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第2節 相等角的構造
前言：在了解特殊角的基礎上，可構造相等角，若存在特殊位置關系，則從位置考慮； 若無特殊位置關系，可用三角函數度量并構造.
知 識 導 航
構造相等角
(1) 平行：兩直線平行，同位角、內錯角相等；
平行: ∠1=∠3, ∠2=∠3
(2) 角平分線：角平分線分的兩個角相等；
角平分線: ∠1=∠2
(3) 等腰三角形：等邊對等角；
(4) 全等(相似) 三角形：對應角相等；
全等三角形: ∠1=∠2
(5) 圓周角定理：同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等.
(6) 三角函數：若兩個角的三角函數值相等，則這兩個角相等；
三角函數: 若tan∠1=tan∠2, 則∠1=∠2
構造相等角，先考慮是否有特殊位置關系，作恰當的幾何構造，若無明顯位置關系，再考慮度量角，即用三角函數值構造相等角. 思路多未必是好事，挑出關鍵性條件確定恰當方法才是更重要的.
引例1:如圖,已知拋物線過點A(4,0),B(-2, 0), C(0, - 4).
(1) 求拋物線的解析式；
(2)點C和點C 關于拋物線的對稱軸對稱，點P在拋物線上, 且∠PAB=∠CAC ,求點 P 的橫坐標.
解析: (1) 拋物線:
(2) 由題意得: C 坐標為(2, - 4),
思路1：計算已知角三角函數值構造相等角過點C 作C H ⊥AC交AC于H點,由題意得點H(1, 3),
則
設點 P坐標為
則由題意得：
解得：
∴點P 的橫坐標為 或
思路2：巧用特殊角.
如圖構造等腰直角三角形AMC，
可得M點坐標為(4, - 4),
∴△AMC是等腰直角三角形. ∠MAC=45°,考慮 可知 下同思路1求解 P 點坐標.
引例2: 如圖, 拋物線 與兩坐標軸相交于點 A (-1, 0)、B(3, 0)、C(0, 3), D 是拋物線的頂點，E是線段AB的中點.
(1) 求拋物線的解析式，并寫出 D 點的坐標；
(2) F(x, y) 是拋物線上的動點:
①當x>1, y>0時, 求△BDF的面積的最大值;
②當∠AEF=∠DBE時, 求點F的坐標.
解析: (1) 拋物線: D 點坐標為 (1, 4);(2)①鉛垂法, 當F坐標為(2,3)時, △BDF面積最大,最大值為1；
②思路1：構造平行線.
過點E作EF∥BD交拋物線于 F 點,
∵BD解析式: y=-2x+6,
可得EF的解析式為: y=-2x+2,
聯立方程：
解得： (舍).
∴F點坐標為
將EF作關于x軸的對稱，如圖，交點亦為滿足條件的F點，且翻折后的直線解析式為：y=2x-2，
聯立方程：
解得： (舍).
∴F點坐標為
綜上，F點坐標為 或
思路2：三角函數值.
由題意可得: tan∠DBE=2,
設F 點坐標為
過F點作 FH⊥x軸交x軸于H點, 則H點坐標為(m, 0), 由題意得：
解得： (舍), (舍).∴F點坐標為 或
引例3：若二次函數 的圖像與x軸、y軸分別交于點A (3, 0)、B(0, - 2), 且過點C(2, - 2).
(1) 求二次函數表達式；
(2) 在拋物線上(AB下方) 是否存在點 M, 使∠ABO=∠ABM 若存在，求出點M到y軸的距離； 若不存在，請說明理由.
解析: (1) 拋物線:
(2) 思路1：構造全等三角形
作△AOB關于 AB的對稱的△ANB，BN與拋物線的交點即為M點. 求N點坐標: 構造△AEN∽△NFB,
可得N點坐標為
∴直線BN解析式為：
聯立方程：
解得：
即 M點橫坐標為 ，∴M點到y軸的距離為
思路2：構造等腰三角形
考慮直接分析∠ABO=∠ABM并不容易，可尋找∠ABO的相等角. 過點A作AH⊥x軸, 延長BM與AH交于H點,則∠BAH=∠ABO=∠ABH, △ABH是等腰三角形,即AH=BH, 設H點坐標為(3, m),
則
令 解得：
故H點坐標為
由B、H兩點坐標求直線BH解析式： 下同思路1，可求M點橫坐標為118.
引例4: 如圖, 已知點A(-1, 0),B(3,0), C(0, 1) 在拋物線 上.
(1) 求拋物線解析式；
(2) 在x 軸下方且在拋物線對稱軸上，是否存在一點 Q，使∠BQC=∠BAC 若存在,求出Q點坐標;若不存在,說明理由.
解析: (1) 拋物線:
(2) 思路：構造輔助圓
考慮到∠BAC和∠BQC所對的邊均為BC, 故構造△ABC的外接圓，與該拋物線對稱軸的交點即為Q 點.
△ABC外接圓圓心記為M點，
則M在線段AB的垂直平分線上，
即M點在拋物線的對稱軸上，
設M點坐標為(1, m),
根據MA=MC,得:
解得: m=-1, ∴M點坐標為(1, - 1),
圓M半徑為
∴Q點坐標為(
真 題 演 練
1.如圖, 拋物線 與x軸交于.A(x , 0), B(x , 0)兩點，y軸交于點 C，且
(1) 求拋物線的解析式；
(2) 拋物線上一點D (1, - 5), 直線BD與y軸交于點 E,動點 M在線段 BD上, 當∠BDC=∠MCE時, 求點 M的坐標.
2. 如圖, 已知拋物線 經過A(-5,0), B(-4, - 3)兩點, 與x軸的另一個交點為C,頂點為D, 連結CD.
(1) 求該拋物線的表達式；
(2) 點P為該拋物線上一動點(與點B、C不重合)，設點P的橫坐標為t.該拋物線上是否存在點P，使得∠PBC=∠BCD 若存在，求出所有點 P 的坐標； 若不存在，請說明理由.
3. 如圖,在平面直角坐標系中, △ABC的一邊AB在x軸上, ∠ABC=90°, 點 C(4, 8)在第一象限內，AC與y軸交于點 E，拋物線 經過A、B兩點, 與y軸交于點 D (0, - 6).
(1) 請直接寫出拋物線的表達式；
(2) 若點 M 是x軸上一點 (不與點A 重合)，拋物線上是否存在點 N, 使∠CAN=∠MAN. 若存在, 請直接寫出點N 的坐標； 若不存在，請說明理由.
4. 如圖, 直線. 與x軸、y軸分別交于A、B兩點，拋物線 與直線y=c分別交y軸的正半軸于點 C和第一象限的點 P，連接 PB，得△PCB≌△BOA(O為坐標原點). 若拋物線與x軸正半軸交點為點 F，設M是點 C，F間拋物線上的一點 (包括端點)，其橫坐標為m.
(1) 直接寫出點 P的坐標和拋物線的解析式；
(2) 求滿足∠MPO=∠POA的點 M的坐標.
5. 如圖, 直線. 與x軸、y軸分別交于B、C兩點，拋物線 經過點B、C,與x軸另一交點為A，頂點為D.
(1) 求拋物線的解析式；
(2) 在拋物線的對稱軸上是否存在一點 P，使得 若存在，求出 P 點坐標； 若不存在，請說明理由.
6. 如圖, 二次函數 的圖像與y軸交于點A，過點A作x軸的平行線交拋物線于另一點B, 拋物線過點 C (1, 0), 且頂點為D, 連接AC、BC、BD、CD.
(1) 填空: b= ;
(2) 點P 是拋物線上一點，點P 的橫坐標大于1，直線PC交直線BD于點Q.若∠CQD=∠ACB,求點 P的坐標.
第2節 相等角的構造
1.解析：
解得： 拋物線：
(2) 思路：化角度正切值為“k”
令 解得：
即A 點坐標為 B 點坐標為(4, 0).
考慮 C(0, - 4)、D(1, - 5), 連接BC, 易證△BCD是直角三角形，
若∠MCE=∠BDC, 則
設CE解析式為：
又BD解析式為：
聯立方程： 解得：
故M點坐標為
2.解析: (1) 拋物線:
(2) ①當點P在直線BC上方時, 如圖,過點 B作DC的平行線，與拋物線交點即為P點，得直線BP解析式為: y=2x+5,
聯立方程： 解得： x =-4, x =0,故P點坐標為(0, 5).
②當點P在直線BC下方時，
思路1：利用三角函數值.
連接BD, 可得BD⊥BC, 可得
若∠PBC=∠BCD, 則需滿足
但鑒于 BC并非水平或豎直直線，故 這個條件并不好用. 考慮到 B、C點坐標的特殊性，可以發現，過點B作BM⊥x軸,易得△BMC是等腰直角三角形,即有∠MBC=∠MCB,
可轉化問題“∠PBC=∠BCD”為“∠PBC+∠CBM=∠BCD+∠BCM”, 即∠PBM=∠DCM.
由題意得: tan∠DCM=2, 故tan∠PBM=2,
轉化為直線BP的條件即為
可得直線BP解析式為：
聯立方程： 解得： 故P點坐標為
綜上所述，P點坐標為(0，5)或
思路2：構造對稱.
不難發現，情況①中的直線 BP 和情況②中的直線 BP 是關于直線BC對稱，故兩個BP的k相乘為1，可知情況②中的 可知BP解析式：
同思路1求得 P 點坐標.
3.解析: (1) 拋物線:
(2) 思路：角平分線構造相等角
①當M 點在 A 點右邊時，作∠CAM角平分線，與拋物線交點即為所求N點.令 解得： 故A 點坐標為(-2, 0), AN=6, BC=8.
即 根據特殊角的結果，
可得
故直線AN解析式為：
聯立方程： 解得： 故N點坐標為
②當M 點在A 點左邊時，作∠CAM角平分線，其所在直線與拋物線交點即為所求N點.
由題意可知此時AN與情況①中的角平分線互相垂直，可知AN解析式: y=-2x-4,
聯立方程： 解得： 故N點坐標為
綜上所述，N點坐標為
4.解析: (1) P(3, 4), 拋物線:
(2) 當M點在 C、P之間的拋物線上時，
思路：構造平行
M點在 C點位置時, PM∥OA, 有∠MPO=∠POA,此時M點坐標為(0, 4);
當M點在 P、F之間的拋物線上時，
思路：構造等腰三角形
延長PM與x軸交于點N，
若∠MPO=∠POA,則△OPN為等腰三角形,其中NP=NO,設N點坐標為(n, 0),
則
當NO=NP時, 即 解得：
直線 PN解析式為：
聯立方程：
解得： 故M點坐標為
綜上所述, M點坐標為(0, 4) 或
5.解析: (1) 拋物線:
(2)由點坐標可知:∠OCB=45°,故P 點需滿足∠APB=45°,思路1：構造輔助圓.
過點A 作AM⊥BC交BC于 M點, 以M點為圓心, MA為半徑作圓，與對稱軸的交點即為所求 P 點.
易求M點坐標為(1,2),且. 故 ∴P 點坐標為(
此外在x軸的下方還有一個對稱的P點
綜上所述， P點坐標為( 或(1,-2-2 ).
思路2：利用特殊角的三角函數.
考慮到 P 點在對稱軸上且A、B兩點距離對稱軸距離相等，故對稱軸即∠APB的角平分線，
∴∠APE=∠BPE=22.5°
另求 即
故
故 P點坐標為
同理在x軸的下方還有一對稱的點P，坐標為(
綜上所述，P點坐標為 或
6.解析: (1) b=-4;
(2) 過點C作CH⊥AB交AB于H點,
∠ACB=∠ACH+∠HCB, tan∠ACH= , ∠HCB=45°,
記BD與x軸交點為E, 由題意得點C(1, 0),
點B坐標為(4, 3), ∴∠BCE=45°,
∵點 D 坐標為 (2, - 1), ∴∠BCD=90°, 且( 即
∴∠ACH+∠HCB=∠BCE+∠CBD=∠CED,即∠CED=∠ACB, 拋物線與 x 軸交于 (1, 0) 和 (3, 0),∴P 點坐標為(3, 0), Q 即在E點( ,0).
另一點Q在BD延長線上且滿足 由題意得直線BD 解析式為y=2x-5, 設點Q 坐標為(m, 2m-5), 解得： (舍),∴Q 坐標為 又點 C坐標為(1, 0),
∴直線CQ 解析式為
聯立方程： 解得： (舍),∴P 坐標為
綜上所述, P點坐標為(3, 0) 或

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