資源簡介

(共72張PPT)
第4講 質譜儀、回旋加速器等組合場問
題
角度1 質譜儀及其拓展
角度2 回旋加速器及其拓展
角度3 組合場收集帶電粒子
跟蹤訓練
備用習題
組合場是指空間不同區域存在不重疊的多個電場或磁場，帶電粒子依次通
過這些區域，這類問題稱作組合場問題，質譜儀和回旋加速器類問題都是
屬于組合場問題.求解組合場問題的基本思路：
角度1 質譜儀及其拓展
例1 [2024·福建福州模擬] 質譜儀是
分析研究同位素的重要儀器.如圖甲
所示為某質譜儀的截面圖，速度很小
的帶電粒子從點進入電壓為 的加
速電場，加速后經狹縫 進入磁感應
強度為的速度選擇器，沿直線運動從狹縫垂直于直線邊界 進入磁
分析器，速度與磁感應強度為 的勻強磁場垂直，經偏轉最終打在照相底
片上.粒子質量為、電荷量為 .不計粒子重力.
(1) 求速度選擇器中勻強電場的電場強度大小 ；
[答案]
[解析] 粒子經過加速電場過程，根
據動能定理有
粒子在速度選擇器中做勻速直線運動，
根據平衡條件有
聯立解得
(2) 和是互為同位素的原子核，若保持、、不變，改變 ，使
原子核、 均沿直線通過速度選擇器，最終打到照相底片上的位置到狹
縫的距離之比為，求、的質量之比 ；
[答案]
[解析] 粒子在磁分析器的磁場中做
勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，
有
粒子打到底片上的位置的狹縫 距離為
聯立解得
根據題意，和 是互為同位素的原
子核，電荷量大小相等，原子核 、
沿直線通過速度選擇器，最終打到
照相底片上的位置到狹縫 的距離之
比為，即,則
(3) 某次實驗，由于加速電場和速度選擇器的電場強度出現微小波動，并
考慮狹縫有一定的寬度且為，使得粒子從 射出時速度大小范圍為
，速度方向與邊界的垂線間的夾角范圍為 ，如圖乙
所示，則粒子打在照相底片上沿 方向的寬度為多少？
[答案]
[解析] 結合上述可知，從狹縫 右端以
的速度垂直于邊界射出的粒子到達
底片上的位置到狹縫 的距離最遠，對該粒
子有
該粒子打在底片上的位置到狹縫右側的距離為
從狹縫左端以的速度與邊界 的垂線
方向成 角射出的粒子到達底片上的位置
到狹縫 的距離最近，對該粒子有
該粒子打在底片上的位置到狹縫 左側的距
離為
所以粒子打在底片上沿 方向的寬度
聯立解得
技法點撥
質譜儀中存在加速區域和偏轉區域，帶電粒子在電場中的加速由動能定理
求解,帶電粒子的偏轉分兩種情況：一是在輻向電場中做勻速圓周運動,滿
足；二是在磁場中做勻速圓周運動,滿足.
角度2 回旋加速器及其拓展
例2 1932年美國物理學家勞倫斯發明了回旋加
速器，巧妙地利用帶電粒子在磁場中運動的特
點，解決了粒子的加速問題.現在回旋加速器被
廣泛用于科學研究和醫學設備中.回旋加速器的
工作原理如圖甲所示，置于真空中的D形金屬盒半徑為 ，兩盒間的狹縫
很小，帶電粒子穿過的時間可以忽略不計，磁感應強度為 的勻強磁場與
盒面垂直，加速器接一定頻率的高頻交流電源，保證粒子每次經過電場都
被加速，加速電壓為 .D形金屬盒中心粒子源產生粒子，初速度不計，在
加速器中被加速，加速過程中不考慮相對論效應和重力作用.
(1) 求把質量為、電荷量為 的靜止粒子加速到最大動能所需的時間；
[答案]
[解析] 粒子在磁場中做勻速圓周運動,由洛倫
茲力提供向心力,當從D形盒導出時,粒子動能最
大,此時有
解得
粒子電場中每加速一次，動能增加 ，則加速次數
粒子在磁場中做勻速圓周運動的周期
粒子在磁場中運動的時間
一般地可忽略粒子在電場中運動的時間， 可
視為總時間
(2) 若此回旋加速器原來加速 粒子，獲得的最大動能為 ，現改
為加速氘核，它獲得的最大動能為多少？要想使氘核獲得與 粒子相
同的動能，請你通過分析，提出一種簡單可行的辦法；
[答案] ; 磁感應強度增大為原來的 倍，
高頻交流電源的周期變為原來的
[解析] 設 粒子質量為、電荷量為 ，氘
核質量為、電荷量為 ,
對 粒子，其最大速度 ,則其
最大動能為
對氘核，其最大速度 ，則其最大動
能為
要想使氘核獲得與 粒子相同的動能，可將磁
感應強度變為 ，使得
解得
即磁感應強度需增大為原來的 倍
高頻交流電源原來的周期
磁感應強度改變后，高頻交流電源的周期
即高頻交流電源的周期應變為原來的
(3) 已知兩D形盒間的交變電壓如圖乙所示，設 粒子在此回旋加速器中
運動的周期為，現對核進行加速，已知該核的電荷量為，在
時進入加速電場，求該核在加速器中能獲得的最大動能.(在此過程中，粒
子未飛出D形盒)
[答案]
[解析] 粒子在此回旋加速器中運動的周期
對粒子 分析，其在磁場中運動的周期
每次 進入加速電場時與前一次進入加速電
場時相比，相對加速電場方向改變時刻延后的
時間為
當 次延后至該核逆著加速電場方向進入時，
該核不能再被加速，該核的動能已達到最大，
此時有
解得
根據動能定理得
技法點撥
回旋加速器中,帶電粒子在電場中加速,在磁場中回轉,如圖所示.
(1)同步條件:交流電周期和粒子做圓周運動的周期相等,使粒子每經過一次
D形盒縫隙就被加速一次.
(2)粒子獲得的最大動能:由， ,聯立可得
,粒子獲得的最大動能由磁感應強度和盒半徑 決定,與加速
電場的電壓無關.
(3)加速次數和粒子在磁場中運動的總時間:粒子在磁場中運動一個周期,被
電場加速兩次(加速的時間忽略不計),每次動能增加 ,加速次數
,粒子在磁場中運動的總時間 .
角度3 組合場收集帶電粒子
例3 某離子診斷測量裝置的簡化結構如圖所示.在第一象限中
存在一沿 軸正方向的勻強電場，在第二、三象限存在垂直于
平面向外的勻強磁場.有一塊長度為的探測板 ，僅可在
第四象限范圍內移動，且始終接地.在第一象限的拋物線
上有一簇粒子源，沿 軸負方向發射大量
同種負離子，離子的質量為，電荷量為，速度大小均為 ，
單位時間內發射的離子數為，這些離子沿 軸均勻分布.穩定工作后，若
探測板在某處平行于軸固定，則從 點出射的離子恰能擊
中探測板的點，從點 出射的
離子恰能擊中探測板的點.已知勻強電場的電場強度 ，
勻強磁場的磁感應強度 ,不計離子的重力及相互作用，
不考慮離子間的碰撞.
(1) 求探測板上點的縱坐標 ；
[答案]
[解析] 從 點出射的離子直接進入第三象限做勻速圓周運
動，由洛倫茲力提供向心力有
解得
該離子恰能擊中探測板的點，故 點的縱坐標為
(2) 求探測板的橫坐標 ；
[答案]
[解析] 從 點出射的離子在電場中做類平拋運動,有
聯立解得,
說明該離子從原點 進入磁場.如圖甲所示，設進入磁場時
該離子速度為，速度方向與軸方向的夾角為 ，該離子
在磁場中運動,由洛倫茲力提供向心力,有
由幾何關系可知
該離子從磁場中射出的點記為,則點到 點的距離
聯立解得
由幾何關系可知
探測板的橫坐標為
解得
(3) 求離子第二次經過軸時的縱坐標與其出發點的橫坐標 的關系；
[答案] ，與 無關
[解析] 在拋物線上任取一點，則
該點處發射的離子在電場中做類平拋運動，有
聯立解得
可見 說明所有離子均從 點進入磁場.
設該點處發射的離子進入磁場時速度為，速度方向與 軸方
向的夾角為， 該離子在磁場中運動，由洛倫茲力提供向心
力，有
由幾何關系可知
該離子第二次經過軸時的縱坐標為
聯立解得
所以任意離子第二次穿過軸時的縱坐標均為， 與
其出發點的橫坐標 無關
(4) 若探測板沿軸平移，求單位時間內的探測板上接收到的離子數 與探
測板的橫坐標 之間的關系.
[答案]
[解析] 由(2)和(3)的結論得
①當時，
②當時，設從拋物線上 點處發射的離子打在探
測板的 點，如圖乙所示
由幾何關系得
該離子在電場中做類平拋運動，有
由于離子發射時沿著 軸均勻分布，則擊中探測板的離子個
數為
聯立解得
綜上所述，可得
1. 如圖甲所示為某質譜儀核心部件結構圖.半徑為R的圓內有垂直紙面向外、磁感應強度大小為B的勻強磁場,圓心為O,OO'為豎直方向的軸線,O點右側S處有一粒子源(OS⊥OO')可以均勻地以各個方向向圓形磁場內發出速度大小相同、質量為m、電荷量為q的帶正電粒子,圓形磁場上方有關于軸線OO'對稱放置的兩塊平行金屬板,兩金屬板之間的距離為1.6R,長為2R,兩平行板間加如圖乙所示的勻強電場,其中U0=,平行金屬板上方有垂直于紙面向內范圍足夠大的勻強磁場,其磁感應強度也為B,磁場下邊緣處有一只可左右平移的接收板PQ.從S點正對圓心O射出的粒子,恰好沿軸線進入電場中.不計離子之間的相互作用,不計重力,電場變化的周期遠大于帶電粒子在磁場中運動的時間.(取sin 53°=0.8,cos 53°=0.6)
(1)求進入圓形磁場中的粒子的速度大小;
[答案] 　
[解析] 粒子在磁場中做勻速圓周運動,軌跡半徑為
R=
解得v0=
(2)電容器不加電壓時,求能從電容器中穿出的粒子數占總粒子數的比;
[答案] 　
[解析] 根據幾何關系可知
Rcos θ1=0.8R
R(1-cos θ2)=0.2R
解得
θ1=37°
θ2=37°
從電容器穿出的粒子數占總粒子數的比值為 η=
(3)兩極板M、N之間加上如圖乙所示的電壓,要使接收板能接收到所有從平行板電容器中射出的粒子,則板的長度至少多長
[答案] 1.6R　
[解析] 粒子在上方磁場中偏轉距離 L=2cos θ ，v=
可得L=2=2R
因而所有進入上方磁場中的粒子在磁場中向右偏轉的距離都相等,且為2R,要使所有粒子都能到達PQ上,即使電容器電壓為零時進入的粒子能到達PQ板上即可.
探測板PQ長度至少為 Lmin=1.6R
(4)當U=U0時,若接收板可以上下左右平移,要使接收板能接擋住所有從平行板電容器中射出的粒子,則板的長度至少為多長
[答案] 0.4R
[解析] 帶電粒子在電場中偏轉為
y==0.8R
如圖所示,①為從電容器邊緣射出的粒子的軌跡
③為從電容器邊緣射入的粒子出磁場時的軌跡
②為其①③中間的圓.當圖中PQ移到P'Q'時,所有粒子都被擋住,
因而板的長度為0.4R
2.如圖所示為某種離子加速器的設計方案.兩個半圓形金屬盒內存在相同的垂直于紙面向外的勻強磁場,其中MN和M'N'是間距為h的兩平行極板,其上分別有正對的兩個小孔O和O',O'N'=ON=d,P為靶點,O'P=kd(k為大于1的整數),極板間存在方向向上的勻強電場,兩極板間電壓為U.質量為m、帶電荷量為q的正離子從O點由靜止開始加速,經O'進入磁場區域.當離子打到極板上O'N'區域(含N'點)或外殼上時將會被吸收.兩虛線之間的區域無電場和磁場存在,離子可勻速穿過.忽略相對論效應和離子所受的重力.求:
(1)離子經過電場僅加速一次后能打到P點所需的磁感應強度大小;
[答案] 　
[解析] 離子經電場加速,由動能定理得qU=mv2，可得v=
離子在磁場中做勻速圓周運動,有qvB=m
離子剛好打在P點,軌跡為半圓,由幾何關系可知r=
聯立解得B=
[答案] (n=1,2,3,…,k2-1)
[解析] 若磁感應強度較大,離子經過一次加速后速度較小,
做圓周運動的半徑較小,不能直接打在P點,做圓周運動到達N'右端,
再做勻速直線運動到另一側磁場中,將重新回到O點再加速,直到打在P點.設共加速了n次,有nqU=m
qvnB=m
且rn=
(2)能使離子打到P點的磁感應強度的所有可能值;
解得B=
要求離子第一次加速后不能打在板上,有r1>,且qU=m,qv1B=m
解得n故加速次數n為正整數,且最大值為k2-1
即B=(n=1,2,3,…,k2-1)
(3)打到P點的能量最大的離子在磁場中運動的時間和在電場中運動的時間.
[答案] 　h
[解析] 打在P點的離子中加速次數最多的離子速度最大,
取n=k2-1,離子在磁場中做n-1個完整的勻速圓周運動和半個圓周
打到P點.
勻速圓周運動的周期T=
在磁場中運動的時間t磁=(n-1)T+
離子在電場中一共加速n次,可等效成連續的勻加速直線運動.由運動學公式得
(k2-1)h=a
a=
解得t電=h
3. 如圖所示為某種粒子注入機的原理模型,在坐標系xOy平面內,正離子質量為m,帶電荷量為q,以速度v0從A點射入磁感應強度大小為B,寬度為d(未知)的勻強磁場,A點坐標為,離子從y軸上的H點與y軸負方向成θ角射入第一象限,此時在第一象限內加與離子速度方向垂直的勻強電場,使離子在第一象限內做類平拋運動且垂直x軸射出電場.隨后離子進入第四象限的圓形磁場中,經該磁場偏轉,打到很長的離子收集板上,該板離圓形磁
場最低點M為處,不計離子受到的重力及離子間的相互作用.
(1)求第二象限的磁場寬度d;
[答案] 　
[解析] 離子在磁場中做勻速圓周運動,則有
qv0B=m
根據幾何關系有
Rcos θ=d
解得d=
(2)求勻強電場的電場強度E的大小;
[答案] 或Bv0　
[解析] 電場線與x軸所成的角為θ,由于A點坐標為,根據
qv0B=m解得R=
即離子圓周運動的圓心在磁場左側邊界與x軸的交點位置,令離子射出勻強電場時的速度大小為v,將E、v0沿x軸和y軸分解,在y軸方向有
v2-=2Rsin θ
將v沿電場和垂直于電場方向分解,則有
v0=vcos θ
解得E=或Bv0
[解析] 結合上述分析,并由幾何知識可得圓形磁場中軌跡半徑R'滿足
L≤R'≤L
所以離子軌跡如圖所示
當R'=L時由幾何知識可知,離子豎直向下離開,落點到N點距離 x1=L
[答案] L
(3)若去掉電場,調整系統,讓離子從K點與x軸正方向成30°射入圓形磁場,磁場半徑為L=,方向垂直紙面向外的圓形偏轉磁場系統內,磁感應強度大小取值范圍B≤B偏≤B,求收集板上離子注入的寬度.
當R'=L時,由幾何知識可知,離子從M點與水平方向成30°離開,落點到N的距離
x2=L
則寬度為x=x1+x2=L
1.[2024·杭州模擬] 如圖甲所示為
某質譜儀核心部件結構圖.半徑為
的圓內有垂直于紙面向外、磁
感應強度大小為 的勻強磁場，
圓心為， 為豎直方向的軸
線，點右側 處有一粒子源
可以均勻地沿各個方向向圓形磁場內發出速度大小相同、質量
為、電荷量為的同種帶正電粒子，圓形磁場上方有關于軸線 對稱放
置的兩塊平行金屬板，兩平行板
之間的距離為，板長為 ，
兩平行板間加如圖乙所示的勻強
電場，其中
，平行金屬板上方
有
垂直于紙面向內、范圍足夠大的
勻強磁場，其磁感應強度也為 ，
磁場下邊緣處有一只可左右平移
的接收板.從點正對圓心 射
出的粒子恰好沿軸線進入電場中.
不計粒子之間的相互作用，不計
重力，電場變化的周期遠大于帶
電粒子在電場中運動的時間.
(取， )
(1) 求進入圓形磁場中的粒子的速度大?。?br/>[答案]
[解析] 從點正對圓心 射出的粒子恰好
沿軸線進入電場，由幾何關系可知，該
粒子在磁場中做勻速圓周運動的半徑為
，由洛倫茲力提供向心力，有
解得進入圓形磁場中的粒子的速度
(2) 兩平行板間不加電壓時，求能從兩平行板間射出的粒子數占總粒子數
的比例；
[答案]
[解析] 由于粒子做圓周運動的軌跡圓半徑與磁場圓半徑
相等，所以根據磁聚焦特點可知，所有粒子射出磁場時
速度方向均平行于軸線.設從、 板處射出兩平行板
間的粒子在點射出時速度方向與 方向的夾角分別為
、 .如圖甲所示，根據幾何關系可知
解得 ,
能從兩平行板間射出的粒子數占總粒子數的比例為
(3) 兩平行板、 之間加上如圖乙所示的電壓，要使接收板能接收到所
有從兩平行板間射出的粒子，則接收板至少為多長？
[答案]
[解析] 粒子在上方磁場中偏轉的距離
其中,
聯立可得
即所有進入上方磁場中的粒子在磁場中向左偏轉的距
離都為 .
要使所有粒子都能打到接收板 上，由于接收板可左
右平移，所以可移動接收板至端與板相距為 處, 保證當兩平行板間
電壓為零時射出兩平行板間的粒子能都打到探測板 上即可.
探測板的長度至少為
(4) 當 時，若接收板可以上下左右平移，要使接收板能接收到所有
從兩平行板間射出的粒子，則接收板至少為多長？
[答案]
[解析] 當 時，帶電粒子在電場中
偏轉的位移為
其中,
又知
聯立可得
如圖乙所示，①為從右邊緣射出平行板間
的粒子進入磁場運動的軌跡，③為從左邊
緣射入平行板間的粒子經電場偏轉后進入
磁場運動的軌跡，②為①③中間的圓.當
接收板移到位置 為②③的交
點，為①②的交點 時，所有粒子都被
擋住，因而接收板 的長度至少為
2.質子重離子治療系統設備由離子源、
直徑較大的環形同步加速器和偏轉系統
組成,整個系統置于真空中.回旋加速器的
原理如圖甲所示,和 是兩個中空的半
徑為 的半圓金屬盒,它們接在電壓一定、
頻率為的交流電源上,位于圓心附近的質子源 能不斷產生質子
(初速度可以忽略,重力不計),它們在兩盒之間被電場加速(忽略質子在電場
中運動的時間,其最大速度遠小于光速),、 置于與盒面垂直的磁感應強
度為 的勻強磁場中,已知質子每次經過狹縫均做加速運動,最后從邊緣處
飛出.
(1) 已知質子的電荷量為 ,求質子的質量.
[答案]
[解析] 根據題意可知,質子在磁場中運動
周期與交流電源的周期相等,則有
質子在磁場中運動時,由牛頓第二定律有
又知
聯立解得
(2) 若質子束從開始加速到從回旋加速器輸出的過程中回旋加速器的平均
功率為,求此過程質子束的平均等效電流(用、、、 表示).
[答案]
[解析] 設質子離開加速器時速度大小為 ,由
牛頓第二定律有
輸出時質子束的平均等效電流為
設在時間內離開加速器的質子數為 ,則質子
束從回旋加速器輸出時的平均功率 滿足
聯立解得
(3) 已知偏轉系統中電場和磁場的分布區域是邊長為 的同一正方體,其偏
轉系統的底面與目標所在水平面平行,間距也為 .當偏轉系統不加電場及磁
場時,質子恰好沿偏轉系統對稱軸運動,豎直到達圖中 點(即圖中坐標原
點, 軸垂直于紙面向外).偏轉系統同時加上電場和磁場時,要求打在目標平
面上處.已知角度 很小時,有
, . 求偏
轉系統中、 的大小.
[答案] ;
[解析] 由上述分析可知,粒子出加速器時
的速度
根據運動的分解,只考慮電場存在時,經過
電場后,質子在 方向偏轉的距離
速度偏轉角的正切值
離開電場后,質子在 方向偏移的距離
則有
解得
只考慮磁場存在時,質子進入磁場后做圓周
運動的半徑
又有
經過磁場后,質子在 方向偏轉的距離
離開磁場后,質子在 方向偏移的距離
則有
解得

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