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第2節(jié) 直角三角形存在性問題
前言：直角三角形與等腰三角形均為特殊的三角形，根據(jù)其邊、角特殊性，亦可通過“幾何法”與“代數(shù)法”分析考慮，根據(jù)不同的條件恰當(dāng)選擇方法，更有利于計(jì)算.
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問題與方法
引例1：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A 坐標(biāo)為(1，1)，點(diǎn)B坐標(biāo)為(5, 3), 點(diǎn)C在x軸上, 若△ABC是直角三角形，求C點(diǎn)坐標(biāo).
(1) 作圖：兩線一圓
①若∠A為直角，過點(diǎn)A作AB的垂線，與x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn) C；
②若∠B為直角，過點(diǎn)B作AB的垂線，與x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)C；
③若∠C為直角，以AB為直徑作圓，與x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)C.(直徑所對(duì)的圓周角為直角)
(2) 計(jì)算
法1：幾何法 (構(gòu)造三垂直模型)
C 、C 算法相同, 以C 為例:
如圖，可構(gòu)造 由A、B坐標(biāo)可得AM=2, BM=4, NC =3,代入得： 坐標(biāo)為
C 、C 算法相同, 以C 為例:
如圖，可構(gòu)造 由A、B坐標(biāo)得AM=1, BN=3, 設(shè) 代入得： 即 ab=3, 又a+b=4,解得： ∴C 坐標(biāo)是(2, 0), C 坐標(biāo)是 (4, 0).
構(gòu)造三垂直步驟：
第一步：過直角頂點(diǎn)作一條水平或豎直的直線；
第二步：過另外兩端點(diǎn)向該直線作垂線，即可得三垂直相似.
法2：代數(shù)法 (表示線段構(gòu)勾股)
不妨來求下C ：
(1) 表示點(diǎn): 設(shè)C 坐標(biāo)為(m, 0), 又A (1, 1)、B(5, 3);
(2) 表示線段:
(3) 分類討論: 當(dāng)∠BAC 為直角時(shí),
(4) 代入得方程： 解得：
方法總結(jié)
幾何法：(1) “兩線一圓”作出點(diǎn)；
(2)構(gòu)造三垂直相似，利用對(duì)應(yīng)邊成比例求線段，必要時(shí)可設(shè)未知數(shù).
代數(shù)法: (1) 表示點(diǎn)A、B、C坐標(biāo);
(2) 表示線段AB、AC、BC;
(3) 分類討論(
(4) 代入列方程，求解.
2 等腰直角存在性
如果問題變?yōu)榈妊苯侨切未嬖谛裕瑒t同樣可采取幾何法，只不過三垂直得到的不是相似，而是全等.
引例1：通過對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決問題.
【模型呈現(xiàn)】
如圖, 在 Rt△ABC, ∠ACB=90°, 將斜邊AB繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AD, 過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E , 可以推理得到△ABC≌△DAE, 進(jìn)而得到AC=DE, BC=AE.
我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型成為“K型”.
推理過程如下：
△ABC≌△DAE(AAS)
AC=DE, BC=AE
【模型遷移】
二次函數(shù) 的圖像交x軸于點(diǎn) A (-1, 0), B(4, 0)兩點(diǎn), 交y軸于點(diǎn)C. 動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā), 以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB方向運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn) M作MN⊥x軸交直線BC于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)D，連接AC，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.
(1) 求二次函數(shù) 的表達(dá)式；
(2) 在直線 MN上存在一點(diǎn) P, 當(dāng)△PBC 是以∠BPC為直角的等腰直角三角形時(shí)，求此時(shí)點(diǎn) D 的坐標(biāo).
解析：
(2) 思路1：構(gòu)造三垂直全等
以BC為斜邊作等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)即為P 點(diǎn)，
再過點(diǎn) P作 PH⊥y軸交y軸于點(diǎn) H,
過點(diǎn)B作BQ⊥PH交 PH于點(diǎn)Q,
則△PHC≌△BQP.
設(shè)HP=a, PQ=b, 則BQ=a, CH=b,
由圖可知： 解得：
故D點(diǎn)坐標(biāo)為(1, 3).
同理可求另一D點(diǎn)坐標(biāo)為(3，2).
思路2：構(gòu)造直角頂點(diǎn)已知的三垂直.
如圖, 取 BC 中點(diǎn) M點(diǎn) (2, 1), 以BM為一直角邊作等腰直角三角形，則第三個(gè)頂點(diǎn)即為P點(diǎn).
根據(jù) B 點(diǎn)和 M 點(diǎn)坐標(biāo)，可得全等的兩三角形兩直角邊分別為1和2,
∴P 點(diǎn)坐標(biāo)為(1, - 1) 或(3, 3).
D點(diǎn)橫坐標(biāo)同P點(diǎn)，
∴可得D 點(diǎn)坐標(biāo)為(1, 3) 或(3, 2).
注意：在構(gòu)造三垂直時(shí)，使直角頂點(diǎn)是已知點(diǎn)，會(huì)使計(jì)算更簡(jiǎn)便.
真 題 演 練
1. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 與x軸交于A、B兩點(diǎn), 點(diǎn)B (3, 0), 經(jīng)過點(diǎn)A 的直線AC與拋物線的另一交點(diǎn)為c(4, ),與y軸交點(diǎn)為D，點(diǎn)P 是直線AC下方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、C重合).
(1) 求該拋物線的解析式.
(2) 點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△OPQ是以O(shè)P為直角邊的等腰直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).
2. 如圖, 拋物線 交x軸于點(diǎn)A(-3, 0) 和點(diǎn)B (1, 0), 交y軸于點(diǎn) C.
(1) 求這個(gè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式.
(2) 點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1，0)，點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ADCP 面積的最大值.
(3) 點(diǎn)M為拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)，問：在拋物線上是否存在點(diǎn) N, 使△MNO 為等腰直角三角形, 且∠MNO 為直角 若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn) N 的坐標(biāo)； 若不存在，請(qǐng)說明理由.
3. 如圖, 已知拋物線 的對(duì)稱軸為直線x=-1，且拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn), 其中A (1, 0)、C (0, 3).
(1) 若直線y= mx+n經(jīng)過B、C兩點(diǎn), 求直線 BC和拋物線的解析式；
(2) 在拋物線的對(duì)稱軸x=-1上找一點(diǎn) M，使點(diǎn) M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn) C的距離之和最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
(3) 設(shè)點(diǎn) P 為拋物線的對(duì)稱軸x=-1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使△BPC為直角三角形的點(diǎn) P坐標(biāo).
4. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 與x軸交于A (-1, 0), B (3, 0) 兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn) C，點(diǎn)D 是該拋物線的頂點(diǎn).
(1) 求拋物線的解析式和直線AC的解析式；
(2) 請(qǐng)?jiān)趛軸上找一點(diǎn) M，使△BDM的周長(zhǎng)最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
(3) 試探究：在拋物線上是否存在點(diǎn) P，使以點(diǎn) A、P、C為頂點(diǎn)，AC 為直角邊的三角形是直角三角形 若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn) P 的坐標(biāo)； 若不存在，請(qǐng)說明理由.
5. 如圖,拋物線 與x軸交于A(-3, 0)、B(1, 0) 兩點(diǎn), 與y軸交于點(diǎn)C,直線y=-x與該拋物線交于E、F兩點(diǎn).
(1) 求拋物線的解析式.
(2)P是直線EF下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作 PH⊥EF于點(diǎn)H，求PH的最大值.
(3) 以點(diǎn)C為圓心，1為半徑作圓，⊙C上是否存在點(diǎn) M，使得△BCM 是以 CM 為直角邊的直角三角形 若存在，直接寫出M點(diǎn)坐標(biāo)； 若不存在，說明理由.
第2節(jié) 直角三角形存在性問題
1.解析：
(2)①當(dāng)∠POQ為直角時(shí)，考慮Q點(diǎn)在對(duì)稱軸上，故過點(diǎn)Q向y軸作垂線，垂線段長(zhǎng)為1，可知過點(diǎn)P向x軸作垂線，長(zhǎng)度必為1，故P的縱坐標(biāo)為±1. 可求出 P 點(diǎn)坐標(biāo).
設(shè)P 點(diǎn)坐標(biāo)為 可得：
解得： (舍).
如下圖，對(duì)應(yīng)P點(diǎn)坐標(biāo)分別為 (1- ,-1)、(1+ ,1).
②當(dāng)∠OPQ 為直角時(shí), 如圖構(gòu)造△OMP≌△PNQ, 可得:PM=QN.
設(shè) P 點(diǎn)坐標(biāo)為
則
若 解得： (舍).
若 解得： (舍).
如下圖，對(duì)應(yīng)P點(diǎn)坐標(biāo)分別為
綜上，P點(diǎn)坐標(biāo)為(1+ ,--1)或 或((1+ ,1)
或
2.解析：
(2)連接AC, 將四邊形面積拆為△APC和△ADC面積, 考慮△ADC面積為定值，故只需△APC面積最大即可，最大值 為
(3) 過點(diǎn)N作NE⊥x軸交x軸于E點(diǎn),
如圖1，過點(diǎn)M向NE作垂線交 EN延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，
易證△OEN≌△NFM, 可得: NE=FM.
設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為
則
解得： (圖1), (圖4)
對(duì)應(yīng)N點(diǎn)坐標(biāo)分別為
解得： (圖2)、 (圖3)
對(duì)應(yīng)N點(diǎn)坐標(biāo)分別為
3.解析:(1)直線BC: y=x+3;拋物線:
(2) 將軍飲馬問題，考慮到M點(diǎn)在對(duì)稱軸上，且點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn) B, 故 MA+MC=MB+MC, ∴當(dāng) B、M、C三點(diǎn)共線時(shí)，M到A和C的距離之后最小，此時(shí) M點(diǎn)坐標(biāo)為(-1, 2);
(3) 兩圓一線作點(diǎn) P:
以P 為例, 構(gòu)造△PNB∽△BMC, 考慮到BM=MC=3,∴BN=PN=2, 故P 點(diǎn)坐標(biāo)為(-1, - 2).
易求P 坐標(biāo)為(-1, 4).
P 、P 求法類似, 下求P :
已知PN=1, PM=2, 設(shè)CN=a, BM=b,
由相似得： 即 ab=2, 由圖可知: b-a=3,
故可解： (舍)，對(duì)應(yīng)P 坐標(biāo)為
類似可求 P 坐標(biāo)為
綜上, P點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-2)或(-1, 4)或 或
4.解析：(1)拋物線： 直線AC: y=3x+3;
(2)作B點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)B'，連接B'D，與y軸交點(diǎn)即為M點(diǎn), 可得M點(diǎn)坐標(biāo)為(0, 3).
(3) 考慮到AC為直角邊，故分別過A、C作AC的垂線，與拋物線交點(diǎn)即為所求P 點(diǎn)，有如下兩種情況，
先求過A 點(diǎn)所作垂線得到的點(diǎn) P：
設(shè)P 點(diǎn)坐標(biāo)為
則
易證△PMA∽△ANC, 且AN=3, CN=1,
解得： (舍),
故第1個(gè)P 點(diǎn)坐標(biāo)為
再求過點(diǎn) C所作垂線得到的點(diǎn) P：
解得： (舍),
故第2個(gè)P點(diǎn)坐標(biāo)為
綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為 或
解析：
(2)過點(diǎn)P作x軸的垂線交EF于點(diǎn)Q，當(dāng)PH取到最大值時(shí)，PH即最大，設(shè)P 點(diǎn)坐標(biāo)為 則Q點(diǎn)坐標(biāo)為(m, - m),
當(dāng) 時(shí)，PQ取到最大值 ∴PH的最大值為
(3) CM為直角邊，故點(diǎn) C可能為直角頂點(diǎn)，點(diǎn)M也可能為直角頂點(diǎn).
①當(dāng)∠BCM為直角時(shí), 如圖:
M ：不難求得CF=1,BF=2,∴EM :EC=1:2,又(
可得：
故M 坐標(biāo)為
同理可求M 坐標(biāo)為
②當(dāng)∠BMC為直角時(shí), 如圖:
M : 由題意得(CM=1, BC= , ∴BM=2,
即△MEC∽△BFM, 且相似比為1: 2,
設(shè)EC=a, EM=b, 則FM=2a, BF=2b,
由圖可知： 解得：
故點(diǎn) M 的坐標(biāo)為
由圖可得M (1,-2).
綜上所述，M點(diǎn)坐標(biāo)為 或 或 或(1,-2).

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