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第2節 動圓相切(一)
前言：“動圓相切問題”是動點與圓的結合，按運動的分式可分別“圓心為動點”、“直徑為動線段”兩大類，從不同的運動方式考慮恰當的方法得到相切.
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知識導航
圓心為動點
切線判定：到圓心距離等于半徑的直線是圓的切線.
即計算圓心到直線的距離d，當滿足d=r時，即圓與直線相切.計算線段長度可考慮多用三角函數與相似三角形.
引例 1：如圖，直線 l 的解析式為 點 P 坐標為(-4,0),以點P為圓心, 1為半徑作圓, 當點 P 以每秒2個單位的速度向右移動時，時間t為何值時圓P 與直線l相切
解析: 過點 P作 PH⊥直線l, 垂足為H點, 當PH=r=1時,即可得圓P與直線l相切.
當點 P坐標為(-2, 0) 或(2, 0) 時, PH=1,
綜上所述，t的值為1或3.
引例2: 在矩形ABCD中, AB=6, BC=8,點 O 在對角線 AC 上, 圓 O 的半徑為2, 如果⊙O 與矩形ABCD 的各邊都沒有公共點，那么線段AO長的取值范圍是
解析：圓O的半徑為2，可得AO取值范圍是
直徑為動線段
切線判定定理：過半徑外端且垂直于該半徑的直線是圓的切線.
根據相切得到的垂直關系確定直徑或動點的位置，用三角函數表示線段長，由線段之間數量關系列方程得解.
引例3: 在矩形ABCD中, AB=4, BC=3, 連接BD, 點P 從D 點出發以每秒1個單位向點 C運動，點Q 從點 B 出發以每秒2個單位向點D 運動，當其中一個點到終點時另一點也停止運動. 以PQ 中點O為圓心，PQ 為直徑作圓，運動時間t為何值時，圓O與BD相切
解析: 當PQ⊥BD時, 圓O與BD相切,
由題意得: DP=t, DQ=5-2t, 若PA⊥BD, 即 代入得： 解得： 故當t的值為 時, 圓O與BD相切.
真 題 演 練
1. 如圖, 直線a⊥b, 垂足為H, 點P在直線b上, PH=4cm, O為直線b上一動點, 若以1cm為半徑的⊙O與直線a相切，則OP 的長為 .
2.以坐標原點O為圓心，作半徑為2的圓，若直線y=-x+b與⊙O相交, 則b的取值范圍是( )
3. 如圖, 直線l: 與坐標軸交于A、B兩點，點M(m，0)是x軸上一動點，以點M為圓心，2個單位長度為半徑作⊙M，當⊙M 與直線l相切時，則m的值為 .
4如圖, 直線 交x軸于點 A，交y軸于點B，點P是x軸上一動點，以點 P為圓心，以1個單位長度為半徑作⊙P，當⊙P 與直線AB相切時，點P的坐標是 .
5. 如圖, △AOB 中, ∠O=90°, AO=8cm,BO=6cm, 點 C從A 點出發, 在邊 AO 上以2cm/s的速度向O點運動，與此同時，點D從點B出發，在邊BO上以1.5cm/s的速度向O 點運動, 過 OC 的中點 E作 CD 的垂線 EF, 則當點C運動了 s時，以C點為圓心，1.5cm為半徑的圓與直線EF相切.
6. 如圖, Rt△ABC 中, ∠C=90°, AC=12,點 D 在邊 BC上, CD=5, BD=13. 點 P 是線段 AD 上一動點, 當半徑為 6 的⊙P 與△ABC 的一邊相切時, AP 的長為
7. 如圖, 點A 的坐標是(a,0)(a<0), 點C是以OA為直徑的⊙B上一動點，點A 關于點C的對稱點為 P. 當點C在⊙B 上運動時，所有這樣的點 P 組成的圖形與直線 有且只有一個公共點，則a 的值等于 .
8. 如圖,正方形ABCD的邊長為8,M是AB的中點, P是 BC 邊上的動點, 連結 PM, 以點 P 為圓心,PM長為半徑作⊙P.當⊙P與正方形ABCD的邊相切時，BP的長為 .
9. 已知如圖：在平面直角坐標系xOy中，直線 與x軸、y軸分別交于A、B 兩點, P 是直線AB上一動點，⊙P的半徑為1.
(1) 判斷原點O與⊙P的位置關系，并說明理由；
(2)當⊙P過點B時，求⊙P被y軸所截得的劣弧的長；
(3) 當⊙P與x軸相切時，求出切點的坐標.
10.如圖,在矩形ABCD中,AB=6cm,AD=8cm,點 P 從點 B 出發，沿對角線 BD 向點 D 勻速運動，速度為4cm/s, 過點 P作PQ⊥BD交BC于點Q, 以PQ為一邊作正方形PQMN，使得點N落在射線PD上，點O從點D 出發，沿DC向點C勻速運動, 速度為3cm/s, 以O為圓心, 0.8cm為半徑作⊙O，點P 與點 O 同時出發， 設它們的運動時間為t(單位: s)
(1) 如圖1, 連接DQ平分∠BDC時, t的值為 ;
(2)如圖2,連接CM, 若△CMQ是以CQ為底的等腰三角形，求t的值；
(3) 請你繼續進行探究，并解答下列問題：
①證明：在運動過程中，點O 始終在 QM所在直線的左側；
②如圖3，在運動過程中，當QM與⊙O 相切時，求t的值；并判斷此時PM與⊙O是否也相切 說明理由 .
11. 如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2cm, AB=4cm, 動點P從點C出發, 在BC邊上以每秒 cm的速度向點B勻速運動，同時動點Q也從點 C出發，沿 C→A→B 以每秒 4cm的速度勻速運動，運動時間為 t秒 連接PQ, 以PQ為直徑作⊙O.
(1)當 時, 求△PCQ的面積;
(2) 設⊙O的面積為S，求S與t的函數關系式；
(3)當Q在AB上運動時, ⊙O與 Rt△ABC的一邊相切,求t的值.
第2節 動圓相切(一)
1.3cm或5cm.
2 D.
解析：確定兩個相切的時刻，當 時，直線與圓相切，故若直線與圓相交，則b的取值范圍是 故選 D.
3. 或
解析：點M 到直線l的距離為2，即可得圓 M 與直線l相切. 過點M作MH⊥AB交AB于H點, 當圓M與直線l相切時，MH=r=2, tan∠ABO= , ∴BH=4, BM=2
M點在B點左側時，點M坐標為(2-2 ,0),
M點在B點右側時，點M坐標為(2+2 ,0),
綜上，m的值為 或
4.或(- ,0)
解析: 若圓 P與AB 相切, 則點 P 到直線AB 的距離為1,
可得 又點A坐標為(-4, 0),
故點 P坐標為 或(- ,0).
5解析: 易證CD∥AB, 當圓C與直線EF相切時,
6.
解析: 當圓 P與BC邊相切時, 過點 P作PH⊥BC交BC,則 PH=6, 易證△DHP∽△DCA, DPDA=PH=C= 解得：
當圓P與AB邊相切時, 過點 P作PM⊥AB 交AB于 M點,則PM=6, 過點D作DN⊥AB交AB于點N, 易證△BND∽△BCA, 可得: 解得： 易證△AMP∽△AND, 解得： 綜上，AP 的長為 或：
解析：確定點 P軌跡，考慮AP=2AC始終成立，可得點 P軌跡是以點O為圓心，OA為半徑的圓，若圓與直線 相切，則半徑等于點 O 到直線 的距離，用面積法可求 故 則
解析：圓不可能與AB、BC邊相切.
當圓P與CD相切時, 即 PM=PC
如圖所示, 設BP=x, 則. 則 解得: x=3.
當圓P與AD相切時, 即PM=r=8, 解得. 綜上，BP的長為3或4
解析: (1) 過點 O 作 OH⊥AB 于點 H, 可得( ∴OH>r, 故點O在圓外.
(2)記圓P與y軸另外一交點為C,連接PC,則∠BPC=120°,則弧 故圓 P 被y軸截得的弧長為
(3)圓P與x軸相切，即點P到x軸距離為1即可，
當 時， 解得：
當 =1時, 解得：
故切點的坐標為 或
10. 解析:(1)由題意得: PB=4t, PQ=3t, BQ=5t, CQ=8-5t,.若DQ平分∠BDC, 則CQ=PQ, 即8-5t=3t, 解得: t=1,故t的值為1；
(2) 過點 M作MH⊥BC交BC邊于點 H,
若△CMQ是以 CQ 為底的等腰三角形，則H為CQ 中點，則
易證 代入得： 解得： 故t的值為
(3)①由于點 O 與直線 MQ 均為運動的，可取對角線 BD為參照物. 過點 O 作 OE⊥BD 交 BD 于點 E, 則 OD=3t, 又 ∴OE②過點O作FG⊥BD交BD于點 F,則FG⊥MQ, 垂足記為G,
若圓O與四邊形相切，
則 解得：
即當 時，圓與QM相切，
此時若圓O與MP 也相切, 則 MO平分∠PMQ,即tan∠OMG=tan22.5°,
又
又OG=r=0.8cm,
∴此時PM與圓O不相切.
11. 解析: (1)當 時，
(2)當 時，
當 時，
(3) 當點Q在AB上時, 當圓O與BC邊相切時, 即PQ⊥BC,
代入得： 解得: t=1;當圓O與AB 相切時, 即PQ⊥AB,
代入得： 解得：
當圓O與AC邊相切時, 過點O作 ON⊥AC交AC于點N,則
由 得：
解得： (舍).
故綜上所述，t的值為1或 或.

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