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第4章 圓
第1節(jié) 切線的判定
前言：“切線的判定”是圓綜合題常見問題之一，從性質(zhì)出發(fā)，探討出判定的方法，對(duì)大量中考題解法的提煉總結(jié)，可發(fā)現(xiàn)常見的證明切線的構(gòu)圖及方法.
知 識(shí) 導(dǎo) 航
1 性質(zhì)與判定
(1)性質(zhì)：切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.(連半徑，得垂直)
引例1:如圖, 在△ABC中, ∠C=90°,AC=3, BC=4, 則△ABC的內(nèi)切圓半徑r= .
解析： ∴內(nèi)切圓半徑r=1.
(2) 切線的判定：
判定1(定義法)：和圓只有一個(gè)交點(diǎn)的直線是圓的切線；判定 2 (距離法)：到圓心距離等于半徑的直線是圓的切線；(常用于已知數(shù)據(jù)的計(jì)算，比如動(dòng)圓相切問題.)
判定3(判定定理)：經(jīng)過半徑外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
有交點(diǎn)：連半徑，證垂直
即.無交點(diǎn)：作垂直，證半徑 多用于幾何證明.
多數(shù)情況為有交點(diǎn)，重點(diǎn)考慮如何證垂直：
① 證明和已知垂線平行； ②證明夾角為直角.
引例2:如圖,在△ABC中,O為AC上一點(diǎn),以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑作圓，與BC相切于點(diǎn) C，過點(diǎn)A作AD⊥BO交BO的延長線于點(diǎn) D, 且∠AOD=∠BAD.
(1) 求證: AB為⊙O的切線;
(2) 若BC=6, tan∠ABC= 求AD的長.
解析: (1) ∵∠AOD+∠DAO=90°, ∠ABD+∠BAD=90°,且∠AOD=∠BAD,
∴∠DAO=∠ABD, 又∠DAO=∠OBC,
∴∠ABD=∠OBC,
過點(diǎn)O作OH⊥AB交AB于H點(diǎn), 則OH=OC,
∴△BOH≌△BOC,
∴OH=OC,
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∴AB 是⊙O的切線.
BH=BC=6, AH=4, OH=3, OA=5,
∴AD的長為2
常見相切圖
(1) 角分+等腰得平行：
點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上, AH⊥CH, 且AC平分∠HAB.
連接OC, 則OC=OA, ∴∠OCA=∠OAC,又∠OAC=∠HAC, ∴∠OCA=∠HAC,∴OC∥AH, ∴OC⊥CH, ∴CH是⊙O的切線.
(2) 證明和已知直角相等.
證明△PCO≌△PAO, 可得∠PCO=∠PAO=90°.
(3) 證明夾角為直角.(弦切角定理)
如圖, 若∠BAC=∠D, 則AB是⊙O切線.
如圖,連接AO并延長交⊙O于點(diǎn) P,則∠P=∠D=∠BAC,∵∠P+∠PAC=90°, ∴∠BAC+∠PAC=90°, 即AB⊥AP,∴AB 是⊙O的切線.
真題演練
1. 如圖, AB為⊙O的直徑, C為⊙O上一點(diǎn), ∠ABC的平分線交⊙O于點(diǎn)D, DE⊥BC于點(diǎn)E.
(1) 試判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
(2)過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F, 若BE=3 , DF=3,求圖中陰影部分的面積.
2. 如圖,AB為⊙O的直徑,點(diǎn)C在⊙O上,AD⊥CD于點(diǎn)D, 且AC平分∠DAB,
求證:(1) 直線DC是⊙O的切線;
3. 如圖, 在△ABC中, ∠C=90°, AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E, O是AB上一點(diǎn), 經(jīng)過A、E兩點(diǎn)的⊙O交AB于點(diǎn)D, 連接DE, 作∠DEA的平分線EF交⊙O于點(diǎn)F, 連接AF.
(1) 求證: BC是⊙O的切線.
(2)若 求線段AC的長.
4. 如圖, 在△ABC中, 以BC為直徑的圓C交 AC于點(diǎn) E, 過點(diǎn) E作AB 的垂線交 AB 于點(diǎn) F, 交CB 的延長線于點(diǎn) G, 且∠ABG=2∠C.
(1) 求證: EG是⊙O的切線;
(2) 若 求⊙O的半徑 .
5.如圖, AB、AC 分別是⊙O 的直徑和弦,OD⊥AC于點(diǎn)D. 過點(diǎn)A作⊙O的切線與OD的延長線交于點(diǎn)P, PC、AB的延長線交于點(diǎn) F.
(1) 求證: PC是⊙O的切線;
(2) 若∠ABC=60°, AB=10, 求線段CF的長.
6. 如圖, OA、OD是⊙O半徑, 過A作⊙O的切線, 交∠AOD 的平分線于點(diǎn) C, 連接 CD, 延長AO交⊙O于點(diǎn)E, 交 CD 的延長線于點(diǎn)B.
(1) 求證: 直線CD是⊙O的切線;
(2)如果D點(diǎn)是BC的中點(diǎn), ⊙O的半徑為3cm, 求弧DE的長度.(結(jié)果保留π)
7. 如圖,直線AD經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)A,△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形, 并且∠CAD=∠B.
(1) 判斷直線AD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
(2) 若∠CAD=30°, ⊙O 的半徑為1, 求圖中陰影部分的面積.(結(jié)果保留π)
8.如圖, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°,CD是斜邊B上的中線，以CD為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn) M、N, 過點(diǎn)N作 NE⊥AB, 垂足為E.
(1) 若⊙O的半徑為 , AC=6, 求BN的長;
(2) 求證: NE與⊙O相切.
9. 如圖,在 Rt△ABC中, ∠C=90°, 點(diǎn)O、D分別為AB、BC的中點(diǎn)，連接OD，作⊙O與AC相切于點(diǎn)E, 在AC邊上取一點(diǎn)F, 使DF=DO, 連接DF.
(1) 判斷直線DF與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
(2)當(dāng). 時(shí)，求⊙O的半徑.
10. 如圖,⊙O是△ABC的外接圓,AC是直徑, 弦BD=BA, EB⊥DC, 交 DC的延長線于點(diǎn) E.
(1) 求證: BE是⊙O的切線;
(2)當(dāng) 時(shí), 求AD的長.
第1節(jié) 切線的判定
解析: (1) 相切.
連接OD, ∵BD平分∠ABE, ∴∠ABD=∠EBD,
∵OB=OD, ∴∠OBD=∠ODB,
∴∠EBD=∠ODB, ∴OD∥BE,
∵DE⊥BE, ∴OD⊥DE,
∴DE與圓O相切.
(2) 易證△BED≌△BFD, ∴BF=BE=3 , 又DF=3,∴∠ABD=30°, 連接 OD, 則∠AOD=60°, 易證(
故陰影部分面積為
2.解析: (1) 連接OC, ∵OA=OC, ∴∠OAC=∠OCA,又AC平分∠DAB, ∴∠DAC=∠OAC,
∴∠OCA=∠DAC, ∴AD∥OC,
∵AD⊥CD, ∴OC⊥CD,
∴DC是圓O的切線.
(2) 連接BC, 過點(diǎn) C作 CH⊥AN交AB于H點(diǎn),則AC =AH·AB, ∵AH=AD, AB=2AO,
3. 解析: (1) 連接EO, 則OA=OE, ∴∠OAE=∠OEA,又AE平分∠BAC, ∴∠OAE=∠CAE, ∴∠OEA=∠CAE,∴OE∥AC, ∵AC⊥BC, ∴OE⊥BC,
∴BC是圓O的切線.
(2) EF平分∠AED, 則點(diǎn)F是半圓AD中點(diǎn), 連接OF,則△AOF 是等腰直角三角形，. ∵AE平分∠BAC,∴cos∠CAE=cos∠EAD= 即 故AC的長為
解析: (1) 連接OE, 則OE=OC, ∴∠OEC=∠OCE,∴∠EOG=2∠C, 又∠ABG=2∠C, ∴∠EOG=∠ABG,∴OE∥AB, ∵EG⊥AB, ∴EG⊥OE,
∴EG是圓O的切線.
(2)連接BE,則BE⊥AC,∵OE∥AB, ∴△ABC是等腰三角形, ∴E是AC中點(diǎn), 故圓O的半徑為
解析:(1) 連接OC, ∵OP⊥AC, ∴OP平分AC,∴OP 是AC的垂直平分線, ∴PA=PC,
易證△POA≌△POC, ∴∠PCO=∠PAO=90°, ∴OC⊥PC,∴PC是圓O的切線.
(2)若∠ABC=60°則△OBC是等邊三角形,∴∠BOC=60°,OC=OB=5, 在Rt△OCF中, 故CF的長為5
6. 解析: (1) 由題意可證△COA≌△COD,∴∠ODC=∠OAC=90°, 即OD⊥CD,∴CD 是圓O的切線.
(2) 若點(diǎn)D是BC的中點(diǎn), 則△BOC是等腰三角形,∴∠OBC=∠OCB, 又∠OCB=∠OCA,
∴設(shè)∠OBC=∠OCB=∠OCA=α,
∴3α=90°, α=30°, ∴∠BOD=60°,
∴弧
故弧DE 的長度是πcm.
解析: (1) 相切.
連接AO并延長交圓O于點(diǎn) P, 連接CP, 則∠P=∠B,又∵∠B=∠CAD, ∴∠P=∠CAD,
∵∠P+∠PAC=90°, ∴∠CAD+∠PAC=90°,
∴PA⊥AD, ∴AD是圓O的切線.
(2) 連接OC, 則∠AOC=2∠APC=2∠CAD=60°, 故陰影部分的面積為
8. 解析:(1) ∵r= , ∴CD=5, ∴AB=10, ∴BC=8,連接DN, 則DN⊥BC, ∴DN∥AC, ∴點(diǎn)N是BC中點(diǎn),
故BN的長為4.
(2) 連接NO,
∵N、O分別是BC、CD中點(diǎn), ∴NO∥BD,
∵NE⊥BD, ∴NE⊥NO,
∴NE 與圓O相切.
解析: (1) 相切.
連接OE, 則OE⊥AC, ∴點(diǎn)E是AC邊中點(diǎn),連接OF, 過點(diǎn)O作OH⊥DF交DF于H點(diǎn),
∵DO∥AC, ∴∠DOF=∠OFA,
又DO=DF, ∴∠DOF=∠DFO, ∴∠OFA=∠OFD,易證△OFE≌△OFH, ∴OH=OE,
∴DF是圓O的切線.
(2) 設(shè)半徑為r, 則CD=r, DF=DO= r, ∴CF= r,又CF= , ∴r=1,
10. 解析:(1)連接BO并延長, 分別交AD、圓O于點(diǎn) H、Q, 易證△BDQ≌△BAQ, ∴DQ=AQ, 又AB=DB,
∴BQ是AD的垂直平分線, ∴BQ⊥AD,
∵AC是直徑, ∴∠ADC=90°, 又∠E=90°, ∴AD∥BE,
∴BQ⊥BE, ∴BE是圓O的切線.
(2) ∵∠BAC=∠CBE, ∴∠ACB=∠BCE,
故AD的長為

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