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第6節 相似三角形存在性問題 (三)
前言：前兩節已經詳細介紹了常見的相似三角形存在性問題，本節介紹一些另類的題型.
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真 題 演 練
1.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=(x-a)(x-3)(0(1) 求點A、B、D的坐標;
(2) 若△AOD與△BPC相似, 求a的值.
2.如圖,已知直線y=-2x+4分別交x軸、y 軸于點 A、B, 拋物線過 A、B 兩點, 點 P 是線段 AB上一動點，過點 P作PC⊥x軸于點C，交拋物線于點 D.當點 P 的橫坐標為1時，是否存在這樣的拋物線，使得以B、P、D為頂點的三角形與△AOB 相似 若存在，求出滿足條件的拋物線的解析式； 若不存在，請說明理由.
3.如圖,二次函數 圖像的頂點為D，對稱軸是直線l，一次函數 的圖像與x軸交于點A，且與直線DA關于l的對稱直線交于點B.
(1) 點D 的坐標是 ;
(2) 直線l與直線AB交于點 C, N是線段DC上一點 (不與點 D、C重合)，點N的縱坐標為n. 過點N作直線與線段DA、DB 分別交于點 P、Q, 使得△DPQ與△DAB相似.
①當 時, 求DP的長;
②若對于每一個確定的 n的值，有且只有一個△DPQ與△DAB 相似，請直接寫出n的取值范圍 .
4. 拋物線L: 經過點A(0, 1), 與它的對稱軸直線x=1交于點B.
(1) 直接寫出拋物線L的解析式；
(2)如圖，將拋物線L向上平移m(m>0)個單位長度得到拋物線L ，拋物線L 與y軸交于點 C，過點 C作y軸的垂線交拋物線L 于另一點 D. F為拋物線L 的對稱軸與x軸的交點，P為線段OC上一點.若△PCD與△POF相似，并且符合條件的點 P恰有2個，求m的值及相應點 P 的坐標.
相似三角形存在性問題(三)
解析: (1) A點坐標為(a,0), B點坐標為(3, 0), D點坐標為(0,3a).
(2) 由點坐標可知在△AOD中,
若△AOD與△BPC相似, 則 或
由A、B坐標可得：
①若 則
故C點坐標為 代入拋物線解析式，
得： 解得： (舍);
②若 則
故C點坐標為 代入解析式，得：
解得： (舍), (舍).
故綜上所述, 若△AOD 與△BPC相似, a的值為
2. 解析: 考慮到△BPD中∠BPD=∠AOB, 故只需兩邊對應成比例即可. 由題意得A (2, 0)、B (0, 4),設二次函數解析式為
將點 A (2, 0) 代入可得: 4a+2b+4=0, 即2a+b=-2,已知 P 點橫坐標為1，
故可得P 點坐標為(1, 2), D 點坐標為(1,a+b+4),
又2a+b=-2,故a+b=-2-a,
代入得D點坐標為(1,2-a),
∴PD=2-a-2=-a, PB=
①若△BPD∽△ABO, 即
代入得： 解得: a=-2,
此時b=2，拋物線解析式為
②若△BPD∽△OBA, 即
代入得： 解得：
此時b=3，拋物線解析式為
綜上，解析式為 或
3.解析: (1) D點坐標是(2, 9);
(2) ①由題意得 A 點坐標為 C 點坐標為(2.95),根據對稱性求得直線BD解析式為y=-2x+13，聯立方程： 解得: x=5,故B點坐標為((5, 3),. 當 時，N點坐標為
情況一: 若△DPQ∽△DAB,
過N點作AB平行線，與DA交點即為P點，
可得： 故
情況二: 若△DPQ∽△DBA,
將情況一中的DP、DQ作關于直線l的對稱即可，
可得： 故
綜上所述，DP的長為 或
②無論n為何值，過點N作AB平行線，總有一組相似：△DPQ∽△DAB,
若要求有且只有一個△DPQ與△DAB 相似，
則必不存在△DPQ∽△DBA, 即此時點 Q 不在線段 DB 上.
若△DPQ∽△DBA, 且Q點坐標為(5, 3) 時,
代入解得： 此時N點坐標為 故n的取值范圍是
4.解析: (1) 解析式:
(2) 題目要求恰好有2個P點，且是求m的值，所以一定是個特殊位置.考慮到∠DCP=∠FOP，故有兩種對應關系：
①若△DCP∽△FOP，無論m為何值，有且僅有一個這樣的
P點使得△DCP∽△FOP.
②若△DCP∽△POF,
不難求得∠DPF=90°,
作輔助圓：連接DF，以DF為直徑作圓，
當圓與線段OC相離時，P點個數為0；
當圓與線段OC相切時，P點個數為1；
當圓與線段OC相交時，P點個數為2.
∴圓與線段相切的時候，有且僅有一個P點，使得△DCP∽△POF.
由題意得: C(0, 1+m), 故D (2, 1+m),
又F(1, 0), 可得DF中點E點坐標為
由圓E與y軸相切, 得: EP=EF,
即解得：
(舍)，故m的值為
若△DCP∽△FQP, P 點坐標為
若△DCP∽△POF, P 點坐標為(0, ).
若圓 E與y軸相交，且其中一個交點與①中的點是同一點，則同樣滿足恰有2個P 點, 使得△PCD與△POF 相似, 即此P點既滿足△DCP∽△FOP, 也滿足△DCP∽△POF,△DCP與△POF均為等腰直角三角形.
OP=OF=1, PC=CD=2, 故m的值為2,
若△DCP∽△FOP, P 點坐標為 (0, 1),
若△DCP∽△POF, P點坐標為(0, 2).
綜上所述，m的值為 時，對應的 P 點坐標為 或(0, );
m的值為2時, 對應的P點坐標為(0, 1) 或(0, 2).

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