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第7講 拋物線的幾何定義
前言：我們已經(jīng)知道二次函數(shù)的圖像是拋物線，一種特別的曲線，其本身還具有這樣的性質(zhì)：拋物線上的任意一點(diǎn)到平面中某個(gè)定點(diǎn)和某條定直線的距離始終相等.這個(gè)點(diǎn)稱為拋物線的焦點(diǎn)，這條直線稱為拋物線的準(zhǔn)線，這也是拋物線的定義.焦點(diǎn)和準(zhǔn)線本屬于高中內(nèi)容，所謂高中內(nèi)容下放也是中考中所常見的.
知 識(shí) 導(dǎo) 航
定義認(rèn)識(shí)
引例 1：我們知道，二次函數(shù)的圖像是拋物線，它也可以這樣定義: 若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M(x, y) 到定點(diǎn)A(0, R)的距離與它到定直線 的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)M形成的圖形就叫拋物線
(1) 已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x, y)到定點(diǎn)A(0, 4) 的距離與到定直線y=-4的距離相等，請(qǐng)寫出動(dòng)點(diǎn) M形成的拋物線的解析式.
(2) 若點(diǎn) D 的坐標(biāo)是 (1, 8),在(1) 中求得的拋物線上是否存在點(diǎn) P，使得PA+PD最短 若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.
解析: (1) 由題意得: 過點(diǎn)M作MB⊥直線y=-4, 垂足記為B點(diǎn),
則MB=|y-(-4)|=|y+4|,
∴MA=MB, 即
兩邊平方，化簡(jiǎn)得：
故M 點(diǎn)形成的拋物線的解析式為
(2) 過P點(diǎn)做 PQ⊥直線y=-4, 則 PA=PQ, 故求 PA+PD最短, 即求PQ+PD最短.
過點(diǎn) D 作直線y=-4的垂線，與拋物線交點(diǎn)即為 P 點(diǎn)，垂足為Q, 此時(shí)PQ+PD最短,
PA+PQ=PD+PQ=DQ=8, 為最小值,此時(shí) P 點(diǎn)坐標(biāo)為(1, ).
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結(jié)論總結(jié)
(1) 對(duì)于拋物線.y=ax ,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0, ),準(zhǔn)線為直線
焦點(diǎn)一般會(huì)用字母F表示. 二次項(xiàng)系數(shù)多是 對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0, 1),準(zhǔn)線為y=-1.
至于形如 的拋物線，可化為頂點(diǎn)式 由 平移來(lái)確定焦點(diǎn)和準(zhǔn)線.
(2) 連接拋物線上兩點(diǎn) P、Q, 經(jīng)過點(diǎn) F, 分別過 P、Q作準(zhǔn)線l的垂線, 垂足分別是 N、M, 連接FM、FN.
結(jié)論: FM⊥FN.
證明: 設(shè)∠NPF=α, ∠MQF=β, 則α+β=180°,
∴FM⊥FN.
(3) 取PQ中點(diǎn)E, 作EH⊥x軸交x軸于H點(diǎn).
結(jié)論: PH⊥QH.
證明：延長(zhǎng)PH與QM延長(zhǎng)線相交，構(gòu)造等腰三角形證明垂直關(guān)系.
(4) 記MN與y軸交于點(diǎn) G.
結(jié)論：
引例2：已知拋物線 經(jīng)過點(diǎn)A (0, 1),
AB∥x軸交拋物線于 B，M為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn) P 為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為n.
(1)直接寫出a= ;線段PM的長(zhǎng)為 .(用n的代數(shù)式表示)
(2) P不為拋物線的頂點(diǎn). 如圖，延長(zhǎng)PM交拋物線于 Q，請(qǐng)證明：
解析： 線段PM的長(zhǎng)為n；
(2) 分別過 P、M、Q作x軸垂線, 垂足分別為 C、D、E.則PM=PC, QM=QE, 即證明:
連接 EM 并延長(zhǎng)與 CP 延長(zhǎng)線交于點(diǎn) F，連接 CM 并延長(zhǎng)與EQ延長(zhǎng)線交于點(diǎn) G，
△MPF∽△MQE, 設(shè) PM=PC=a, 則 PF=PM=a, ∴CF=2a,
△MQG∽△MPC,設(shè)QM=QE=b,則QG=QM=b,∴EG=2b,
△EDM∽△ECF, ∴MD=EDEC,
△CDM∽△CEG, ∴DD=CDCE
即
題型分析
(1) 已知焦點(diǎn)與準(zhǔn)線，證明相等關(guān)系.
思路：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，分別表示兩線段長(zhǎng)即可得相等關(guān)系.
(2) 已知拋物線解析式確定焦點(diǎn).
思路：可先通過特殊點(diǎn)的位置確定焦點(diǎn)坐標(biāo)，再證明對(duì)拋物線上的任意點(diǎn)，均滿足到焦點(diǎn)與準(zhǔn)線距離相等.
引例3:如圖，點(diǎn)P為拋物線 上一動(dòng)點(diǎn).
(1) 若拋物線 是由拋物線 通過圖像平移得到的，請(qǐng)寫出平移的過程；
(2)若直線l經(jīng)過y軸上一點(diǎn)N，且平行于x軸，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(0, - 1), 過點(diǎn) P作PM⊥l于 M.
①問題探究：如圖一，在對(duì)稱軸上是否存在一定點(diǎn) F，使得PM=PF恒成立 若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由.
②問題解決:如圖二,若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,5),求QP+PF的最小值.
解析：(1) 向右平移2個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位；
(2) ①直線l即為拋物線的準(zhǔn)線，所求F 點(diǎn)為焦點(diǎn).
考慮特殊位置，當(dāng)P 點(diǎn)在頂點(diǎn)時(shí)，
可得F點(diǎn)坐標(biāo)為(0, 1) 或(0, - 1)(舍),
以下證明P在拋物線任意位置，均滿足 PF=PM：
設(shè)P 點(diǎn)坐標(biāo)為
則
又
∴PF=PM, ∴當(dāng)F點(diǎn)坐標(biāo)為(0, 1) 時(shí), PM=PF恒成立.
②由①可得PQ+PF=PQ+PM,
過點(diǎn)Q作QM⊥x軸，與x軸交點(diǎn)即為M點(diǎn)，與拋物線交點(diǎn)為P點(diǎn), 此時(shí)PQ+PM=QM=6, ∴QP+PF的最小值為6.
真 題 演 練
1.如圖,拋物線的頂點(diǎn)為A(h,-1),與y軸交于點(diǎn) 點(diǎn)F(2，1)為其對(duì)稱軸上的一個(gè)定點(diǎn).
(1) 求這條拋物線的函數(shù)解析式；
(2)已知直線l是過點(diǎn)C(0，-3)且垂直于y軸的定直線，若拋物線上的任意一點(diǎn) P(m，n)到直線l的距離為d，求證: PF=d;
(3) 已知坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn) D (4，3)，請(qǐng)?jiān)趻佄锞€上找一點(diǎn)Q，使△DFQ的周長(zhǎng)最小，并求此時(shí)△DFQ周長(zhǎng)的最小值及點(diǎn)Q的坐標(biāo).
2. 如圖，已知二次函數(shù)的圖像頂點(diǎn)在原點(diǎn), 且點(diǎn)(2, 1)在二次函數(shù)的圖像上, 過點(diǎn)F(0,1)作x軸的平行線交二次函數(shù)的圖像于 M、N兩點(diǎn).
(1) 求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2) 在二次函數(shù)的圖像上是否存在一點(diǎn) E，使得以點(diǎn) E 為圓心的圓過點(diǎn) F 和點(diǎn) N，且與直線y=-1相切. 若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并求⊙E的半徑； 若不存在，說明理由.
3. 如圖, 已知直線AB 與拋物線
相交于點(diǎn)A(-1, 0)和點(diǎn)B(2, 3)兩點(diǎn).
(1) 求拋物線 C函數(shù)表達(dá)式；
(2) 在拋物線 C 的對(duì)稱軸上是否存在定點(diǎn) F，使拋物線 C上任意一點(diǎn) P 到點(diǎn) F的距離等于到直線 的距離 若存在，求出定點(diǎn)F的坐標(biāo)； 若不存在，請(qǐng)說明理由.
4. 如圖1, 拋物線 與x軸的交點(diǎn)A (-3, 0) 和 B(1, 0), 與y軸交于點(diǎn) C,頂點(diǎn)為D.
(1) 求該拋物線的解析式；
(2)如圖2, 過該拋物線上任意一點(diǎn) M(m, n)向直線 l: 作垂線，垂足為E，試問在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn) F，使得 若存在，請(qǐng)求出F的坐標(biāo)； 若不存在，請(qǐng)說明理由.
5. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)，且經(jīng)過點(diǎn)(4，1)，如圖，直線 與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，直線l為y=-l.
(1) 求拋物線的解析式；
(2)知F(x ,y )為平面內(nèi)一定點(diǎn), M(m, n) 為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M到直線l的距離與點(diǎn) M到點(diǎn)F的距離總是相等，求定點(diǎn) F的坐標(biāo).
6. 如圖, 已知二次函數(shù) (a≠0, a 為實(shí)數(shù)) 的圖像過點(diǎn) A (-2, 2), 一次函數(shù)y= kx+b(k≠0,k、b為實(shí)數(shù))的圖像l經(jīng)過點(diǎn)B(0,2).
(1) 求a值并寫出二次函數(shù)表達(dá)式；
(2) 求b值;
(3)設(shè)直線l與二次函數(shù)圖像交于M、N兩點(diǎn)，過M作MC垂直x軸于點(diǎn) C, 試證明: MB=MC;
(4)在(3) 的條件下，請(qǐng)判斷以線段 MN為直徑的圓與x軸的位置關(guān)系，并說明理由.
7. 已知拋物線 的頂點(diǎn)為(1，0)，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0, )..R (1, 1) 是拋物線對(duì)稱軸l上的一點(diǎn).
(1) 求拋物線 的解析式；
(2) 若P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(如圖1)，求證：點(diǎn)P到R 的距離與點(diǎn) P 到直線y=-1的距離恒相等；
(3) 設(shè)直線PR與拋物線的另一交點(diǎn)為Q，E為線段PQ的中點(diǎn)，過點(diǎn) P、E、Q分別作直線y=-1的垂線. 垂足分別為M、F、N(如圖2). 求證: PF⊥QF.
8. 已知直線y= kx+b (k≠0)過點(diǎn)F(0, 1), 與拋物線 相交于B、C兩點(diǎn).
(1) 如圖1，當(dāng)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1時(shí)，求直線BC解析式；
(2)如圖2, 設(shè)B(m, n)(m<0), 過點(diǎn)E(0, - 1) 的直線l∥x軸,BR⊥l于R,CS⊥l于 S,連接FR、FS.試判斷△RFS的形狀，并說明理由.
第7講 拋物線的幾何定義
1.解析：(1) 由題意得頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (2，-1)，設(shè)解析式為 將點(diǎn) 代入得： ∴拋物線解析式為
(2)由題意可得直線l: y=-3.點(diǎn)P到直線l的距離為n+3; ∴PF=d.
(3) 過點(diǎn)Q 作 QH⊥直線l交直線l于點(diǎn) H, 則QH=QF,考慮DF長(zhǎng)度不變, ∴若△DFQ周長(zhǎng)最小, 即DQ+QF最小即可.如圖,當(dāng)D、Q、H共線時(shí),此時(shí)DQ+FQ=DQ+QH=DH是最小值, ∵點(diǎn)D坐標(biāo)為(4, 3), ∴DH=6,
又
∴△DFQ周長(zhǎng)的最小值為( 此時(shí)點(diǎn)Q坐標(biāo)為
2.解析：(1) 二次函數(shù)表達(dá)式為
(2) 設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為
則
過點(diǎn)E作EH⊥直線y=-1,則
∴EF=EH恒成立, 點(diǎn)E只需滿足EF=EN即可,作線段FN的垂直平分線，與拋物線交點(diǎn)即為所求點(diǎn) E，E點(diǎn)坐標(biāo)為 即⊙E的半徑為
3.解析：(1) 函數(shù)解析式：
(2) 當(dāng)點(diǎn) P在拋物線頂點(diǎn)時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(1，4)，此時(shí)點(diǎn)P到直線 的距離為
故此時(shí)點(diǎn) P 到點(diǎn) F 的距離也為 ，滿足條件的 F 點(diǎn)坐標(biāo)有 或
考慮到 在直線 上，故需舍去，F(xiàn)點(diǎn)可能的坐標(biāo)只有
接下來(lái)證明，P在拋物線任意位置，均滿足 PF 等于 P 到直線 的距離.
設(shè)P 點(diǎn)坐標(biāo)為(m,n), 過P 點(diǎn)作 PQ⊥直線 垂足記為Q點(diǎn)，則 又
∵點(diǎn)P在拋物線上， 即
即PF=PQ,
所以當(dāng)F點(diǎn)坐標(biāo)為 時(shí)，點(diǎn)P 在拋物線任意位置，均滿足PF等于 P到直線 的距離.
4.解析：(1) 拋物線解析式：
(2)設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為 點(diǎn)F坐標(biāo)為(-1,n), 則 若 則
令 代入得：
解得： ∴點(diǎn)F坐標(biāo)為
5.解析: (1) 拋物線:
(2) 猜想直線l是拋物線的準(zhǔn)線，所求F點(diǎn)為拋物線焦點(diǎn).當(dāng)M點(diǎn)在頂點(diǎn)位置時(shí)，M點(diǎn)到直線l的距離為1，
∴此時(shí)F點(diǎn)應(yīng)為(2，1).再證明M在拋物線任意位置，均有點(diǎn) M到直線l的距離與點(diǎn) M到點(diǎn) F的距離相等.
M點(diǎn)到直線l的距離為n+1，
∵M(jìn)點(diǎn)在拋物線上，
∴M 點(diǎn)到直線l的距離與 M 點(diǎn)到 F 點(diǎn)的距離始終相等，此時(shí)F點(diǎn)坐標(biāo)為(2, 1).
6.解析： 二次函數(shù)表達(dá)式：
(2) b=2;
(3) 由問題可推測(cè)B點(diǎn)即拋物線焦點(diǎn)，x軸是拋物線準(zhǔn)線.設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為
則
得
又
∴MB=MC.
(4) 相切
過點(diǎn)N作ND⊥x軸交x軸于點(diǎn) D, 由(3) 可得NB=ND,取MN中點(diǎn)P, 過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q,
則
若以MN為直徑作圓，則P點(diǎn)為圓心，又 ∴以MN為直徑的圓與x軸相切.
7.解析: (1) 解析式:
(2) 設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為
則
∴PR=PM.
(3)類比:如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,且CD=AD+BC, E點(diǎn)為AB邊中點(diǎn), 連接EC、ED, 求證:EC⊥ED.
考慮到 E 點(diǎn)為 AB 邊中點(diǎn), 倍長(zhǎng)中線. 延長(zhǎng)DE 與 CB 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) F，
易證△AED≌△BEF, ∴AD=BF,
∴CF=CB+BF=CB+AD=CD,
易證△CED≌△CEF(SSS),
∴∠CED=90°, ∴CE⊥DE.
對(duì)于本題, 同理可證 PF⊥QF.
8.解析：(1) 由題意得點(diǎn)C坐標(biāo)為
∴直線BC解析式為
(2)△RFS是直角三角形. 不妨把問題單獨(dú)拿出來(lái)看：如圖, 在直角梯形ABCD中, AD∥BC, ∠A=90°, E是CD邊一點(diǎn)且滿足 DA=DE, CB=CE, 連接AE、BE, 求證: AE⊥BE.
設(shè)∠D=α, ∠C=β, 則α+β=180°,
∴AE⊥BE.
類似可證明本題中的△RFS是直角三角形.

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