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第3節(jié) 平行四邊形存在性問題
前言：四邊形存在性問題相較于三角形來說，多個(gè)點(diǎn)則多了更多變化，尤其平行四邊形存在性問題，為歷年中考特殊圖形存在性問題中考察最多的問題，了解常見題型與常用方法，即可.
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問題與方法
考慮到求證平行四邊形存在，必先了解平行四邊形性質(zhì)：
性質(zhì)1：對(duì)應(yīng)邊平行且相等；
性質(zhì)2：對(duì)角線互相平分.
這是圖形的性質(zhì)，將其性質(zhì)運(yùn)用在在坐標(biāo)系中：
性質(zhì)1：對(duì)邊平行且相等可轉(zhuǎn)化為： 可以理解為點(diǎn) B 移動(dòng)到點(diǎn)A，點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn) D，移動(dòng)路徑完全相同.
性質(zhì)2：對(duì)角線互相平分轉(zhuǎn)化為： 可以理解為AC的中點(diǎn)也是BD的中點(diǎn).
雖然由兩個(gè)性質(zhì)推得的式子并不一樣，但可以化為統(tǒng)一：
當(dāng)AC和BD為對(duì)角線時(shí),結(jié)果可記為:“A+C=B+D”.
以上是對(duì)于平行四邊形性質(zhì)的分析，而要求證的是平行四邊形存在性問題. 即：若坐標(biāo)系中的4個(gè)點(diǎn)A、B、C、D滿足“A+C=B+D”，則四邊形ABCD是否一定為平行四邊形
答案是否定的，反例如下：
之所以存在反例是因?yàn)椤八倪呅蜛BCD是平行四邊形”與“AC、BD中點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)”并不是完全等價(jià)的轉(zhuǎn)化.
雖有反例，但并不影響運(yùn)用此結(jié)論解題，只需做完檢驗(yàn)即可. 另外，需注意對(duì)對(duì)角線的分類討論：
分類討論 (1) 四邊形ABCD是平行四邊形: AC、BD一定是對(duì)角線. (2) 以A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)是四邊形是平行四邊形： 對(duì)角線不確定需要分類討論.
題型分析
首先判斷是否存在確定的平行關(guān)系：
(1) 若存在平行關(guān)系，考慮構(gòu)造線段相等；
(2)若不存在平行，以動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)分類，、可再分為“三定一動(dòng)”和“兩定兩動(dòng)”兩類題型.
(1) 已知平行構(gòu)造相等
引例 1:如圖, 在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知拋物線 與直線y= kx+b都經(jīng)過A(0, - 3)、B (3, 0) 兩點(diǎn), 該拋物線的頂點(diǎn)為 C.
(1) 求此拋物線和直線AB 的解析式；
(2) 設(shè)直線 AB 與該拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn) E，在射線 EB上是否存在一點(diǎn) M，過M作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)N，使點(diǎn) M、N、C、E是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn) 若存在，求點(diǎn) M的坐標(biāo)； 若不存在，請(qǐng)說明理由；
解析: (1) 拋物線:
直線AB: y=x-3;
(2) 考慮 EC∥MN, 若使點(diǎn) M、N、C、E是平行四邊形,則EC=MN即可,
∵E(1, - 2)、C(1, - 4), ∴EC=2,
設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為(m, m-3)(m>1),
則N點(diǎn)坐標(biāo)為
則
由題意得：
解得： (舍),對(duì)應(yīng)P 點(diǎn)坐標(biāo)為
解得： (舍).
對(duì)應(yīng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(2, - 1).
綜上，P點(diǎn)坐標(biāo)為 或(2, - 1).
(2) 三定一動(dòng)
引例2: 如圖, 已知A(1, 2)、B(5, 3)、C(3, 5), 在坐標(biāo)系內(nèi)確定點(diǎn)D 使得以A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.
解析：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)列方程求解.
設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為(m, n), 又A(1, 2)B(5, 3) C(3, 5),可得：
(1) BC為對(duì)角線時(shí), 可得D (7,6);
(2) AC為對(duì)角線時(shí), 解得 D (-1,4);
(3) AB為對(duì)角線時(shí), 解得D (3,0).
綜上, D點(diǎn)坐標(biāo)為(7, 6) 或(-1, 4) 或 (3, 0).
(3) 兩定兩動(dòng)
引例3: 如圖, 已知A (1, 1)、B(3, 2), 點(diǎn)C在x軸上,點(diǎn)D在y軸上，且以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形, 求C、D坐標(biāo).
解析: 設(shè) C 點(diǎn)坐標(biāo)為 (m, 0), D 點(diǎn)坐標(biāo)為(0, n), 又 A(1, 1)、B (3, 2).
(1) 當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí), 解得 故C(4, 0)、D (0, 3);
(2) 當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí), 解得 故C(2, 0)、D(0, - 1);
(3) 當(dāng)AD為對(duì)角線時(shí), 解得 故C(-2, 0)、D (0, 1).
一點(diǎn)思考
本題計(jì)算并不麻煩，在于點(diǎn) C、D在坐標(biāo)軸上，若動(dòng)點(diǎn)在一次函數(shù)圖像或者拋物線上，則同樣的方法，只是計(jì)算略有難度.
引例4：如圖，已知拋物線 經(jīng)過點(diǎn)A (3, 0), B (-1, 0),C(0, - 3).
(1) 求該拋物線的解析式；
(2)若點(diǎn)Q在x軸上，點(diǎn)P在拋物線上，是否存在以點(diǎn)B、C、Q、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形 若存在，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)； 若不存在，請(qǐng)說明理由.
解析: (1) 拋物線:
(2) 列方程組求：設(shè)P (m, m -2m-3)、Q(n, 0),又B(-1, 0)、 C(0, - 3),
若BC為對(duì)角線，由題意得：
解得： 或 (舍),
∴對(duì)應(yīng)的P (2, - 3);
若 BP為對(duì)角線，由題意得：
解得： 或 (舍),
∴對(duì)應(yīng)的P (2, - 3);
若BQ為對(duì)角線，由題意得：
解得： 或
∴對(duì)應(yīng)的P(1+ , )、(1- , ).
綜上，P點(diǎn)坐標(biāo)為
(1) 全動(dòng)點(diǎn)與半動(dòng)點(diǎn)
“三定一動(dòng)”的動(dòng)點(diǎn)和“兩定兩動(dòng)”的動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)并不完全一樣， “三定一動(dòng)”中動(dòng)點(diǎn)是在平面中，橫縱坐標(biāo)均不確定，需要用兩個(gè)字母表示，這樣的點(diǎn)稱為“全動(dòng)點(diǎn)”，而當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在坐標(biāo)軸或已知直線或已知拋物線上時(shí)，用一個(gè)字母即可表示點(diǎn)坐標(biāo)，這樣的點(diǎn)稱為“半動(dòng)點(diǎn)”.
(2) 未知量
從上面例子可以看出，雖然動(dòng)點(diǎn)數(shù)量不同，但本質(zhì)都是在用兩個(gè)字母表示出 4 個(gè)點(diǎn)坐標(biāo). 若把一個(gè)字母稱為一個(gè)“未知量”也可理解為：全動(dòng)點(diǎn)未知量=半動(dòng)點(diǎn)未知量×2.
(3) 題型設(shè)計(jì)
特殊圖形的存在性問題最多可以有幾個(gè)未知量，都是由圖形決定的，像平行四邊形，只能有2個(gè)未知量. 究其原因，在于平行四邊形兩大性質(zhì)：
①對(duì)邊平行且相等； ②對(duì)角線互相平分.
統(tǒng)一成一組方程組：
兩個(gè)方程，最多有兩個(gè)未知數(shù)，即我們剛剛所講的平行四邊形存在性問題最多只能存在2個(gè)未知量.
題型概括
由圖形性質(zhì)可知未知量個(gè)數(shù)，由未知量個(gè)數(shù)可知?jiǎng)狱c(diǎn)設(shè)計(jì)，由動(dòng)點(diǎn)設(shè)計(jì)可得解題策略.
真 題 演 練
1. 如圖, 拋物線 交x軸A、B兩點(diǎn), 交y軸于點(diǎn)C. 直線y=x-5經(jīng)過B、C.
(1) 求拋物線的解析式；
(2) 過點(diǎn)A 的直線交直線BC于點(diǎn) M. 當(dāng)AM⊥BC時(shí), 過拋物線上一動(dòng)點(diǎn) P (不與點(diǎn) B、C重合)，作直線 AM的平行線交直線 BC 于點(diǎn) Q, 若以點(diǎn) A、M、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn) P 的橫坐標(biāo).
2. 如圖, 已知拋物線 與x軸交于A (-1, 0), B(3, 0) 兩點(diǎn), 與y軸交于C點(diǎn),點(diǎn)P 是拋物線上在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn) P的橫坐標(biāo)為t.
(1) 求拋物線的表達(dá)式；
(2) 設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為l，l與x軸的交點(diǎn)為D. 在直線l上是否存在點(diǎn) M，使得四邊形CDPM 是平行四邊形 若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)； 若不存在，請(qǐng)說明理由.
3. 如圖, 已知拋物線 過點(diǎn)
(1) 求拋物線的解析式；
(2) 直線l過點(diǎn)A和點(diǎn)M( , 0) 若點(diǎn)P、D分別是拋物線與直線l上的動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)C為一邊且頂點(diǎn)為O、C、P、D的四邊形是平行四邊形，求所有符合條件的 P點(diǎn)坐標(biāo).
4. 如圖, 已知拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn), 交y軸于C點(diǎn), A 點(diǎn)坐標(biāo)為(-1, 0), OC=2, OB=3,點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn).
(1) 求拋物線的解析式；
(2) P為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以B、C、D、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求P 點(diǎn)坐標(biāo).
5. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線 與x軸交于A(-1, 0), B(3, 0) 兩點(diǎn), 與y軸交于點(diǎn) C, 連接BC.
(1) 求該拋物線的解析式，并寫出它的對(duì)稱軸；
(2) 若點(diǎn) N 為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得以 B、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形 若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
6. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線 與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn) B，拋物線 經(jīng)過A、B兩點(diǎn)且與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C.
(1) 求該拋物線的解析式；
(2) 已知E、F分別是直線AB 和拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)B、O、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，直接寫出所有符合條件的E點(diǎn)的坐標(biāo).
7. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線 過點(diǎn)C (0, - 3), 與拋物線
的一個(gè)交點(diǎn)為A，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)P、Q分別是拋物線L 、L 上的動(dòng)點(diǎn).
(1) 求拋物線L 對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
(2)若以點(diǎn)A、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形恰為平行四邊形，求出點(diǎn) P的坐標(biāo).
8. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù) 的圖像與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于B點(diǎn)，拋物線 經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，在第一象限的拋物線上取一點(diǎn) D，過點(diǎn)D作DC⊥x軸于點(diǎn) C，交直線AB于點(diǎn)E.
(1) 求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2) F是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn) (不與點(diǎn)D重合)，點(diǎn)G是線段AB 上的動(dòng)點(diǎn).連接DF、FG,當(dāng)四邊形DEGF是平行四邊形且周長(zhǎng)最大時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo).
平行四邊形存在性問題
1解析：
(2) 考慮到AM∥PQ, 故只需AM=PQ即可.
①過點(diǎn)A作BC的平行線，與拋物線交點(diǎn)即為P點(diǎn)，易得直線AP的解析式：y=x-1,
聯(lián)立方程： 解得：x =1(舍), ∴對(duì)應(yīng)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為4；
②作點(diǎn)A關(guān)于B點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)A'，過點(diǎn)A'作BC的平行線，與拋物線的交點(diǎn)亦為所求 P 點(diǎn)，
易求直線解析式: y=x-9,
聯(lián)立方程： 解得：
∴P 點(diǎn)橫坐標(biāo)為 或
綜上所述，P點(diǎn)橫坐標(biāo)為4或 或
2.解析: (1) 拋物線:
(2) 由題意可知CP、DM為對(duì)角線,考慮 DM在直線x=-1上, 故CP中點(diǎn)在直線x=-1上,∵點(diǎn)C坐標(biāo)為(0，3)，故點(diǎn) P橫坐標(biāo)為2，代入解析式得P(2, 3), 可得M點(diǎn)坐標(biāo)為(1, 6).
3.解析：(1) 將點(diǎn)A代入解析式得：
∴拋物線解析式為
(2)若OC為四邊形一邊，則OC=PD，由題意得直線AB解析式為 設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為 則點(diǎn)D坐標(biāo)為 解得： 或 或-2或0(舍), ∴點(diǎn) P 坐標(biāo)為 或 或(-2, 1).
4.解析: (1) 拋物線:
(2) 設(shè) P 點(diǎn)坐標(biāo)為(m, n), 又B(3, 0)、C(0, 2)、D
①若BC為對(duì)角線，由題意得： 解得： 故P 的坐標(biāo)為
②若BD為對(duì)角線，由題意得： 解得： 故P 坐標(biāo)為
③若BP為對(duì)角線，由題意得： 解得 故P 坐標(biāo)為
綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為
5.解析：(1)拋物線： 對(duì)稱軸：直線x=1；
(2)設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為 N點(diǎn)坐標(biāo)為(1,n),又B (3, 0)、C (0, 2)
若 BC為對(duì)角線，由題意得：
解得： 故M點(diǎn)坐標(biāo)為(2, 2);
若BN為對(duì)角線，由題意得：
解得：
故M點(diǎn)坐標(biāo)為
若BM為對(duì)角線，由題意得：
解得：
故M點(diǎn)坐標(biāo)為
綜上所述，M點(diǎn)坐標(biāo)為(2, 2)、
6.解析: (1) 拋物線:
(2) 設(shè)E 點(diǎn)坐標(biāo)為 F 點(diǎn)坐標(biāo)為 又B (0, 2)、O(0, 0),①若OB為對(duì)角線，由題意得：
解得： 或
故E點(diǎn)坐標(biāo)為 或
②若OE為對(duì)角線，由題意得：
解得： 或
故E點(diǎn)坐標(biāo)為 或
③若OF為對(duì)角線，由題意得：
解得： 故E點(diǎn)坐標(biāo)為(2, 1).
綜上，E點(diǎn)坐標(biāo)為 或 或 或 或(2, 1).
7.解析: (1) L 解析式:
(2) 設(shè)P 點(diǎn)坐標(biāo)為 Q 點(diǎn)坐標(biāo)為 又C(0, - 3)、A (2, - 3),
①若CA為對(duì)角線，由題意得：
解得： 或 (舍), 故 P 點(diǎn)坐標(biāo)為(-3, 12);②若CP為對(duì)角線，由題意得：
解得： 馬 故P點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)或 ⑧若CQ為對(duì)角線，由題意得：
解得： 或 (舍), 故P點(diǎn)坐標(biāo)為 (-1, 0).
綜上，P點(diǎn)坐標(biāo)為(-3, 12)、(3, 0)、(- )、(-1, 0).
8.解析: (1) 拋物線:
(2) 本題4個(gè)點(diǎn)皆為動(dòng)點(diǎn)，使四邊形 DEGF為平行四邊形易，而使周長(zhǎng)最大難. 設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為 則D點(diǎn)坐標(biāo)為 設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)為 則G點(diǎn)坐標(biāo)為
由DE=FG, 可得:
∵m≠n, ∴m+n=4,
過點(diǎn)G作GH⊥CD交CD于H點(diǎn),
則
又
當(dāng) 時(shí)，四邊形DEGF是平行四邊形且周長(zhǎng)最大，此時(shí)G點(diǎn)坐標(biāo)為
若E、G位置互換，則結(jié)論依然成立，此時(shí)
綜上，G點(diǎn)坐標(biāo)為 或

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