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截長補短
【題目】
如圖1所示，直線AB，CD交于點O，點 E 是∠BOC平分線上的一點，點 M，N分別是射線OA,OC上的點,且ME=NE.
(1)求證:∠MEN=∠AOC.
(2)點 F在線段 NO上,點G在線段 NO的延長線上,連接EF,EG,若EF=EG,依題意補全圖形，用等式表示線段 NF，OG，OM之間的數量關系，并證明.
【讀題】
本題是角平分線背景的幾何綜合題，具體分析時需要借助角平分線的相關輔助線的構造方法.本題考查三條線段的數量關系，因為本題沒有特殊的角度，所以可以大膽猜測屬于“截長補短”類型.
【分析】
(1)結合題意，可以采取兩種方法進行分析，分析圖形如圖2 和圖3所示.
方法一：角平分線作垂直.
如圖2所示,作EH⊥CD,EK⊥AB,垂足分別是 H,K,可得EH=EK,又 NE=ME,可以證明Rt△EHN≌Rt△EKM,∠ENH=∠EMK,再結合線段NO和ME 組成的“8字型”進行角度推導,可得∠MEN=∠AOC.
這種思路可以看作角平分線類型的“通法”，具體過程可以參考答案.
方法二：角平分線作對稱.
如圖3所示,在OB上截取OQ=ON,易證△OEN≌△OEQ,∠ONE=∠OQE,EN=EQ=EM,可得∠EMO=∠EQO,于是可得∠EMO=∠ENO.仿照方法一結合線段 NO和ME 組成的“8字型”可得∠MEN=∠AOC.
這一小問，結合角平分線這個已知條件，用到了角平分線的兩個非常重要的作圖方法，一個是作垂直，一個是作軸對稱.
(2)可依題意補全圖形如圖4所示，要求用等式表示線段 NF，OG，OM之間的數量關系，并證明.
沒有特殊的角度，不太可能是含有特殊的系數，也不可能是二次型的關系.由幾何直觀可得OM=NF+OG.下面采用不同的方法進行證明，分析圖形如圖5~8所示.
思路一：截長.
截長，就是在較長線段 MO上進行截取，具體在作輔助線時，輔助線的交代形式可以有所變化，根據截取方式的不同，可以有不同的方法.
方法一：
如圖5所示，在線段OM上截取( ,連接EG ,先證△EOG ≌△EOG.
再證△ENF≌△EMG ,可得 NF=MG .因為( 所以OM=NF+OG.
方法一也是答案采用的思路，具體的證明過程可以參考答案，此處從略.這種方法，輔助線的交代形式也可以有所變化，如下面方法二所示.
方法二：
如圖 5 所示，在線段 OM 上截取. 結合(1)和已知信息，可得△ENF≌△EMG ,EF=EG ,∠EFN=∠EG M,于是可得
∠EFG=∠EG O
因為EF=EG,所以∠EFG=∠EGO,于是可得
∠EGO=∠EG O
又可證∠EOG=∠EOG ,可證得
于是 可得
思路二：補短.
方法三：
如圖6所示,在 FG上截取FS=OG,連接SE.
可證△EFS≌△EGO,ES=EO,∠ESO=∠EOS=∠EOB,于是∠ESN=∠EOM,結合(1)可證△ESN≌△EOM,OM=SN=SF+FN=OG+NF.
方法四：
如圖6所示,在NO上截取NS=MO,先證△ESN≌△EOM,再證△EFS≌△EGO,可得結論成立.
方法五：
如圖7 所示,在 OD 上截取GT=NF,連接ET,通過兩次全等,即△EFN≌△EGT,△EOM≌△EOT,同樣可得結論成立.
方法六：
與方法五有所區別，在OD上截取OT=OM，也可以證得結論成立，這種方法與方法五既有區別，也有聯系.
思路三：角平分線作垂線段.
方法七：
如圖8所示,作EH⊥CD,EK⊥AB,垂足分別是 H,K,可得EH=EK.又EF=GE,可得FH=GH.
由(1)可得 Rt△EHN≌Rt△EKM,NH=MK.
設OM=m,NF=n,OG=t,OH=OK=x,則NH=MK=OM+OK=m+x,于是GH=FH=NH-NF=m+x-n.另外,GH=OG+OH=t+x,于是m+x-n=t+x,于是可得m-n=t,即OM-NF=OG,即OM=NF+OG.
【答案】
(1)證明:作 EH⊥CD,EK⊥AB,垂足分別是 H,K,如圖2所示.
因為OE 是∠BOC 的平分線，
所以EH=EK
因為ME=NE,所以Rt△EHN≌Rt△EKM
∠ENH=∠EMK
記ME與OC 的交點為 P，因此
∠EPN=∠OPM
∠MEN=∠AOC
(2)OM=NF+OG.
證明：依題意補全圖形，在線段OM上截取( ,連接EG ,如圖5所示.
因為OE 是∠BOC 的平分線，所以
∠EON=∠EOB
因為∠MOF=∠DOB,所以
∠EOM=∠EOD
因為OE=OE,
所以
因為EF=EG,
所以EF=EG ,∠EFG=∠EGO
因為∠ENF=∠EMG ,
所以△ENF≌△EMG
因為
所以OM=NF+OG
【反思】
1.角平分線模型最重要的思路就是“對稱”，可以借助角平分線的性質進行輔助線的構造，或者直接構造對稱的全等三角形.
2.三條線段的數量關系，如果屬于“截長補短”的類型，雖然細分的方法比較多，但是大同小異，本質上的區別不大.結合具體的問題進行具體分析，選擇最恰當的一種方法即可.
3.對于線段關系的推導，可以借助參數進行.角度推導同樣適用.

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