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第4節 正方形綜合
前言：正方形綜合題是幾何壓軸題的一種常見題型，在于正方形本身可以跟全等、相似、對稱、旋轉、勾股等等知識相結合，考點廣、綜合性強，需要扎實的知識基礎以及恰當的方法選擇.
真題演練
1. 如圖, 點 P是正方形ABCD 的對角線BD延長線上的一點, 連接 PA, 過點 P作 PE⊥PA 交 BC的延長線于點E，過點E作EF⊥BP于點F，則下列結論中：
①PA=PE;
正確的是 .(填寫所有正確結論的序號)
2. 如圖, 在正方形ABCD中, 點E是邊BC的中點, 連接AE、DE, 分別交BD、AC于點P、Q, 過點P作PF⊥AE交 CB 的延長線于F, 下列結論:
①∠AED+∠EAC+∠EDB=90°;
②AP=FP;
③
④若四邊形OPEQ的面積為4，則該正方形ABCD的面積為36;
⑤CE·EF=EQ·DE.
其中正確的結論有( )
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A. 5個 B. 4個 C. 3個 D. 2個
3. 如圖, 正方形ABCD的邊長為2, 點E是BC的中點, AE與BD交于點 P, F是CD上一點, 連接AF分別交 BD, DE于點 M, N, 且AF⊥DE, 連接PN, 則以下結論中：
①
②
④△PMN∽△DPE.
正確的是( )
A. ①②③ B. ①②④
C. ①③④ D. ②③④
4. 如圖, 正方形 ABCD, 點 F在邊AB上,且AF:FB=1:2,CE⊥DF,垂足為M, 且交AD于點E,AC與DF交于點N,延長CB至 G,使 連接GM.有如下結論：
①DE=AF ;
②
③∠ADF=∠GMF;
上述結論中，所有正確結論的序號是( )
A. ①② B. ①③
C. ①②③ D. ②③④
5. 如圖, 已知正方形ABCD, 點M是邊BA延長線上的動點(不與點A 重合),且AM①點 M位置變化, 使得∠DHC=60°時, 2BE=DM;
②無論點 M運動到何處，都有
③無論點 M運動到何處, ∠CHM一定大于 135°.
其中正確結論的序號為 .
6. 如圖,正方形ABCD的邊長為6,M為AB的中點， 為等邊三角形，過點 E作ME 的垂線分別與邊AD、BC相交于點F、G, 點 P、Q分別在線段EF、BC上運動，且滿足 連接PQ.
(1) 求證:
(2) 當點 Q 在線段 GC 上時, 試判斷 PF+GQ 的值是否變化 如果不變，求出這個值，如果變化，請說明理由.
(3)設 , 點 B關于 QM的對稱點為 B', 若點 B'落在 的內部，試寫出α的范圍，并說明理由.
第4節 正方形綜合
1.①②③.
解析: (1)過點P分別作 PM⊥BA、PN⊥BE, 交BA延長線于點 M, 交BE邊于點N, 易證△PMA≌△PNE,∴PA=PE. 故結論①正確.
(2) 過點 P作 PG⊥BP交AD 延長線于點 G, 易證△PDG是等腰直角三角形,PD=PG,連接GE,易證△PDA≌△PGE,∴∠PGE=∠PDA=135°, ∴∠DGE=90°, ∴四邊形 CDGE是矩形， 故結論②正確.
(3) 考慮到BF與PD無法直接相減，可轉化線段.
故結論③正確.
(4) 易證△PDA≌△PGE, 顯然 故結論④錯誤.
綜上所述，正確的結論有①②③.
2. B.
解析: ∠AED+∠EAC+∠EDB=∠AOD=90°, ∴結論①正確；
連接PC, 則∠PCF=∠PAB=∠PFC, ∴PC=PF, 又PC=PA, ∴AP=FP, 故結論②正確;
設AO=m, 則 故結論③正確；
連接OE, 則 ∴正方形ABCD 面積為48, 故結論④錯誤;易證△EPF∽△ECD, 即
CE·EF=PE·ED, 又PE=QE,∴CE·EF=EQ·DE, 故結論⑤正確.
綜上, 選B.
A.
3.解析：易證 即 故結論①正確；
考慮到 可得： 故結論③正確；
過點P作PH⊥AF交AF于點H, 由△APD∽△EPB, 可得：
又
故結論②正確；
∵PN≠DN, ∴∠PDN=∠DPN, ∴△PMN與△DPE不相似，故結論④錯誤.
綜上, 選A.
4.C.
解析: 易證△CDE≌△DAF, ∴DE=AF, 故結論①正確;易證 結論②正確；
延長MF與CG延長線交于點Q，
則BQ=2AD, ∴CQ=3AD=3CB, 又
∴點G是CQ中點,
∴∠GCM=∠GMC, ∵∠ADF+∠GCM=90°,∠GMF+∠GMC=90°, ∴∠ADF=∠GMF, 故結論③正確;易證 則 故結論④錯誤.
綜上, 選C.
5.①②③.
解析: 過點D作DO⊥AC交AC于點O, 設OH=a,若∠DHC=60°,則.
∴2BE=DM, 故結論①正確;
∵AM=BE, ∴EM=BA=AD, 又HE=HA, ∠HEM=∠HAD,
∴△HEM≌△HAD, ∴HM=HD, ∠EHM=∠AHD,
∴∠DHM=∠DHA-∠AHM=∠EHM-∠AHM=∠EHA=90°,
∴△DHM是等腰直角三角形， 故結論②正確；
∵∠DMH=∠DAH, ∴D、H、A、M四點共圓,
∴∠AHM=∠ADM,
∵∠ADM=∠BCE<45°, ∴∠AHM<45°,
∴∠CHM>135°,
故結論③正確；
綜上，結論正確的有①②③.
6.解析: (1) ∵∠PMQ=∠BME=60°, ∴∠PME=∠BMQ,又∠MEP=90°=∠MBQ,ME=MB,∴△MEP≌△MBQ(ASA)
(2)設PE=m,則
(3)當點Q與點G重合時，點B 的對稱點B'正好落在PQ邊上, ∴α>30°,
當α>60°時，點B對稱點落在三角形外，綜上, 30°<α<60°時, 點B'落在△MPQ的內部.

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