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第5講 坐標系中的面積計算
前言：計算幾何圖形的面積是中考常見題型之一，尤其三角形面積，由計算引發出比如求面積的最大值、已知面積求解析式等問題，鉛垂法與等積變形，在計算面積的問題中將發揮巨大作用.
知 識 導 航
鉛垂法
求三角形的面積是幾何題中常見問題之一，方法較多，比如面積公式、割補、等積變形、三角函數甚至海倫公式，而在坐標系中求三角形面積，最常用當為鉛垂法.
引例 1: 在平面直角坐標系中, 已知A (1, 1)、B (7, 3)、C(4, 7), 求△ABC的面積.
解析: 如圖, 過點 C作 CD⊥x軸交AB于點D,分別過A、B作CD的垂線，垂足分別記為E、F.
由題意得: AE+BF=6.
根據A、B兩點坐標求得直線AB解析式為：
由點C坐標(4，7) 可得D點橫坐標為4，將4代入直線AB解析式得D 點縱坐標為2，∴D點坐標為(4, 2), CD=5,
∴S△ABC=15.
思路概括
(1) A、B兩點之間的水平距離稱為“水平寬”；
(2) 過點C作x軸的垂線與AB交點為D，線段CD即為AB邊的“鉛垂高”.
公式：
解題的關鍵在于求得D 點坐標.
所謂“鉛垂法”實則就是割補法，對于此類求坐標系中的三角形面積形成了一套完整的解法，即已知三角形三個頂點坐標即可求此三角形面積，取名“鉛垂法”.注意：用時需先證明..
引例2：如圖，已知拋物線. 經過A (-5, 0)、B (-4, - 3) 兩點, 與x軸的另一個交點為C.
(1) 求該拋物線的表達式；
(2) 點P為該拋物線上一動點(與點 B、C不重合)，設點P 的橫坐標為t. 當點 P 在直線BC的下方運動時，求△PBC的面積的最大值.
解析：(1)將點A、B坐標代入解析式，得： (2) 過點 P作 PQ⊥x軸分別交直線BC、x軸于點 Q、F,過點 B作BE⊥PQ交PQ于點E,則
由B、C坐標可得BE+CF=3, 直線BC解析式: y=x+1,由題意得 則點Q(t,t+1),
當 時，PQ取到最大值 , 此時△BCP 面積最大,
∴△PBC面積最大值為
思考：在像引例2這種求面積最值的問題中，一般選取兩定點作水平寬，若第3個點并不在兩定點之間，則鉛垂高該如何作
方法總結
鉛垂法本質即割補，重點不在三個點位置，而是取兩個點作水平寬之后，確定出其對應的鉛垂高！
(1) 取AC作水平寬, 過點 B作BD⊥x軸交直線AC于點D，BD 即對應的鉛垂高，
(2) 取BC作水平寬, 過點A作鉛垂高AD.
2 最值、定值、等值
引例3：如圖，拋物線 與x軸交于 A、B 兩點(點A 在點B左側)，與y軸交于點 C，連接 BC，拋物線在線段BC上方部分取一點 P, 連接 PB、PC.
(1) 最值問題:
①當△PBC面積最大時，求面積最大值及 P點坐標.
解析：當點 P 坐標為 時，△PBC面積取到最大值，最大值為2
②過點P作PH⊥BC交BC于點 H, 求PH最大值.
思路 1: 由 H ,可得當△PBC 面積最大時，PH的值最大，
解得： 即 PH的最大值為
思路2: 過P點作PQ⊥x軸交 BC于Q點,
則
(k為BC的k)
(2) 定值問題:
若點 P在拋物線上且△PBC面積為3時，求點 P 的橫坐標.
思路1：鉛垂法列方程解
根據B、C兩點坐標得直線BC解析式: y=-x+3,
設點P坐標為
過點 P作 PQ⊥x軸交BC于點Q,
則點Q坐標為(m, - m+3),
解得：
∴點P的橫坐標為1或2或 或
思路2：構造等積變形
同底等高三角形面積相等.取BC作水平寬可知水平寬為3，根據△PBC面積為3，可知鉛垂高為2.
在y軸上取點Q 使得 CQ=2，過點Q作BC的平行線，交點即為滿足條件的 P點.
當點Q坐標為(0, 5) 時, PQ解析式為: y=-x+5,聯立方程： 答案同思路1.
當點Q坐標為 (0, 1) 時, PQ解析式為: y=-x+1,聯立方程： 答案同思路1.
(3) 等值問題:
若點 P 在拋物線上且△PBC 的面積等于△BOC 的面積，求點 P 的橫坐標.
思路1：化等值問題為定值問題
由題意可得 即求點P使得
思路2：等積變形
過點O作BC的平行線，與拋物線交點即為所求 P 點；
作點O關于點 C的對稱點O'，過點O'作BC的平行線，若與拋物線有交點，則交點即為所求 P 點.
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3 四邊形面積
對于特殊四邊形，考慮面積公式，對于一般四邊形，連接對角線即可分為兩個三角形，求兩三角形面積之和即可.
引例4 已知拋物線 經過點A (2, 0)、B (-4, 0), 與y軸交于點 C.
(1) 求這條拋物線的解析式；
(2) 如圖，點P 是第三象限內拋物線上的一個動點，當四邊形ABPC的面積最大時，求點 P 的坐標.
解析：
(2)若連接BC, 可得定△ABC和動△BPC, 只需△BPC面積最大，四邊形ABPC的面積便最大.
∵A (2, 0)、B (-4, 0)、C(0, - 4),
設P 點坐標為
連接BC, 則直線BC的解析式為y=-x-4,
過點P作PQ⊥x軸交BC于點Q,
則Q點坐標為(m, - m-4),
當m=-2時, PQ取到最大值2, 此時△BPC面積最大,即四邊形ABPC面積最大, 此時P點坐標為(-2, - 4).
真 題 演 練
1. 在平面直角坐標系中，將二次函數 的圖像向右平移1個單位，再向下平移2個單位，得到如圖所示的拋物線，該拋物線與x軸交于點A、B(點A在點B的左側), OA=1, 經過點A的一次函數y= kx+b (k≠0) 的圖像與y軸正半軸交于點 C, 且與拋物線的另一個交點為D，△ABD的面積為5.
(1) 求拋物線和一次函數的解析式；
(2) 拋物線上的動點 E 在一次函數的圖像下方，求△ACE面積的最大值，并求出此時點E的坐標.
2. 如圖，在平面直角坐標系中，拋物線 與x軸交于點A(-2,0)、點B(4,0),與y軸交于點C(0，8)，連接BC，又已知位于y軸右側且垂直于x軸的動直線l，沿x軸正方向從O運動到 B(不含O 點和 B點)，且分別交拋物線、線段BC以及x軸于點 P、D、E.
(1) 求拋物線的表達式；
(2) 作PF⊥BC, 垂足為F, 當直線l運動時, 求Rt△PFD面積的最大值.
3. 如圖，在平面直角坐標系中，拋物線 (a>0)與x軸交于A、B兩點(點A在點B左側), 經過點A的直線l：y= kx+b與y軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D, 且CD=4AC.
(1) 直接寫出點 A 的坐標，并用含 a的式子表示直線l的函數表達式(其中k、b用含a的式子表示).
(2) 點E 為直線l下方拋物線上一點，當△ADE 的面積的最大值為 時，求拋物線的函數表達式；
4. 如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知直線 與x軸交于點A，與y軸交于點B，過A、B兩點的拋物線 與x軸交于另一點C(-1, 0).
(1) 求拋物線的解析式；
(2)在拋物線上是否存在一點 P，使 若存在，請求出點 P的坐標，若不存在，請說明理由；
5. 在坐標系中, 直線 與x軸交于點A，與y軸交于點 B，拋物線 經過點A、B.
(1) 求a、b滿足的關系式及c的值.
(2)如圖,當 時，在拋物線上是否存在點 P，使△PAB的面積為1 若存在，請求出符合條件的所有點 P 的坐標； 若不存在，請說明理由.
6. 拋物線L: 經過點A (0, 1), 與它的對稱軸直線x=1交于點B.
(1) 直接寫出拋物線L的解析式；
(2) 如圖1，過定點的直線 與拋物線L交于點 M、N. 若△BMN的面積等于1, 求k的值.
7. 如圖, 拋物線 的圖像過點A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3).
(1) 求拋線的解析式；
(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點 P，使得 的周長最小，若存在，請求出點 P的坐標及△PAC的周長；若不存在，請說明理由；
(3)在(2) 的條件下，在x軸上方的拋物線上是否存在點M(不與C點重合)，使得 若存在，請求出點 M的坐標； 若不存在，請說明理由.
第5講 坐標系中的面積計算
1.解析：(1) 拋物線解析式：
一次函數解析式：
(2)顯然, 當△ACE面積最大時, 點E并不在AC之間. 已知A(-1,0)、c(0, ),設點E坐標為 過點E作EF⊥x軸交直線AD于F點，F點橫坐標為m，代入一次函數解析式得
當 時，EF 取到最大值
∴當 E 點坐標為 時，得△ACE 面積最大值為2
2.解析：
(2) 根據B、C兩點坐標得直線BC解析式: y=-2x+8,設點P坐標為 則點D坐標為(m,-2m+8),故線段
當m=2時, PD取到最大值4,
3.解析: (1) 點A坐標為(-1,0), 點D坐標為(4,5a),可得直線l的解析式為: y= ax+a.
(2) 用鉛垂法根據最大面積反求參數a.
設E 點坐標為
作EF⊥x軸交AD于F點, 則F點坐標為(m, am+a),
∴當 時，EF最大值為
△ADE面積最大值為 解得：
∴拋物線解析式為：
4.解析:(1)由題意得點A坐標為(4,0),點B坐標為(0,-2), 可得拋物線解析式為y=a(x+1)(x-4), 將點B (0, -2) 代入得: ∴拋物線解析式為
(2) 過點O作AB的平行線，由題意得解析式為 與拋物線的交點即為滿足條件的P點，令 解得： 即 取點Q(0, - 4), 過點Q作AB的平行線，由題意得解析式為 與拋物線的交點即為滿足條件的P點，令 解得： 即P (2,-3).綜上，P點坐標為 或 或(2,-3).
5.解析: (1) 點 A 坐標為(-2, 0), 點 B 坐標為 (0, 2),代入解析式可得: c=2, 4a-2b+2=0.
∴b=2a+1, c=2.
(2) 考慮A、B水平距離為2, △PAB的面積為1,∴對應的鉛垂高為1.
當a=-1時, 可得b=-1, 拋物線解析式為 取點C(0, 3) 作AB的平行線, 其解析式為: y=x+3,聯立方程 解得x=-1,
∴點P 坐標為 (-1, 2).
取點D (0, 1) 作AB的平行線, 其解析式為: y=x+1,聯立方程 解得 點P 坐標為( 點P 坐標為
綜上所述, P點坐標為 (-1, 2) 或( 或
6.解析: (1) 解析式:
(2) 考慮到直線過定點Q(1, 4), 且M、N均為動點, 考慮用割補法：
分別過M、N作對稱軸的垂線，垂足分別記為 G、H，
考慮
聯立方程：
化簡得
解得： (舍).故k的值為-3.
7.解析：(1) 拋物線解析式為：
(2)作點C關于對稱軸的對稱點C' (2, 3), 連接AC', 與對稱軸交點即為所求P點，可得P 點坐標為(1，2)，△PAC的周長最小值為
(3)過點C作AP平行線: y=x+3, 與拋物線交點即為M點，聯立方程： 解得：x =0(舍), ∴M 點坐標為(1, 4);
記AP與y軸交點為Q點, 則Q(0, 1)作點C關于Q點的對稱點D(0, - 1), 過點D作AP的平行線: y=x-1, 與拋物線在x軸上方部分的交點即為所求M點，
聯立方程：
解得： (舍).
∴M 坐標為
綜上, M點坐標為(1, 4) 或

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