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第4節(jié) 矩形存在性問(wèn)題
前言：在平行四邊形的基礎(chǔ)上，可繼續(xù)探究矩形及菱形的存在性問(wèn)題，分析不同圖形之間的聯(lián)系與區(qū)別，可找到正確解題之道.
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問(wèn)題探究
先從矩形的判定著手考慮：
判定1：有一個(gè)角是直角的平行四邊形；
判定2：對(duì)角線相等的平行四邊形；
判定3：有三個(gè)角為直角的四邊形.
矩形除了具有平行四邊形的性質(zhì)之外，還有“對(duì)角線相等”，因此相比起平行四邊形，坐標(biāo)系中的矩形ABCD滿足以下3個(gè)等式：
因此在矩形存在性問(wèn)題最多可以有3個(gè)未知量，代入可以得到三元一次方程組，可解.
確定了有3個(gè)未知量，則可判斷常見(jiàn)矩形存在性問(wèn)題至少有2個(gè)動(dòng)點(diǎn)，多則可以有3個(gè).
題型總結(jié)
(1) 2個(gè)定點(diǎn)+1個(gè)半動(dòng)點(diǎn)+1個(gè)全動(dòng)點(diǎn)； (常規(guī))
(2) 1個(gè)定點(diǎn)+3個(gè)半動(dòng)點(diǎn).(難)
方法總結(jié)
引例1: 已知A(1, 1)、B(4, 2), 點(diǎn) C在x軸上, 點(diǎn) D在平面中，且以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，求D點(diǎn)坐標(biāo).
思路1：先直角，再矩形
在構(gòu)成矩形的4個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，必構(gòu)成直角三角形，以此為出發(fā)點(diǎn)，可先確定其中3個(gè)點(diǎn)構(gòu)造直角三角形，再確定第4個(gè)點(diǎn). 對(duì)“2定+1半動(dòng)+1全動(dòng)”尤其適用.
解析：點(diǎn)C滿足以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，構(gòu)造“兩線一圓”可得滿足條件的點(diǎn) C有：
q( ,0)、c ( ,0)、c (,0)、c (2,0)、C (3,0).
在點(diǎn)C的基礎(chǔ)上，借助點(diǎn)的平移思路，即可得點(diǎn) D 的坐標(biāo).
思路2：先平四，再矩形
當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，A、B、C、D滿足以下3個(gè)等式，則為矩形：
其中第1、2個(gè)式子是平行四邊形的要求，再加上式3可為矩形. 表示出點(diǎn)坐標(biāo)后，代入點(diǎn)坐標(biāo)解方程即可.
解析: 設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(a, 0), D點(diǎn)坐標(biāo)為 (b, c),又A (1, 1)、B (4, 2).
(1) AB 為對(duì)角線時(shí), 滿足此條件的 C、D使得以 A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，另外AB=CD, 得: 解得： 3
∴C(3, 0)、D (2, 3) 或C(2, 0)、D (3, 3).
(2) AC為對(duì)角線時(shí), 另外AC=BD,得
解得：
(3) AD為對(duì)角線時(shí), 另外AD=BC,得
解得：
綜上, 點(diǎn)D坐標(biāo)為(2,3)或(3,3)或 或( ,1).
方法辨析
從計(jì)算角度來(lái)看，可優(yōu)先考慮“先直角，再矩形”.
引例2:(2018·遼陽(yáng)改編) 如圖, 直線y=x-3與坐標(biāo)軸交于 A、B兩點(diǎn)，拋物線 經(jīng)過(guò)點(diǎn) B，與直線y=x-3交于點(diǎn)E(8, 5), 且與x軸交于C、D兩點(diǎn).
(1) 求拋物線的解析式；
(2) 點(diǎn)P 在拋物線上，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn) Q，使得以點(diǎn) P、Q、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是矩形 若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)； 若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
解析: (1) 拋物線:
(2) 先確定 P 點(diǎn)使得由 P、B、C構(gòu)成的三角形為直角三角形，設(shè)P 點(diǎn)坐標(biāo)為
①當(dāng)∠PBC=90°時(shí), 構(gòu)造三垂直相似: △PEB∽△BFC,
BE=-m, BF=6-0=6, CF=3,
由相似可知： 即
解得： (舍),代入得 P 點(diǎn)坐標(biāo)為(-4,5),根據(jù)點(diǎn)的平移可知對(duì)應(yīng)的Q 點(diǎn)坐標(biāo)為(2，8).
②當(dāng)∠PCB=90°時(shí), 同理可構(gòu)造相似:
解得： m =-10, m =6 (舍)
代入得 P 點(diǎn)坐標(biāo)為(-10，32)，根據(jù)點(diǎn)的平移可知對(duì)應(yīng)的Q點(diǎn)坐標(biāo)為(-16, 29).
另外以BC為直徑作圓，與拋物線并無(wú)交點(diǎn)，
∴不存在以 P點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的情況.
綜上所述, Q點(diǎn)坐標(biāo)為(2, 8) 或(-16, 29).
真 題 演 練
1. 如圖, 拋物線 交 x軸于點(diǎn) A、B, 交y軸于點(diǎn) C. 點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(3, 0) 點(diǎn) C的坐標(biāo)為(0，3)，點(diǎn)C與點(diǎn) D關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱.
(1) 求拋物線的解析式；
(2) 若點(diǎn) P 為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn), 連接BD, 以PD, PB為邊作平行四邊形 PDNB，是否存在這樣的點(diǎn) P，使得平行四邊形 PDNB 是矩形 若存在,請(qǐng)求出 tan∠BDN的值； 若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
2. 如圖, 拋物線 與x軸交于點(diǎn)A (-1, 0), 點(diǎn) B (-3, 0), 且OB=OC.
(1) 求拋物線的解析式；
(2) 拋物線上兩點(diǎn) M, N, 點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m, 點(diǎn)N 的橫坐標(biāo)為 m+4. 點(diǎn)D 是拋物線上 M、N之間的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作y軸的平行線交 MN于點(diǎn)E.
①求 DE的最大值；
②點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)E的對(duì)稱點(diǎn)為F，當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形 MDNF為矩形.
3. 如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，直線 與x軸交于A，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的拋物線 的對(duì)稱軸是
(1) 求拋物線的解析式；
(2) 平移直線 l 經(jīng)過(guò)原點(diǎn) O, 得到直線 m, 點(diǎn)P 是直線 m上任意一點(diǎn), PB⊥x軸于點(diǎn)B, PC⊥y軸于點(diǎn) C, 若點(diǎn) E 在線段 OB 上, 點(diǎn)F 在線段 OC 的延長(zhǎng)線上, 連接PE, PF, 且PF=3PE. 求證: PE⊥PF;
(3)若(2)中的點(diǎn)P坐標(biāo)為(6, 2), 點(diǎn)E是x軸上的點(diǎn),點(diǎn) F是 y軸上的點(diǎn)，當(dāng) PE⊥PF時(shí)，拋物線上是否存在點(diǎn) Q，使四邊形 PEQF 是矩形 如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
第4節(jié) 矩形存在性問(wèn)題
1.解析: (1) 拋物線:
(2) 已知點(diǎn) P在對(duì)稱軸直線x=1上，可求得P 點(diǎn)坐標(biāo)使得∠P=90°. 如圖,記對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)為E點(diǎn), 過(guò)點(diǎn)D作DF垂直對(duì)稱軸于 F點(diǎn).
當(dāng)P點(diǎn)滿足 時(shí), 即可得: △PFD∽△BEP.
設(shè)PE=a, PF=b, 則 解得： 或
當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(-1, 2) 時(shí),
當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(-1, 1) 時(shí), tan∠BDN=tan∠PBD=1.
2.解析: (1) 拋物線:
(2)①由題意可知：
由題意得：
直線MN:
整理得：
設(shè) D 點(diǎn) 坐 標(biāo)為 則 E 點(diǎn) 坐 標(biāo)為
故當(dāng)d=m+2時(shí), DE取到最大值為4.
②若四邊形 MDNF 是矩形，根據(jù)對(duì)角線互相平分，則E 點(diǎn)必為 MN 中點(diǎn)，故E 點(diǎn)橫坐標(biāo)為 m+2，則D 點(diǎn)橫坐標(biāo)也為m+2, 且由①可知, 此時(shí)DE=4,
又矩形對(duì)角線相等，因此只要滿足MN=8，則有矩形 MDNF.
解得：
∴當(dāng)m為 或 時(shí), 四邊形 MDNF 是矩形.
補(bǔ)充：考慮到第①問(wèn)中已經(jīng)得到了 DE=4，故本題優(yōu)先考慮利用對(duì)角線相等求解，事實(shí)上，構(gòu)造三垂直使△MDN是直角三角形，也可以解決問(wèn)題.
構(gòu)造△MED∽△DFN,
即
同樣可解得：
3.解析:(1)由題意得: A(4,0), 根據(jù)對(duì)稱軸可知: a=1,將(4, 0) 代入解析式得: c=-4,
∴拋物線：
(2) 易證△PCF∽△PBE, 可得; PE⊥PF.
(3) P 點(diǎn)為定點(diǎn)(6, 2), E是x軸上動(dòng)點(diǎn), F是y軸上動(dòng)點(diǎn)，Q是拋物線上動(dòng)點(diǎn)，且四邊形為 PEQF，確定了點(diǎn)的順序，無(wú)需分類討論.
法1: 設(shè).E(a, 0)、F(0, b)、 又A(6,
2)，由矩形可列方程組：
解得： 或
∴Q 點(diǎn)坐標(biāo)為(2, - 6)、(-2, 6).
這種做法思路并不麻煩，難點(diǎn)在于解方程組，將式 1、式2代入式 3 中，兩邊平方之后移項(xiàng)構(gòu)造平方差，可簡(jiǎn)便得解.
法2: 有問(wèn)題(2)作鋪墊, 當(dāng)PE⊥PF時(shí), 始終有△PCF∽△PBE, 且相似比為3: 1,
①當(dāng)E點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)在 C點(diǎn)上方，
不妨設(shè)BE=m, 則CF=3m,
根據(jù)點(diǎn)的平移可得：Q點(diǎn)坐標(biāo)為(-m，3m)，
代入拋物線解析式： 解得：
(舍). 此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(2, - 6);
②當(dāng)E點(diǎn)在 B 點(diǎn)右側(cè)時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)在 C點(diǎn)下方，
同理可得m的值為-2, 對(duì)應(yīng)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(-2, 6).
綜上所述, Q點(diǎn)坐標(biāo)為 (2, - 6)、(-2, 6).

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