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第8講 尺規作圖
前言：近來越來越多省市中考題中出現尺規作圖的影子，尺規作圖名義上是作圖題，實則蘊藏著推理與計算，了解每一步作圖背后的原理，會發現這是個很有趣的話題.
知 識 導 航
尺規作圖
(1) 定義：用無刻度的直尺和圓規作圖.
即兩個基本操作：
①過確定兩點畫直線；
②以確定點為圓心，確定的兩點間距離為半徑畫圓.
(2)5種基本作圖
①作一條線段等于已知線段.
作法：作射線AP，以點A為圓心，a為半徑作圓，與射線AP交于點B, 則AB=a.
②作一個角等于已知角.
作法: 作 PC=OB, CD=BA, 又∵PD=PC=OB=OA,∴△PDC≌△OAB, ∴∠DPC=∠AOB.
③作已知線段的垂直平分線.
作法：分別以A、B為圓心，線段 為半徑作圓, 交點是 C、D, 連接CD.
則直線CD 即為線段AB的垂直平分線.
④作已知角的角平分線.
作法：以點O為圓心作圓與角兩邊分別交于A、B，分別以A、B為圓心， 為半徑作圓相交于點 C、D, 連接OC(或OD), 即為∠AOB的角平分線.
⑤過一點作已知直線的垂線.
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作法: 以點P為圓心作圓與AB 交于 C、D, 分別以 C、D為圓心， 為半徑作圓交于 E、F，連接EF，EF即為AB的垂線.
引例1: 如圖, 點 M 和點 N在∠AOB 內部.
(1) 請你作出點P，使點P到點 M和點N的距離相等，且到∠AOB 兩邊的距離也相等(保留作圖痕跡，不寫作法);
(2) 請說明作圖理由.
解析: (1) 點P 如圖所示;
(2) 點 P 到M、N距離相等, 即點 P在線段 MN的垂直平分線上, 點 P 到∠AOB 的兩邊距離相等, 即點 P 在∠AOB的角平分線上，∴分別作 MN的垂直平分線和∠AOB 的角平分線，交點即為所求 P點.
(3) 推理與計算
尺規作圖的背后，每一步都蘊含著推理與計算，看似是作圖題，實則是幾何問題. 確定要作的點或線滿足的特殊幾何關系，是解題的關鍵.
引例2: 如圖, ∠BPD=120°, 點A、C分別在射線PB、PD上, ∠PAC=30°, AC=2
(1)用尺規在圖中作一段劣弧，使得它在A、C兩點分別與射線 PB和 PD 相切. 要求：寫出作法，并保留作圖痕跡；
(2) 求所得的劣弧與線段 PA、PC圍成的封閉圖形的面積.
解析: (1) 如圖, ∵∠BPD=120°, ∠PAC=30°,∴∠PCA=30°, 即△PAC是等腰三角形.
分別以A、C為圓心，AC的長為半徑作圓，兩圓交點記為O，連接 OA、OC, 則 OA=OC, 以點 O 為圓心, OA 為半徑作AC , 此時與射線PB、PD均相切.
(2) ∵AC=2 , ∴PA=PC=2,
∴該劣弧與PA、PC圍成的封閉圖形的面積為
2單尺作圖
(1) 單尺作圖：僅用無刻度的直尺作圖.
(2)作圖思路：單尺只能作直線，重點分析已知條件，從已有的點、線關系分析出要求的點、線位置.與尺規作圖相比，單尺作圖能做的事情更少，所以需要的條件更多.
引例3:在△ABC中, AB=AC, 點A在以BC為直徑的半圓內. 請僅用無刻度的直尺分別按下列要求畫圖(保留畫圖痕跡).
(1) 在圖1中作弦EF使EF∥BC;
(2)在圖2中以BC為邊作一個45°的圓周角.
解析：(1)如圖，分別延長BA、CA，與半圓分別交于點 F、E, 連接EF, 則EF∥BC.
(2)分別連接BE、CF并延長交于一點，連接該點與A，與半圓相交，連接B點與交點，則有45°角.
3格點作圖
(1) 格點作圖：即在正方形方格紙中按要求完成作圖.
(2)作圖思路：充分發揮正方形方格紙的作用，可以作平行線、垂線、相等線段等.
引例4:如圖, 在7×6的方格中, △ABC的頂點均在格點上. 試按要求畫出線段EF(E、F均為格點)，各畫出一條即可.
解析：如圖所示.
真 題 演 練
1. 如圖, 在菱形ABCD 中, ∠A=30°, 取大于 AB 的長為半徑，分別以點A、B為圓心作弧相交于兩點，過此兩點的直線交AD邊于點E(作圖痕跡如圖所示)，連接BE、BD. 則∠EBD的度數為 .
2. 如圖,在等腰△ABC中, BC=8，按下列步驟作圖：
①以點A 為圓心，適當的長度為半徑作弧，分別交AB，AC于點E，F，再分別以點E，F為圓心，大于 EF 的長為半徑作弧相交于點 H，作射線AH；
②分別以點A，B為圓心，大于 AB的長為半徑作弧相交于點 M, N, 作直線MN, 交射線AH于點 O;
③以點O為圓心，線段OA長為半徑作圓.
則⊙O的半徑為( )
A. 2 B. 10 C. 4 D. 5
3.如圖, 在△ABC中, 按以下步驟作圖:①以點B為圓心，任意長為半徑作弧，分別交AB、BC于點D、E.
②分別以點D、E為圓心，大于 DE 的同樣長為半徑作弧，兩弧交于點F.
③作射線BF交AC于點 G.
如果AB=8, BC=12, △ABG的面積為18, 則△CBG的面積為 .
4. 已知: △ABC.
求作：⊙O，使它經過點B 和點 C，并且圓心O在∠A的平分線上.
5.請用直尺、圓規作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡.
已知: ∠α, 直線l及l上兩點A、B.
求作: Rt△ABC, 使點C在直線l的上方, 且∠ABC=90°,∠BAC=∠α.
6.已知: 如圖,∠ABC,射線BC上一點D.求作: 等腰△PBD, 使線段BD為等腰△PBD 的底邊, 點 P在∠ABC內部，且點P到∠ABC兩邊的距離相等.
7. 如圖,已知△ABC, AC>AB ,∠C=45°.請用尺規作圖法, 在AC邊上求作一點 P, 使∠PBC=45°.(保留作圖痕跡，不寫作法，答案不唯一)
8.如圖, 已知: 在正方形 ABCD中, M是BC邊上一定點，連接AM. 請用尺規作圖法，在AM上作一點 P, 使△DPA∽△ABM. (不寫作法, 保留作圖痕跡)
9. 在 Rt△ABC中, ∠C=90°.
(1)如圖1, 點O在斜邊AB上, 以點O為圓心, OB長為半徑的圓交AB 于點 D, 交 BC于點 E, 與邊 AC 相切于點 F. 求證: ∠1=∠2;
(2) 在圖2中作⊙M，使它滿足以下條件：
①圓心在邊AB上; ②經過點 B; ③與邊AC相切.(尺規作圖，只保留作圖痕跡，不要求寫出作法)
10.(1) 如圖1, 已知EK垂直平分 BC, 垂足為D, AB 與EK相交于點F, 連接CF.
求證: ∠AFE=∠CFD.
(2)如圖2,在 Rt△GMN中,∠M=90°,P為MN的中點.
①用直尺和圓規在 GN 邊上求作點 Q, 使得∠GQM=∠PQN(保留作圖痕跡，不要求寫作法)；
②在①的條件下，如果∠G=60°，那么Q是GN的中點嗎 為什么
11.如圖, 已知△ABC是銳角三角形(AC(1)請在圖1中用無刻度的直尺和圓規作圖：作直線l，使l上的各點到 B、C兩點的距離相等； 設直線l與AB、BC分別交于點 M、N，作一個圓，使得圓心O在線段MN 上, 且與邊 AB、BC 相切;(不寫作法, 保留作圖痕跡)
(2) 在(1) 的條件下, 若 則⊙O的半徑為 .
12. 如圖,點O在∠ABC的邊BC上,以OB為半徑作⊙O, ∠ABC的平分線 BM交⊙O于點 D, 過點 D作DE⊥BA于點 E.
(1) 尺規作圖(不寫作法，保留作圖痕跡)，補全圖形；
(2) 判斷⊙O與DE交點的個數，并說明理由.
13. 如圖, 在四邊形 ABCD中, AB∥CD,AB=2CD，E為AB 的中點，請僅用無刻度的直尺分別按下列要求畫圖(保留畫圖痕跡).
(1) 在圖1中, 畫出△ABD的BD邊上的中線;
(2)在圖2中, 若BA=BD, 畫出△ABD的AD邊上的高.
14.在6×6的方格紙中, 點A、B、C都在格點上，按要求畫圖：
(1) 在圖 1 中找一個格點 D, 使以點 A、B、C、D 為頂點的四邊形是平行四邊形.
(2)在圖2中僅用無刻度的直尺，把線段AB三等分(保留畫圖痕跡，不寫畫法).
15.按要求作圖，不要求寫作法，但要保留作圖痕跡.
(1) 如圖1，A為⊙O上一點，請用直尺(不帶刻度) 和圓規作出⊙O的內接正方形；
(2)我們知道，三角形具有性質：三邊的垂直平分線相交于同一點，三條角平分線相交于一點，三條中線相交于一點，事實上，三角形還具有性質：三條高所在直線相交于一點.
請運用上述性質，只用直尺(不帶刻度) 作圖.
①如圖2, 在平行四邊形 ABCD中, E為CD 的中點,作BC的中點F.
②如圖3，在由小正方形組成的4×3的網格中，△ABC的頂點都在小正方形的頂點上，作△ABC的高AH.
第8講 尺規作圖
1.45° .
解析: 由題意得: EA=EB,∴∠ABE=∠BAE=30°,又∠ABD=∠ADB=75°, ∴∠EBD=45°.
2.D.
解析：勾股定理設未知數列方程可得 r=5，故選 D.
3.27.
解析: 由題意得 BG 平分∠ABC, 又
4.解析：如圖.
5.解析：如圖，先構造相等角，再過點B作AB的垂線.
6.解析：如圖.
7.解析：如圖.
8.解析: 如圖, 作AN=BM, 則△DAN≌△ABM,∴△DPA∽△ABM.
9.解析: (1) 連接OF, 則OF⊥AC, 又BC⊥AC,
∴OF∥BC, ∴∠OFB=∠1,
∵OF=OB, ∴∠OFB=∠2, ∴∠1=∠2.
(2) 如圖所示.(先作∠ABC角平分線，再確定圓心M)
10. 解析: (1) ∵EK 垂直平分 BC, ∴FB=FC,∴∠CFD=∠BFD, 又∵∠AFE=∠BFD, ∴∠AFE=∠CFD.
(2)①如圖
②Q是GN的中點.
連接M'N, 若∠G=60°, 則∠GNM=30°, ∠MNM'=60°,
∴△MM'N是等邊三角形, ∵點P是 MN的中點,
∴M'P⊥MN, ∴QM=QN, ∠QMN=∠QNM=30°,
∴∠QMG=60°, ∴QM=QG, ∴QG=QN,
即點Q是GN中點.
11.解析：(1) 如圖，分別作BC的垂直平分線和∠ABC的角平分線，交點即為圓心O.
利用特殊角的三角函數值，可得⊙O的半徑為
12.解析: (1) 如圖.
(2) 1個交點.
連接OD,則OD=OB,∴∠OBD=∠ODB,∵BD平分∠ABC,∴∠EBD=∠OBD, ∴∠ODB=∠EBD, ∴OD∥AB,∵DE⊥AB, ∴OD⊥DE, ∴OD是⊙O的切線,∴⊙O和DE只有1個交點.
13. 解析: (1) 如圖, AM 即為BD邊的中線;
(2) 如圖, BH即為AD邊上的高.
14解析：如圖.
15.解析：(1) 如圖，連接AO并延長與圓相交，再作該直徑的垂直平分線，即可得正方形.
(2)①連接AC、BD交于點M, 則M是BD中點, 連接BE與CM相交，交點即為三條中線交點，連接D與該交點并延長，與BC中點即為F.
②如圖, 先作AC、AB邊的高, 再得BC邊的高AH.

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