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第5節(jié) 菱形存在性問(wèn)題
前言：與矩形相似，菱形存在性問(wèn)題也可從兩個(gè)角度來(lái)考慮，即從等腰到菱形或從平四到菱形，具體方法選擇還需具體問(wèn)題具體分析.
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知 識(shí) 導(dǎo) 航
問(wèn)題探究
先從菱形的判定著手考慮：
判定1：有一組鄰邊相等的平行四邊形菱形；
判定2：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；
判定3：四邊都相等的四邊形是菱形.
菱形除了具有平行四邊形的性質(zhì)之外，還有“鄰邊相等”，但這兩者其實(shí)是等價(jià)的，故若四邊形ABCD 是菱形，則其4個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)需滿足：
即根據(jù)菱形的圖形性質(zhì)，我們可以列出關(guān)于點(diǎn)坐標(biāo)的 3個(gè)等式，故菱形存在性問(wèn)題點(diǎn)坐標(biāo)最多可以有3個(gè)未知量，與矩形相同.
因此就常規(guī)題型而言，菱形存在性至少有2個(gè)動(dòng)點(diǎn)，多則有3個(gè)動(dòng)點(diǎn).
題型總結(jié)
(1) 2個(gè)定點(diǎn)+1個(gè)半動(dòng)點(diǎn)+1個(gè)全動(dòng)點(diǎn)； (常規(guī))
(2) 1個(gè)定點(diǎn)+3個(gè)半動(dòng)點(diǎn). (難)
方法總結(jié)
引例1：如圖，在坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)(1，1)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(5, 4), 點(diǎn)C在x軸上, 點(diǎn)D在平面中, 求D點(diǎn)坐標(biāo), 使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形.
思路1：先等腰，再菱形
在構(gòu)成菱形的4個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，必構(gòu)成等腰三角形，根據(jù)等腰存在性方法可先確定第3個(gè)點(diǎn)，
再確定第4個(gè)點(diǎn).
解析：先求點(diǎn) C使得△ABC是等腰三角形，再考慮點(diǎn)D.
(1) 當(dāng)AB=AC時(shí),
C點(diǎn)坐標(biāo)為( ，對(duì)應(yīng)D 點(diǎn)坐標(biāo)為(
C點(diǎn)坐標(biāo)為 ，對(duì)應(yīng)D點(diǎn)坐標(biāo)為(
(2) 當(dāng)BA=BC時(shí),
C點(diǎn)坐標(biāo)為 (8, 0), 對(duì)應(yīng)D點(diǎn)坐標(biāo)為(4, - 3);
C點(diǎn)坐標(biāo)為(2, 0), 對(duì)應(yīng)D 點(diǎn)坐標(biāo)為(-2, - 3).
(3) AC=BC時(shí),
C點(diǎn)坐標(biāo)為( , ),D點(diǎn)坐標(biāo)為 (,s).
思路2：先平四，再菱形
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平四存在性要求列出“A+C=B+D”(AC、BD為對(duì)角線)，再結(jié)合一組鄰邊相等，得到方程組.
解析: 設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(m, 0), D 點(diǎn)坐標(biāo)為 (p, q).
(1)當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，由題意得：(AB和CD互相平分及AC=BC)
解得：
(2)當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，由題意得：(AC和BD互相平分及BA=BC)
解得： 或
(3) 當(dāng)AD為對(duì)角線時(shí)，由題意得：
解得：
方法辨析
從計(jì)算角度來(lái)看，可優(yōu)先考慮“先等腰，再菱形”.
引例2: (2018·衡陽(yáng)改編) 如圖, 已知直線y=-2x+4分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，拋物線過(guò)A、B兩點(diǎn)，點(diǎn) P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn), 過(guò)點(diǎn) P作PC⊥x軸于點(diǎn) C, 交拋物線于點(diǎn) D.若拋物線的解析式為 設(shè)其頂點(diǎn)為 M，其對(duì)稱軸交AB于點(diǎn) N.
(1) 求點(diǎn) M、N的坐標(biāo);
(2)是否存在點(diǎn) P，使四邊形 MNPD為菱形 并說(shuō)明理由.
解析：(1) M點(diǎn)坐標(biāo)為 N點(diǎn)坐標(biāo)為((2,3).
(2) 由題意可知MN∥PD, 故四邊形 MNPD若是菱形, 首先MN=PD, 考慮到M、N是定點(diǎn), 可先求得 設(shè).P(m,-2m+4), 則. 令 即 解得： 故P點(diǎn)坐標(biāo)為〔 , 〕,D點(diǎn)坐標(biāo)為
但此時(shí)僅僅滿足四邊形 MNPD是平行四邊形，本題要求的是菱形，故還需加鄰邊相等.
但此時(shí) P、D已定，因此接下來(lái)要做的只是驗(yàn)證鄰邊是否相等.
由兩點(diǎn)間距離公式得：PN≠M(fèi)N, 故不存在點(diǎn) P 使四邊形 MNPD 是菱形.
思考：為什么本題結(jié)論是不存在
表面上看是不滿足鄰邊相等，究其原因，是因?yàn)镸、N 是定點(diǎn)，P、D雖為動(dòng)點(diǎn)但僅僅是半動(dòng)點(diǎn)，且P、D橫坐標(biāo)相同，故本題只需一個(gè)字母便可表示出4個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，對(duì)于菱形四個(gè)點(diǎn)滿足：
若只有1個(gè)未知數(shù)或2個(gè)未知數(shù)，便出現(xiàn)方程個(gè)數(shù)>未知量個(gè)數(shù)的情況，就有可能會(huì)無(wú)解.
方程個(gè)數(shù)<未知數(shù)個(gè)量，可能無(wú)法確定有限組解；
方程個(gè)數(shù)>未知數(shù)個(gè)量，可能會(huì)無(wú)解.
特殊圖形的存在性，其動(dòng)點(diǎn)是在線上還是在平面上，是有1個(gè)動(dòng)點(diǎn)還是有2個(gè)動(dòng)點(diǎn)，都是由其圖形本身決定，矩形和菱形相比起平行四邊形，均多一個(gè)等式，故對(duì)動(dòng)點(diǎn)位置的要求可以有 3 個(gè)半動(dòng)點(diǎn)或者 1 個(gè)全動(dòng)點(diǎn)+1個(gè)半動(dòng)點(diǎn)，若減少未知量的個(gè)數(shù)，反而可能會(huì)產(chǎn)生無(wú)解的情況.
真 題 演 練
綜合與探究
如圖，拋物線 與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn), OA=2, OC=6, 連接AC和BC.
(1) 求拋物線的解析式；
(2)若點(diǎn) M是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn) N，使以點(diǎn)A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形 若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)； 若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
2. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABC的邊BC在x軸上, ∠ABC=90°, 以A 為頂點(diǎn)的拋物線 經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(3,0),交y軸于點(diǎn)E(0,3),動(dòng)點(diǎn) P在對(duì)稱軸上.
(1) 求拋物線解析式；
(2) 若點(diǎn) M是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，在x軸上方是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn) P、M、E、C為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的 M點(diǎn)坐標(biāo)； 若不存在，說(shuō)明理由.
3. 綜合與探究
如圖1所示, 直線y=x+c與x軸交于點(diǎn)A (-4, 0), 與y軸交于點(diǎn) C，拋物線 經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C.
(1) 求拋物線的解析式
(2) 如圖2所示，M是線段OA 的上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M垂直于 x 軸的直線與直線 AC 和拋物線分別交于點(diǎn) P、N. 若點(diǎn) P恰好是線段MN的中點(diǎn)，點(diǎn) F是直線AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn) D，使以點(diǎn) D、F、P、M為頂點(diǎn)的四邊形是菱形 若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)； 若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
4. 如圖，拋物線 與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn) C，已知拋物線的對(duì)稱軸所在的直線是 點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4, 0).
(1) 求拋物線解析式；
(2) 若M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn) N，使得點(diǎn) B、C、M、N構(gòu)成的四邊形是菱形，若存在，求出點(diǎn)N坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
第5節(jié) 菱形存在性問(wèn)題
1.解析: (1) 拋物線:
(2)先考慮 M點(diǎn)位置，即由A、C、M三點(diǎn)構(gòu)成的三角形是等腰三角形：
①當(dāng)CA=CM時(shí), 即
M點(diǎn)坐標(biāo)為
對(duì)應(yīng)N點(diǎn)坐標(biāo)為
②當(dāng)AC=AM時(shí), 即. M點(diǎn)坐標(biāo)為(0, 6), 對(duì)應(yīng)N點(diǎn)坐標(biāo)為 (2, 0).
③當(dāng)MA=MC時(shí)，勾股定理可求得M點(diǎn)坐標(biāo)為 應(yīng)N點(diǎn)坐標(biāo)為
綜上，N點(diǎn)坐標(biāo)為((-2,-2 )、(-2,2 )、(2, 0)、
2.解析: (1) 拋物線:
(2)先考慮P點(diǎn)位置，由P、E、C三點(diǎn)構(gòu)成的三角形是等腰三角形.
①當(dāng)EC=EP時(shí),
由 得 又點(diǎn)P在對(duì)稱軸x=1上，勾股定理解得P點(diǎn)坐標(biāo)為 (舍),根據(jù)點(diǎn)的平移推得M點(diǎn)坐標(biāo)為(4， ).
②當(dāng)CE=CP時(shí),
即 勾股定理解得 P 點(diǎn)坐標(biāo)為(1， )、 (舍),
根據(jù)點(diǎn)的平移推得M點(diǎn)坐標(biāo)為
③當(dāng)PE=PC時(shí),
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1, m),
解得: m=1, 故 P 點(diǎn)坐標(biāo)為(1, 1),
對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M坐標(biāo)為 (2, 2).
綜上所述，M點(diǎn)坐標(biāo)為((4, )、(-2,3+ )、(2, 2).
3.解析：(1) 拋物線解析式：
(2) 設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為(m, 0)(-4則N點(diǎn)坐標(biāo)為 P點(diǎn)坐標(biāo)為(m, m+4),
若P是MN中點(diǎn)，則
解得： (舍), 故P(-1, 3)、M(-1, 0).考慮到F點(diǎn)在直線AC上，故可先確定F點(diǎn)位置，再求得D點(diǎn)坐標(biāo), 當(dāng)PM=PF時(shí),
PF=3,可得 對(duì)應(yīng)
當(dāng)MP=MF時(shí),
MP=MF, 可得F (-4,0), 對(duì)應(yīng)D點(diǎn)坐標(biāo)為D (-4,3).
當(dāng)FP=FM時(shí),
FP=FM, F點(diǎn)在 PM垂直平分線上, 可得 對(duì)應(yīng)D 點(diǎn)坐標(biāo)為
綜 上 所 述 , D 點(diǎn) 坐 標(biāo) 有
4.解析: (1) 拋物線:
(2) 本題是“兩定兩動(dòng)”，但兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)一個(gè)在x軸上，一個(gè)在拋物線上，均為半動(dòng)點(diǎn)，故只需兩個(gè)字母即可表示，未知量個(gè)數(shù)少于方程個(gè)數(shù)，結(jié)果可能會(huì)無(wú)解.
設(shè) M 點(diǎn)坐標(biāo)為(m, 0), N 點(diǎn)坐標(biāo)為 又B(4, 0)、C(0, 2).
當(dāng) CB為對(duì)角線時(shí)，取對(duì)角線互相平分及MB=MC，可得：
方程組無(wú)解，故這種情況不存在；
當(dāng)CM為對(duì)角線時(shí)，取對(duì)角線互相平分及BC=BM，可得：
方程組依然無(wú)解； 這種情況也不存在；
當(dāng) CN為對(duì)角線時(shí)，取對(duì)角線互相平分及CB=CM，可得：
方程組還是無(wú)解.
綜上，不存在這樣的M、N.

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