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第4講 動態問題分析
前言：動態問題伴隨初中始終，從數軸上的動點，到坐標系中動點，從探究線段之間的關系，到探究特殊圖形. 本講介紹關于中考題中常見的動態問題題型. 了解題型，掌握方法，解決問題.
知 識 導 航
動點運動過程分析
此類問題中，一般有2張圖，一張是動點所在的幾何圖形，另一張是與動點有關的函數圖像. 解題思路參考引例1.
引例1: 如圖1, 四邊形ABCD中, AB∥CD, ∠ADC=90°,P從A 點出發，以每秒1個單位長度的速度，按A→B→C→D的順序在邊上勻速運動，設P 點的運動時間為 t秒，△PAD的面積為 S，S關于 t的函數圖像如圖2 所示，當P 運動到BC中點時, △PAD 的面積為 .
解析：一般分三步分析.
①確定函數關系中自變量、因變量的實際意義.
如圖2，t表示動點 P 的運動時間，s表示△PAD的面積.
②將動點的運動過程與圖像對應.
點P從A到B→第1段函數圖像；
點 P從B到C→第2段函數圖像；
點P從C到D→第3段函數圖像.
③利用特殊點的坐標計算求值.
由橫坐標6、10可得 CD=4,
t=6時,點 P到C點,s=8,即△ADC面積為8,可得AD=4,點P到B 點時, s=2, 即△ADB面積為2, 可得AB=1,∴BC=6-1=5. 當點P為BC中點時,
∴△PAD 的面積為5.
2重疊面積的計算
此類問題中，一般是某個圖形位置在變化，由此產生兩個圖形重疊面積問題.
分析圖形存在哪些可能的位置，分類討論不同位置下的重疊部分面積.
引例2: 如圖, 在等腰直角△ABC中, 于點 D, 點 P 從點 A 出發, 沿A→C 方向以 /s的速度運動到點 C停止，在運動過程中, 過點 P作PQ∥AB交BC于點Q, 以線段 PQ為邊作等腰直角△PQM, 且∠PQM=90°(點 M、C 位于 PQ 異側). 設點 P 的運動時間為x(s), △PQM與△ADC重疊部分的面積為y.
(1) 當點M落在AB上時, x= ;
(2) 當點M落在AD上時, x= ;
(3) 求y關于x的解析式，并寫出自變量x的取值范圍.
解析: (1) 當點M在AB上時, 點Q為BC中點,即點Q與點D重合時, 此時點P為AC中點, ∴x=4;(2) 當點M在AD上時, 即
(3)①當0②當 時，
化簡得：
③當 時，
綜上所述，
動點成特殊圖形
此類問題中，一般考慮用代數法計算. 用時間t 或者其他量表示出相關線段，令相等列方程求解. 至于如何表示出線段，可考慮添加輔助線.
引例3: 如圖1, 在矩形ABCD中, 動點 P從點A 出發, 以1cm/s的速度沿AD向終點D移動，設移動時間為t(s)，連接PC, 以PC為一邊作正方形 PCEF, 連接DE、DF, 設△PCD 的面積為y(cm )，y與t之間的函數關系如圖2所示.
(1) AB= cm, AD= cm;
(2) 當t 為何值時，△DEF 的面積最小 請求出這個最小值；
(3) 當t 為何值時，△DEF 為等腰三角形 請簡要說明理由.
解析:(1) AB=2cm, AD=5cm.
(2) 由題意得:
∵PD=5-t, CD=2,
∴當t=4時, △DEF的面積最小, 最小值為
(3)過點E作EM⊥CD交CD的延長線于點 M, 過點 F作FN⊥AD交AD于點 N,
由題意得△PDC≌△CME,
∴ME=DC=2, CM=PD=5-t,
由題意得: △FNP≌△PDC,
∴FN=PD=5-t, PN=CD=2, DN=|5-t-2|=|t-3|,
又
分類討論：
①當DE=DF時, 即(
解得：t =3, t =7(舍);
②當DE=EF時, 即(
解得: t=4;
③當DF=EF時, 即(
解得：t =1, t =5;
綜上所述，當t的值為1或3或4或5時，△DEF是等腰三角形.
真 題 演 練
1. 快車從甲地駛往乙地，慢車從乙地駛往甲地，兩車同時出發并且在同一條公路上勻速行駛. 圖中折線表示快、慢兩車之間的路程 y(km) 與它們的行駛時間 x
(h) 之間的函數關系. 小欣同學結合圖像得出如下結論：
①快車途中停留了 0.5h； ②快車速度比慢車速度多 20km/h；
③圖中a=340； ④快車先到達目的地.
其中正確的是( )
A. ①③ B. ②③
C. ②④ D. ①④
2. 如圖1所示, E為矩形ABCD的邊AD上一點, 動點P、Q同時從點B 出發, 點 P 以1cm/秒的速度沿折線BE-ED-DC運動到點C時停止，點Q以2cm/秒的速度沿BC運動到點C時停止. 設P、Q同時出發t秒時，△BPQ的面積為ycm . 已知y與t的函數關系圖像如圖(2)(其中曲線OG為拋物線的一部分，其余各部分均為線段)，則下列結論：
①AD=BE=5; ②當0③ ④當 秒時, △ABE∽△QBP;
或 ⑤當△BPQ的面積為4cm 時, 時間t的值是其中正確的結論是 .
3. 如圖1,E為矩形ABCD的邊AD 上一點,點 P 從點B出發沿折線B-E-D運動到點D停止，點Q從點 B 出發沿 BC 運動到點 C 停止，它們的運動速度都是1cm/s. 現 P, Q兩點同時出發,設運動時間為x(s), △BPQ的面積為 若y與x的對應關系如圖2所示，則矩形ABCD的面積是 ( )
4. 如圖,在 中， 于點 G，點D為BC邊上一動點， 交射線CA 于點 E, 作 關于 DE 的軸對稱圖形得到 設CD 的長為x, 與 重合部分的面積為y. 下列圖像中，能反映點D從點C向點B運動過程中，y與x的函數關系的是( )
5. 如圖1, 在四邊形ABCD中, AB=2CD. 動點P從點A 出發, 在四邊形ABCD的邊上沿A→B→C的方向以1cm/s的速度勻速移動，到達點 C時停移動. 已知△APD的面積S(cm )與點P運動的時間t(s)之間的函數圖像如圖2所示，根據題意解答下列問題：
(1) 在圖1中, AB= cm, BC= cm;
(2)如圖3, 設動點P用了t (s)到達點P 處,用了 到達點P 處，分別過P 、P 作AD的垂線，垂足為 H . 當 時，求 的值.
6. 如圖1, 在矩形 ABCD中, 點 P 從 B 點出發沿著四邊按B→C→D→A 方向運動，開始以每秒 m個單位勻速運動，a秒后變為每秒2個單位勻速運動，b秒后又恢復為每秒m個單位勻速運動. 在運動過程中， 的面積S與運動時間t的函數關系如圖2所示.
(1) 求矩形ABCD的長和寬;
(2) 求m、a、b的值.
7. 如圖1, 在矩形ABCD中, AB=12cm, BC=6cm, 點P從A點出發, 沿A→B→C→D路線運動, 到D 點停止:點Q從D點出發, 沿D→C→B→A運動, 到A 點停止. 若點 P、點Q同時出發，點P 的速度為每秒1cm，點Q的速度為每秒2cm，a秒時點 P、點 Q 同時改變速度，點P的速度變為每秒b(cm), 點Q 的速度變為每秒c(cm),如圖2是△APD的面積S (cm )與點P出發時間x(秒)之間的關系: 圖3是△AQD的面積S (cm ) 與Q點出發時間x(秒) 之間的關系，根據圖像回答下列問題：
(1) 則a= ; b= ; c= .
(2) 設點 P出發x(秒)后離開點A 的路程為y(cm), 請寫出y與x的關系式，并求出點P與Q相遇時x的值.
8. 如圖1, B、D分別是x軸和y軸的正半軸上的點, AD∥x軸, AB∥y軸(AD>AB), 點 P從C點出發, 以3cm/s的速度沿C-D-A-B勻速運動，運動到B點時終止； 點Q從B 點出發, 以2cm/s的速度, 沿B-C-D勻速運動, 運動到D 點時終止. P、Q兩點同時出發，設運動的時間為 t(s)，△PCQ 的面積為 S(cm ), S與t之間的函數關系由圖2 中的曲線段OE, 線段EF、FG表示.
(1) 求A、D點的坐標;
(2) 求圖2中線段 FG的函數關系式；
(3)是否存在這樣的時間t，使得△PCQ為等腰三角形 若存在，直接寫出t的值； 若不存在，請說明理由.
9. 如圖1, 在△ABC中, ∠A=120°, AB=AC, 點 P、Q同時從點 B 出發，以相同的速度分別沿折線B→A→C、射線BC運動, 連接PQ. 當點P到達點C時, 點 P、Q同時停止運動. 設BQ=x, △BPQ與△ABC重疊部分的面積為S. 如圖 2 是 S 關于 x 的函數圖像(其中0≤x≤8, 8(1) 填空: m的值為 ;
(2) 求S關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；
(3) 請直接寫出△PCQ為等腰三角形時x的值.
10. 如圖1,矩形ABCD, 動點E從B 點出發勻速沿著邊 BA向 A 點運動，到達 A 點停止運動，另一動點 F 同時從 B 點出發以 3cm/s 的速度沿著邊 BC--CD - DA 運動, 到達 A 點停止運動.設E點運動時間為x(s),△BEF的面積為y(cm ). y關于x的函數圖像如圖2所示.
點E的運動速度是 cm/s;
(2) 求y關于x的函數關系及其自變量取值范圍；
(3) 當∠DFE=90°時, 請直接寫出x的取值.
11. 如圖(1) 放置兩個全等的含有 30°角的直角三角板ABC與DEF(∠B=∠E=30°), 若將三角板ABC 向右以每秒 1個單位長度的速度移動(點C 與點 E 重合時移動終止)，移動過程中始終保持點B、F、C、E在同一條直線上, 如圖(2), AB與DF、DE分別交于點 P、M, AC與DE交于點 Q，其中 設三角板ABC移動時間為x秒.
(1)在移動過程中，試用含x的代數式表示△AMQ的面積；
(2)計算x等于多少時，兩個三角板重疊部分的面積有最大值 最大值是多少
12. 如圖1,直線y= kx+1與x軸、y軸分別相交于點A、B,將△AOB 繞點 A 順時針旋轉, 使 AO 落在 AB 上, 得到△ACD，將△ACD沿射線BA平移，當點D到達x軸時運動停止. 設平移距離為m，平移后的圖形在x軸下方部分的面積.為S, S關于m的函數圖像如圖2所示(其中0(1) 填空: a= , k= ;
(2) 求S關于m的解析式，并寫出m的取值范圍.
13. 如圖, 在△ABC中, AB=AC=5, D為AB上一動點,D 點從A 點以 1個單位/秒的速度向 B 點運動，運動到 B 點即停止, 經過D 點作 DE∥BC, 交AC于點 E, 以DE為一邊在 BC一側作正方形 DEFG，在D 點運動過程中，設正方形 DEFG與△ABC的重疊面積為S，運動時間為t秒，如圖2是s與t的函數圖像.
(1) 求BC的長;
(2) 求a的值;
(3) 求S與t的函數關系式.
14. 如圖,△ABC是等邊三角形,AB=4cm,動點P從點A出發，以2cm/s的速度沿AB向點B勻速運動，過點 P作 PQ⊥AB, 交折線AC-CB 于點 Q, 以PQ為邊作等邊三角形 PQD，使點A，D在PQ異側. 設點P的運動時間為x(s)(0(1) AP 的長為 cm(用含x的代數式表示).
(2) 當點D落在邊BC上時, 求x的值.
(3) 求y關于x的解析式，并寫出自變量x的取值范圍.
15. 如圖在平面直角坐標系中，四邊形OABC是菱形，點C的坐標為(3，4)，平行于對角線AC 的直線 m從原點 O 出發，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動，設直線m與菱形OABC的兩邊分別交于點 M、N，直線m運動的時間為t(秒).
(1) 求點B 的坐標;
(2) 當 時，求t的值；
(3) 設△OMN的面積為 S, 求 S與t的函數表達式, 并確定S的最大值.
16. 如圖, 正方形 OABC 的頂點 O 在坐標原點, 頂點 A 的坐標為(4, 3)
(1)頂點C的坐標為( , ),頂點 B 的坐標為( , );
(2)現有動點P、Q分別從C、A同時出發，點 P沿線段CB向終點B 運動，速度為每秒1 個單位，點Q 沿折線A→O→C向終點C運動，速度為每秒k個單位，當運動時間為2秒時，以P、Q、C為頂點的三角形是等腰三角形，求此時k的值.
(3) 若正方形 OABC 以每秒 個單位的速度沿射線 AO 下滑，直至頂點C落到x軸上時停止下滑.設正方形OABC在x軸下方部分的面積為S，求S關于滑行時間t的函數關系式，并寫出相應自變量t的取值范圍.
17. 已知: 在直角坐標系中,點A (0, 6), B (8, 0), 點C是線段AB的中點, CD⊥OB交 OB 于點 D, Rt△EFH 的斜邊 EH 在射線 AB 上, 頂點 F在射線AB的左側, EF∥OA. 點E從點A 出發,以每秒1個單位的速度向點 B 運動，到點 B 停止. AE=EF，運動時間為t(秒).
(1) 在 Rt△EFH中, EF= , EH= ;F( ， )(用含有t的代數式表示)
(2) 當點H與點 C重合時, 求t的值.
(3)設△EFH與△CDB 重疊部分圖形的面積為S(S>0),求S與t的關系式；
(4) 求在整個運動過程中 Rt△EFH掃過的面積.
18.在 Rt△AOB中, P、M、分別是BA、BO邊上的兩個動點. 點M從點 B 出發,沿 BO 以1 單位/秒的速度向點 O 運動; 點P 從點 B 出發,沿BA以a單位/秒的速度向點A運動；P、M兩點同時出發，任意一點先到達終點時，兩點停止運動.設運動的時間為t.
(1)線段AP 的長度為 (用含a、t的代數式表示)；
(2)如圖1,連結PO、PM, 若a=1, △PMO的面積為S,試求S的最大值；
(3)如圖2, 連結PM、AM, 試探究: 在點 P、M運動的過程中，是否存在某個時刻，使得△PMB 為直角三角形且△PMA 是等腰三角形 若存在，求出此時a和t的取值，若不存在，請說明理由.
19. 如圖, 在矩形ABCD中, AB=3, BC=4. 動點 P從點A 出發沿AC 向終點C運動，同時動點Q 從點 B 出發沿BA向點A 運動，到達A 點后立刻以原來的速度沿AB返回. 點P，Q運動速度均為每秒 1個單位長度，當點 P到達點 C時停止運動，點Q也同時停止.連結PQ，設運動時間為t(t>0)秒.
(1) 求線段AC的長度;
(2)當點Q從B點向A點運動時(未到達A點)，求△APQ的面積S關于t的函數關系式，并寫出t的取值范圍；
(3)伴隨著P、Q兩點的運動，線段PQ的垂直平分線為l：①當l經過點 A 時, 射線 QP交AD 于點 E, 求AE的長；
②當l經過點B時，求t的值.
20. 如圖1,已知矩形ABCD中,AB=60cm, BC=90cm. 點P 從點A 出發, 以3cm/s 的速度沿AB運動: 同時, 點Q從點 B 出發, 以 20cm/s 的速度沿 BC運動. 當點 Q 到達點 C時，P、Q兩點同時停止運動.設點 P、Q運動的時間為t(s).
(1) 當t= s時, △BPQ為等腰三角形;
(2) 當BD平分 PQ時, 求t的值;
(3)如圖2, 將△BPQ 沿 PQ 折疊, 點 B 的對應點為 E,PE、QE分別與AD交于點F、G.
探索：是否存在實數t，使得AF=EF 如果存在，求出t的值：如果不存在，說明理由.
第4講 動態問題分析
1.B.
解析: x=2時, 快車慢車相遇, 當2∴①錯誤; ②正確; ③正確; ④錯誤; 故選B.
2. ②④.
解析: 點 G: B點到了 C點; 點 M: P 點到了點 E; 點 N:P點到了點D；
可求AD=BE=10, 故結論①錯誤;
過點 P 作 PH⊥BC 交 BC 于點 H, 當當0故結論③錯誤；
當 時， 此時
∴△ABE∽△QBP, 故結論④正確;
結論⑤顯然錯誤.
綜上所述，正確的是②④.
3.C.
4.A.
解析: 當0當25.解析:(1) AB=6cm, BC=4cm;
(2) 過點 D 作 DM⊥AB, 則 AM=3, DM=4, ∴AD=5,
在△AP H 中,
∴P B=1, 連接P P , 則P P ∥AD,∴BP =
故 的值為
6..解析:(1) 由題意得, 當6≤t≤8時, 點P從C向D運動, 故CD=2×2=4,
當t=6時, 點P與點C重合,
故矩形ABCD的長為8, 寬為4.
(2)a秒時, 點P在BC中點處,
從a秒至6秒，點P運動了4秒，又點P速度為2個單位每秒，故a的值為4，
m=4÷4=1, b秒時, 點P距離A點2個單位, 故b=8+6+2=8+3=11,
故m的值為1; a的值為4; b的值為11.
7.解析: (1) 考慮當時間為a時, △APD面積為24,可得 a=8, 考慮接下來2秒運動了4cm, ∴b=2,對于點 C來說，整個運動過程時間為22s，
即2×8+c·(22-8)=30, ∴c=1,
綜上, a=8, b=2, c=1;
(2) 當0當8綜上，
當P、Q相遇時, 即8+8×2+3(x-8)=30, 解得: x=10,故10秒時, 點 P、Q相遇.
8.解析: (1) 點A坐標為(6, 3), 點D坐標為(0, 3);
(2)點F:Q到點 C,P到點.A,
(3)①當0②當1若PC=PQ,則CQ=2DP,即6-2t=2(3t-3),角解得：
若PQ=CQ, 過點 P 作 PH⊥BC交 BC 于點 H, 則 PH=3,HQ=|9-5t|, 則. 又CQ=6-2t,
整理得： ，∴方程無實根；
若 即 整理得：
解得： (舍),
③當3即：2(t-3)=2(12-3t),解得：
綜上所述，當t的值為 或15/4時, △PCQ是等腰三角形.
9.解析: (1) 當x=m時, 點Q到了點 C, 故
(2)當0當 時，
當 時，
綜上，
(3)當0當 時, PQ=CQ, 則
即 解得：
當 時, CP=CQ, 即 解得：
綜上所述，當△PCQ 為等腰三角形時，x的值為 或
10. 解析: (1) 由圖像可知當 x=1 時, 點 F 到達點 C, 故BC=3cm,
當x=2時, 點F到點D, ∴CD=3cm, ∴AB=3cm,x=1時,△BEF的面積為 又此時BF=3cm,∴BE=1cm,故點E的速度為1cm/s;
(2)當0當1當2綜上所述，
(3) 當點F在BC上時, 易證△EBF∽△FCD,
當點F在 CD上時, 若CF=BE, 則∠EFD=90°,即3x-3=x, 解得:
綜上, 當∠DFE=90°時, x的值為 或
11.解析: (1) 連接AD, 則AD=x, ∵MA=MD,
∴△AMQ是等邊三角形，
即
當x=2時，重疊部分面積取到最大值，最大值是
12. 解析：(1)由函數圖像可得AC=2,∴AO=2,∴k=- 當點D落在x軸上，此時平移的距離為4，∴a=4；
(2)當0當2綜上所述，
13. 解析: (1) 當t=2 時, GF 邊與 BC 邊重合, 過點 A 作AH⊥DE交DE于點H, 則△AHD∽△DGB,
易證△ADE∽△ABC, ∴DEC=ADB= , ∴BC=6.
(2)t=2時, 故a的值為
(3)當0當2綜上所述，
14. 解析: (1) AP=2x(cm).
(2) 當點D落在BC上時, 易證△PDB≌△QPA,
∴BP=AQ=2AP, 即
(3)當 時，
當 時，
當1綜上，
15. 解析:(1)∵點C坐標為(3,4),∴OC=5,∴CB=OC=5,∴點B坐標為(8, 4).
(2)當M、N分別為OA、OC中點或M、N分別為AB、CB中點時，
當M為OA中點時，
當N為CB中點時，
綜上，當 時，t的值為 或
(3)當0則 又OM=ON=t,
當5由題意可得: OD=t, 點N到x軸距離為4,
由題意可得: AM=AD=t-5,
綜上，
當t=5時, S取到最大值10.
16.解析: (1) 點C坐標為(-3,4), 點B 坐標為(1,7);
(2) 當t=2時, CP=2, 且CP≠PQ,
當CP=CQ時, CQ=2, 點Q 的路程為5+3=8, 故k=4;當CQ=PQ時,點Q在CP的垂直平分線上,OQ=1,則AQ=4,∴k=2.
綜上所述，k的值為4或2.
(3)當0當3綜上，
17解析:(1) EF=AE=t;
點F坐標為
解得：
∴當t的值為 時，點H與點C重合.
(3) ①當 時，
②當 時，
③當5綜上所述，
(4) 如圖, △AFH即為掃過的面積, 故運動過程中，△EFH掃過的面積為
18.解析: (1) 5-at;
(2) 過點P作PH⊥OB交OB于點H, 則
當t=2時，S取到最大值
(3) 若∠PMB=90°且PM=PA,
此時 即 解得：
若∠BPM=90°且PM=PA,則
此時 即 解得： 綜上，
19.解析: (1) AC=5;
(2)過點P作PG⊥AB交AB于點H,則
又AQ=AB-BQ=3-t,
(3)①直線l經過點A, 即AQ=AP,
情況1: 當0此時
過點Q作QO∥AD, 易證點O為AC中點, ∴OP=1,
易證∠△APE∽△OPQ,∴AEO=AP= 又 ∴AE=3
情況2: 當3≤t<5時, AP≠AQ.
綜上，直線l過點A時，AE的值為3.
②當直線l經過點B時, 連接BP, 則BQ=BP,
情況1: 當0情況2: 當3≤t<5時, 過點P作PH⊥BC交BC于點 H,
解得： 綜上，t的值為 或.
20. 解析: (1) 若△BPQ為等腰三角形, 則BP=BQ,
由題意得: BP=60-3t, BQ=20t,
∴60-3t=20t, 解得:
故 時，△BPQ為等腰三角形；
(2)若BD平分 PQ,則 即 解得： 故當BD平分PQ時，t的值為
(3) 若AF=EF, 則△AFP∽△EFG, 可得AG=EP,
由題意得: AP=3t, AG=PE=PB=60-3t,
DG=90-(60-3t)=3t+30,
GQ=EQ-EG=20t-3t=17t,過點Q作QH⊥AD交AD于點 H,
則GH=3t+30-(90-20t)=23t-60,
又
代入得： 解得： (舍)
故當t=4時, AF=EF.

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