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第6章 坐標(biāo)系中的角
第1節(jié) 坐標(biāo)系中的特殊角
前言：坐標(biāo)系中關(guān)于角的探究形式多樣，從最基礎(chǔ)的角的認(rèn)識開始，本節(jié)討論關(guān)于特殊角的相關(guān)內(nèi)容，從特殊到一般，發(fā)現(xiàn)總結(jié)關(guān)于角處理的常規(guī)方法.
知識導(dǎo)航
什么是特殊角
說到特殊角我們很快就能想到比如30°、45°、60°、90°等，事實上，之所以以上角能稱為特殊角，關(guān)鍵在于這些角的三角函數(shù)值特殊，比如同為整十，為什么我們會將 60°稱為特殊角，而50°便不是，原因很簡單， 而我們并不知道50°的三角函數(shù)值.
因此角度特殊不在于這個角是多少度，而在于其三角函數(shù)值是否有特殊值，所以除了常見的 30°、45°、60°，我們可以擴(kuò)充一下特殊角的范圍.
(1) 一組特殊角α與β
引例1：如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則∠PAB+∠PBA= °. (點A、B、P是網(wǎng)格線交點).
解析: 如圖, ∠PAB+∠PBA=∠BPQ=45°
(2) 2α與2β的三角函數(shù)值
引例2 如圖，把矩形紙片OABC放入平面直角坐標(biāo)系中，使OA、OC分別落在x軸、y軸上，連接OB，將紙片 OABC 沿 OB 折疊, 使點 A 落在點A'的位置, 若 則點A'的坐標(biāo)為 .
解析： 即△A'HB三邊之比為3:4:5,又BA'=BA=2,過點A'作A'H⊥AB 交AB 于點 H, ∴點A'坐標(biāo)為
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(3) 余角的三角函數(shù)值
引例3：在如圖的正方形方格紙上，每個小的四邊形都是相同的正方形，A、B、C、D都在格點處，AB與CD相交于O, 則tan∠BOD 的值等于 .
解析: 取點E如圖所示, 則∠OAE=α, ∠OEA=45°,∠BOD=α+45°, ∴tan∠BOD=3
注意：以上結(jié)論不可直接應(yīng)用于解答題.
2 特殊角與k
坐標(biāo)系中的直線的“k”與直線和x軸夾角存在某種關(guān)系，比如: 45°夾角 |k|=1.
比如: 30°夾角 夾角
一般結(jié)論
|k|=tanα (α是直線與x軸的夾角).
k=tanα
k=-tanα
(1) 坐標(biāo)系中的
(2) 坐標(biāo)系中的
引例4：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=2x-1的圖像分別交x、y軸于點A、B, 將直線AB繞點 B 順時針旋轉(zhuǎn) 45°，交x軸于點 C，則直線 BC的函數(shù)表達(dá)式是 .
解析：根據(jù)解析式可知
∵OB=1, ∴OC=3, ∴直線BC解析式為
特殊角的構(gòu)造
在坐標(biāo)系中構(gòu)造定角，從其三角函數(shù)值著手：
思路1：構(gòu)造三垂直相似(或全等)；
思路2：通過三角函數(shù)值化“角度條件”為“直線k”.
引例5：如圖，在平面直線坐標(biāo)系中，直線AB 解析式為 點M(2, 1) 是直線AB上一點, 將直線AB繞點M順時針旋轉(zhuǎn)45°得到直線 CD，則 CD解析式是 .
思路1：構(gòu)造三垂直全等(或相似)
過點O作OP⊥AB交 CD于 P 點, 分別過 M、P向x軸作垂線, 垂足為E、F點.
可得: △OEM≌△PFO,
∴PF=OE=2, OF=ME=1, 故P 點坐標(biāo)為(-1, 2),
結(jié)合P、M坐標(biāo)可解直線 CD解析式：
思路2：利用特殊角的三角函數(shù)值.
過M點作MN∥x軸,
則
直線CD的增減性為y隨著x的增大而減小，故 ∴CD解析式: 化簡得：
45°角的構(gòu)造
引例6: 如圖, 拋物線 過點A (3, 2), 且與直線 交于B、C兩點, 點B的坐標(biāo)為(4, m).
(1) 求拋物線的解析式；
(2) 設(shè)點 M為拋物線的頂點，在y軸上是否存在點 Q，使∠AQM=45° 若存在，求點Q的坐標(biāo)； 若不存在，請說明理由.
解析: (1) 拋物線:
(2) 思路1: 構(gòu)造三垂直.
如圖, AN⊥AQ交直線QM于N點,△ANQ 即為等腰直角三角形，設(shè)Q點坐標(biāo)為(0, m), 又M點坐標(biāo)為(1, 4),
可得直線QM解析式為: y=(4-m)x+m,
如上右圖構(gòu)造三垂直全等: △QEA≌△AFN,可得: AF=QE=3, NF=AE=2-m,
∴N點坐標(biāo)為(m+1,5),
將點N代入直線QM解析式: (4-m)(m+1)+m=5,
解得：
∴Q點坐標(biāo)為( 或((0,2- ).
思路2：圓周角定理
已知點A (3, 2), 可得M點坐標(biāo)為(1, 4),
過點A作AP 垂直對稱軸交對稱軸于 P 點，
則△APM是等腰直角三角形, 其中∠APM=90°.
構(gòu)造∠AQM=45°, 即
如下圖，以點 P 為圓心，PA 為半徑作圓，與y 軸交點即為所求Q點.
考慮半徑 PA=2, 則 PQ=2, 又點 P 在對稱軸x=1 上, 點 Q在y軸上，不難求得Q點坐標(biāo)為(0，2+ )或(0,2- ).
思路概括
關(guān)于45°角的構(gòu)造，常見思路有：
(1) 構(gòu)造等腰直角三角形，通過三垂直全等計算；
(2) 構(gòu)造輔助圓，由90°圓心角可得45°圓周角.
真 題 演 練
1. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=-x+m分別交x軸、y軸于 A、B 兩點, 已知點 C (2,0), 點 P 為線段 OB的中點, 連接 PA、PC, 若∠CPA=∠ABO, 則 m 的值是
2. 如圖, 在矩形ABCD中, BC=8, CD=6,將△ABE沿BE 折疊, 使點A 恰好落在對角線 BD 上F處,則DE的長是( )
A. 3 B. C.5
3. 在正方形 ABCD 中, 邊長為 6, BE=2AE, 連接 DE, 在AD、BC上分別存在點 G、F, 連接GF交 DE于H點, 且∠GHD=45°, 求線段 FG= .
4. 如圖, 直線y=x-3與坐標(biāo)軸交于A、B兩點，拋物線 經(jīng)過點 B, 與直線y=x-3交于點E (8, 5), 且與x軸交于C, D兩點.
(1) 求拋物線的解析式；
(2)拋物線上有一點 M, 當(dāng)∠MBE=75°時, 求點 M橫坐標(biāo).
5. 如圖, 在平面直角坐標(biāo)系中, Rt△ABC的斜邊AB在x軸上, 點 C在y軸上, ∠ACB=90°, OA、OB 的長分別是一元二次方程 的兩個根(OA(1) 求點 C的坐標(biāo);
(2)連接AD,當(dāng)AD平分∠CAB時,求直線AD的解析式.
6. 如圖, 拋物線 與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè))，與y軸交于點 C，直線l與拋物線交于A、D兩點，與y軸交于點E，點D 的坐標(biāo)為(4, - 3).
(1) 請直接寫出A、B兩點的坐標(biāo)及直線l的函數(shù)表達(dá)式；
(2) 若點Q是y軸上的點, 且∠ADQ=45°, 求點 Q 的坐標(biāo).
7. 如圖, 拋物線 經(jīng)過點A(-1, 0)、B(4, 0), 交y軸于點 C.
(1) 求拋物線的解析式；
(2) 將直線BC繞點 B順時針旋轉(zhuǎn)45°，與拋物線交于另一點E, 求BE的長.
第1節(jié) 坐標(biāo)系中的特殊角
1.解析:∠PAO=α,∠APC=45°,∴∠OPC=β,∴OP=6,OA=12,m=12.
2.C.
考慮 故選C.
3.解析：觀察發(fā)現(xiàn) 且∠GHD=45°,考慮 GF可動, 平移GH, 將α、β、45°匯于直角處,可知
4.解析: (1) 拋物線:
(2)①當(dāng)M點在直線BE上方時,如下左圖,若∠MBE=75°,考慮到∠OBE=45°,
則∠OBM=30°, 即直線BM與x軸的夾角為60°,
又B點坐標(biāo)為(0，-3)，∴直線BM的解析式為：
聯(lián)立方程：
解得： (舍),
∴M點的橫坐標(biāo)為
②當(dāng) M 點在直線 BE 下方時, 如上右圖, 過點 B 作 BF∥x軸, 則∠EBF=45°, 若∠MBE=75°, 則∠MBF=30°,∴直線BM與x軸夾角為30°, 又B 點坐標(biāo)為(0, - 3),
故直線BM解析式為：
聯(lián)立方程：
解得： (舍), ∴M點橫坐標(biāo)為 綜上所述，M點橫坐標(biāo)為 或
5.解析: (1) C段坐標(biāo)為 (0, 12);
(2) 已知直線 AD 上的點 A 坐標(biāo)，∴求出點 D 坐標(biāo)或者求出直線的k，即可求出直線AD的解析式.
思路1: 求D點.
易證△ACD≌△AED,∴AC=AE,CD=ED,設(shè)ED=x,則CD=x,BD=20-x, 又BE=10, 可得方程:
解得： 故D點坐標(biāo)為(6,
直線AD解析式為：
思路2: 求k.
易得：
(需證明)
∴直線AD解析式為：
6.解析:: (1)A(-2, 0)、B(6, 0),
直線l的解析式為
(2)當(dāng)點Q在y軸正半軸上時，如下左圖，過點A作AF⊥AD且AF=AD, 連接DF, 與y軸交點即為所求Q點,過點A作 MN⊥x軸，分別過點F、D作MN的垂線，垂足分別為點M、N, 則△AND≌△FMA,
由點A、D坐標(biāo)可得AN=3, DN=6, ∴AM=6, MF=3,∴點F坐標(biāo)為(1,6), ∴直線DF解析式為: y=-3x+9,∴點Q坐標(biāo)為(0, 9);
同理, 當(dāng)點Q在y軸負(fù)半軸上時, 構(gòu)造△APD≌△GHA,可得點G坐標(biāo)為(-5, - 6), ∴DG解析式為 ∴點Q坐標(biāo)為
綜上, 點Q坐標(biāo)為(0, 9) 或
7.解析：(1) 設(shè)拋物線解析式為y=a(x+1)(x-4),解得： 代入得：
(2) 過點C作CD⊥BC交旋轉(zhuǎn)后的直線與點D，
過點D 作DH⊥y軸交y軸于點 H, 則△DHC≌△COB,
∵OB=4, OC=2, ∴CH=4, DH=2, ∴點D坐標(biāo)為(2, 6),
∴直線BE的解析式為y=-3x+12,
聯(lián)立方程： 解得： 將x=5代入拋物線解析式得：y=-3，
∴點E坐標(biāo)為(5, - 3),
∴BE的長為

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