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第2講 中點的構造
前言：中點是幾何綜合題常見條件之一，對中點的分析思路有三：倍長中線、直角三角形斜邊中線、中位線. 結合具體條件，選擇恰當的方法，必要時合理添加輔助線.
知 識 導 航
倍長中線
當出現中點條件時，可將中線延長一倍，即倍長中線.
作圖分析：
如圖1, 在△ABC中, AD是中線.
延長AD至點E使得DE=AD,
則△ADC≌△EDB.
線段關系: AC=BE, AC∥BE.
如圖2, 在△ABC中, E 是AB 邊一點, D 是BC中點,連接DE. 延長ED至點 F使得DF=DE,
則△BDE≌△CDF.
線段關系: BE=FC, BE∥FC.
解讀：倍長中線后可得一組旋轉型全等. 轉化為兩條線段平行且相等. 即轉移了線段位置，探究幾何圖中線段間的數量關系，一般需先有位置關系.
引例1: 問題探究:
小紅遇到這樣一個問題: 如圖1, △ABC中, AB=6,AC=4, AD是中線, 求AD 的取值范圍. 她的做法是: 延長AD到E, 使DE=AD, 連接BE, 證明△BED≌△CAD, 經過推理和計算使問題得到解決.
(1) 小紅證明△BED≌△CAD的判定定理是: ;
(2) AD 的取值范圍是 ;
(3)如圖2, AD 是△ABC的中線, 在AD 上取一點 F, 連結BF并延長交AC于點E, 使AE=EF.
求證: BF=AC.
解析:(1) SAS;
(2) 1(3) 延長AD至點M使得DM=DF, 連接CM,
在△BDF和△CDM中,
∴BF=CM, ∠BFD=∠M,
∵AE=EF, ∴∠EFA=∠EAF,
∴∠BFD=∠EFA=∠EAF,
∴∠M=∠EAF, ∴CM=CA, 又CM=BF,
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∴BF=AC.
2 斜邊中線
定理：直角三角形斜邊中線等于斜邊一半.
如圖1, 點 M是 Rt△ABC斜邊AB中點, 則
如圖2, 點M是AB中點, 則MA=MB=MC=MD,A、B、C、D四點共圓.
3中位線
(1) 中位線定理：三角形中位線平行且等于第三邊的一半.
如圖, 在△ABC中, E、F分別是AB、AC邊中點.
則
(2) 中位線構造
如圖, 在△ABC中, 點E是AB邊中點.
構造:取AC中點F, 連接EF. 則EF∥BC, EF= BC.
如圖, 在△ABC中, 點B是AE中點, 點C是AF中點.
構造: 連接EF. 則
如圖, 在△ABC中, 點B是AE中點.
構造: 延長AC至點F使得CF=AC, 連接EF.
則BC∥EF,BC= EF.
引例2: 如圖, 在四邊形ABCD中,∠ABC=90°, AB=BC=2 E、F分別是AD、CD的中點, 連接BE、BF、EF. 若四邊形ABCD 的面積為6,則△BEF的面積為( )
A. 2 B. C. D. 3
解析: 連接AC, 則AC=4, 分別過B、D作AC的垂線, 垂足分別為M、N，則
其中
在△BEF中, EF邊上的高為
∴選C.
中點四邊形
已知: 如圖, E、F、G、H分別是四邊形 ABCD 中AB、BC、CD、DA邊的中點.
結論：四邊形 EFGH是平行四邊形，且
特別地，
若AC=BD, 則平行四邊形 EFGH是菱形;
若AC⊥BD, 則平行四邊形EFGH 是矩形.
引例3:如圖, 任意四邊形ABCD中, E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA上的點, 對于四邊形 EFGH的形狀，某班學生在一次數學活動課中，通過動手實踐，探索出如下結論，其中錯誤的是 ( )
A. 當E、F、G、H是各邊中點, 且AC=BD時, 四邊形 EFGH為菱形
B. 當E、F、G、H是各邊中點, 且AC⊥BD時, 四邊形 EFGH為矩形
C. 當E、F、G、H不是各邊中點時, 四邊形 EFGH可以為平行四邊形
D. 當E、F、G、H不是各邊中點時, 四邊形 EFGH不可能為菱形
解析: 選D.
真 題 演 練
1.如圖, 在正方形ABCD中, 對角線AC與BD相交于點O,E為BC上一點,CE=5,F為DE的中點.若△CEF的周長為18, 則OF的長為 .
2.如圖,在四邊形ABCD中,AB=CD,AC、BD是對角線, E、F、G、H分別是AD、BD、BC、AC的中點,連接EF、FG、GH、HE,則四邊形 EFGH的形狀是( )
A. 平行四邊形 B. 矩形
C. 菱形 D. 正方形
3. 在△ABC中,AB=6,點D是AB的中點,過點 D 作 DE∥BC, 交 AC 于點 E, 點 M 在 DE 上, 且 當AM⊥BM時, 則BC的長為 .
4. 如圖, 已知點E在正方形ABCD的邊AB上, 以 BE為邊向正方形 ABCD 外部作正方形 BEFG, 連接DF, M、N分別是 DC、DF的中點, 連接 MN. 若 AB=7,BE=5, 則 MN= .
5. 如圖, 在平行四邊形ABCD中, AB=5,BC=8. E是邊BC的中點, F是平行四邊形ABCD 內一點,且∠BFC=90°. 連接AF 并延長, 交 CD 于點 G. 若 EF∥AB, 則DG的長為( )
A. B. C. 3 D. 2
6. 如圖, 矩形紙片ABCD, AB=6cm,BC=8cm, E 為邊 CD上一點. 將△BCE 沿 BE 所在的直線折疊, 點 C 恰好落在 AD 邊上的點 F 處, 過點 F 作 FM⊥BE, 垂足為點 M, 取 AF 的中點 N, 連接 MN, 則 MN= cm.
7. 如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-x與雙曲線 交于A、B兩點, P是以點C(2, 2)為圓心，半徑長 1 的圓上一動點，連結 AP，Q為 AP 的中點. 若線段OQ長度的最大值為2，則k的值為( )
C. - 2
8. 如圖,已知二次數 的圖像與x軸交于 A、B 兩點，與y軸交于點 C，⊙C的半徑為 , P為⊙C上一動點.
(1) 點B、C的坐標分別為B( )、C ( );
(2)連接PB, 若E為PB 的中點, 連接OE, 則OE的最大值是 .
9.如圖, 在△ABC中, ∠ACB=60°,AC=1, D是邊AB的中點, E是邊BC上一點. 若DE平分△ABC的周長, 則DE的長是 .
10.三角形三條邊上的中線交于一點，這個點叫三角形的重心. 如圖G是△ABC的重心.
求證: AD=3GD.
11.(1) 閱讀理解:
如圖1, 在△ABC中, 若AB=10, AC=6, 求BC邊上的中線AD的取值范圍.
解決此問題可以用如下方法：延長AD到點 E使DE=AD，再連接 BE(或將△ACD 繞著點 D 逆時針旋轉 180°得到△EBD), 把AB、AC, 2AD集中在△ABE中, 利用三角形三邊的關系即可判斷.
中線AD的取值范圍是 ；
(2) 問題解決:
圖2,在△ABC中, D是BC邊上的中點,DE⊥DF于點 D,DE交AB于點E, DF交AC于點 F, 連接EF.
求證: BE+CF>EF;
(3) 問題拓展:
如圖3, 在四邊形ABCD中, ∠B+∠D=180°, CB=CD,∠BCD=140°, 以 C為頂點作一個70°角, 角的兩邊分別交AB, AD于E、F兩點, 連接EF, 探索線段BE、DF、EF之間的數量關系，并加以證明.
12. 我們給出如下定義：順次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫中點四邊形.
(1) 如圖1, 四邊形 ABCD 中, 點 E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA 的中點. 求證: 中點四邊形 EFGH是平行四邊形；
(2)如圖2,點 P是四邊形ABCD 內一點,且滿足PA=PB,PC=PD, ∠APB=∠CPD, 點 E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA 的中點, 猜想中點四邊形 EFGH的形狀，并證明你的猜想；
(3)若改變(2)中的條件, 使∠APB=∠CPD=90°, 其他條件不變，直接寫出中點四邊形EFGH的形狀.(不必證明)
13. 在△ABM中, ∠ABM=45°, AM⊥BM,垂足為M，點C是BM延長線上一點，連接AC.
(1) 如圖1, 若 求AC的長；
(2) 如圖2, 點D是線段AM上一點, MD=MC, 點E是 外一點, EC=AC, 連接 ED 并延長交 BC于點F, 且點 F 是線段BC的中點, 求證: ∠BDF=∠CEF.
14.若△ABC和△AED 均為等腰三角形,且∠BAC=∠EAD=90°.
(1) 如圖1, 點 B 是 DE 的中點, 判定四邊形 BEAC 的形狀，并說明理由；
(2)如圖2，若點G是EC的中點，連接GB 并延長至點F，使CF=CD.
求證: ①EB=DC,
②∠EBG=∠BFC.
15. 在△ABC中, P為邊AB上一點.
(1) 如圖1, 若∠ACP=∠B, 求證:
(2) 若M為CP的中點, AC=2.
①如圖2, 若 求BP的長；
②如圖3,若∠ABC=45°,∠A=∠BMP=60°, 直接寫出BP的長.
第2講 中點的構造
1.
解析: ∵F點是DE中點, ∵△CEF的周長為18, CE=5, ∴CF+EF=13, 即 DE=13, ∴CD=12, ∴BC=12, ∴BE=7, 即 OF的長為
2.C.
3.8.
解析：由題意得：DM= AB=3,∴ME=1,DE=4,∴BC=8.
4.
解析: 連接CF, 則MN為△CDF中CF邊所對的中位線,
易得FG=5, GC=5+7=12, ∴CF=13, ∴MN=13
5. D.
解析: 如圖, 延長 BF 與 CD 延長線交于點 M, 易證△AFB≌△GFM, ∴GM=AB=5, BF=MF, 又∠BFC=90°, ∴MC=BC=8, ∴CG=3, DG=2, 故選D.
6.解析: 取BF中點 P, 連接PM、PN, 則PM=PB=4cm,∴∠PMB=∠PBM=∠CBM,∴PM∥BC,∵點N是AF中點,∴PN是△ABF中AB邊中位線, cm, ∴PM⊥PN,MN= +4 =5cm,故MN=5cm.
7. A.
解析: 連接PC、CB、PB, ∵OQ最大值為2,
∴PB最大值為4, ∴PC+CB=4, 又PC=1, ∴CB=3, 設點B坐標為(m, -m)(m>0),兩點間距離公式可得:
解得： ∴點B坐標為 故選A.
8.解析:(1)點B坐標為(3,0), 點C坐標為(0, - 4);
(2)連接AP,則 當AP過點C時，AP取到最大值 ∴OE的最大值為
解析: 延長BC至點F使得CF=CA, ∵DE平分△ABC的周長,∴點E是BF中點,又點D是AB中點,∴ ∵∠ACB=60°, ∴∠ACF=120°, 又AC=1, ∴AF=
10. 解析:取AD中點F,連接EF,則EF∥BC,EF= BD,又.BD=CD,∴EF= CD,∵EF∥BC,∴△EGF∽△CGD, 即AD=3GD.
11. 解析: (1) 2(2)延長FD至點G使得DG=DF,連接EG、BG,∵DE垂直平分FG, ∴EF=EG, 在△CDF和△BDG中,
∴CF=BG, ∵BE+BG>EG, ∴BE+CF>EF.
(3) BE+DF=EF . 延長AB至點M使得BM=DF,∵∠ABC+∠D=180°,∴∠CBM=∠D,在△CDF和△CBM中,(LORN,∠CHM, ∴△CDR≌△GBM(SAS)°
∴∠DCF=∠BCM, ∵∠BCD=140°, ∠ECF=70°,
∴∠DCF+∠BCE=70°, 即∠ECM=70°,在△CEF和△CEM中,
12.解析: (1) 連接AC, ∵E、F分別是 BA、BC 的中點,∴EF是△ABC中AC邊的中位線, 同理可證HG∥AC, HG= AC, ∴EF∥HG, EF=HG,∴中點四邊形EFGH是平行四邊形.
(2)菱形.
連接AC、BD,∵∠APB=∠CPD,∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD, 即∠APC=∠BPD, 在△APC 和△BPD 中,
LACCO∠BPD, ∴△APC≌△BPD, ∴ACBBD,
∴平行四邊形 EFGH是菱形.
(3) 正方形.
13. 解析: (1) 由題意得△ABM是等腰直角三角形,∵AB=3 , ∴MA=MB=3, 又BC=5, ∴MC=2, 即AC的長為
(2) 延長EF至點 G使得FG=FE, 連接BG,在△CFE和△BFG中,
∴CE=BG, ∠CEF=∠BGF.
∴△BMD≌△△ANC(SAS).
∴BD=AC,
又∵CE=AC, ∴BG=BD, ∴∠BDG=∠BGD,∴∠BDF=∠CEF.
14.解析：(1) 平行四邊形.
∵點B是DE中點,∴AB= DE=BE ,∴∠BAE=∠E=45°,∠ABE=90°, ∴∠BAE=∠ABC, ∴AE∥BC, ∵∠BAC=90°,∴BE∥AC, ∴四邊形BEAC是平行四邊形.
(2)①易證手拉手全等: △BAE≌△CAD, ∴EB=DC.
②延長FG至點H使得GH=FG, 連接EH,易證△GCF≌△GEH, ∴CF=EH,
又CF=CD=BE, ∴EH=BE,
∴∠EBG=∠H, 又∠H=∠BFC, ∴∠EBG=∠BFC.
15. 解析: (1) ∵∠ACP=∠B, ∠PAC=∠CAB,
(2)①取AP中點N,連接MN,則MN是△ACP的中位線,∴MN= AC=1, MN∥AC,∴∠BNM=∠CAP, 又∠PBM=∠ACP, ∴△BMN∽△CPA, ∴MV/L=BNC,設 PA=2x, 則BN=3-x , ∴ 2x·(3-x)=2 ,解得： (舍),
∴PB的長為
②延長PB至點Q值得BQ=BP, 連接CQ, 則BM是△PCQ的中位線, ∴BM∥QC, ∴∠PCQ=∠PMB=60°,又∠PQC=∠CQA, ∴△QPC∽△QCA, ∴QC =QP·QA.過點 C 作 CH⊥AB 交 AB 于點 H, ∵∠A=60°, ∴AH=1, 設BP=BQ=x, 則
解得： (舍), ∴BP白的長為

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