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等腰三角形與中點
【題目】
如圖1所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,點 D在邊BC上,以點A 為中心,將線段AD順時針旋轉α得到線段AE，連接 BE.
(1)求證:BA 平分∠EBC.
(2)連接DE交AB 于點F，過點C作CG∥AB，交ED的延長線于點G.補全圖形，用等式表示線段 EF 與DG 之間的數量關系，并證明.
【讀題】
本題屬于等腰三角形和旋轉變換的類型.(1)很簡單，由等腰和全等兩個條件即可證得結論成立.(2)考查兩條線段的數量關系，先畫圖，再構造全等三角形.分析圖形如圖2~7所示.
【分析】
(1)由△ABC為等腰三角形,可得∠ABC=∠ACB.再證△ABE≌△ACD,可得∠ABE=∠ACD.于是可得結論成立.
(2)可如圖2所示補全圖形.
由幾何直觀可得EF=DG，并考慮構造全等三角形.考慮到第一問的結論，可以采用角平分線的構造模型進行分析.
方法一：
如圖2所示,過點 E作EM∥BC,可得△BEM為等腰三角形,BE=EM=CD.
由CG∥AB,可得∠DCG=∠ABC=∠FME,∠CGD=∠BFG=∠EFM.
于是可得△EFM≌△DGC,EF=DG.
本題還有其他方法，上述方法是較為直接的一種.
方法二：
如圖3所示,過點 E作EP⊥AB于P,過點 D作DQ⊥CG于Q.
先證△BEP≌△CDQ,再證△EFP≌△DGQ,可得結論成立.
這種方法提供了一種不一樣的思路，有時在證明線段相等時，可以直接作垂直，這樣可以直接將對應線段放在一對直角三角形中，而且直角成為一對對應的全等要素.不過，與方法一比起來，方法二用了兩次全等三角形的證明.
方法三：
仿照方法二，如圖4所示，也可以作點G關于BC 的對稱點N，可得DG=DN.
過點 E作EP⊥AB于P,過點 D作DQ⊥AC于Q.
先證△AEP≌△ADQ,再證△EFP≌△DNQ,可得EF=DN=DG.
方法四：
方法三也可以進行變式操作，如圖5所示，在AC上截取AP=AF.
先證△AEF≌△ADP,EF=PD.
在AC上截取CN=CG,再證DP=DN,即可證得結論成立.
這種方法，四邊形 PDGC為圓的內接四邊形，也即“角平分線和等線段模型”.
方法五：
結合(1)，可以“強行”構造全等三角形.
如圖6所示,在 BA上截取 BN=CG,可得△BEN≌△CDG,EN=DG,∠BNE=∠CGD.
又由CG∥AB,可得∠CGD=∠BFG=∠BNE,則∠ENF=∠EFN,EF=EN=DG.
當然，此處如果是構造等腰△EFN，也可以證得結論成立.
方法六：
仿照上述構造全等和等腰三角形的思路，還可以采用下述方法.
如圖7所示,延長CG 至 N 使CN=BF,可證△BEF≌△CDN,EF=DN,∠BFE=∠CND.
又由CN∥AB,可得∠AFG=∠FGN,于是∠BFE=∠AFG=∠FGN=∠CND,DG=DN=EF.
【答案】
(1)證明：因為將線段AD順時針旋轉α得到線段AE，所以∠EAD=α,AD=AE
因為∠BAC=α,
所以∠BAC=∠EAD
∠BAC-∠BAD=∠EAD-∠BAD
∠DAC=∠EAB
在△ACD 和△ABE中
△ACD≌△ABE (SAS)
∠ABE=∠C
因為AB=AC,所以
∠ABC=∠C
∠ABE=∠ABC
因此 BA 平分∠EBC.
(2)補全圖形如圖8所示，EF=DG.理由如下.
證明:在AB上取一點M,使得 BM=CG,連接EM.
因為CG∥AB,所以
∠ABC=∠DCG,∠BFG=∠CGD
∠EBM=∠DCG
由(1)知△ACD≌△ABE,因此
EB=CD
在△EBM和△DCG中
△EBM≌△DCG (SAS)
EM=DG,∠EMB=∠DGC
因為
∠EMB+∠EMF=180°
∠EFM+∠DFM=180°
∠EMB=∠DGC=∠DFM
所以∠EMF=∠EFM
EM=EF
EF=DG
【反思】
1.本題的基本模型是等腰三角形的“手拉手”模型.
2.做題時注意問題之間的銜接和鋪墊.前一問的結果，可能是后一問全等三角形的一個條件，或者是過渡的條件.
3.線段相等，最樸素的思想是構造相應線段所在的全等三角形，也可以通過中間量構造全等三角形.

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