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第3節 當半角遇上三垂直
前言：在第2章中的半角模型和三垂直模型都有正方形的身影，把這兩個模型結合起來，問題將變得更有趣.
知 識 導 航
1 模型回顧
(1) 三垂直模型
(2) 半角模型
引例1:如圖,四邊形ACDF 是正方形,∠CEA和∠ABF都是直角且點 E、A、B三點共線, AB=4, 則陰影部分的面積是 .
解析: 由題意得△CEA≌△ABF, ∴CE=AB=4,
當半角遇上三垂直
引例2:如圖,在正方形ABCD中, E是邊AB上的一動點(不與點A、B重合)，連接DE，點A關于直線DE的對稱點為F，連接EF并延長交 BC于點G，連接DG，過點E作EH⊥DE交DG的延長線于點H, 連接BH.
(1) 求證: GF=GC;
(2) 用等式表示線段BH與AE的數量關系，并證明.
解析: (1) 連接DF, ∵△ADE和△DFE關于DE對稱,
∴△DAE≌△DFE, ∴DF=DA=DC,在 Rt△DFG和Rt△DCG中,
∴△DGF≌△DGC(HL).
∴GF=GC.
∵△DAE≌△DFE, ∴∠ADE=∠FDE,
∵△FDG≌△CDG, ∴∠FDG=∠CDG,
在△DAE和△EQH中,
∴△DAE≌△EQH(AAS),
∴AE=QH, DA=EQ,
又∵AB=DA=EQ, ∴AE=BQ,
∴BQ=HQ, ∴△BQH是等腰直角三角形,
模型總結
本題巧妙地將半角與三垂直結合在一張圖中，條件與結論的巧妙組合，還可以有更多變形.
在引例2的圖中，除了正方形條件外，其實還存在另外三個條件與結論：
(1)∠DEH=90°;(2)∠EDH=45°;(3)∠CBH=45°.
其中任意兩個組合均可得到第三個，引例2是由(1)、(2) 結合得到(3).
變式1: 由 (1)、(3) → (2)
如圖，在正方形ABCD中，E是AB邊上一點，過點E作EH⊥DE, 連接BH, ∠CBH=45°, 求證: ∠EDH=45°.
解析：可以采用構造三垂直思路，但是對于△DAE和△EQH，并沒有已知的相等線段，此路不通.
不同的條件下方法會不同，恰當地利用題目的已知條件，是解題的關鍵. 比如∠CBH=45°如何運用
證明: 在AD邊上取點F使得AF=AE, 連接EF,
∴∠DFE=135°=∠EBH,
由題意可得: ∠FDE=∠BEH, DF=EB,
∴△DFE≌△EBH, ∴DE=DH,
∴△DEH是等腰直角三角形, ∴∠DEH=45°.
變式2: 由(2)、(3)→ (1)
如圖，在正方形ABCD中，E是AB邊上一點，∠EDH=∠CBH=45°, 求證: DE⊥EH.
證明: ∵∠EDH=45°, ∠EBH=90°+45°=135°,∴∠EDH+∠EBH=180°, ∴B、E、D、H四點共圓,連接BD, ∴∠DEH=∠DBH=90°,∴DE⊥EH.
引例3:如圖, 在正方形ABCD中, E是DC邊上一點,(與D、C不重合), 連接AE, 將△ADE沿AE所在的直線折疊得到△AFE, 延長EF交BC于 G, 連接AG,作 GH⊥AG, 與AE的延長線交于點 H, 連接CH. 顯然 AE是∠DAF的平分線, EA是∠DEF的平分線. 仔細觀察, 請逐一找出圖中其他的角平分線(僅限于小于 180°的角平分線)，并說明理由.
解析: (1) AG平分∠BAF;
(2) AG平分∠BGF;
(3) GH平分∠EGM;
(4) CH平分∠DCM.
以下證明：
(1) 由題意得: △AFG≌△ABG, ∴AG平分∠BAF;
(2) 同理, AG平分∠BGF;
(3)過點H作HN⊥BM,易證:△ABG≌△GNH,∴HN=BG,GN=AB, ∴BG=CN, ∴CN=HN, ∴△CNH是等腰直角三角形, ∴∠HCN=45°, ∴CH平分∠DCN;
(4) ∵∠AGH=90°, AG平分∠BGE,∴可證GH平分∠EGM.
真 題 演 練
1. 如圖,在矩形ABCD中, AD=4, 點E在邊 AD 上, 連接 CE, 以CE為邊向右上方作正方形 CEFG,作FH⊥AD, 垂足為H, 連接AF.
(1) 求證: FH=ED;
(2) 當AE為何值時, △AEF的面積最大
2. 如圖, 線段AB=8, 射線 BG⊥AB, P為射線BG上一點，以AP為邊作正方形APCD，且點C、D與點B在AP兩側,在線段DP上取一點E,使∠EAP=∠BAP,直線CE與線段AB相交于點F (點F與點A、B不重合).
(1) 求證: △AEP≌△CEP;
(2) 判斷CF與AB 的位置關系，并說明理由；
(3) 求△AEF的周長.
3. 如圖,在正方形ABCD中, 點E是AB邊上一點, 以DE為邊作正方形 DEFG, DF與BC交于點 M,延長EM交GF于點H, EF與CB交于點N, 連接CG.
(1) 求證: CD⊥CG;
(2) 若 求 的值；
(3) 已知正方形 ABCD 的邊長為1, 點 E 在運動過程中,EM的長能否為 請說明理由.
4. 如圖, 已知邊長為10 的正方形ABCD,E是BC邊上一動點(與B、C不重合), 連結AE, G是BC延長線上的點，過點 E作AE的垂線交. 的角平分線于點F, 若
(1)求證:
(2)若 求 的面積；
(3) 請直接寫出EC為何值時， 的面積最大.
5. 如圖, 正方形ABCD的邊長為4, 點E在邊AB上, BE=1, ∠DAM=45°, 點F在射線AM上,且 過點 F 作 AD 的平行線交 BA 的延長線于點 H，CF與AD 相交于點 G, 連接EC、EG、EF. 下列結論:
①△ECF的面積為
②△AEG的周長為8;
其中正確的是( )
A. ①②③ B. ①③
C. ①② D. ②③
6. 如圖, 正方形ABCD的邊長為a, 點E在邊 AB 上運動(不與點A、B 重合), ∠DAM=45°, 點F在射線AM 上, 且 CF與AD 相交于點 G, 連接EC、EF、EG, 則下列結論:
①∠ECF=45°;
②△AEG的周長為
④△EAF的面積的最大值
其中正確的結論是 .(填寫所有正確結論的序號)
第3節 當半角遇上三垂直
1. 解析: (1) 易證△EHF≌△CDE, ∴FH=ED.
(2) 設AE=x, 則DE=4-x, FH=DE=4-x,
當x=2時, S. AEF 取到最大值2,故當AE=2時, △AEF的面積最大.
2. 解析: (1) 在△AEP和△CEP中,
∴△APE≌△CEP (SAS).
(2) ∵△PAE≌△PCE, ∴∠PAE=∠PCE,又∠EAP=∠BAP, ∴∠PCE=∠BAP,
∵∠PCE+∠CPA=∠BAP+∠AFC, ∴∠AFC=∠CPA=90°,
∴CH⊥AB.
(3) CAAEF=AE+AF+EF=CE+EF+AF=CF+AF,過點C作CH⊥BG交BG于點H, 過點P作 PN⊥CF交CF.于點 N,
易證△ABP≌△PHC, ∴PH=AB=8, ∴CN=PH=8,又NF=PB=CH=BF, ∴AF+FN=AF+FB=AB=8,∴C△AEP=CF+AF=CN+NF=PH+AB=16,∴△AEF的周長為16.
3. 解析:(1)易證△DAE≌△DCG,∴∠DCG=∠DAE=90°,∴CD⊥CG.
(2) 易證∠MEN=∠MGF=∠CDG=∠ADE,易證△FME≌△FMG, ∴ME=MG, ∠FEM=∠FGM,
∴△EMN≌△GMH, ∴MN=MH.
的值為
(3)不可能.
∵∠EDF=45°, 易證EM=AE+CN, 若 則
又在△BEM中, 又EM>BE+BM , ∴不可能.
4. 解析: (1) ∵∠B=90°, ∴∠BAE+∠AEB=90°,∵∠AEF=90°, ∴∠AEB+∠FEG=90°, ∴∠BAEE=∠FEG,又∠B=90°=∠EGF, ∴△ABE∽△EGF.
(2) 設CG=x, 則FG=x, 設BE=y, 則CE=10-y,∵△ABE∽△EGF, ∴FGBE=EGA,代入得： 整理的：(x-y)(y+10)=0,解得:x=y,即△ABE≌△EGF,若EC=2, 則B 即△CEF的面積為8.
(3) 設EC=m, 則BE=10-m, FG=10-m,
∴當EC=5時, △CEF的面積最大.
5.C.
解析: 易證△CBE≌△EHF, ∴△CEF是等腰直角三角
形， 故結論①正確；
∵∠ECG=45°, 由半角模型可得EG=BE+DG, ∴△AEG的周長為2AD=8, 故結論②正確;
由半角模型可得EG=DG+BE, 但. 故結論③錯誤.
綜上, 選C.
①④
6.解析: 過點 F作FH⊥BA交BA延長線于點 H,
∵∠HAF=45°且∠H=90°,
∴△AHF 是等腰直角三角形， 又AF= BE, ∴HF=BE, EH=EA+AH=EA+BE=AB=CB,
∴△EHF≌△CBE, ∴EC=EF, 且易證∠CEF=90°,
∴△CEF 是等腰直角三角形, ∴∠ECF=45°,故結論①正確；
由半角模型可得, 當∠ECG=45°時, EG=BE+DG,∴C△AEG=AE+AG+EG=AE+AG+BE+DG=2a,故結論②錯誤；由半角模型得： 故結論③錯誤；
設BE= ma, 則AH=FH= ma,
當 時，可得△AEF面積的最大值為 故結論④正確.
綜上，正確的結論有①④.

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