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第3節 二倍角、半角的構造
前言：既有構造相等角的，也有在這個問題上再進行加工的，比如，在坐標系中構造已知角的半角或二倍角，角可以單獨出現，也可以存在于某個幾何圖形中，因此，構造半角、二倍角的方法也較多，結合條件恰當地選擇方法是解題關鍵.
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知 識 導 航
幾何構造
結合角所在的位置及圖形構造倍角或半角，比如構造等腰或構造平行+對稱.
引例1: 如圖, 拋物線 交x軸于A、B兩點,交y軸于C.直線y=x-5經過點B、C.
(1) 求拋物線的解析式；
(2)過點A的直線交直線BC于點 M，連接AC，當直線AM與直線BC的夾角等于∠ACB的2倍時，請直接寫出點M的坐標.
解析: (1) 拋物線:
(2) 思路：構造等腰三角形
①如圖, 當M點在線段BC上且AM=CM時,有∠AMB=2∠ACB. 設M點坐標為(m, m-5),結合A、C兩點坐標，
可得：
當AM=CM時,
即 解得：
∴M點坐標為
②過點A作AH⊥BC交BC于H點,
則①中的 M 點關于 H的對稱點 M 也是滿足條件的 M點，可求H 點坐標為(3, - 2),
∴點M 的坐標為
綜上所述，M點坐標為 或
2 三角函數值
構造半角三角函數.
構造二倍角三角函數：
當求出三角函數值后，
若角有一邊平行于坐標軸，可求另一邊的k值及解析式；
若角無邊平行于坐標軸，可構造三垂直相似或全等得定角.
引例2: 如圖, 拋物線 交x軸于A、B兩點, 其中點A坐標為(1, 0), 與y軸交于點C(0, - 3).
(1) 求拋物線的函數表達式；
(2) 如圖, 連接AC, 點P 在拋物線上, 且滿足∠PAB=2∠ACO. 求點 P的坐標;
解析: (1) 拋物線:
(2) 思路：利用特殊角的三角函數值
考慮到A 點坐標(1, 0), C點坐標 (0, - 3),
若∠PAB=2∠ACO, 可證得: (證明略)
轉化角的正切值為直線的k，即
當 時，直線 PA 解析式為：
聯立方程：
解得：
∴P 點坐標為
當 時，直線 PA 解析式為：
聯立方程：
解得：
故 P 點坐標為
綜上所述，P點坐標為 或
引例3：在平面直角坐標系中，直線 與x軸交于點B，與y軸交于點 C，二次函數 的圖像經過B、C兩點，且與x軸的負半軸交于點A，動點D在直線BC下方的二次函數圖像上.
(1) 求二次函數的表達式；
(2) 如圖, 過點D作DM⊥BC于點M, 是否存在點 D, 使得△CDM 中的某個角恰好等于∠ABC 的 2 倍 若存在，直接寫出點D 的橫坐標； 若不存在，請說明理由.
解析: (1) 拋物線:
(2) 由題意可得：
①若∠MCD=2∠ABC, 則
過點 C作 CN∥x軸，作 CB關于 CN的對稱直線與拋物線交點即為D點. 根據對稱可知：
代入點 C坐標可求得直線CD解析式：
聯立方程：
解得: x =0 (舍),
∴D點橫坐標為2.
②若∠MDC=2∠ABC, 則
過點B作BE⊥BC交 CD的延長線于 E點, 故點E作EF⊥x軸交x軸于 F點, 由題意可得△EFB∽△BOC, 且相似比:
可得： EF=3, ∴ E,點坐標為
∴直線 CE 的解析式為
聯立方程：
解得： (舍), ∴D.點橫坐標為-29111.
綜上所述，D點橫坐標為2或
真 題 演 練
1. 如圖, 在平面直角坐標系中, 點A、B的坐標分別為(-4,0)、(0, 4)、點C(3, n)在第一象限內,連接AC、BC. 已知∠BCA=2∠CAO, 則n= .
2. (2019·咸寧) 如圖，在平面直角坐標系中，直線 與x軸交于點A，與y軸交于點 B，拋物線 經過A、B兩點且與x軸的負半軸交于點C.
(1) 求該拋物線的解析式；
(2) 若點 D為直線AB上方拋物線上的一個動點，當∠ABD=2∠BAC時, 求點D 的坐標.
3. 如圖1, 四邊形OABC是矩形, 點A的坐標為(3, 0), 點 C的坐標為(0, 6), 點 P 從點 O出發，沿OA 以每秒1個單位長度的速度向點A 出發，同時點Q從點A 出發，沿AB以每秒2個單位長度的速度向點 B 運動，當點 P與點A 重合時運動停止. 設運動時間為t秒.
問題：當t=1時，拋物線 經過P、Q兩點，與y軸交于點 M，拋物線的頂點為K，如圖2所示，問該拋物線上是否存在點 D，使 若存在，求出所有滿足條件的D的坐標； 若不存在，說明理由.
4. 如圖，在平面直角坐標系中，直線 與 x 軸交于點 A，與y 軸交于點 C，拋物線 經過A、C兩點，與x軸的另一交點為點B.
(1) 求拋物線的函數表達式；
(2) 點 D 為直線 AC 上方拋物線上一動點, 過點 D 作 DF⊥AC, 垂足為點F, 連接CD, 是否存在點 D, 使得△CDF中的某個角恰好等于∠BAC的2倍 若存在，求點D的橫坐標； 若不存在，請說明理由.
5. 如圖所示，二次函數 的圖像與一次函數y= kx-k+2的圖像交于A、B兩點，點B在點A的右側，直線AB分別與x、y軸交于 C、D兩點，其中k<0.
(1) 求A、B兩點的橫坐標;
(2)二次函數圖像的對稱軸與x軸交于點E，是否存在實數k, 使得∠ODC=2∠BEC, 若存在, 求出k的值; 若不存在，說明理由.
6. 如圖,拋物線 與x軸交于點A 和點B(點A在原點的左側，點B在原點的右側), 與y軸交于點 C, OB=OC=3.
(1) 求該拋物線的函數解析式.
(2) 如圖2, 點 E 的坐標為 點 P 是拋物線上的點,連接EB、PB、PE形成的△PBE中,是否存在點 P,使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE 若存在,請直接寫出符合條件的點P的坐標； 若不存在，請說明理由.
第3節 二倍角、半角的構造
1.解析: 過點 C作 CH⊥y軸交y軸于點 H, 則 CH∥AO,∴∠ACH=∠CAO, 又∠BCA=2∠CAO, ∴∠ACH=∠BCH,記AC與y軸交點為M,則△BCM是等腰三角形,∴BH=MH,由題意得 設 HM=m,則 解得： 即
(1) 拋物線:
(2) 思路：轉化為等角
過B作x軸的平行線，
作BA關于平行線對稱的直線，與拋物線交點即為D點.
考慮到 故
可得直線BD解析式為：
與拋物線聯立方程： 解得： ∴D點坐標為(2, 3).
2.解析：三角函數構造相等角
t=1時, P點坐標為(1, 0), Q 點坐標為(3, 2),代入拋物線解析式，可求得拋物線： 故頂點 K的坐標為
考慮要構造 過點K作KH⊥MQ交MQ于H點,則
根據圖形可求得 故若 則 分別解得直線DQ解析式為 或
3.拋物線聯立方程：
解得：
則對應D 點坐標為
解得：
則對應D點坐標為
綜上所述，D點坐標為 或
4.解析：(1) 拋物線解析式：
(2) 參考引例3，點D橫坐標為-2或
5.解析:(1)令 解得：x =1,x =2,故點A橫坐標為1，點B橫坐標為2.
(2) 思路：三角函數計算
考慮到
故可延長OD至M點使得DM=DC，可得：
聯立方程： 解得： 故A 點坐標為 (1, 2), B 點坐標為(2, k+2), E點坐標為(1, 0), 故
若，∠OMC=∠BEC, 即
解得： (舍).
解得： (舍).
綜上所述，k的值為 或
6.解析: (1) 拋物線:
(2) 思路：三角函數+構造三垂直
先考慮∠PBE=2∠OBE;
①構造∠PBO=∠OBE, 即可得∠PBE=2∠OBE,
考慮到 可知
故直線PB解析式為：
聯立方程： 解得： 故P點坐標為
②考慮到角度實在沒什么特殊性可取，構造三垂直相似求旋轉直線解析式.
當 P 點在 x 軸下方的拋物線上時，構造∠EBF 滿足 過點E作EF⊥EB交BF于F點,則BF與拋物線的交點即為所求P 點.
構造三垂直相似：△BOE∽△EMF，得F點坐標為
則直線BF 的解析式：
聯立方程： 解得： 故P點坐標為
考慮∠PEB=2∠OBE：采用如②中的構造三垂直求直線解析式的思路.
③如圖, 過點B作BF⊥BE交PE于F點,
構造三垂直相似: △BME∽△FNB
得F點坐標為(1，4)，故直線EF解析式為： 聯立方程： 解得： (舍),故P 點坐標為(1, 4).
④同理, 可求下圖中 F點坐標為(5, -4),
直線EF解析式為：
聯立方程： 解得： (舍),
故P 點坐標為
綜上，P點坐標為 或 或(1, 4) 或

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