AP=BE, ∴BE=FG.
(2) 如圖, 若CM=1, 則BE=2CM=2, ∴FG=BE=2.
(3) 若CM=3, BE=6, ∵CG⊥BE, ∴CG=6,考慮四邊形 GMCE對角線互相垂直，
故四邊形GMCE是面積為9.
真題演練
1.如圖, 正方形紙片ABCD邊長為12,E是邊 CD上一點，連接AE、折疊該紙片，使點A落在AE上的G點，并使折痕經(jīng)過點 B，得到折痕BF，點F在AD上, 若DE=5, 則 GE的長為 .
2.如圖,E是矩形ABCD的邊CB上的一點,AF⊥DE于點F, AB=3, AD=2, CE=1. 求DF的長度.
3.如圖,正方形ABCD中, E是BC上的一點, 連接AE, 過B點作 BH⊥AE, 垂足為點 H, 延長BH交CD于點 F, 連接AF.
(1) 求證: AE=BF.
(2) 若正方形邊長是5, BE=2, 求AF 的長.
4.如圖,正方形ABCD中, G為BC邊上一點， 于E, 于F, 連接DE.
(1) 求證:
(2) 若AF=1, 四邊形ABED的面積為6, 求EF的長.
5. 已知: 如圖,正方形ABCD中, P是邊BC上一點， 垂足分別是點E、F.
(1)求證: EF=AE-BE;
(2)連接BF, 如果 求證: EF=EP.
6.如圖, 在正方形ABCD中, AB=4, 點G在邊BC上,連接AG,作. 于點 E,BF⊥AG于點 F,連接BE、DF, 設(shè)
(1) 求證:
(2) 求證:
(3)若點G從點B沿BC邊運動至點C停止，求點 E、F所經(jīng)過的路徑與邊AB 圍成的圖形的面積.
7. 如圖1, 在正方形ABCD中, 點E是AB邊上的一個動點(點E與點A、B不重合)，連接CE，過點B作BF⊥CE于點G, 交AD于點 F.
(1) 求證: △ABF≌△BCE;
(2) 如圖2, 當(dāng)點E運動到AB中點時, 連接DG,求證: DC=DG;
(3) 如圖3,在(2) 的條件下, 過點 C作 CM⊥DG于點H, 分別交AD、BF于點M、N, 求 的值.
8. 如圖,在正方形ABCD中, 點G在邊BC上(不與點B、C重合), 連結(jié)AG, 作DE⊥AG于點E,BF⊥AG于點F, 設(shè)
(1) 求證: AE=BF.
(2) 連結(jié)BE, DF, 設(shè)∠EDF=α, ∠EBF=β.
求證: tanα=k·tanβ.
(3) 設(shè)線段AG與對角線 BD 交于點 H, △AHD 和四邊形CDHG的面積分別為S 和S , 求 的最大值.
9. (1) 證明推斷: 如圖1, 在正方形ABCD中, 點E、Q分別在邊BC、AB上, DQ⊥AE于點O, 點 G、F分別在邊 CD、AB上, GF⊥AE.
①求證: DQ=AE;
②推斷： 的值為 ；
(2)類比探究: 如圖(2),在矩形ABCD中, (k為常數(shù)). 將矩形ABCD 沿GF折疊, 使點A 落在 BC邊上的點E處, 得到四邊形FEPG, EP交CD于點 H,連接AE 交 GF于點 O. 試探究 GF與AE 之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
(3) 拓展應(yīng)用: 在(2) 的條件下, 連接 CP, 當(dāng) 時，若 求CP 的長.
10. 如圖, 邊長為1的正方形ABCD中,點K在AD上, 連接BK,過點A, C作BK的垂線, 垂足分別為M, N, 點O是正方形ABCD的中心, 連接OM, ON.
(1)求證: AM=BN.
(2) 請判定△OMN的形狀，并說明理由.
(3) 若點 K 在線段 AD 上運動(不包括端點), 設(shè) AK=x,△OMN的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(寫出x的范圍); 若點 K 在射線 AD 上運動, 且△OMN 的面積為 ，請直接寫出AK長.
1.
解析: 易證△ADE≌△BAF, ∴AF=DE=5, BF=13,
記AE 與 BF交點為 H, 又 故 GE的長為
2.解析: ∵∠CDE+∠ADF=90°, ∠DAF+∠ADF=90°,∴∠CDE=∠DAF,又∠C=∠AFD=90°,∴△AFD∽△DCE,∴∠DCE=∠DDE, ∵DC=3, CE=1, ∴DE= +3 = 代入得：
3.解析: (1) 易證: △ABE≌△BCF, ∴AE=BF.
(2) CF=BE=2, DF=3, ∴AF= +3 =
4.解析:(1) 證明略;
(2) 設(shè)AE=x, 則DF=x,
解得： (舍),
∴AE=3, 又AF=1, ∴EF=2.
5. 解析: (1) 易證△DFA≌△AEB, ∴AF=BE,
∵EF=AE-AF, ∴EF=AE-BE.
(2) ∵△DFA≌△AEB, ∴AF=BE, ∴BF=AFF=DFAD,
∴△BEF∽△DFA,易證△BEP∽△DFA,∴△BEF∽△BEP,又BE是公共邊, ∴△BEF≌△BEP, ∴EF=EP.
6解析: (1) 易證△DEA≌△AFB, ∴AE=BF.
即tanα=k·tanβ.
(3) 由題意可得E 點軌跡是以AD中點為圓心、AD為直徑的圓弧，F(xiàn)點軌跡是以 AB 中點為圓心、AB 為直徑的圓弧，如圖所示，與AB 邊圍成的圖形面積等于△AOB 的面積(點O為對角線交點)， 即點E、F所經(jīng)過的路徑與邊AB圍成的圖形的面積為4.
7解析: (1) ∵∠ABF+∠CBG=90°, ∠BCE+∠CBG=90°,∴∠ABF=∠BCE,
在△ABF和△BCE中,
∴△ABF≌△BCE(ASA).
(2) ∵∠CDF=∠CGF=90°, 故 C、D、F、G四點共圓,連接CF，取中點O，點O即為圓半徑.
∴∠DGF=∠DCF,∵點F是AD邊中點,∴∠FCD=∠FBA=∠BCE,∴∠DGF=∠BCE,
∴∠DGC=∠DCG,∴DG=DC.
(3) tan∠DGC=tan∠DCG=2, ∴tan∠GCN= 不妨設(shè) 則.BG=a,CG=2a,∴NG=a, CN= a,又 易證
8解析: (1) 易證△AED≌△BFA, ∴AE=BF.
AE=BF=a·tan∠BAG= ak, ∴EF=a-ak=(1-k)a. ∴tanα=k·tanβ.
(3) 設(shè)正方形邊長為單位1, 則BG=k, CG=1-k,易證△BHG∽△DHA, ∴MH=BGAD=k,
連接DG, 則 又 即 又
當(dāng) 時，取到最大值
∴當(dāng) 時， ,的最大值為
9.(1) ①易證△DAQ≌△ABE, ∴DQ=AE.
②易證四邊形DGFQ是平行四邊形，
∴FG=DQ, ∴FG=AE, ∴GFEE=1.
(2) 如圖, 過點F作FM⊥CD交CD邊于 M點,
易證
∵PG∥EF,CG∥BF,易證∠CFP=∠BFE,∴tan∠BFE=
∴BF=4, AF=EF=5, BE=3,過點 P 作 PQ⊥BC 交 BC 延長線于點 Q, 易證△FBE∽△EQP,
代入得： 解得：
10. 解析: (1) 易證△BMA≌△CNB, ∴AM=BN;(2) 等腰直角三角形.
連接OB, 易證△OAM≌△OBN, ∴OM=ON,∠MON=∠AOB=90°, ∴△OMN是等腰直角三角形.
C
(3) 若AK=x, 則
即
若點 K 在線段 AD 上, 令 解得： (舍); 若點 K 在線段 AD 延長線上, 則 令 解得： (舍).
綜上，AK的值為3或

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