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第4節(jié) 相似三角形存在性問題 (一)
前言：相似三角形問題是近來二次函數(shù)綜合題中出現(xiàn)最多的問題之一，題型變化多樣，方法多樣，使其難度又增加了幾分，本專題分三節(jié)內(nèi)容，注意介紹關(guān)于相似三角形存在性問題在中考中的考點(diǎn)及解法分析.
知 識(shí) 導(dǎo) 航
問題與方法
(1) 從相似的判定說起
常用的相似三角形判定方法有：
判定1：三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形是相似三角形；
判定 2：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形是相似三角形；
判定3：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的三角形是相似三角形.
在解決問題時(shí)，判定 2、3應(yīng)用更多，且這兩個(gè)判定均有相等角條件，所以可考慮從角著手.
思路概括
關(guān)鍵：先確定一組相等角.
然后再找：
思路1：兩相等角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例；
思路2：還存在另一組角相等.
事實(shí)上，在坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)的情況下，線段長(zhǎng)度比角的大小更容易表示，因此選擇方法可優(yōu)先考慮思路1.
(2) 題型分析
通常相似的兩三角形有一個(gè)是已知的，而另一三角形中有1或2個(gè)動(dòng)點(diǎn). 即可分為“單動(dòng)點(diǎn)”類、“雙動(dòng)點(diǎn)”兩類問題.
本講討論關(guān)于“單動(dòng)點(diǎn)類問題”.
引例1： 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x-1與拋物線 交于A、B兩點(diǎn)，其中A(m, 0)、B(4, n), 該拋物線與y軸交于點(diǎn) C, 與x軸交于另一點(diǎn)D.
(1) 求m、n的值及該拋物線的解析式；
(2) 如圖2, 連接BD、CD, 在線段 CD上是否存在點(diǎn) Q,使得以A、D、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)； 若不存在，請(qǐng)說明理由.
解析: (1) m=1, n=3, 拋物線解析式為
(2) 思路：平行得相等角，構(gòu)造兩邊成比例
由題意得D(5, 0),
∴直線CD解析式為: y=x-5,
∴CD∥AB, ∴∠CDA=∠BAD,
①當(dāng)△ADQ∽△BAD時(shí),
代入解得：
得點(diǎn)Q坐標(biāo)為
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②當(dāng)△ADQ∽△DAB時(shí)
代入解得：
得點(diǎn)Q坐標(biāo)為(2,-3).
綜上，Q點(diǎn)坐標(biāo)為 或(2,-3).
引例 2： 如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線 與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、點(diǎn) C，對(duì)稱軸為x=1的拋物線過B、C兩點(diǎn)，且交x軸于另一點(diǎn)A，連接AC.
(1) 直接寫出點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)和拋物線的解析式；
(2)拋物線上是否存在一點(diǎn)Q(點(diǎn)C除外)，使以點(diǎn) Q、A、B 為頂點(diǎn)的三角形與△ABC 相似 若存在，求出點(diǎn) Q的坐標(biāo)； 若不存在，請(qǐng)說明理由.
解析: (1) A(-4, 0)、B (6, 0)、C(0, 3),
拋物線：
(2) 當(dāng)點(diǎn)Q在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則對(duì)于△ABQ而言，無一定角，這是本題最大的難點(diǎn).
①當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性易得：
當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn) C關(guān)于對(duì)稱軸x=1對(duì)稱時(shí)，
△ABQ與△ABC相似,
此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(2, 3);
②當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方時(shí)，
不妨先考慮∠ABQ，
情況1: 若∠ABQ=∠ABC, 則
直線BQ解析式：
聯(lián)立方程：
解得： (舍),
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為(-8, - 7),
此時(shí).BC=3 , BA=10, BQ=7
根據(jù)線段長(zhǎng)度可知∠ABQ 與∠ABC 的兩邊并不成比例，故(-8, - 7) 舍掉.
情況2: 若∠ABQ=∠BAC,
過點(diǎn)B作AC平行線，與拋物線交點(diǎn)即為Q點(diǎn).
可得直線BQ解析式：
聯(lián)立方程：
解得： (舍),
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為(-10, - 12),
此時(shí)AC=5, BA=10, BQ=20,
即有 ∴△CAB∽△ABQ.
情況3: 若∠BAQ=∠ABC,
根據(jù)對(duì)稱性結(jié)合情況1的答案，
可知此時(shí)Q 點(diǎn)坐標(biāo)為(10，-7)，且需舍掉；
情況4: 若∠BAQ=∠BAC,根據(jù)對(duì)稱性結(jié)合情況2的答案，可知此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(12, - 12),且此時(shí)△ABQ與△ABC相似.
綜上所述, Q點(diǎn)坐標(biāo)為(2, 3) 或(-10, - 12) 或(12, - 12).
真 題 演 練
1. 如圖, 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y= kx+3分別交 x軸、y軸于 A、B 兩點(diǎn), 經(jīng)過 A、B兩點(diǎn)的拋物線 與x軸的正半軸相交于點(diǎn)C(1, 0).
(1) 求拋物線的解析式；
(2)若P為線段AB上一點(diǎn), ∠APO=∠ACB, 求AP的長(zhǎng).
2.如圖, 拋物線 與x軸交于點(diǎn)A(-1, 0), 點(diǎn)B (3, 0), 與y軸交于點(diǎn) C, 且過點(diǎn)D (2, - 3). 點(diǎn)Q是拋物線 上的動(dòng)點(diǎn).
(1) 求拋物線的解析式；
(2)如圖2, 直線OQ與線段BC相交于點(diǎn) E, 當(dāng)△OBE與△ABC相似時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).
3. 如圖, 已知拋物線 經(jīng)過△ABC的三個(gè)頂點(diǎn), 其中點(diǎn) A (0, 1), 點(diǎn) B (9, 10), AC//x軸.
(1) 求這條拋物線的解析式；
(2) 求tan∠ABC的值;
(3) 若點(diǎn) D 為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)E 是直線AC上一點(diǎn)，當(dāng)△CDE與△ABC相似時(shí), 求點(diǎn) E的坐標(biāo).
4.如圖, 以 D 為頂點(diǎn)的拋物線 交x軸于 A、B 兩點(diǎn), 交y軸于點(diǎn) C, 直線BC的表達(dá)式為y=-x+3.
(1) 求拋物線的表達(dá)式；
(2) 在x軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與 相似 若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
5. 已知拋物線 與x軸分別交于A(-3, 0), B(1, 0)兩點(diǎn), 與y軸交于點(diǎn)C.
(1) 求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(2) 點(diǎn)F是線段AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
①如圖1, 設(shè) 當(dāng)k為何值時(shí)，
②如圖2, 以 A、F、O為頂點(diǎn)的三角形是否與△ABC相似 若相似，求出點(diǎn) F的坐標(biāo)； 若不相似，請(qǐng)說明理由.
第4節(jié) 相似三角形存在性問題(一)
1.解析：(1) 拋物線解析式為
(2)由題意得點(diǎn)A(-3,0)、B(0,3),∴AC=4, AB=3
若∠APO=∠ACB, 則
代入得： 解得：
∴AP的長(zhǎng)為2
2.解析: (1) 拋物線:
(2) 思路: 考慮到△ABC和△BOE有一組公共角, 公共角必是對(duì)應(yīng)角.
∠ABC 的兩邊 BA、BC 與∠OBE的兩邊 BO、BE 成比例即可，故可得： 或
解得： 或
故E點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-2)或
當(dāng)E點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-2)時(shí), 直線 OE 解析式為y=-2x,
聯(lián)立方程： 解得： 此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為 或
當(dāng)E點(diǎn)坐標(biāo)為 時(shí), 直線OE解析式為y=-3x,聯(lián)立方程： 解得： 此時(shí) Q 點(diǎn)坐標(biāo)為 或
綜上所述，Q點(diǎn)坐標(biāo)為 或 或
或
3.解析：
(3) 思路：平行得相等角，構(gòu)造兩邊成比例
若點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，則D 點(diǎn)坐標(biāo)為(3，-2)，
∴直線 CD 解析式為: y=x-5, 又直線AB解析式為: y=x+9,故CD∥AB, ∴∠BAC=∠ACD,
故點(diǎn)E在點(diǎn) C左側(cè)，
考慮∠BAC的兩邊AB、AC與CE、CD成比例:
或
解得: CE=9或2, 故E點(diǎn)坐標(biāo)為(-3, 1) 或(4, 1).
4.解析：(1) 拋物線解析式：
(2) 思路：計(jì)算三角函數(shù)值得相等角易求B (3, 0)、C(0, 3)、D (1, 4),故tan∠BDC=3, 又A點(diǎn)坐標(biāo)為(-1, 0),可得tan∠OAC=3, 故∠BDC=∠OAC.
由題意得： 若△ACQ與△BDC相似, 則必有點(diǎn)Q在A 點(diǎn)右邊,且 或
(此處可轉(zhuǎn)化對(duì)應(yīng)邊成比例為同一三角形中角兩邊比例相同，即考慮到 可得 或
解得: AQ=10或AQ=1.
故Q點(diǎn)坐標(biāo)為(9, 0) 或(0, 0).
解析: (1) 拋物線: 點(diǎn)D坐標(biāo)為(-1, 4);
(2) ①考慮到△ACD 是直角三角形,
故當(dāng) F 點(diǎn)是AD中點(diǎn)時(shí)，有 此時(shí)k的值為
②思路：計(jì)算三角函數(shù)值得相等角
在△AFO中,∠OAF是定角,且∠OAF=∠OAC+∠CAD在△ABC中, ∠ACB=∠ACO+∠BCO,
又 ∴∠OAF=∠ACB.
(此處也可通過三角函數(shù)值的計(jì)算, tan∠OAF=2, tan∠ACB=2, ∴∠OAF=∠ACB)
繼續(xù)考慮兩邊對(duì)應(yīng)成比例：
∠OAF的兩邊AO、AF與∠ACB的兩邊CA、CB成比例, 或 解得： 或 故F點(diǎn)坐標(biāo)為(-2, 2)或

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