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第4章第1節任意角、弧度制及任意角的三角函數
考點一：任意角
（一）終邊相同的角：（3）終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}.
1.把－π表示成θ＋2kπ（k∈Z）的形式，使｜θ｜最小的θ值是（　　）
A.－　 B.－ C.　 D.
2.下列與的終邊相同的角的表達式中正確的是（　　）
A.2kπ＋45°（k∈Z）　　 B.k·360°＋（k∈Z）
C.k·360°－315°（k∈Z）　 D.kπ＋（k∈Z）
3.把－1 125°化成α＋2kπ（0≤α＜2π，k∈Z）的形式是（　　）
A.－－6π　 B.－6π C.－－8π　 D.－8π
4.終邊落在第一、三象限角平分線上的角的集合是　　.（用角度表示）
5.終邊在直線y＝x上，且在[－2π，2π）內的角α的集合為　　.
（二）象限角或軸線角
1.－135°＝　　rad，它是第　　象限角.
2.（必修第一冊第176頁7（2）題改編）已知α為第三象限角，則是第　　象限角，2α是　　　的角.
3.若α是第二象限角，則（　　）
A.－α是第一象限角 B.是第三象限角 C.＋α是第二象限角 D.2α是第三或第四象限角或在y軸非正半軸上
4（多選）下列命題正確的是（　　）
A.終邊落在x軸的非負半軸的角的集合為{α｜α＝2kπ，k∈Z}
B.終邊落在y軸上的角的集合為{α｜α＝90°＋kπ，k∈Z}
C.第三象限角的集合為{α｜π＋2kπ≤α≤＋2kπ，k∈Z}
D.在－720°～0°范圍內所有與45°角終邊相同的角為－675°和－315°
5.已知角α的終邊在如圖所示陰影表示的范圍內（不包括邊界），則角α用集合可表示為　　.
考點二：任意角的三角函數：
1.已知角α的終邊經過點（m，2），且cos α＝－，則實數m＝　　.
2.已知角α的終邊過點P（－8m，－6sin 30°），且cos α＝－，則m＝　　；
3.已知α的終邊在直線y＝2x上，則sin α＝　　.
4.若sin α·tan α＜0，且＜0，則角α是（　　）
A.第一象限角　 B.第二象限角 C.第三象限角　 D.第四象限角
5.在平面直角坐標系xOy中，點A的縱坐標為2，點C在x軸的正半軸上.在△AOC中，若cos∠AOC＝－，則點A的橫坐標為（　　）
A.－　 B. C.－3　 D.3
6.若角θ是第四象限角，則y＝＋＋＝　　.
7.已知點P（sin（－），cos）在角θ 的終邊上，且θ∈[0，2π），則角θ＝（　　）
A.－　 B. C.－　 D.－
8.若α是第四象限角，則下列選項中能確定為負值的是（　　）
A.cos 2α　 B.cos C.tan　 D.sin
9.（多選）已知角θ的終邊經過點（－2，－），且角θ與角α的終邊關于x軸對稱，則（　　）
A.sin θ＝－ B.α為鈍角 C.cos α＝－ D.點（tan θ，tan α）在第四象限
10.在平面直角坐標系xOy中，點P在角的終邊上，且｜OP｜＝2，則點P的坐標為　　.
11.sin 2·cos 3·tan 4的值　　0.（填“＞”“＜”或“＝”）
12.已知＝－，且lg（cos α）有意義.（1）試判斷角α所在的象限；
（2）若角α的終邊上一點M（，m），且OM＝1（O為坐標原點），求m及sin α的值.
考點三：扇形公式
1.（1）已知扇形的圓心角是α，半徑為R，弧長為l.（1）若α＝，R＝10 cm，求扇形的弧長；
（2）若扇形的周長是20 cm，當扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大？
2.已知一扇形的弧長為，面積為，則其半徑r＝ 　　，圓心角θ＝　　.
3.如圖所示，在扇形AOD中，弧AD的長度是l1.在扇形BOC中，點B，C分別在線段OA，OD上，弧BC的長度是l2.設扇環ABCD的面積為S1，扇形BOC的面積為S2，若＝2，則＝　　.
4.我國空間站備受世界矚目，那么你知道我國空間站運行的軌道是什么形狀嗎？據來自中國載人航天工程辦公室消息稱“天和”核心艙組合體軌道參數為：遠地點高度約為394.7千米，近地點高度約為394.2千米，簡直比地球繞日運行軌道還圓！若把空間站運行軌道看作圓形軌道，距地球表面的距離取394千米，已知地球半徑約為6 370千米，則空間站繞地球每旋轉弧度，飛行的路程約為（取π≈3.14）（　　）
A.3 300千米　 B.3 334千米 C.3 540千米　 D.3 640千米
5.（多選）已知扇形的周長是6，面積是2，下列選項可能正確的有（　　）
A.扇形的半徑為2 B.扇形的半徑為1 C.扇形的圓心角的弧度數是1 D.扇形的圓心角的弧度數是2第4章第1節任意角、弧度制及任意角的三角函數
考點一：任意角
1.角的概念
（1）定義：角可以看成一條射線繞著它的　端點　旋轉所成的圖形；
（2）分類：
（3）終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}.
提醒　相等的角終邊一定相同，但終邊相同的角不一定相等.終邊相同的角有無數個，它們之間相差360°的整數倍.
2.弧度制的定義
（1）定義：長度等于　半徑長　的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度單位用符號rad表示；
（2）公式
角α的弧度數公式 ｜α｜＝（弧長用l表示）
角度與弧度的換算 1°＝ rad；1 rad＝　°　
3.象限角與軸線角
（1）象限角
（2）軸線角
3.若α，β，γ，θ分別為第一、二、三、四象限角，則，，，的終邊所在的象限如圖所示.
（一）終邊相同的角：（3）終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}.
1.把－π表示成θ＋2kπ（k∈Z）的形式，使｜θ｜最小的θ值是（　A　）
A.－　 B.－ C.　 D.
解析：（1）∵－＝－2π－，∴－與－是終邊相同的角，且此時＝是最小的.
2.下列與的終邊相同的角的表達式中正確的是（　　）
A.2kπ＋45°（k∈Z）　　 B.k·360°＋（k∈Z）
C.k·360°－315°（k∈Z）　 D.kπ＋（k∈Z）
解析：C　由定義知終邊相同的角的表達式中不能同時出現角度和弧度，應為＋2kπ或k·360°－315°（k∈Z）.
3.把－1 125°化成α＋2kπ（0≤α＜2π，k∈Z）的形式是（　　）
A.－－6π　 B.－6π C.－－8π　 D.－8π
解析：D　－1 125°＝－1 440°＋315°＝－8π＋.故選D.
41.終邊落在第一、三象限角平分線上的角的集合是　{α｜α＝45°＋k·180°，k∈Z}　.（用角度表示）
解析：由結論1可知，終邊落在x軸上的角的集合為A＝{α｜α＝k·180°，k∈Z}，逆時針旋轉45°，可得落在第一、三象限角平分線上的角的集合為{α｜α＝45°＋k·180°，k∈Z}.
5.終邊在直線y＝x上，且在[－2π，2π）內的角α的集合為　{－，－，，}　.
解析：如圖，在坐標系中畫出直線y＝x，可以發現它與x軸的夾角是，在[0，2π）內，終邊在直線y＝x上的角有兩個：，；在[－2π，0）內滿足條件的角有兩個：－，－，故滿足條件的角α構成的集合為{－，－，，}.
（二）象限角或軸線角
1.－135°＝　－　rad，它是第　三　象限角.
解析：－135°＝－135×rad＝－rad，∵－135°＝225°－360°，且225°角為第三象限角，故－135°角為第三象限角.
2.（必修第一冊第176頁7（2）題改編）已知α為第三象限角，則是第　二、四　象限角，2α是　　第一、第二象限或y軸的非負半軸上　的角.
解析：（2）因為α是第三象限角，即2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z，所以kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z，4kπ＋2π＜2α＜4kπ＋3π，k∈Z.當k為偶數時，為第二象限角；當k為奇數時，為第四象限角，而2α的終邊落在第一、第二象限或y軸的非負半軸上.
3.若α是第二象限角，則（　　）
A.－α是第一象限角 B.是第三象限角 C.＋α是第二象限角 D.2α是第三或第四象限角或在y軸非正半軸上
解析：D　因為α是第二象限角，可得＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，對于A，可得－π－2kπ＜－α＜－－2kπ，k∈Z，此時－α位于第三象限，所以A錯誤；對于B，可得＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z，當k為偶數時，位于第一象限；當k為奇數時，位于第三象限，所以B錯誤；對于C，可得2π＋2kπ＜＋α＜＋2kπ，k∈Z.即2（k＋1）π＜＋α＜＋2（k＋1）π，k∈Z，所以＋α位于第一象限，所以C錯誤；對于D，可得π＋4kπ＜2α＜2π＋4kπ，k∈Z，所以2α是第三或第四象限角或在y軸非正半軸上，所以D正確.
4（多選）下列命題正確的是（　　）
A.終邊落在x軸的非負半軸的角的集合為{α｜α＝2kπ，k∈Z}
B.終邊落在y軸上的角的集合為{α｜α＝90°＋kπ，k∈Z}
C.第三象限角的集合為{α｜π＋2kπ≤α≤＋2kπ，k∈Z}
D.在－720°～0°范圍內所有與45°角終邊相同的角為－675°和－315°
解析：AD　選項A顯然正確；B項，終邊落在y軸上的角的集合為{α｜α＝＋kπ，k∈Z}，角度與弧度不能混用，故錯誤；C項，第三象限角的集合為{α｜π＋2kπ＜α＜＋2kπ，k∈Z}，故錯誤；D項，所有與45°角終邊相同的角可表示為β＝45°＋k·360°（k∈Z），令－720°≤45°＋k·360°≤0°（k∈Z），解得－≤k≤－（k∈Z），從而當k＝－2時，β＝－675°；當k＝－1時，β＝－315°，故正確.
5.已知角α的終邊在如圖所示陰影表示的范圍內（不包括邊界），則角α用集合可表示為　{α｜2kπ＋＜α＜2kπ＋，k∈Z}　.
解析：∵在[0，2π）內，終邊落在陰影部分角的集合為（，），∴所求角的集合為{α｜2kπ＋＜α＜2kπ＋，k∈Z}.
考點二：任意角的三角函數：
（1）定義：設α是一個任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點P（x，y），那么sin α＝　y　，cos α＝　x　，tan α＝　（x≠0）　；
（2）定義的推廣：設P（x，y）是角α終邊上異于頂點的任意一點，其到原點O的距離為r，則sin α＝，cos α＝，tan α＝（x≠0）；
（3）三角函數值在各象限內的符號：一全正、二正弦、三正切、四余弦.
1.已知角α的終邊經過點（m，2），且cos α＝－，則實數m＝　－2 　.
解析：由題意得＝－，且m＜0，解得m＝2（舍去），或m＝－2.
2.已知角α的終邊過點P（－8m，－6sin 30°），且cos α＝－，則m＝　　　；
解析：（1）由題意得點P（－8m，－3），r＝，所以cos α＝＝－，又m＞0，解得m＝.
3.已知α的終邊在直線y＝2x上，則sin α＝　± 　.
解析：（2）由題意可知，α的終邊落在第一或第三象限，且tan α＝2，若在第一象限，可在α的終邊上任取一點（1，2），∴sin α＝＝，若在第三象限，可在α的終邊上任取一點（－1，－2），∴sin α＝＝－.
4.若sin α·tan α＜0，且＜0，則角α是（　　）
A.第一象限角　 B.第二象限角 C.第三象限角　 D.第四象限角
解析：C　由sin α·tan α＜0可知sin α，tan α異號，則α為第二象限角或第三象限角.由＜0可知cos α，tan α異號，則α為第三象限角或第四象限角.綜上可知，α為第三象限角，故選C.
5.在平面直角坐標系xOy中，點A的縱坐標為2，點C在x軸的正半軸上.在△AOC中，若cos∠AOC＝－，則點A的橫坐標為（　　）
A.－　 B. C.－3　 D.3
解析：A　設點A的橫坐標為x，則由題意知＝－，解得x＝－，故選A.
6.若角θ是第四象限角，則y＝＋＋＝　－1　.
解析：由題知，sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0，所以y＝＋＋＝－1＋1－1＝－1.
7.已知點P（sin（－），cos）在角θ 的終邊上，且θ∈[0，2π），則角θ＝（　　）
A.－　 B. C.－　 D.－
解析：B　因為P（sin（－），cos），所以P（－，），所以θ是第二象限角，由cos θ＝－，θ∈[0，2π），得θ＝.
8.若α是第四象限角，則下列選項中能確定為負值的是（　　）
A.cos 2α　 B.cos C.tan　 D.sin
解析：C　由α是第四象限角可得為第二或第四象限角，所以tan＜0.
9.（多選）已知角θ的終邊經過點（－2，－），且角θ與角α的終邊關于x軸對稱，則（　　）
A.sin θ＝－ B.α為鈍角 C.cos α＝－ D.點（tan θ，tan α）在第四象限
解析：ACD　因為角θ的終邊經過點（－2，－），所以sin θ＝－，A正確；因為角θ與角α的終邊關于x軸對稱，所以角α的終邊經過點（－2，），則α為第二象限角，但α不一定為鈍角，B錯誤；cos α＝－，C正確；因為tan θ＝＞0，tan α＝－＜0，所以點（tan θ，tan α）在第四象限，D正確.故選A、C、D.
10.在平面直角坐標系xOy中，點P在角的終邊上，且｜OP｜＝2，則點P的坐標為　（－1，）　.
解析：設點P的坐標為（x，y），由三角函數定義得所以所以點P的坐標為（－1，）.
11.sin 2·cos 3·tan 4的值　＜　0.（填“＞”“＜”或“＝”）
解析：∵＜2＜3＜π＜4＜，∴sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0，∴sin 2·cos 3·tan 4＜0.
12.已知＝－，且lg（cos α）有意義.（1）試判斷角α所在的象限；
（2）若角α的終邊上一點M（，m），且OM＝1（O為坐標原點），求m及sin α的值.
解：（1）由＝－，得sin α＜0，由lg（cos α）有意義，可知cos α＞0，所以α是第四象限角.
（2）因為OM＝1，所以（）2＋m2＝1，解得m＝±.又α為第四象限角，故m＜0，所以m＝－，sin α＝＝＝－.
考點三：扇形公式
弧長公式：l＝　｜α｜r　 扇形面積公式：S＝　lr　＝　｜α｜r2　
1.（1）已知扇形的圓心角是α，半徑為R，弧長為l.（1）若α＝，R＝10 cm，求扇形的弧長；
（2）若扇形的周長是20 cm，當扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大？
解：（1）因為α＝，R＝10 cm，扇形的弧長l＝｜α｜R＝×10＝（cm）.
（2）由已知得，l＋2R＝20，所以S＝lR＝（20－2R）R＝10R－R2＝－（R－5）2＋25，所以當R＝5時，S取得最大值，此時l＝10，α＝2.
2.已知一扇形的弧長為，面積為，則其半徑r＝ 　2　，圓心角θ＝　　.
解析：因為扇形的弧長為，面積為，所以＝××r，解得r＝2.由扇形的弧長為，得＝rθ＝2θ，解得θ＝.
3.如圖所示，在扇形AOD中，弧AD的長度是l1.在扇形BOC中，點B，C分別在線段OA，OD上，弧BC的長度是l2.設扇環ABCD的面積為S1，扇形BOC的面積為S2，若＝2，則＝　3　.
解析：設∠AOD＝θ，則l1＝θ·OA，l2＝θ·OB，所以＝＝2，即OA＝2OB，所以＝＝＝3.
4.我國空間站備受世界矚目，那么你知道我國空間站運行的軌道是什么形狀嗎？據來自中國載人航天工程辦公室消息稱“天和”核心艙組合體軌道參數為：遠地點高度約為394.7千米，近地點高度約為394.2千米，簡直比地球繞日運行軌道還圓！若把空間站運行軌道看作圓形軌道，距地球表面的距離取394千米，已知地球半徑約為6 370千米，則空間站繞地球每旋轉弧度，飛行的路程約為（取π≈3.14）（　　）
A.3 300千米　 B.3 334千米 C.3 540千米　 D.3 640千米
解析：C　空間站繞地球飛行的半徑為394＋6 370＝6 764（千米），所以空間站繞地球每旋轉弧度，飛行的路程約為l＝αr＝6 764×≈6 764×≈3 540（千米）.
5.（多選）已知扇形的周長是6，面積是2，下列選項可能正確的有（　　）
A.扇形的半徑為2 B.扇形的半徑為1 C.扇形的圓心角的弧度數是1 D.扇形的圓心角的弧度數是2
解析：ABC　設扇形半徑為r，圓心角弧度數為α，則由題意得解得或故選A、B、C.第4章第2節同角三角函數的基本關系與誘導公式
考點一：1.同角三角函數的基本關系式
考向1　“知一求二”問題 利用同角基本關系式“知一求二”的方法
1.若α為第二象限角，且sin α＝，則tan α＝（　　）
A.2　 B.－2 C.　 D.－
2.（2023·全國乙卷14題）若θ∈（0，），tan θ＝，則sin θ－cos θ＝　　.
3.已知α是第四象限角，sin α＝－，則tan （π＋α）＝（　　）
A.－　 B. C.－　 D.
考向2　sin α，cos α的齊次式問題
1.若＝，則sin2α－sin αcos α－3cos2α＝（　　）
A.　 B. C.　 D.
2.已知＝－5，則tan α＝　　.
3.已知＝－1，則＝　　；sin2α＋sin αcos α＋2＝　　.
考向3　“sin α±cos α，sin αcos α”之間關系的應用
1.（多選）已知θ∈（0，π），sin θ＋cos θ＝－，則下列結論正確的是（　　）
A.θ∈（，π）　 B.cos θ＝－ C.tan θ＝－　 D.sin θ－cos θ＝－
2..已知sin α，cos α是方程3x2－2x＋a＝0的兩個根，則實數a的值為（　　）
A.　 B.－ C.　 D.
3.若sin θ＋cos θ＝，則sin4θ＋cos4θ＝（　　）
A.　 B. C.　 D.
4.在△ABC中，sin A·cos A＝－，則cos A－sin A＝（　　）
A.－　 B.－ C.　 D.±
5.（多選）已知＝3，－＜α＜，則（　　）
A.tan α＝2　 B.sin α－cos α＝－ C.sin4α－cos4α＝　 D.＝
.6.A.　 B.2 C.2或　 D.不確定
考點二：誘導公式
1.已知α為銳角，且cos（α＋）＝－，則cos（α＋）＝（　　）
A.－　 B. C.－　 D.
2.sin（－1 200°）cos 1 290°＝　　.
3.sin 1 050°＝（　　）
A.　 B.－ C.　 D.－
4.已知cos（＋θ）＝－，則sin（＋θ）＝（　　）
A.　 B. C.－　 D.－
5.已知cos（75°＋α）＝，則cos（105°－α）＋sin（15°－α）＝　　.
6.＝（　　）
A.－2　 B.－1 C.1　 D.2
7.化簡的結果是（　　）
A.－1　 B.1 C.tan α　 D.－tan α
8.（多選）在△ABC中，下列結論正確的是（　　）
A.sin（A＋B）＝sin C B.sin ＝cos C.tan（A＋B）＝－tan C（C≠） D.cos（A＋B）＝cos C
9.在△ABC中，sin（－A）＝3sin（π－A），cos A＝－cos（π－B），則△ABC為（　　）
A.等腰三角形　 B.直角三角形 C.等腰直角三角形　 D.等邊三角形
考點三：同角公式與誘導公式綜合應用
1.（2024·宿遷一模）已知f（α）＝.（1）化簡f（α）；
（2）若α＝－，求f（α）的值；（3）若cos（－α－）＝，α∈［π，］，求f（α）的值.
2.已知角α是第二象限角，且滿足sin（＋α）＋3cos（α－π）＝1，則tan（π＋α）＝（　　）
A.　 B.－ C.－　 D.－1
3.（2024·濟寧一模）已知α是第四象限角，f（α）＝.
（1）化簡f（α）；（2）若cos（α－）＝，求f（α）的值.
4.已知＜α＜π，tan α－＝－.（1）求tan α的值；（2）求的值.
5.已知角α的終邊經過點P（m，2），sin α＝，且α為第一象限角.
（1）求m的值；（2）若tan β＝，求的值.
6.已知sin（－θ）cos（＋θ）＝，且0＜θ＜.（1）求tan θ的值；
（2）求［cos（＋θ）＋sin（θ－）］·[sin（3π－θ）－2cos（π＋θ）]的值.第4章第2節同角三角函數的基本關系與誘導公式
考點一：1.同角三角函數的基本關系式
（1）平方關系：sin2α＋cos2α＝1（α∈R）；
（2）商數關系：tan α＝（α≠kπ＋，k∈Z）.
提醒　平方關系對任意角都成立，而商數關系中α≠kπ＋（k∈Z）.
2.同角三角函數關系式的常見變形
（1）sin2α＝1－cos2α＝（1＋cos α）（1－cos α）；
（2）cos2α＝1－sin2α＝（1＋sin α）（1－sin α）；
（3）（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α；
（4）sin α＝tan αcos α（α≠＋kπ，k∈Z）.
考向1　“知一求二”問題 利用同角基本關系式“知一求二”的方法
1.若α為第二象限角，且sin α＝，則tan α＝（　　）
A.2　 B.－2 C.　 D.－
解析：D　因為sin α＝，由sin2α＋cos2α＝1可得cos α＝±，又α為第二象限角，所以cos α＝－，所以tan α＝＝－.故選D.
2.（2023·全國乙卷14題）若θ∈（0，），tan θ＝，則sin θ－cos θ＝　－　.
解析：由tan2θ＝＝＝，得cos2θ＝.因為θ∈（0，），所以cos θ＝，則sin θ＝＝，所以sin θ－cos θ＝－.
3.已知α是第四象限角，sin α＝－，則tan （π＋α）＝（　　）
A.－　 B. C.－　 D.
解析：C　因為α是第四象限角，sin α＝－，所以cos α＝＝，故tan（π＋α）＝tan α＝＝－.
考向2　sin α，cos α的齊次式問題
1.若＝，則sin2α－sin αcos α－3cos2α＝（　　）
A.　 B. C.　 D.
解析：C　由＝，可知cos α≠0，所以＝＝，所以tan α＝－3.又sin2α－sin αcos α－3cos2α＝＝＝＝.故選C.
解題技法 利用“齊次化切”求齊次式值的方法
（1）若齊次式為分式，可將分子與分母同除以cos α的n次冪，將分式的分子與分母化為關于tan α的式子，代入tan α的值即可求解；
（2）若齊次式為二次整式，可將其視為分母為1的分式，然后將分母1用sin2α＋cos2α替換，再將分子與分母同除以cos2α，化為只含有tan α的式子，代入tan α的值即可求解.
2.已知＝－5，則tan α＝　－　.
解析：由＝－5，知cos α≠0，等式左邊分子、分母同時除以cos α，可得＝－5，解得tan α＝－.
3.已知＝－1，則＝　－　；sin2α＋sin αcos α＋2＝　　.
解析：由已知得tan α＝，所以＝＝－.sin2α＋sin αcos α＋2＝＋2＝＋2＝＋2＝.
考向3　“sin α±cos α，sin αcos α”之間關系的應用
1.（多選）已知θ∈（0，π），sin θ＋cos θ＝－，則下列結論正確的是（　　）
A.θ∈（，π）　 B.cos θ＝－ C.tan θ＝－　 D.sin θ－cos θ＝－
解析：AC　由題可知sin θ＞0，cos θ＜0，所以可得θ∈（，π），故A正確；（sin θ＋cos θ）2＝1＋2sin θcos θ＝，可得sin θcos θ＝－，則可得（sin θ－cos θ）2＝1－2sin θcos θ＝，所以sin θ－cos θ＝，故D錯誤；由sin θ＋cos θ＝－，sin θ－cos θ＝，聯立解得，sin θ＝，cos θ＝－，tan θ＝－，故B錯誤，C正確.
解題技法
1.注意公式的逆用及變形用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
2.應用公式時注意方程思想的應用：對于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α這三個式子，利用（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.
2.已知sin α，cos α是方程3x2－2x＋a＝0的兩個根，則實數a的值為（　　）
A.　 B.－ C.　 D.
解析：B　由題可得，sin α＋cos α＝，sin αcos α＝.由結論1可得，＝1＋2×，解得a＝－.
3.若sin θ＋cos θ＝，則sin4θ＋cos4θ＝（　　）
A.　 B. C.　 D.
解析：B　由sin θ＋cos θ＝，平方得1＋2sin θcos θ＝，∴sin θcos θ＝，∴sin4θ＋cos4θ＝（sin2θ＋cos2θ）2－2sin2θcos2θ＝1－2×（）2＝，故選B.
4.在△ABC中，sin A·cos A＝－，則cos A－sin A＝（　　）
A.－　 B.－ C.　 D.±
解析：B　∵在△ABC中，sin A·cos A＝－，∴A為鈍角，∴cos A－sin A＜0，∴cos A－sin A＝－＝－＝－＝－.
5.（多選）已知＝3，－＜α＜，則（　　）
A.tan α＝2　 B.sin α－cos α＝－ C.sin4α－cos4α＝　 D.＝
解析：ACD　因為＝＝3，所以tan α＝2，故A正確；因為tan α＝＝2＞0，且－＜α＜，所以0＜α＜，所以sin α＞0，cos α＞0，由＝3＞0，可得sin α－cos α＞0，故B錯誤；sin4α－cos4α＝（sin2α－cos2α）·（sin2α＋cos2α）＝sin2α－cos2α＝＝＝＝，故C正確；＝＝＝，故D正確.故選A、C、D.
6.已知2sin α＋cos α＝，則tan α＝（　　）
A.　 B.2 C.2或　 D.不確定
解析：B　法一　因為cos α＝－2sin α且sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＋（－2sin α）2＝1，整理得5sin2α－4sin α＋4＝0，所以（sin α－2）2＝0，所以sin α＝，所以cos α＝，所以tan α＝2.
法二　因為2sin α＋cos α＝，所以（2sin α＋cos α）2＝5，所以4sin2α＋4sin αcos α＋cos2α＝5，所以sin2α－4sin αcos α＋4cos2α＝0，所以＝0，所以tan2α－4tan α＋4＝0，所以tan α＝2.
考點二：誘導公式
1.已知α為銳角，且cos（α＋）＝－，則cos（α＋）＝（　　）
A.－　 B. C.－　 D.
解析：（1）由α為銳角得＜α＋＜，所以sin（α＋）＝＝，cos（α＋）＝cos（α＋＋）＝－sin（α＋）＝－.故選C.
2.sin（－1 200°）cos 1 290°＝　　.
解析：原式＝－sin 1 200°cos 1 290°＝－sin（3×360°＋120°）cos（3×360°＋210°）＝－sin 120°cos 210°＝－sin（180°－60°）cos（180°＋30°）＝sin 60°cos 30°＝×＝.
3.sin 1 050°＝（　　）
A.　 B.－ C.　 D.－
解析：B　sin 1 050°＝sin（3×360°－30°）＝－sin 30°＝－.
4.已知cos（＋θ）＝－，則sin（＋θ）＝（　　）
A.　 B. C.－　 D.－
解析：B　sin（＋θ）＝sin［（＋θ）－］＝－sin［－（＋θ）］＝－cos（＋θ）＝.
5.已知cos（75°＋α）＝，則cos（105°－α）＋sin（15°－α）＝　0　.
解析：因為（105°－α）＋（75°＋α）＝180°，（15°－α）＋（α＋75°）＝90°，所以cos（105°－α）＝cos[180°－（75°＋α）]＝－cos（75°＋α）＝－，sin（15°－α）＝sin[90°－（α＋75°）]＝cos（75°＋α）＝.所以cos（105°－α）＋sin（15°－α）＝－＋＝0.
6.＝（　　）
A.－2　 B.－1 C.1　 D.2
解析：（2）原式＝＝＝－＝－1.
7.化簡的結果是（　　）
A.－1　 B.1 C.tan α　 D.－tan α
解析：C　由誘導公式得，原式＝＝＝tan α，故選C.
8.（多選）在△ABC中，下列結論正確的是（　　）
A.sin（A＋B）＝sin C B.sin ＝cos C.tan（A＋B）＝－tan C（C≠） D.cos（A＋B）＝cos C
解析：ABC在△ABC中，有A＋B＋C＝π，則sin（A＋B）＝sin（π－C）＝sin C，A正確；sin ＝sin（－）＝cos ，B正確；tan（A＋B）＝tan（π－C）＝－tan C（C≠），C正確；cos（A＋B）＝cos（π－C）＝－cos C，D錯誤.
9.在△ABC中，sin（－A）＝3sin（π－A），cos A＝－cos（π－B），則△ABC為（　　）
A.等腰三角形　 B.直角三角形 C.等腰直角三角形　 D.等邊三角形
解析：B　由sin（－A）＝3sin（π－A）可得cos A＝3sin A，即tan A＝，又0＜A＜π，所以A＝，再由cos A＝－cos（π－B）可得cos A＝cos B，所以cos B＝，又0＜B＜π，所以B＝，所以C＝，所以△ABC為直角三角形.故選B.
考點三：同角公式與誘導公式綜合應用
1（2024·宿遷一模）已知f（α）＝.（1）化簡f（α）；
（2）若α＝－，求f（α）的值；（3）若cos（－α－）＝，α∈［π，］，求f（α）的值.
解：（1）f（α）＝＝－cos α.
（2）若α＝－，則f（α）＝－cos（－）＝－cos ＝－.
（3）由cos（－α－）＝，可得sin α＝－，因為α∈［π，］，所以cos α＝－，所以f（α）＝－cos α＝.
2.已知角α是第二象限角，且滿足sin（＋α）＋3cos（α－π）＝1，則tan（π＋α）＝（　　）
A.　 B.－ C.－　 D.－1
解析：B　由sin（＋α）＋3cos（α－π）＝1，得cos α－3cos α＝1，∴cos α＝－，∵角α是第二象限角，∴sin α＝，∴tan（π＋α）＝tan α＝＝－.
3.（2024·濟寧一模）已知α是第四象限角，f（α）＝.
（1）化簡f（α）；（2）若cos（α－）＝，求f（α）的值.
解：（1）f（α）＝＝＝－cos α.
（2）∵cos（α－）＝－sin α＝，即sin α＝－，
又α是第四象限角，∴cos α＝＝，∴f（α）＝－cos α＝－.
4.已知＜α＜π，tan α－＝－.（1）求tan α的值；（2）求的值.
解：（1）令tan α＝x，則x－＝－，整理得2x2＋3x－2＝0，解得x＝或x＝－2，
因為＜α＜π，所以tan α＜0，故tan α＝－2.
（2）＝＝tan α＋1＝－2＋1＝－1.
5.已知角α的終邊經過點P（m，2），sin α＝，且α為第一象限角.
（1）求m的值；（2）若tan β＝，求的值.
解：（1）由三角函數定義可知sin α＝＝，解得m＝±1，因為α為第一象限角，所以m＝1.
（2）由（1）知tan α＝2，＝－＝－＝－＝－.
6.已知sin（－θ）cos（＋θ）＝，且0＜θ＜.（1）求tan θ的值；
（2）求［cos（＋θ）＋sin（θ－）］·[sin（3π－θ）－2cos（π＋θ）]的值.
解：（1）∵sin（－θ）cos（＋θ）＝cos θsin θ＝，
∴＝＝，∴12tan2θ－25tan θ＋12＝0，即（3tan θ－4）（4tan θ－3）＝0.
∵0＜θ＜，∴0＜tan θ＜1，∴tan θ＝.
（2）［cos（＋θ）＋sin（θ－）］·[sin（3π－θ）－2cos（π＋θ）]
＝（sin θ－cos θ）（sin θ＋2cos θ）＝＝＝＝－.第4章三角函數與解三角形第3節三角恒等變換
1考點一：和差公式
1.sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝（　　）
A.－　 B. C.－　 D.
2.若角α的終邊在第四象限，且sin α＝－，則tan（＋α）＝　　.
3.已知角α的終邊過點A（1，），則cos（α＋）＝（　　）
A.－ B.0 C.　 D.
4.已知sin α＝，α∈（，π），tan（π－β）＝，則tan（α－β）＝（　　）
A.－　 B. C.　 D.－
5.已知sin α＝，α∈（，π），則tan（－α）＝（　　）
A.－7　 B.－ C.　 D.7
6.已知0＜α＜，且sin α＝，則tan（α＋）＝　7　.
7.已知α∈（，π），sin α＝.（1）求sin（＋α）的值；
8.已知銳角α，β滿足sin α＝，cos β＝，則α＋β＝（　　）
A.　 B.或 C.　 D.2kπ＋（k∈Z）
考點二：倍角公式
1.若sin x＝－，則cos 2x＝　　.
2.已知cos θ＝，則sin（2θ＋）＝（　　）
A.－ 　　B. C.　 D.－
3.已知α∈（，π），sin α＝.（2）求cos（－2α）的值.
4.·＝（　　）
A.－sin α　 B.－cos α C.sin α　 D.cos α
5.（2024·天門模擬）已知cos（π＋θ）＝，若θ是第二象限角，則tan＝（　　）
A.2　 B. C.－　 D.
6.若2cos2（α－）＝1＋cos 2α，則tan 2α＝（　　）
A.－　 B. C.－　 D.
7.（多選）已知sin α＝－，180°＜α＜270°，則下列選項正確的是（　　）
A.sin 2α＝－　 B.sin＝ C.cos＝－　 D.tan＝－2
考點三：輔助角公式
1.已知函數f（x）＝sin x－cos x，則f（）＝　　.
2.化簡：3sin x＋3cos x＝（　　）
A.6cos（x＋）　 B.3cos（x－） C.6sin（x＋）　 D.3sin（x－）
3.已知·tan 20°＋λcos 70°＝3，則λ＝（　　）
A.　 B.2 C.3　 D.4
4.已知函數f（x）＝2cos2x＋2sin xcos x.（1）求f（）的值；
（2）若f（）＝，α∈（0，），求cos α的值.
考點四：常用拆角、拼角技巧
1.已知tan（α＋β）＝，tan（α－β）＝，則tan（π－2α）＝　　.
2.已知α，β∈，sin（α＋β）＝－，sin＝，則cos（α＋）＝　　.
3.（2024·株洲一模）若tan（α＋2β）＝2,tan β＝－3,則tan（α＋β）＝　　，tan α＝　　.
4.（2024·臺州模擬）已知0＜α＜＜β＜π，tan α＝，cos（β－α）＝，則sin α＝　　，cos β＝　　.
5.已知0＜α＜，0＜β＜，cos α＝，cos（β＋α）＝.（1）求sin β的值；（2）求的值.
考點五：公式直接應用
1.（2021·全國乙卷6題）cos2－cos2＝（　　）
A.　 B. C.　 D.
2.已知θ∈（，π），tan 2θ＝－4tan（θ＋），則＝（　　）
A.　 B. C.1　 D.
3.設sin（α＋）＝－cos α，則cos（－2α）＝（　　）
A.－　 B. C.－　 D.
4..（多選）已知cos（α＋β）＝－，cos 2α＝－，其中α，β為銳角，則下列各式正確的是（　　）
A.sin 2α＝　 B.cos（α－β）＝ C.cos αcos β＝　 D.tan αtan β＝3
5.已知sin＝，則cos＝（　　）
A.－　 B. C.－　 D.
6.設α是第一象限角，滿足sin（α－）－cos（α＋）＝，則tan α＝　　.
7.（2023·新高考Ⅰ卷8題）已知sin（α－β）＝，cos αsin β＝，則cos（2α＋2β）＝（　　）
A.　 B. C.－　 D.－
8.已知sin（α＋β）＝，sin αcos β＝，則cos（4α－4β）＝（　　）
A.　 B. C.－　 D.－
9.已知α，β均為銳角，cos α＝，sin β＝，則cos 2α＝　　，2α－β＝　　.
10.已知α∈（0，π），sin 2α＋cos 2α＝cos α－1，則sin 2α＝（　　）
A.　 B.－ C.－或0　 D.
11.已知sin（α－）＝，則cos（＋2α）＝　　.
考點六：公式逆用及變形
1.（2022·新高考Ⅱ卷6題）若sin（α＋β）＋cos（α＋β）＝2cossin β，則（　　）
A.tan（α－β）＝1　 B.tan（α＋β）＝1 C.tan（α－β）＝－1　 D.tan（α＋β）＝－1
2.若α＋β＝，則tan αtan β－tan α－tan β＝　　.
3.（多選）下列等式能夠成立的為（　　）
A.sin 15°cos 15°＝ B.sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝1
C.cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝－1 D.sin 15°＋cos 15°＝1
4.已知α，β，γ∈（0，），sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，則β－α＝　　.
考點七：化簡
1.化簡：sin 20°（＋tan 50°）＝（　　）
A.　 B.2 C.　 D.1
2.化簡：＝　　.
3.化簡（tan 30°＋tan 70°）sin 10°＝　　.第4章三角函數與解三角形第3節三角恒等變換
1.同角三角函數的基本關系式
（1）平方關系：sin2α＋cos2α＝1（α∈R）；
（2）商數關系：tan α＝（α≠kπ＋，k∈Z）.
提醒　平方關系對任意角都成立，而商數關系中α≠kπ＋（k∈Z）.
2.誘導公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α（k∈Z） π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α
提醒　誘導公式可簡記為：奇變偶不變，符號看象限.“奇”“偶”指的是“k·＋α（k∈Z）”中的k是奇數還是偶數；“變”與“不變”是指函數的名稱的變化；“符號看象限”指的是在“k·＋α（k∈Z）”中，將α看成銳角時，“k·＋α（k∈Z）”的終邊所在的象限.
1.兩角和與差的余弦、正弦、正切公式
（1）cos（α－β）＝　cos αcos β＋sin αsin β　（C（α－β））；
（2）cos（α＋β）＝　cos αcos β－sin αsin β　（C（α＋β））；
（3）sin（α－β）＝　sin αcos β－cos αsin β　（S（α－β））；
（4）sin（α＋β）＝　sin αcos β＋cos αsin β　（S（α＋β））；
（5）tan（α－β）＝　　（T（α－β））；
（6）tan（α＋β）＝　　（T（α＋β））.
2.輔助角公式 asin α＋bcos α＝　sin（α＋φ）　（其中cos φ＝，sin φ＝）.
3.二倍角公式
（1）基本公式
①sin 2α＝　2sin αcos α　；
②cos 2α＝　cos2α－sin2α　＝　2cos2α－1　＝　1－2sin2α　；
③tan 2α＝.
（2）公式變形
①升冪公式：1－cos α＝2sin2；1＋cos α＝　2cos2　；tan α＝；1±sin α＝（sin ±cos ）2；
②降冪公式：sin2α＝；cos2α＝　　；tan2α＝　　.
提醒　（1）二倍角公式就是兩角和的正弦、余弦、正切公式中α＝β的特殊情況；（2）二倍角是相對的，如：是的2倍，3α是的2倍.
考點一：和差公式
1.sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝（　　）
A.－　 B. C.－　 D.
解析：D　原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin（20°＋10°）＝sin 30°＝.
2.若角α的終邊在第四象限，且sin α＝－，則tan（＋α）＝　　.
解析：由題可知，cos α＞0，所以cos α＝，則tan α＝－，所以tan（＋α）＝＝.
3.已知角α的終邊過點A（1，），則cos（α＋）＝（　　）
A.－ B.0 C.　 D.
解析：B　∵角α的終邊過點A（1，），∴sin α＝＝，cos α＝＝，則cos（α＋）＝cos α－sin α＝×－×＝0，故選B.
4.已知sin α＝，α∈（，π），tan（π－β）＝，則tan（α－β）＝（　　）
A.－　 B. C.　 D.－
解析：A　∵sin α＝，α∈（，π），∴cos α＝－，tan α＝－，又tan（π－β）＝，∴tan β＝－，∴tan（α－β）＝＝＝－.
5.已知sin α＝，α∈（，π），則tan（－α）＝（　　）
A.－7　 B.－ C.　 D.7
解析：D　因為sin α＝，α∈（，π），所以cos α＝－＝－，tan α＝＝－，所以tan（－α）＝＝7，故選D.
6.已知0＜α＜，且sin α＝，則tan（α＋）＝　7　.
解析：由題意得cos α＝＝，所以tan α＝＝，則tan（α＋）＝tan（α＋）＝＝7.
7.已知α∈（，π），sin α＝.（1）求sin（＋α）的值；
解：（1）因為α∈（，π），sin α＝，所以cos α＝－＝－.
故sin（＋α）＝sincos α＋cossin α＝×（－）＋×＝－.
8.已知銳角α，β滿足sin α＝，cos β＝，則α＋β＝（　　）
A.　 B.或 C.　 D.2kπ＋（k∈Z）
解析：C　由sin α＝，cos β＝，且α，β為銳角，可知cos α＝，sin β＝，故cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝，又0＜α＋β＜π，故α＋β＝.
考點二：倍角公式
1.若sin x＝－，則cos 2x＝　　.
解析：cos 2x＝1－2sin2x＝1－2×（－）2＝1－＝.
2.已知cos θ＝，則sin（2θ＋）＝（　　）
A.－ 　　B. C.　 D.－
解析：A　根據誘導公式與二倍角公式，得sin（2θ＋）＝cos 2θ＝2cos2θ－1＝－，故選A.
3.已知α∈（，π），sin α＝.（2）求cos（－2α）的值.
解：（2）由（1）知sin 2α＝2sin αcos α＝2××（－）＝－，cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×（）2＝，
所以cos（－2α）＝coscos 2α＋sinsin 2α＝（－）×＋×（－）＝－.
4.·＝（　　）
A.－sin α　 B.－cos α C.sin α　 D.cos α
解析：D　原式＝＝＝cos α.
5.（2024·天門模擬）已知cos（π＋θ）＝，若θ是第二象限角，則tan＝（　　）
A.2　 B. C.－　 D.
解析：B　因為cos（π＋θ）＝，所以cos θ＝－，又θ是第二象限角，所以sin θ＝.
法一　由tan＝＝＝＝＝＝.故選B.
法二　由半角公式得tan＝＝.故選B.
6.若2cos2（α－）＝1＋cos 2α，則tan 2α＝（　　）
A.－　 B. C.－　 D.
解析：D　2cos2（α－）＝2（cos α＋sin α）2＝＋sin2α＋sin 2α＝1－cos 2α＋sin 2α，由1－cos 2α＋sin 2α＝1＋cos 2α，可得sin 2α＝cos 2α，則tan 2α＝.故選D.
7.（多選）已知sin α＝－，180°＜α＜270°，則下列選項正確的是（　　）
A.sin 2α＝－　 B.sin＝ C.cos＝－　 D.tan＝－2
解析：BCD　因為sin α＝－，180°＜α＜270°，所以cos α＝－，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×（－）×（－）＝，故A錯誤.因為90°＜＜135°，所以sin＝＝＝，cos＝－＝－＝－，tan＝＝－2，故B、C、D均正確.
考點三：輔助角公式
1.已知函數f（x）＝sin x－cos x，則f（）＝　　.
解析：∵函數f（x）＝sin x－cos x＝2（sin x－cos x）＝2sin（x－），∴f（）＝2sin（－）＝2sin＝.
2.化簡：3sin x＋3cos x＝（　　）
A.6cos（x＋）　 B.3cos（x－） C.6sin（x＋）　 D.3sin（x－）
解析：C　3sin x＋3cos x＝6（sin x＋cos x）＝6sin（x＋），故選C.
3.已知·tan 20°＋λcos 70°＝3，則λ＝（　　）
A.　 B.2 C.3　 D.4
解析：D　由已知可得，＋λsin 20°＝3，則sin 20°＋λsin 20°cos 20°＝3cos 20°，即sin 40°＝3cos 20°－sin 20°＝2sin（60°－20°）＝2sin 40°，所以λ＝4，故選D.
4.已知函數f（x）＝2cos2x＋2sin xcos x.（1）求f（）的值；
（2）若f（）＝，α∈（0，），求cos α的值.
解：（1）因為f（x）＝2cos2x＋2sin xcos x＝1＋cos 2x＋sin 2x＝1＋2sin（2x＋），
所以f（）＝1＋2sin（＋）＝1＋2sin ＝1＋1＝2.
（2）由f（）＝，α∈（0，），得sin（α＋）＝，cos（α＋）＝，
所以cos α＝cos［（α＋）－］＝cos（α＋）cos ＋sin（α＋）sin ＝.
考點四：常用拆角、拼角技巧
2α＝（α＋β）＋（α－β）；α＝（α＋β）－β＝（α－β）＋β；β＝－＝（α＋2β）－（α＋β）；
α－β＝（α－γ）＋（γ－β）；＋α＝－（－α）.
1.已知tan（α＋β）＝，tan（α－β）＝，則tan（π－2α）＝　－1　.
解析：因為tan（π－2α）＝－tan 2α,由結論2可知tan 2α＝＝＝1,所以tan（π－2α）＝－1.
2.已知α，β∈，sin（α＋β）＝－，sin＝，則cos（α＋）＝　－　.
解析：由題意知，α＋β∈，sin（α＋β）＝－＜0，所以cos（α＋β）＝，因為β－∈，所以cos＝－，cos＝cos［（α＋β）－］＝cos（α＋β）cos＋sin（α＋β）sin＝－.
3.（2024·株洲一模）若tan（α＋2β）＝2,tan β＝－3,則tan（α＋β）＝　－1　，tan α＝　　.
解析：∵tan（α＋2β）＝2，tan β＝－3，∴tan（α＋β）＝tan（α＋2β－β）＝＝＝－1.tan α＝tan（α＋β－β）＝＝.
4.（2024·臺州模擬）已知0＜α＜＜β＜π，tan α＝，cos（β－α）＝，則sin α＝　　，cos β＝　－　.
解析：因為0＜α＜，且tan α＝，所以sin α＝，cos α＝，由0＜α＜＜β＜π，則0＜β－α＜π，又因為cos（β－α）＝，則sin（β－α）＝，所以cos β＝cos[（β－α）＋α]＝cos（β－α）cos α－sin（β－α）sin α＝×－×＝－.
5.已知0＜α＜，0＜β＜，cos α＝，cos（β＋α）＝.
（1）求sin β的值；（2）求的值.
解：（1）由0＜α＜，0＜β＜，cos α＝，cos（β＋α）＝，
得sin α＝，sin（β＋α）＝.
所以sin β＝sin[（β＋α）－α]＝sin（β＋α）cos α－cos（β＋α）sin α＝×－×＝.
（2）因為cos α＝，sin α＝，所以＝＝＝12.
考點五：公式直接應用
1.（2021·全國乙卷6題）cos2－cos2＝（　　）
A.　 B. C.　 D.
解析：（1）因為cos ＝sin ＝sin ，所以cos2－cos2＝cos2－sin2＝cos＝cos＝.故選D.
2.已知θ∈（，π），tan 2θ＝－4tan（θ＋），則＝（　　）
A.　 B. C.1　 D.
解析：（1）因為cos ＝sin ＝sin ，所以cos2－cos2＝cos2－sin2＝cos＝cos＝.故選D.
（2）∵tan 2θ＝－4tan（θ＋），∴＝－4，∴2tan2θ＋5tan θ＋2＝0，∴tan θ＝－或－2，∵θ∈（，π），∴tan θ∈（－1，0），∴tan θ＝－，＝，＝＝，故選A.
3.設sin（α＋）＝－cos α，則cos（－2α）＝（　　）
A.－　 B. C.－　 D.
解析：D　sin（α＋）＝sin α·＋cos α·＝－cos α，即sin α·＋cos α·＝，所以sin α·＋cos α·＝，即cos（－α）＝，所以cos（－2α）＝2cos2（－α）－1＝2×－1＝，故選D.
4..（多選）已知cos（α＋β）＝－，cos 2α＝－，其中α，β為銳角，則下列各式正確的是（　　）
A.sin 2α＝　 B.cos（α－β）＝ C.cos αcos β＝　 D.tan αtan β＝3
解析：ABD　因為cos 2α＝－，且0＜α＜，所以0＜2α＜π，所以sin 2α＝＝，故A正確；因為cos（α＋β）＝－，0＜α＜，0＜β＜，所以0＜α＋β＜π，所以sin（α＋β）＝＝，所以cos（α－β）＝cos[2α－（α＋β）]＝cos 2αcos（α＋β）＋sin 2αsin（α＋β）＝－×（－）＋×＝，故B正確；cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝①，cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝－②，由①＋②，得2cos αcos β＝，解得cos αcos β＝，故C不正確；由①－②，得2sin αsin β＝，解得sin αsin β＝，則tan αtan β＝＝＝3，故D正確.故選A、B、D.
5.已知sin＝，則cos＝（　　）
A.－　 B. C.－　 D.
解析：A　由sin＝，得cos＝1－2sin2＝，cos＝cos［π－（－2α）］＝－cos＝－.故選A.
6.設α是第一象限角，滿足sin（α－）－cos（α＋）＝，則tan α＝　　.
解析：∵sin（α－）－cos（α＋）＝sin α－cos α－cos α＋sin α＝（sin α－cos α）＝，∴sin α－cos α＝.∵α是第一象限角，∴sin α＞0，cos α＞0，由可得sin α＝，cos α＝，∴tan α＝＝＝.
7.（2023·新高考Ⅰ卷8題）已知sin（α－β）＝，cos αsin β＝，則cos（2α＋2β）＝（　　）
A.　 B. C.－　 D.－
解析：B　因為sin（α－β）＝，所以sin αcos β－cos αsin β＝.因為cos αsin β＝，所以sin αcos β＝＋＝，所以sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β＝＋＝，所以cos（2α＋2β）＝cos[2（α＋β）]＝1－2sin2（α＋β）＝1－2×＝.故選B.
8.已知sin（α＋β）＝，sin αcos β＝，則cos（4α－4β）＝（　　）
A.　 B. C.－　 D.－
解析：B　由sin（α＋β）＝可得，sin αcos β＋cos αsin β＝，因為sin αcos β＝，所以cos αsin β＝，所以sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β＝－＝，所以cos[2（α－β）]＝1－2sin2（α－β）＝1－＝，所以cos[4（α－β）]＝2cos2[2（α－β）]－1＝.
9.已知α，β均為銳角，cos α＝，sin β＝，則cos 2α＝　　，2α－β＝　　.
解析：因為cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝.又因為α，β均為銳角，sin β＝，所以sin α＝，cos β＝，因此sin 2α＝2sin αcos α＝，所以sin（2α－β）＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝×－×＝.因為α為銳角，所以0＜2α＜π.又cos 2α＞0，所以0＜2α＜，又β為銳角，所以－＜2α－β＜，又sin（2α－β）＝，所以2α－β＝.
10.已知α∈（0，π），sin 2α＋cos 2α＝cos α－1，則sin 2α＝（　　）
A.　 B.－ C.－或0　 D.
解析：C　∵sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝2cos2α－1，∴2sin αcos α＋2cos2α＝cos α，當cos α＝0時，等式成立，此時sin 2α＝0；當cos α≠0時，sin α＋cos α＝，兩邊平方得sin 2α＝－.綜上可得，sin 2α＝－或0.
11.已知sin（α－）＝，則cos（＋2α）＝　　.
解析：cos（＋2α）＝cos（π－＋2α）＝－cos［2（α－）］＝2sin2（α－）－1＝－.
考點六：公式逆用及變形
1.（2022·新高考Ⅱ卷6題）若sin（α＋β）＋cos（α＋β）＝2cossin β，則（　C　）
A.tan（α－β）＝1　 B.tan（α＋β）＝1 C.tan（α－β）＝－1　 D.tan（α＋β）＝－1
解析：（1）由題意得sin αcos β＋sin βcos α＋cos αcos β－sin αsin β＝2×（cos α－sin α）·sin β，整理，得sin α·cos β－sin βcos α＋cos α·cos β＋sin αsin β＝0，即sin（α－β）＋cos（α－β）＝0，所以tan（α－β）＝－1，故選C.
2.若α＋β＝，則tan αtan β－tan α－tan β＝　　.
解析：（2）∵α＋β＝，∴tan（α＋β）＝＝tan（π－）＝－，∴tan α＋tan β＝－（1－tan αtan β），∴tan αtan β－tan α－tan β＝.
3.（多選）下列等式能夠成立的為（　　）
A.sin 15°cos 15°＝ B.sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝1
C.cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝－1 D.sin 15°＋cos 15°＝1
解析：BC　對于A：sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，A錯誤；對于B：sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝sin（75°＋15°）＝sin 90°＝1，B正確；對于C：cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝cos（105°＋75°）＝cos 180°＝－1，C正確；對于D：sin 15°＋cos 15°＝2sin（15°＋30°）＝2sin 45°＝，D錯誤.故選B、C.
4.已知α，β，γ∈（0，），sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，則β－α＝　　.
解析：由題意知，sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β，將兩式分別平方后相加，得1＝（sin β－sin α）2＋（cos α－cos β）2＝2－2（sin βsin α＋cos βcos α），∴cos（β－α）＝，∵γ∈（0，），∴sin γ＝sin β－sin α＞0，又α，β∈（0，），∴β＞α，∴0＜β－α＜，∴β－α＝.
考點七：化簡
1.化簡：sin 20°（＋tan 50°）＝（　　）
A.　 B.2 C.　 D.1
解析：D　原式＝＝＝＝＝＝1，故選D.
2.化簡：＝　　.
解析：＝＝＝＝.
3.化簡（tan 30°＋tan 70°）sin 10°＝　　.
解析：（tan 30°＋tan 70°）sin 10°＝（＋）·sin 10°＝＝＝＝.第4章三角函數與解三角形第4節三角函數的圖像與性質1五點法定義域值域單調性
考點一：三角函數五點法作圖
1.函數y＝sin（x＋）的振幅為　　，周期為　　，初相為　　.
2.用五點法作y＝2sin 3x的圖象時，首先應描出的五點的橫坐標可以是（　　）
A.0，，π，，2π　 B.0，，，， C.0，π，2π，3π，4π　 D.0，，，，
3.已知函數f（x）＝2sin.（1）作出f（x）在[0，π]上的圖象；
4.用“五點法”作函數y＝cos（4x－）在一個周期內的圖象時，第四個關鍵點的坐標是（　　）
A.（，0）　 B.（－，1） C.（，1）　 D.（－，0）
5.已知函數y＝h（x）＝2sin（2x－）＋1.（1）求函數y＝h（x）的最小正周期和單調遞增區間；（2）畫出函數y＝h（x）在區間上的大致圖象.
考點二：三角函數的定義域
1.函數y＝lg（sin x）＋的定義域為　　.
2.函數y＝的定義域為　　.
3..函數y＝的定義域為（　　）
A.{x｜x≠＋kπ，k∈Z} B.{x｜x≠＋kπ，k∈Z} C.{x｜x≠kπ，k∈Z} D.{x｜x≠＋kπ且x≠＋kπ，k∈Z}
考點三：三角函數的值域（最值）
1.（必修第一冊第214頁16題改編）函數f（x）＝3sin在區間上的值域為（　　）
A.　　　B. C.　 D.
2.函數y＝－sin x＋cos x在［－，］上的值域是（　　）
A.［0，］　 B.［0，］ C.[0，]　 D.[0，]
3.函數y＝tan（x－），x∈（－，）的值域為（　　）
A.（－，1）　 B.（－1，） C.（1，）　 D.（，1）
4.已知函數f（x）＝cos 2x＋8cos x，則f（x）的最小值為　　.
5.函數f（x）＝cos 2x＋2sin x，x∈[0，π]的最大值為（　　）
A.　 B.1 C.　 D.2
6.函數的最大值是 ．
7.函數y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域為（　　）
A.［－，1］　 B.［1，＋］ C.［－－，1］　 D.［－＋，1］
考點四：三角函數的單調區間
考向1　求三角函數的單調區間
1.函數y＝2sin（x－）（x∈[－π，0]）的單調遞增區間為　　.
2.函數y＝｜tan x｜在（－，）上的單調遞減區間為　　；
3.已知函數f（x）＝2sin，則f（x）在[－1，1]上的單調遞增區間為　　.
4.函數y＝sin（－2x＋）的單調遞減區間為　　.
5..函數f（x）＝sin－，則下列表述正確的是（　　）
A.f（x）在上單調遞減 B.f（x）在上單調遞增
C.f（x）在上單調遞減 D.f（x）在上單調遞增
6.已知函數f（x）＝cos2x－sin2x，則（　　）
A.f（x）在上單調遞減 B.f（x）在上單調遞增
C.f（x）在上單調遞減 D.f（x）在上單調遞增
7.已知函數f（x）＝sin.（1）求函數f（x）的單調遞增區間；（2）當x∈時，求函數f（x）的最大值和最小值.
考向2 根據三角函數的單調性比較大小
1.已知函數f（x）＝2cos（x＋），設a＝f（），b＝f（），c＝f（），則a，b，c的大小關系是( )
A.a＞b＞c　 B.a＞c＞b C.c＞a＞b　 D.b＞a＞c
2.比較大小：sin　　sin.
3.已知函數f（x）＝cos x，若A，B是銳角三角形的兩個內角，則一定有（　　）
A.f（sin A）＞f（sin B）　 B.f（cos A）＞f（cos B） C.f（sin A）＞f（cos B）　 D.f（cos A）＞f（sin B）
4.已知函數f（x）＝sin（x－）＋cos（x－），g（x）＝2sin2.
（1）若α是第一象限角，且f（α）＝，求g（α）的值；（2）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合.
考向3　根據三角函數的單調性求參數
1.已知函數f（x）＝sin ωx（ω＞0）在區間［－，］上單調遞增，則ω的取值范圍是 .
2.若函數f（x）＝sin（x＋）在（－a，a）上單調遞增，則實數a的取值范圍是（　　）
A.（0，］　 B.（0，］ C.［，］　 D.［，］
3.已知函數f（x）＝sin（ωx－）（ω＞0），x∈［0，］的值域是［－，1］，則ω的取值范圍為 .
4.若函數f（x）＝sin（φ－2x）在區間（0，）上單調遞減，則實數φ的值可以為（　　）
A.　 B. C.　 D. 4
5.（多選）已知函數f（x）＝sin（2x－），若當x∈[m，n]（m＜n）時，f（x）∈［－，］，則n－m的值可能為（　　）
A.　 B. C.　 D.
6.已知函數f（x）＝x2＋2xtan θ－1，其中θ≠＋kπ，k∈Z.
（1）當θ＝－，x∈[－1，]時，求函數f（x）的最大值與最小值；
（2）求使y＝f（x）在區間[－1，]上是單調函數的θ的取值范圍.第4章三角函數與解三角形第4節三角函數的圖像與性質1五點法定義域值域單調性
1.用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖
（1）在正弦函數y＝sin x，x∈[0，2π]的圖象上，五個關鍵點是：（0，0），，（π，0），，（2π，0）；
（2）在余弦函數y＝cos x，x∈[0，2π]的圖象上，五個關鍵點是：（0，1），，（π，－1），，（2π，1）.
提醒　函數y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cos x，x∈[0，2π]的五個關鍵點的橫坐標是零點和極值點（最值點）.
2.正弦、余弦、正切函數的圖象與性質（表中k∈Z）
函數 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
圖象
定義域 R R {xx≠kπ＋}
值域 [－1，1] [－1，1] R
周期性 2π 2π π
函數 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數
遞增區間 2kπ－，2kπ＋ [2kπ－π，2kπ] （kπ－，kπ＋）
遞減區間 2kπ＋，2kπ＋ [2kπ，2kπ＋π] 無
函數 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
對稱中心 　（kπ，0）　
對稱軸方程 x＝kπ＋ 　x＝kπ　 無
零點 kπ kπ＋ kπ
提醒正、余弦函數一個完整的單調區間的長度是半個周期；y＝tan x無單調遞減區間；y＝tan x在整個定義域內不單調.
3.函數y＝Asin（ωx＋φ）的有關概念
y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0） 振幅 周期 頻率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
4.用“五點法”畫y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）一個周期內的簡圖
用“五點法”畫y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）一個周期內的簡圖時，要找五個關鍵點，如下表所示：
ωx＋φ 0 π 2π
x － － －
y＝Asin（ωx＋φ） 0 A 0 －A 0
考點一：三角函數五點法作圖
1.函數y＝sin（x＋）的振幅為　　，周期為　　，初相為　　.
2.用五點法作y＝2sin 3x的圖象時，首先應描出的五點的橫坐標可以是（　　）
A.0，，π，，2π　 B.0，，，， C.0，π，2π，3π，4π　 D.0，，，，
答案：B
3.已知函數f（x）＝2sin.（1）作出f（x）在[0，π]上的圖象；
解：（1）因為x∈[0，π]，所以2x＋∈.列表如下：
2x＋ π 2π
x 0 π
f（x） 1 2 0 －2 0 1
描點、連線得圖象：
4.用“五點法”作函數y＝cos（4x－）在一個周期內的圖象時，第四個關鍵點的坐標是（　　）
A.（，0）　 B.（－，1） C.（，1）　 D.（－，0）
解析：A　令4x－＝，得x＝，∴該點坐標為（，0）.
5.已知函數y＝h（x）＝2sin（2x－）＋1.（1）求函數y＝h（x）的最小正周期和單調遞增區間；（2）畫出函數y＝h（x）在區間上的大致圖象.
解：（1）由函數y＝h（x）＝2sin＋1，則函數y＝h（x）的最小正周期T＝＝π，
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ（k∈Z），得－＋kπ≤x≤＋kπ（k∈Z），
故函數y＝h（x）的單調遞增區間是［－＋kπ，＋kπ］（k∈Z）.
（2）列表如下：
x － － －
2x－ － －π － 0
sin 0 －1 0 1
h（x） 2 1 －1 1 3 2
故y＝h（x）在區間上的大致圖象是：
考點二：三角函數的定義域
1.函數y＝lg（sin x）＋的定義域為　　.
解析：要使函數有意義，則有解得（k∈Z），所以2kπ＜x≤＋2kπ，k∈Z，所以函數y的定義域為.
2.函數y＝的定義域為　{x｜2kπ＋≤x≤＋2kπ，k∈Z}　.
解析：法一　要使函數有意義，必須使sin x－cos x≥0.利用圖象，在同一坐標系中畫出[0，2π]上y＝sin x和y＝cos x的圖象，如圖所示.在[0，2π]內，滿足sin x≥cos x的x范圍為［，］，再結合正弦、余弦函數的周期是2π，所以原函數的定義域為{x｜2kπ＋≤x≤＋2kπ，k∈Z}.
法二　sin x－cos x＝sin（x－）≥0，將x－視為一個整體，由正弦函數y＝sin x的圖象和性質可知2kπ≤x－≤π＋2kπ（k∈Z），解得2kπ＋≤x≤2kπ＋（k∈Z），所以定義域為{x｜2kπ＋≤x≤＋2kπ，k∈Z}.
3..函數y＝的定義域為（　　）
A.{x｜x≠＋kπ，k∈Z} B.{x｜x≠＋kπ，k∈Z} C.{x｜x≠kπ，k∈Z} D.{x｜x≠＋kπ且x≠＋kπ，k∈Z}
解析：D　要使函數有意義，必須有即故函數的定義域為{x｜x≠＋kπ，且x≠＋kπ，k∈Z}.
考點三：三角函數的值域（最值）
1.（必修第一冊第214頁16題改編）函數f（x）＝3sin在區間上的值域為（　B　）
A.　　　B. C.　 D.
解析：（1）當x∈時，2x－∈，sin∈，故3sin∈，∴函數f（x）的值域為.
2.函數y＝－sin x＋cos x在［－，］上的值域是（　　）
A.［0，］　 B.［0，］ C.[0，]　 D.[0，]
解析：D　y＝－sin x＋cos x＝2cos（x＋），∵x∈［－，］，∴x＋∈［，］，cos（x＋）∈［0，］，∴y＝2cos（x＋）∈[0，]，故函數y＝－sin x＋cos x在［－，］上的值域是[0，].
3.函數y＝tan（x－），x∈（－，）的值域為（　　）
A.（－，1）　 B.（－1，） C.（1，）　 D.（，1）
解析：A　設z＝x－，因為x∈（－，），所以z∈（－，），因為正切函數y＝tan z在（－，）上單調遞增，且tan（－）＝－，tan＝1，所以tan z∈（－，1）.故選A.
4.已知函數f（x）＝cos 2x＋8cos x，則f（x）的最小值為　－7　.
解析：（x）＝2cos2x＋8cos x－1＝2（cos x＋2）2－9，因為－1≤cos x≤1，則1≤cos x＋2≤3，故當cos x＝－1時，函數f（x）取得最小值，即f（x）min＝2×（－1＋2）2－9＝－7.
5.函數f（x）＝cos 2x＋2sin x，x∈[0，π]的最大值為（　　）
A.　 B.1 C.　 D.2
解析：C　f（x）＝1－2sin2x＋2sin x＝－2（sin x－）2＋，因為x∈[0，π]，所以sin x∈[0，1]，所以當sin x＝時，f（x）取得最大值，最大值為.故選C.
6.函數的最大值是 ．
【解答】解：，令，則，
則，當時，，即的最大值為，故答案為．
7.函數y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域為（　　）
A.［－，1］　 B.［1，＋］ C.［－－，1］　 D.［－＋，1］
解析：C　設t＝sin x－cos x，則t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，sin xcos x＝，且－≤t≤.∴y＝－＋t＋＝－（t－1）2＋1，t∈[－，].當t＝1時，ymax＝1；當t＝－時，ymin＝－－.∴函數的值域為［－－，1］.
考點四：三角函數的單調區間
考向1　求三角函數的單調區間
1.函數y＝2sin（x－）（x∈[－π，0]）的單調遞增區間為　［－，0］　.
解析：令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，則－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.由于x∈[－π，0]，所以所求的單調遞增區間為［－，0］.
2.函數y＝｜tan x｜在（－，）上的單調遞減區間為　（－，0］和（，π］　；
解析：（1）如圖，觀察圖象可知，y＝｜tan x｜在（－，）上的單調遞減區間為（－，0］和（，π］.
3.已知函數f（x）＝2sin，則f（x）在[－1，1]上的單調遞增區間為　　.
解析：令2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，得x∈，k∈Z，所以f（x）在[－1，1]上的單調遞增區間為.
4.函數y＝sin（－2x＋）的單調遞減區間為　［kπ－，kπ＋］，k∈Z　.
解析：y＝－sin（2x－）的單調遞減區間即為y＝sin（2x－）的單調遞增區間.令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故其單調遞減區間為［kπ－，kπ＋］，k∈Z.
5..函數f（x）＝sin－，則下列表述正確的是（　　）
A.f（x）在上單調遞減 B.f（x）在上單調遞增
C.f（x）在上單調遞減 D.f（x）在上單調遞增
解析：D　f（x）＝sin－，由2x＋∈，k∈Z，解得x∈［－＋kπ，＋kπ］，k∈Z，當k＝0時，x∈，所以函數f（x）在上單調遞增，又（0，） ［－，］，故選D.
6.已知函數f（x）＝cos2x－sin2x，則（　　）
A.f（x）在上單調遞減 B.f（x）在上單調遞增
C.f（x）在上單調遞減 D.f（x）在上單調遞增
解析：C　依題意可知f（x）＝cos2x－sin2x＝cos 2x，對于A選項，因為x∈，所以2x∈，函數f（x）＝cos 2x在上單調遞增，所以A選項不正確；對于B選項，因為x∈，所以2x∈，函數f（x）＝cos 2x在上不單調，所以B選項不正確；對于C選項，因為x∈，所以2x∈，函數f（x）＝cos 2x在上單調遞減，所以C選項正確；對于D選項，因為x∈，所以2x∈，函數f（x）＝cos 2x在上不單調，所以D選項不正確.故選C.
7.已知函數f（x）＝sin.（1）求函數f（x）的單調遞增區間；
（2）當x∈時，求函數f（x）的最大值和最小值.
解：（1）令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z.則kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故函數f（x）的單調遞增區間為，k∈Z.
（2）因為當x∈時，≤2x＋≤，所以－1≤sin≤，所以－≤f（x）≤1，
所以當x∈時，函數f（x）的最大值為1，最小值為－.
考向2 根據三角函數的單調性比較大小
1.已知函數f（x）＝2cos（x＋），設a＝f（），b＝f（），c＝f（），則a，b，c的大小關系是( )
A.a＞b＞c　 B.a＞c＞b C.c＞a＞b　 D.b＞a＞c
解析：A　a＝f（）＝2cos，b＝f（）＝2cos，c＝f（）＝2cos，因為y＝cos x在[0，π]上單調遞減，＜＜，所以a＞b＞c.
2.比較大小：sin　＞　sin.
解析：因為y＝sin x在上單調遞增且0＞－＞－＞－，故sin＞sin.
3.已知函數f（x）＝cos x，若A，B是銳角三角形的兩個內角，則一定有（　　）（歷史班此題不講）
A.f（sin A）＞f（sin B）　 B.f（cos A）＞f（cos B） C.f（sin A）＞f（cos B）　 D.f（cos A）＞f（sin B）
解析：D　∵A，B是銳角三角形的兩個內角，∴A＋B＞，∴0＜－B＜A＜，∵y＝sin x在上單調遞增，∴0＜sin＝cos B＜sin A＜1，又函數f（x）＝cos x在[0，1]上單調遞減，∴f（cos B）＞f（sin A），同理f（cos A）＞f（sin B），∴C錯，D對，∵A，B的大小關系不確定，∴A、B項不確定.故選D.
4.已知函數f（x）＝sin（x－）＋cos（x－），g（x）＝2sin2.
（1）若α是第一象限角，且f（α）＝，求g（α）的值；（2）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合.
解：f（x）＝sin（x－）＋cos（x－）＝sin x－cos x＋cos x＋sin x＝sin x，g（x）＝2sin2＝1－cos x.
（1）由f（α）＝，得sin α＝，由α是第一象限角，所以cos α＞0，
從而g（α）＝1－cos α＝1－＝1－＝.
（2）f（x）≥g（x）等價于sin x≥1－cos x，即sin x＋cos x≥1.于是sin（x＋）≥，
從而2kπ＋≤x＋≤2kπ＋π，k∈Z，即2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z，
故使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合為{x｜2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}.
考向3　根據三角函數的單調性求參數
1.已知函數f（x）＝sin ωx（ω＞0）在區間［－，］上單調遞增，則ω的取值范圍是（0，］.
解析：因為x∈［－，］，所以ωx∈［－，］，因為0∈［－，］且y＝sin x在［－，］上單調遞增，所以［－，］ ［－，］，即有解得0＜ω≤.
2.若函數f（x）＝sin（x＋）在（－a，a）上單調遞增，則實數a的取值范圍是（　　）
A.（0，］　 B.（0，］ C.［，］　 D.［，］
解析：A　因為x∈（－a，a），所以有a＞0，且0∈（－a，a），因為函數f（x）＝sin（x＋）在（－a，a）上單調遞增，所以 a≤，所以0＜a≤.
3.已知函數f（x）＝sin（ωx－）（ω＞0），x∈［0，］的值域是［－，1］，則ω的取值范圍為［，3］.
解析：因為x∈［0，］，ω＞0，所以ωx－∈［－，－］.又當x∈［0，］時，f（x）∈［－，1］，所以≤－≤，解得≤ω≤3.
4.若函數f（x）＝sin（φ－2x）在區間（0，）上單調遞減，則實數φ的值可以為（　　）
A.　 B. C.　 D. 4
解析：Bf（x）＝sin（φ－2x）＝－sin（2x－φ）.當x∈（0，）時,2x－φ∈（－φ，π－φ）.因為函數f（x）＝sin（φ－2x）在區間（0，）上單調遞減,所以k∈Z,解得φ＝－2kπ,k∈Z,當k＝0時,φ＝,故選B.
5.（多選）已知函數f（x）＝sin（2x－），若當x∈[m，n]（m＜n）時，f（x）∈［－，］，則n－m的值可能為（　　）
A.　 B. C.　 D.
解析：ABC　f（x）＝sin（2x－），作出函數f（x）的圖象，如圖所示.在一個周期內考慮問題，若要使當x∈[m，n]時，f（x）∈［－，］，則可滿足 或所以n－m的值可以為區間［，］內的任意實數.故選A、B、C.
6.已知函數f（x）＝x2＋2xtan θ－1，其中θ≠＋kπ，k∈Z.
（1）當θ＝－，x∈[－1，]時，求函數f（x）的最大值與最小值；
（2）求使y＝f（x）在區間[－1，]上是單調函數的θ的取值范圍.
解：（1）當θ＝－時，f（x）＝x2－x－1＝（x－）2－.
∵x∈[－1，]，且f（x）的圖象開口向上，∴當x＝時，f（x）min＝－；當x＝－1時，f（x）max＝.
（2）函數f（x）的圖象的對稱軸為直線x＝－tan θ.
∵f（x）在區間[－1，]上是單調函數，∴－tan θ≥或－tan θ≤－1，即tan θ≤－或tan θ≥1，
∴－＋kπ＜θ≤－＋kπ或＋kπ≤θ＜＋kπ，k∈Z，故θ的取值范圍是（－＋kπ，－＋kπ］∪［＋kπ，＋kπ），k∈Z.第4章第4節三角函數的圖像與性質2周期性奇偶性對稱性
考點五：三角函數周期性
1.若函數y＝2sin 2x－1的最小正周期為T，最大值為A，則（　　）
A.T＝π，A＝1　 B.T＝2π，A＝1 C.T＝π，A＝2　 D.T＝2π，A＝2
2.函數f（x）＝3tan（ωx＋）（ω＞0）的最小正周期為π，則ω＝　　.
3函數f（x）＝cos x＋2cosx的一個周期為（　　）
A.π　 B.2π C.3π　 D.4π
4.函數f（x）＝sin 2x＋｜sin 2x｜的最小正周期為　　.
5.下列函數中，是周期函數的為（　　）
A.y＝sin｜x｜　 B.y＝cos｜x｜ C.y＝tan｜x｜　 D.y＝（x－1）0
6.若函數f（x）＝tan（ωx＋）（ω＞0）的圖象與直線y＝a（a∈R）的相鄰兩交點間的距離為2π，則ω＝　　.
7.函數y＝sin（x＋）的最小正周期是（　　）
A.4π　 B.3π C.2π　 D.π
考點六：三角函數奇偶性
1.下列函數是奇函數的是（　　）
A.f（x）＝sin（2x＋） B.f（x）＝tan（x－3π） C.f（x）＝ D.f（x）＝
2.函數f（x）＝（1＋cos 2x）sin2x是（　　）
A.最小正周期為π的奇函數 B.最小正周期為π的偶函數 C.最小正周期為的奇函數 D.最小正周期為的偶函數
3.已知函數f（x）＝sin xcos（2x＋φ）（φ∈[0，π]）為偶函數，則φ＝
A.0　 B. C.　 D.π
4.已知函數f（x）＝5sin（4x＋）（0＜φ＜2π）為偶函數，則φ＝（　　）
A.　 B. C.π　 D.
5.函數y＝sin（2x＋＋φ）是奇函數，則φ＝　　.
6..函數f（x）＝3sin（2x－＋φ）＋1，φ∈（0，π），且f（x）為偶函數，則φ＝　　，f（x）圖象的對稱中心為　　.
考點七：三角函數對稱性
1.函數y＝4sin（2x＋π）的圖象關于（　　）
A.x軸對稱　 B.原點對稱 C.y軸對稱　 D.直線x＝對稱
2.（2023·全國乙卷10題）已知函數f（x）＝sin（ωx＋φ）在區間（，）上單調遞增，直線x＝和x＝為函數y＝f（x）的圖象的兩條相鄰對稱軸，則f（－）＝（　　）
A.－　 B.－ C.　 D.
3.已知函數f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函數，其圖象關于點M（，0）對稱，且與點M相鄰的f（x）的圖象的一條對稱軸為直線x＝，則ω＝　　，φ＝　　.
4.若函數f（x）（f（x）的值不恒為常數）滿足以下兩個條件：①f（x）為偶函數；②對于任意的x∈R，都有f ＝f.則其解析式可以是f（x）＝　 　.
考點八：三角函數性質的綜合應用
1.（多選）已知函數f（x）＝sin（2x＋），則（　　）
A.函數f（x－）是偶函數 B.x＝－是函數f（x）的一個零點
C.函數f（x）在區間［－，］上單調遞增 D.函數f（x）的圖象關于直線x＝對稱
2.已知函數f（x）＝，則下列說法正確的是（　　）
A.f（x）的最小正周期是 B.f（x）的值域是R
C.直線x＝是函數f（x）圖象的一條對稱軸 D.f（x）的單調遞減區間是，k∈Z
3.（多選）（2024·九省聯考）已知函數f（x）＝sin（2x＋）＋cos（2x＋），則（　　）
A.函數f（x－）為偶函數 B.曲線y＝f（x）的對稱軸為x＝kπ，k∈Z
C.f（x）在區間（，）單調遞增 D.f（x）的最小值為－2
4.已知函數f（x）＝2sin（ωx＋φ）（0＜ω＜6,｜φ｜＜）的圖象經過點和,則ω＝ .
5.（2023·天津高考5題）已知函數f（x）圖象的一條對稱軸為直線x＝2，f（x）的一個周期為4，則f（x）的解析式可能為（　　）
A.f（x）＝sin（x）　 B.f（x）＝cos（x） C.f（x）＝sin（x）　 D.f（x）＝cos（x）
6.已知函數f（x）＝tan（2x－），則（　　）
A.f（x）是奇函數 B.f（x）在區間（0，）上單調遞減
C.（，0）為其圖象的一個對稱中心 D.f（x）的最小正周期為π
7.如圖所示，M，N是函數y＝2sin（ωx＋φ）（ω＞0）的圖象與x軸的兩相鄰交點，點P在M，N之間的函數圖象上運動，若當△MPN面積最大時，·＝0，則ω＝（　　）
A.　 B. C.　 D.8
8.（多選）已知函數f（x）＝sin4x－cos4x，則下列說法正確的是（　　）
A.f（x）的最小正周期為π B.f（x）的最大值為2 C.f（x）的圖象關于y軸對稱 D.f（x）在區間［，］上單調遞增
9.（多選）已知函數f（x）＝2sin（ωx＋）（ω＞0）的圖象在[0，1]上恰有兩個最大值點，則ω的值可能為（　　）
A.2π　 B. C.3π　 D.
10.若函數f（x）＝（ω＞0）的最小正周期為π，則f＝　　.
11.函數f（x）＝3sin（2x－＋φ）＋1，φ∈（0，π），且f（x）為偶函數，則φ＝　　，f（x）圖象的對稱中心為　　.
12.函數f（x）＝cos（ωx＋φ）的部分圖象如圖所示，則f（x）的單調遞減區間為　　.
13.已知函數f（x）＝sin ωx－cos ωx（ω＞0）的最小正周期為π.
（1）求函數y＝f（x）圖象的對稱軸方程；（2）討論函數f（x）在上的單調性.第4章第4節三角函數的圖像與性質2周期性奇偶性對稱性
考點五：三角函數周期性
1.若函數y＝2sin 2x－1的最小正周期為T，最大值為A，則（　　）
A.T＝π，A＝1　 B.T＝2π，A＝1 C.T＝π，A＝2　 D.T＝2π，A＝2
解析：A　T＝＝π，A＝2－1＝1，故選A.
2.函數f（x）＝3tan（ωx＋）（ω＞0）的最小正周期為π，則ω＝　1　.
解析：∵f（x）的最小正周期T＝＝π，∴ω＝1.
3函數f（x）＝cos x＋2cosx的一個周期為（　D　）
A.π　 B.2π C.3π　 D.4π
解析：易知y＝cos x,y＝2cos x的最小正周期分別為2π,4π,則2π,4π的公倍數4π是f（x）的一個周期,故選D.
4.函數f（x）＝sin 2x＋｜sin 2x｜的最小正周期為　π　.
解析：作出函數f（x）的大致圖象,如圖所示.根據圖象可知f（x）為周期函數,最小正周期為π.
5.下列函數中，是周期函數的為（　　）
A.y＝sin｜x｜　 B.y＝cos｜x｜ C.y＝tan｜x｜　 D.y＝（x－1）0
解析：B　因為cos｜x｜＝cos x，所以y＝cos｜x｜是周期函數.其余函數均不是周期函數.
6.若函數f（x）＝tan（ωx＋）（ω＞0）的圖象與直線y＝a（a∈R）的相鄰兩交點間的距離為2π，則ω＝　　.
解析：由題意可知，函數f（x）＝tan（ωx＋）（ω＞0）的最小正周期為2π，因此，ω＝＝.
7.函數y＝sin（x＋）的最小正周期是（　　）
A.4π　 B.3π C.2π　 D.π
解析：A　函數y＝sin（x＋）的最小正周期是T＝＝4π.故選A.
考點六：三角函數奇偶性
1.下列函數是奇函數的是（　B　）
A.f（x）＝sin（2x＋） B.f（x）＝tan（x－3π） C.f（x）＝ D.f（x）＝
解析：A項中，f（x）＝cos 2x，f（－x）＝cos（－2x）＝cos 2x＝f（x），所以f（x）是偶函數.B項中，f（x）＝tan x，所以f（x）是奇函數.C項中，由cos 2x≠0得2x≠kπ＋（k∈Z），解得x≠＋（k∈Z），定義域關于原點對稱，且f（－x）＝＝＝f（x），所以f（x）是偶函數.D項中，因為2sin 2x－1≥0，所以sin 2x≥，所以＋2kπ≤2x≤＋2kπ（k∈Z），即x∈［＋kπ，＋kπ］（k∈Z），定義域不關于原點對稱，所以f（x）是非奇非偶函數.故選B.
2.函數f（x）＝（1＋cos 2x）sin2x是（　　）
A.最小正周期為π的奇函數 B.最小正周期為π的偶函數 C.最小正周期為的奇函數 D.最小正周期為的偶函數
解析：D　f（x）＝（1＋cos 2x）sin2x＝2cos2xsin2x＝sin22x＝，則f（x）的最小正周期為T＝＝且為偶函數.
3.已知函數f（x）＝sin xcos（2x＋φ）（φ∈[0，π]）為偶函數，則φ＝
A.0　 B. C.　 D.π
解析：C　∵f（x）定義域為R，且為偶函數，∴f（－）＝f（） －cos（－π＋φ）＝cos（π＋φ） cos φ＝－cos φ cos φ＝0，∵φ∈（0，π），∴φ＝.當φ＝時，f（x）＝－sin xsin 2x為偶函數滿足題意.故選C.
（六5）《三維》P95 與三角函數的奇偶性相關的結論
（1）若y＝Asin（ωx＋φ）為偶函數，則有φ＝kπ＋（k∈Z）；若為奇函數，則有φ＝kπ（k∈Z）；
（2）若y＝Acos（ωx＋φ）為偶函數，則有φ＝kπ（k∈Z）；若為奇函數，則有φ＝kπ＋（k∈Z）.
4.已知函數f（x）＝5sin（4x＋）（0＜φ＜2π）為偶函數，則φ＝（　　）
A.　 B. C.π　 D.
解析：C因為函數f（x）為偶函數,由結論2可得＝＋kπ,k∈Z,所以φ＝π＋2kπ,k∈Z,又0＜φ＜2π,所以φ＝π.
5.函數y＝sin（2x＋＋φ）是奇函數，則φ＝　－＋kπ（k∈Z）　.
解析：（2）因為函數y＝sin（2x＋＋φ）是奇函數，所以＋φ＝kπ（k∈Z），故φ＝－＋kπ（k∈Z）.
6..函數f（x）＝3sin（2x－＋φ）＋1，φ∈（0，π），且f（x）為偶函數，則φ＝　　，f（x）圖象的對稱中心為　（＋，1），k∈Z　.
解析：若f（x）＝3sin（2x－＋φ）＋1為偶函數，則－＋φ＝kπ＋，k∈Z，則φ＝＋kπ，k∈Z，又∵φ∈（0，π），∴φ＝.∴f（x）＝3sin（2x＋）＋1＝3cos 2x＋1，由2x＝＋kπ，k∈Z得x＝＋，k∈Z，∴f（x）圖象的對稱中心為（＋，1），k∈Z.
考點七：三角函數對稱性
1.函數y＝4sin（2x＋π）的圖象關于（　　）
A.x軸對稱　 B.原點對稱 C.y軸對稱　 D.直線x＝對稱
解析：B　記f（x）＝4sin（2x＋π）＝－4sin 2x，所以f（－x）＝－4sin（－2x）＝4sin 2x＝－f（x），所以f（x）是奇函數，圖象關于原點中心對稱，對稱軸為x＝＋（k∈Z）.故選B.
2.（2023·全國乙卷10題）已知函數f（x）＝sin（ωx＋φ）在區間（，）上單調遞增，直線x＝和x＝為函數y＝f（x）的圖象的兩條相鄰對稱軸，則f（－）＝（　　）
A.－　 B.－ C.　 D.
解析：D　由函數f（x）在區間（，）上單調遞增，且直線x＝和x＝是函數f（x）的圖象的兩條相鄰對稱軸，得＝2（－），解得ω＝2，則f（）＝sin（＋φ）＝－1，所以φ＝－＋2kπ－＝－＋2kπ，k∈Z，所以f（x）＝sin（2x－＋2kπ），k∈Z，則f（－）＝sin（－＋2kπ）＝sin（－）＝.故選D.
3.已知函數f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函數，其圖象關于點M（，0）對稱，且與點M相鄰的f（x）的圖象的一條對稱軸為直線x＝，則ω＝　2　，φ＝　　.
解析：∵f（x）是偶函數，∴φ＝kπ＋，k∈Z，∵0≤φ≤π，∴φ＝，∴f（x）＝sin（ωx＋）＝cos ωx.設f（x）的最小正周期為T，由題知＝－＝， 則T＝π，得ω＝＝2.
4.若函數f（x）（f（x）的值不恒為常數）滿足以下兩個條件：①f（x）為偶函數；②對于任意的x∈R，都有f ＝f.則其解析式可以是f（x）＝　cos 3x（答案不唯一）　.
解析：因為對于任意的x∈R，都有f＝f，所以函數的圖象關于直線x＝對稱.又由于函數為偶函數，所以函數的解析式可以為f（x）＝cos 3x.因為f（－x）＝cos（－3x）＝cos 3x＝f（x），所以函數f（x）是偶函數.令3x＝kπ，k∈Z，所以x＝，k∈Z，所以函數f（x）的圖象關于直線x＝對稱.
考點八：三角函數性質的綜合應用
1.（多選）已知函數f（x）＝sin（2x＋），則（　　）
A.函數f（x－）是偶函數 B.x＝－是函數f（x）的一個零點
C.函數f（x）在區間［－，］上單調遞增 D.函數f（x）的圖象關于直線x＝對稱
解析：BCD　對于A選項，令g（x）＝f（x－）＝sin（2x－＋）＝sin（2x－），故函數f（x－）不是偶函數，A錯；對于B選項，因為f（－）＝sin 0＝0，故x＝－是函數f（x）的一個零點，B對；對于C選項，當－≤x≤時，－≤2x＋≤，所以函數f（x）在區間［－，］上單調遞增，C對；對于D選項，因為對稱軸滿足2x＋＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，當k＝0時，x＝，D對.故選B、C、D.
2.已知函數f（x）＝，則下列說法正確的是（　　）
A.f（x）的最小正周期是 B.f（x）的值域是R
C.直線x＝是函數f（x）圖象的一條對稱軸 D.f（x）的單調遞減區間是，k∈Z
解析：D　函數f（x）＝的最小正周期T＝＝2π，故A錯誤；函數f（x）＝的值域為[0，＋∞），故B錯誤；當x＝時，x－＝≠，k∈Z，即直線x＝不是f（x）圖象的對稱軸，故C錯誤；令kπ－＜x－≤kπ，k∈Z，解得2kπ－＜x≤2kπ＋，k∈Z，所以函數f（x）的單調遞減區間為，k∈Z，故D正確，故選D.
3.（多選）（2024·九省聯考）已知函數f（x）＝sin（2x＋）＋cos（2x＋），則（　　）
A.函數f（x－）為偶函數 B.曲線y＝f（x）的對稱軸為x＝kπ，k∈Z
C.f（x）在區間（，）單調遞增 D.f（x）的最小值為－2
解析：AC　f（x）＝sin（2x＋＋）＝－sin 2x.因為f（x－）＝－sin 2（x－）＝cos 2x，為偶函數，故A正確；令2x＝＋kπ，k∈Z，所以x＝＋，k∈Z，對稱軸為x＝＋，k∈Z，故B錯誤；＜2x＜，＜x＜，所以f（x）在區間（，）上單調遞增，（，） （，），所以f（x）在區間（，）單調遞增，故C正確；f（x）min＝－，故D錯誤.
4.已知函數f（x）＝2sin（ωx＋φ）（0＜ω＜6,｜φ｜＜）的圖象經過點和,則ω＝ 2 .
解析：∵和是函數f（x）的極值點，則x＝，x＝是對稱軸，由結論1得－＝（k∈N*），∴T＝＝，∴ω＝4k－2，又0＜ω＜6，∴ω＝2.
5.（2023·天津高考5題）已知函數f（x）圖象的一條對稱軸為直線x＝2，f（x）的一個周期為4，則f（x）的解析式可能為（　　）
A.f（x）＝sin（x）　 B.f（x）＝cos（x） C.f（x）＝sin（x）　 D.f（x）＝cos（x）
解析：B　由三角函數的最小正周期T＝，可得y＝sin（x）與y＝cos（x）的最小正周期為4，而y＝sin（x）和y＝cos（x）的最小正周期為8，故排除C、D.因為函數f（x）圖象的一條對稱軸為直線x＝2，所以f（x）在x＝2處取得最值.對于A，f（2）＝sin（×2）＝sin π＝0，對于B，f（2）＝cos（×2）＝cos π＝－1，所以f（x）的解析式可能為f（x）＝cos（x）.故選B.
6.已知函數f（x）＝tan（2x－），則（　　）
A.f（x）是奇函數 B.f（x）在區間（0，）上單調遞減
C.（，0）為其圖象的一個對稱中心 D.f（x）的最小正周期為π
解析：C　函數y＝tan（2x－）是非奇非偶函數，A錯誤；在區間（0，）上單調遞增，B錯誤；最小正周期為，D錯誤；∵當x＝時，tan（2×－）＝0，∴（，0）為其圖象的一個對稱中心，故選C.
7.如圖所示，M，N是函數y＝2sin（ωx＋φ）（ω＞0）的圖象與x軸的兩相鄰交點，點P在M，N之間的函數圖象上運動，若當△MPN面積最大時，·＝0，則ω＝（　　）
A.　 B. C.　 D.8
解析：A　由題中圖象可知，當P位于M，N之間，且為函數y＝2sin（ωx＋φ）（ω＞0）圖象的最高點時，△MPN面積最大，又·＝0，所以△MPN為等腰直角三角形，過P作PQ⊥x軸于Q，則｜PQ｜＝2，則｜MN｜＝2｜PQ｜＝4，所以周期T＝2｜MN｜＝8，所以ω＝＝＝.故選A.
8.（多選）已知函數f（x）＝sin4x－cos4x，則下列說法正確的是（　　）
A.f（x）的最小正周期為π B.f（x）的最大值為2 C.f（x）的圖象關于y軸對稱 D.f（x）在區間［，］上單調遞增
解析：ACD　∵f（x）＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，∴函數f（x）的最小正周期T＝π，f（x）的最大值為1.∵f（－x）＝－cos（－2x）＝－cos 2x＝f（x），∴f（x）為偶函數，其圖象關于y軸對稱.∵y＝cos 2x在［，］上單調遞減，∴f（x）＝－cos 2x在［，］上單調遞增，故選A、C、D.
9.（多選）已知函數f（x）＝2sin（ωx＋）（ω＞0）的圖象在[0，1]上恰有兩個最大值點，則ω的值可能為（　　）
A.2π　 B. C.3π　 D.
解析：BC　因為x∈[0，1]，ω＞0，所以≤ωx＋≤ω＋.又函數f（x）在[0，1]上恰有兩個最大值點，所以≤ω＋＜，解得≤ω＜.故選B、C.
10.若函數f（x）＝（ω＞0）的最小正周期為π，則f＝　　.
解析：由題設及周期公式得T＝＝π，所以ω＝1，即f（x）＝，所以f＝＝.
11.函數f（x）＝3sin（2x－＋φ）＋1，φ∈（0，π），且f（x）為偶函數，則φ＝　　，f（x）圖象的對稱中心為　（＋，1），k∈Z　.
解析：若f（x）＝3sin（2x－＋φ）＋1為偶函數，則－＋φ＝kπ＋，k∈Z，則φ＝＋kπ，k∈Z，又∵φ∈（0，π），∴φ＝.∴f（x）＝3sin（2x＋）＋1＝3cos 2x＋1，由2x＝＋kπ，k∈Z得x＝＋，k∈Z，∴f（x）圖象的對稱中心為（＋，1），k∈Z.
12.函數f（x）＝cos（ωx＋φ）的部分圖象如圖所示，則f（x）的單調遞減區間為　（2k－，2k＋），k∈Z　.
解析：由函數圖象可得T＝2×（－）＝2＝，ω＝π，又cos（＋φ）＝－1，所以＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，φ＝＋2kπ，k∈Z，則f（x）＝cos（πx＋）.當2kπ＜πx＋＜2kπ＋π，k∈Z，即2k－＜x＜2k＋，k∈Z時，函數單調遞減，故函數f（x）的單調遞減區間為（2k－，2k＋），k∈Z.
13.已知函數f（x）＝sin ωx－cos ωx（ω＞0）的最小正周期為π.
（1）求函數y＝f（x）圖象的對稱軸方程；（2）討論函數f（x）在上的單調性.
解：（1）∵f（x）＝sin ωx－cos ωx＝sin（ωx－），且T＝π，∴ω＝2.于是，f（x）＝sin.
令2x－＝kπ＋（k∈Z），得x＝＋（k∈Z），即函數f（x）圖象的對稱軸方程為x＝＋（k∈Z）.
（2）令2kπ－≤2x－≤2kπ＋（k∈Z），得函數f（x）的單調遞增區間為［kπ－，kπ＋］（k∈Z）.
注意到x∈，∴令k＝0，得函數f（x）在上的單調遞增區間為；
同理，其單調遞減區間為.第4章三角函數與解三角形第5節三角函數一般式的圖像及應用
考點一：三角函數圖像的變換
1.已知函數f（x）＝2sin.函數y＝f（x）的圖象可由函數y＝sin x的圖象經過怎樣的變換得到？
2.把函數y＝f（x）圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數y＝sin的圖象，則f（x）＝（　　）
A.sin　 B.sin C.sin　 D.sin
3.已知函數f（x）＝Asin（ωx＋）（ω＞0）的圖象與x軸的兩個相鄰交點間的距離為，要得到函數g（x）＝Acos ωx的圖象，只需將函數f（x）的圖象（　　）
A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度 C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度
4.要得到函數y＝cos 2x的圖象，只需將函數y＝sin（2x＋）的圖象（　　）
A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度 C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度
5.將函數y＝3sin（2x＋）的圖象向右平移個單位長度，則平移后的圖象中與y軸最近的對稱軸的方程是　　.
6.函數y＝cos（2x＋φ）（0＜φ＜π）的圖象向右平移個單位長度后，與函數y＝sin的圖象重合，則φ＝　　.
考點二：求函數y＝Asin（ωx＋φ）的解析式
1.已知函數f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜）的部分圖象如圖所示，則f（x）的表達式為（　　）
A.f（x）＝sin（2x＋） B.f（x）＝sin（2x－）
C.f（x）＝sin（x＋） D.f（x）＝sin（x＋）
2.（2023·新高考Ⅱ卷16題）已知函數f（x）＝sin（ωx＋φ），如圖，A，B是直線y＝與曲線y＝f（x）的兩個交點，若｜AB｜＝，則f（π）＝　　
3.已知函數f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，－≤φ≤）的圖象上的一個最高點和與它相鄰的一個最低點的距離為2，且過點，則函數f（x）＝　　.
4.（2021·全國甲卷15題）已知函數f（x）＝2cos（ωx＋φ）的部分圖象如圖所示，則f＝　　.
5.已知函數f（x）＝4sin（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜）的部分圖象如圖所示，其中A（0，2），B（，－2），則f（x）＝（　　）
A.4sin（x－）　 B.4sin（3x－）
C.4sin（x＋）　 D.4sin（3x＋）
考點三：三角函數圖像與性質的綜合應用
考向1　圖象與性質的綜合問題
1.（多選）已知函數f（x）＝cos 2xcos φ－sin 2xsin φ（0＜φ＜）的圖象的一個對稱中心為（，0），則下列說法正確的是（　　）
A.直線x＝是函數f（x）的圖象的一條對稱軸 B.函數f（x）在［0，］上單調遞減
C.函數f（x）的圖象向右平移個單位長度可得到y＝cos 2x的圖象 D.函數f（x）在［0，］上的最小值為－1
2.如圖，函數y＝tan的部分圖象與坐標軸分別交于點D，E，F，則△DEF的面積為（　　）
A.　 B.
C.π　 D.2π
3.（多選）若將函數f（x）＝cos（2x＋）的圖象向右平移個單位長度，得到函數g（x）的圖象，則下列說法正確的是（　　）
A.g（x）的最小正周期為π B.g（x）在［－，］上的最大值為1
C.x＝是函數g（x）圖象的對稱軸 D.g（x）在區間［0，］上單調遞減
考向2　三角函數的零點（方程根）
1.已知函數f（x）＝2sin（2x－），且關于x的方程f（x）＝t（t∈R）在區間［0，］上有唯一解，則t的取值范圍是　　.
2.方程2sin（2x＋）＝1在區間[－2π，2π）上的解的個數是（　　）
A.4　 B.6 C.8　 D.9
考向3　三角函數模型的應用
1.（多選）如圖，一個半徑為3 m的筒車按逆時針方向每分鐘轉1.5圈，筒車的軸心O距離水面的高度為2.2 m.設筒車上的某個盛水筒P到水面的距離為d（單位：m）（在水面下則d為負數）.若以盛水筒P剛浮出水面時開始計算時間，d與時間t（單位：s）之間的關系為d＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0，－＜φ＜），則下列結論正確的是（　　）
A.A＝3　 B.ω＝
C.sin φ＝－　 D.b＝－0.8
2.一個風車的半徑為6 m，每12 min旋轉一周，它的最低點P0離地面2 m，風車翼片的一個端點P從P0開始按逆時針方向旋轉，則點P離地面的距離h（t）（m）與時間t（min）之間的函數關系式是（　　）
A.h（t）＝－6sin t＋6　 B.h（t）＝－6cos t＋6
C.h（t）＝－6sin t＋8　 D.h（t）＝－6cos t＋8
3.將函數f（x）的圖象向右平移φ（φ＞0）個單位長度，得到函數g（x）＝sin（x＋）的圖象.若x＝0是函數F（x）＝f（x）－g（x）的一個零點，則φ的最小值是　　.
4.去年某地的月平均氣溫y（℃）與月份x（月）近似地滿足函數y＝a＋bsin（x＋）（a，b為常數）.若6月份的月平均氣溫約為22 ℃，12月份的月平均氣溫約為4 ℃，則該地8月份的月平均氣溫約為　　 ℃.第4章三角函數與解三角形第5節三角函數一般式的圖像及應用
考點一：三角函數圖像的變換
.函數y＝sin x的圖象通過變換得到y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的圖象的兩種途徑
提醒　（1）先相位變換再周期變換（伸縮變換），平移的量是｜φ｜個單位長度；（2）先周期變換（伸縮變換）再相位變換，平移的量是（ω＞0）個單位長度.
1.已知函數f（x）＝2sin.函數y＝f（x）的圖象可由函數y＝sin x的圖象經過怎樣的變換得到？
解：將y＝sin x的圖象上的所有點向左平移個單位長度，得到函數y＝sin的圖象，再將y＝sin的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），得到函數y＝sin的圖象，再將y＝sin上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍（橫坐標不變），得到f（x）＝2sin的圖象.
2.把函數y＝f（x）圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數y＝sin的圖象，則f（x）＝（　　）
A.sin　 B.sin C.sin　 D.sin
解析：B　依題意，將y＝sin的圖象向左平移個單位長度，再將所得曲線上所有點的橫坐標擴大到原來的2倍，得到f（x）的圖象，所以y＝sin的圖象y＝sin的圖象f（x）＝sin的圖象.
3.已知函數f（x）＝Asin（ωx＋）（ω＞0）的圖象與x軸的兩個相鄰交點間的距離為，要得到函數g（x）＝Acos ωx的圖象，只需將函數f（x）的圖象（　　）
A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度 C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度
解析：C　函數f（x）＝Asin（ωx＋）（ω＞0）的圖象與x軸的兩個相鄰交點間的距離為，則T＝2×＝＝，∴ω＝3，∴f（x）＝Asin（3x＋）＝Acos（3x＋－）＝Acos（3x－）＝Acos［3（x－）］，∴只需將函數f（x）的圖象向左平移個單位長度即可得到函數g（x）＝Acos ωx的圖象.故選C.
4.要得到函數y＝cos 2x的圖象，只需將函數y＝sin（2x＋）的圖象（　　）
A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度 C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度
解析：A　y＝cos 2x＝sin（2x＋）＝sin［2（x＋）］，y＝sin（2x＋）＝sin［2（x＋）］，所以y＝sin（2x＋）的圖象向左平移個單位長度可得到函數y＝cos 2x的圖象.
5.將函數y＝3sin（2x＋）的圖象向右平移個單位長度，則平移后的圖象中與y軸最近的對稱軸的方程是　x＝－　　.
解析：將函數y＝3sin（2x＋）的圖象向右平移個單位長度后所得圖象對應的函數解析式為y＝3sin［2（x－）＋］＝3sin（2x－）.由2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，當k＝－1時，對稱軸方程為x＝－，故平移后的圖象中與y軸最近的對稱軸的方程是x＝－.
6.函數y＝cos（2x＋φ）（0＜φ＜π）的圖象向右平移個單位長度后，與函數y＝sin的圖象重合，則φ＝　　.
解析：把函數y＝cos（2x＋φ）（0＜φ＜π）的圖象向右平移個單位長度后，得到y＝cos（2x－π＋φ）的圖象，與函數y＝sin的圖象重合，則cos（2x－π＋φ）＝sin（2x－），即sin＝sin，又知－＜－＋φ＜，所以－＋φ＝－，則φ＝.
考點二：求函數y＝Asin（ωx＋φ）的解析式
1.已知函數f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜）的部分圖象如圖所示，則f（x）的表達式為（　A　）
A.f（x）＝sin（2x＋） B.f（x）＝sin（2x－）
C.f（x）＝sin（x＋） D.f（x）＝sin（x＋）
解析：由圖象知，＝＝－＝，解得ω＝2，將最大值點（，1）代入f（x）＝sin（2x＋φ）得，sin（＋φ）＝1，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，又｜φ｜＜，則φ＝，即f（x）＝sin（2x＋）.故選A.
2.（2023·新高考Ⅱ卷16題）已知函數f（x）＝sin（ωx＋φ），如圖，A，B是直線y＝與曲線y＝f（x）的兩個交點，若｜AB｜＝，則f（π）＝　　－ .
解析：由題圖設點A（x1，），B（x2，），則｜AB｜＝x2－x1＝.由題圖可知其中k∈Z，則ω（x2－x1）＝，解得ω＝4.因為函數f（x）的圖象過點（，0），所以4×＋φ＝2kπ，k∈Z，則φ＝2kπ－，k∈Z，所以f（x）＝sin（4x＋2kπ－）＝sin（4x－＋2kπ）＝sin（4x－），k∈Z.故f（π）＝sin（4π－）＝sin＝－.
3.已知函數f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，－≤φ≤）的圖象上的一個最高點和與它相鄰的一個最低點的距離為2，且過點，則函數f（x）＝　sin　　.
解析：依題意得＝2，則＝2，即ω＝，∴f（x）＝sin，由于該函數圖象過點，因此sin（π＋φ）＝－，即sin φ＝，而－≤φ≤，故φ＝，∴f（x）＝sin.
4.（2021·全國甲卷15題）已知函數f（x）＝2cos（ωx＋φ）的部分圖象如圖所示，則f＝　－　.
解析：由題圖可知T＝－＝（T為f（x）的最小正周期），即T＝π，所以＝π，即ω＝2，故f（x）＝2cos（2x＋φ）.點可看作“五點作圖法”中的第二個點，故2×＋φ＝，得φ＝－，即f（x）＝2cos，所以f＝2cos（2×－）＝－.
5.已知函數f（x）＝4sin（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜）的部分圖象如圖所示，其中A（0，2），B（，－2），則f（x）＝（　　）
A.4sin（x－）　 B.4sin（3x－）
C.4sin（x＋）　 D.4sin（3x＋）
解析：D　由題意得，＝－0，則T＝，∴ω＝＝3，∴f（x）＝4sin（3x＋φ）.∵f（0）＝4sin φ＝2，∴sin φ＝，又｜φ｜＜，∴φ＝，∴f（x）＝4sin（3x＋）.
考點三：三角函數圖像與性質的綜合應用
考向1　圖象與性質的綜合問題
1.（多選）已知函數f（x）＝cos 2xcos φ－sin 2xsin φ（0＜φ＜）的圖象的一個對稱中心為（，0），則下列說法正確的是（　　）
A.直線x＝是函數f（x）的圖象的一條對稱軸 B.函數f（x）在［0，］上單調遞減
C.函數f（x）的圖象向右平移個單位長度可得到y＝cos 2x的圖象 D.函數f（x）在［0，］上的最小值為－1
解析：ABD　∵f（x）＝cos 2xcos φ－sin 2xsin φ＝cos（2x＋φ）的圖象的一個對稱中心為（，0），∴2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，∴φ＝＋kπ，k∈Z.∵0＜φ＜，∴φ＝.則f（x）＝cos（2x＋）.∵f（）＝cos（2×＋）＝cos π＝－1，∴直線x＝是函數f（x）的圖象的一條對稱軸，故A正確；當x∈［0，］時，2x＋∈［，］，∴函數f（x）在［0，］上單調遞減，故B正確；函數f（x）的圖象向右平移個單位長度，得到y＝cos［2（x－）＋］＝cos（2x－）的圖象，故C錯誤；當x∈［0，］時，2x＋∈［，］，∴函數f（x）在［0，］上的最小值為cos π＝－1.故D正確.
2.如圖，函數y＝tan的部分圖象與坐標軸分別交于點D，E，F，則△DEF的面積為（　　）
A.　 B.
C.π　 D.2π
解析：A　在y＝tan中，令x＝0，可得y＝1，所以D（0，1）；令y＝0，解得x＝－（k∈Z），故E，F.所以△DEF的面積為××1＝.
3.（多選）若將函數f（x）＝cos（2x＋）的圖象向右平移個單位長度，得到函數g（x）的圖象，則下列說法正確的是（　　）
A.g（x）的最小正周期為π B.g（x）在［－，］上的最大值為1
C.x＝是函數g（x）圖象的對稱軸 D.g（x）在區間［0，］上單調遞減
解析：ABC　由題意可知g（x）＝cos［2（x－）＋］＝cos（2x－），所以g（x）的最小正周期為π，A正確；當x∈［－，］時，2x－∈［－，］，g（x）的最大值為1，故B正確；當x＝時，2x－＝0，為函數g（x）的圖象的對稱軸，故C正確；當x∈［0，］時，2x－∈［－，］，g（x）不單調，故D錯誤.故選A、B、C.
考向2　三角函數的零點（方程根）
1.已知函數f（x）＝2sin（2x－），且關于x的方程f（x）＝t（t∈R）在區間［0，］上有唯一解，則t的取值范圍是　[－1，1）∪{2}　.
解析：因為x∈［0，］，所以2x－∈［－，］，所以2sin（2x－）∈[－1，2]，且當x＝時，f（）＝1，所以其函數圖象如圖所示.因為關于x的方程f（x）＝t（t∈R）在區間［0，］上有唯一解，所以y＝f（x）與y＝t只有一個交點，結合函數圖象可知－1≤t＜1或t＝2.
2.方程2sin（2x＋）＝1在區間[－2π，2π）上的解的個數是（　　）
A.4　 B.6 C.8　 D.9
解析：C　原方程化為sin（2x＋）＝，在同一坐標系內作出函數y＝sin（2x＋），x∈[－2π，2π）與直線y＝的圖象，如圖，觀察圖象知：在x∈[－2π，2π）時函數y＝sin（2x＋）的圖象與直線y＝有8個公共點，所以方程2sin（2x＋）＝1在區間[－2π，2π）上有8個解.故選C.
考向3　三角函數模型的應用
1.（多選）如圖，一個半徑為3 m的筒車按逆時針方向每分鐘轉1.5圈，筒車的軸心O距離水面的高度為2.2 m.設筒車上的某個盛水筒P到水面的距離為d（單位：m）（在水面下則d為負數）.若以盛水筒P剛浮出水面時開始計算時間，d與時間t（單位：s）之間的關系為d＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0，－＜φ＜），則下列結論正確的是（　　）
A.A＝3　 B.ω＝
C.sin φ＝－　 D.b＝－0.8
解析：AC　對于A、D，由題意，dmax＝3＋2.2＝5.2（m），dmin＝2.2－3＝－0.8（m），所以解得故A正確，D不正確；對于B，因為逆時針方向每分鐘轉1.5圈，所以ω＝＝，故B不正確；對于C，由題意知，當t＝0時，d＝0，所以0＝3sin φ＋2.2，所以sin φ＝－＝－，故C正確.綜上所述，選A、C.
2.一個風車的半徑為6 m，每12 min旋轉一周，它的最低點P0離地面2 m，風車翼片的一個端點P從P0開始按逆時針方向旋轉，則點P離地面的距離h（t）（m）與時間t（min）之間的函數關系式是（　　）
A.h（t）＝－6sin t＋6　 B.h（t）＝－6cos t＋6
C.h（t）＝－6sin t＋8　 D.h（t）＝－6cos t＋8
解析：D　設h（t）＝Acos ωt＋B（A＜0，ω＞0），∵每12 min旋轉一周，∴＝12，∴ω＝.由題意得，h（t）的最大值與最小值分別為14，2，∴解得∴h（t）＝－6cos t＋8.
3.將函數f（x）的圖象向右平移φ（φ＞0）個單位長度，得到函數g（x）＝sin（x＋）的圖象.若x＝0是函數F（x）＝f（x）－g（x）的一個零點，則φ的最小值是　　.
解析：由題意，可知函數g（x）＝sin（x＋）的圖象向左平移φ（φ＞0）個單位長度，可得函數f（x）的圖象，所以f（x）＝g（x＋φ）＝sin（x＋φ＋）.因為x＝0是函數F（x）＝f（x）－g（x）的一個零點，所以F（0）＝f（0）－g（0）＝0.即sin（φ＋）－sin＝0，所以sin（φ＋）＝，所以φ＋＝2kπ＋（k∈Z）或φ＋＝2kπ＋（k∈Z），解得φ＝2kπ（k∈Z）或φ＝2kπ＋（k∈Z）.因為φ＞0，所以當φ＝2kπ（k∈Z）時，φ的最小值是2π；當φ＝2kπ＋（k∈Z）時，φ的最小值是.綜上，φ的最小值是.
4.去年某地的月平均氣溫y（℃）與月份x（月）近似地滿足函數y＝a＋bsin（x＋）（a，b為常數）.若6月份的月平均氣溫約為22 ℃，12月份的月平均氣溫約為4 ℃，則該地8月份的月平均氣溫約為　31　 ℃.
解析：將（6，22），（12，4）代入函數，解得a＝13，b＝－18，所以y＝13－18sin（x＋）.當x＝8時，y＝13－18sin（×8＋）＝31.第4章三角函數與解三角形第6節余弦定理與正弦定理1小題
考點一：正弦定理和余弦定理
1.已知△ABC中，a＝1，b＝，B＝45°，則A＝（　　）
A.150° 　B.90° C.60°　 D.30°
2.在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a＝2，b＝3，cos B＝，則A＝（　　）
A.　 B. C.　 D.或
3.（2023·全國乙卷4題）在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若acos B－bcos A＝c，且C＝，則B＝（　　）
A.　 B. C.　 D.
4.在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，則A＝　.
5.趙爽是我國古代數學家，大約在公元222年，他為《周髀算經》一書作序時，介紹了“趙爽弦圖”——由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖①所示.類比“趙爽弦圖”，可構造如圖②所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形.在△ABC中，若AF＝1，FD＝2，則AB＝　　.
6.（多選）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列結論正確的是（　　）
A.a2＝b2＋c2－2bccos A　 B.asin B＝bsin A C.a＝bcos C＋ccos B　 D.acos B＋bcos C＝c
7.已知△ABC的三邊長分別為a＝5，b＝6，c＝7，則△ABC的外接圓半徑R＝　　.
8.在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知bsin C＋asin A＝bsin B＋csin C.則A＝　　.
9.在△ABC中，C＝60°，a＋2b＝8，sin A＝6sin B，則c＝（　　）
A.　 B. C.6　 D.5
10.在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，則cos B＝　　.
11.已知△ABC外接圓的半徑為R，其內角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，設2R（sin2A－sin2B）＝（a－c）·sin C.（1）求角B；（2）若b＝12，c＝8，求sin A的值.
12.在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a2＋c2－b2－ac＝0，△ABC的外接圓半徑R＝，△ABC的周長為9，則ac＝（　　）
A.6　 B.9 C.16　 D.24
13.在①（a－c）（sin A＋sin C）＝b（sin A－sin B）；②2ccos C＝acos B＋bcos A；③△ABC的面積為c（asin A＋bsin B－csin C）這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并加以解答.
已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且　　.
（1）求角C；（2）若D為AB的中點，且c＝2，CD＝，求a，b的值.
注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.
考點二：面積公式
1.記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為4，a＝2，B＝30°，則c＝　　.
2.△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若A＝，a＝2，c＝b，則△ABC的面積為（　　）
A.2　 B. C.　 D.2
3.已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知b＝1，C＝，△ABC的面積S＝2，則△ABC的外接圓的半徑為（　　）
A.4　 B.2 C.5　 D.
4.在△ABC中，a，b，c分別是內角A，B，C的對邊，b＝2，c＝，且asin B＋bcos A＝b，則△ABC的面積為　　.
考點三：三角形的解的個數
1.在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，則此三角形的解的情況是（　　）
A.有一解　 B.有兩解 C.無解　 D.有解但解的個數不確定
考點四：判斷三角形的形狀
1.在△ABC中，sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，則△ABC的形狀是　　.
2在△ABC中，＝sin2 （a，b，c分別為角A，B，C的對邊），則△ABC的形狀為（　　）
A.直角三角形 B.等邊三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
3.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若＜cos A，則△ABC為( )
A.鈍角三角形　 B.直角三角形 C.銳角三角形　 D.等邊三角形
4.在△ABC中，若c－acos B＝（2a－b）cos A，則△ABC的形狀為　　.
5.在△ABC中，＝，（b＋c＋a）（b＋c－a）＝3bc，則△ABC的形狀為 .
6.（多選）已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列四個命題中正確的是（　　）
A.若acos A＝bcos B，則△ABC一定是等腰三角形 B.若bcos C＋ccos B＝b，則△ABC是等腰三角形
C.若＝＝，則△ABC一定是等邊三角形 D.若B＝60°，b2＝ac，則△ABC是直角三角形
7.已知在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a－b＝ccos B－ccos A，則△ABC的形狀為　　.第4章三角函數與解三角形第6節余弦定理與正弦定理1小題
1.余弦定理、正弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
內容 ＝＝＝2R（R為△ABC外接圓半徑） a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝　c2＋a2－2accos B　； c2＝a2＋b2－2abcos C
變形 設△ABC外接圓半徑為R，則 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； ＝＝2R cos A＝； cos B＝； cos C＝
3.三角形的面積公式
（1）S△ABC＝aha（ha為邊a上的高）；
（2）S△ABC＝absin C＝　bcsin A　＝　acsin B　；
（3）S△ABC＝r（a＋b＋c）（r為三角形的內切圓半徑）；
（4）S△ABC＝＝2R2sin Asin Bsin C（R為△ABC外接圓半徑）.
2.在△ABC中，已知a，b和A時解的情況
A為銳角 A為鈍角或直角
圖形
關系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b
解的個數 1 2 1 1
考點一：正弦定理和余弦定理
1.已知△ABC中，a＝1，b＝，B＝45°，則A＝（　　）
A.150° 　B.90° C.60°　 D.30°
解析：D　由正弦定理，得＝，得sin A＝.又a＜b，∴A＜B＝45°.∴A＝30°.故選D.
2.在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a＝2，b＝3，cos B＝，則A＝（　　）
A.　 B. C.　 D.或
解析：A　在△ABC中，cos B＝，所以sin B＝＝，又a＝2，b＝3，所以由正弦定理可得sin A＝＝＝，又b＞a，所以A為銳角，所以A＝.故選A.
3.（2023·全國乙卷4題）在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若acos B－bcos A＝c，且C＝，則B＝（　　）
A.　 B. C.　 D.
解析：C　由正弦定理及acos B－bcos A＝c，得sin Acos B－cos Asin B＝sin C，即sin（A－B）＝sin C＝sin（A＋B）.因為A－B＜A＋B，所以A－B＋A＋B＝π，解得A＝.所以B＝π－A－C＝π－－＝.故選C.
4.在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，則A＝　.
解析：在△ABC中，設AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，由余弦定理得cos A＝＝＝－，因為A為△ABC的內角，所以A＝.
5.趙爽是我國古代數學家，大約在公元222年，他為《周髀算經》一書作序時，介紹了“趙爽弦圖”——由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖①所示.類比“趙爽弦圖”，可構造如圖②所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形.在△ABC中，若AF＝1，FD＝2，則AB＝　　.（歷史班不講）
解析：由題意△EFD為等邊三角形，則∠EDA＝，所以∠BDA＝，根據條件△AFC與△BDA全等，所以AF＝BD＝1，在△ABD中，AD＝3，BD＝1，AB2＝AD2＋BD2－2×AD×BD×cos∠BDA＝32＋12－2×1×3×＝13，所以AB＝.
6.（多選）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列結論正確的是（　　）
A.a2＝b2＋c2－2bccos A　 B.asin B＝bsin A C.a＝bcos C＋ccos B　 D.acos B＋bcos C＝c
解析：ABC　易知A、B正確，由結論2可得C正確，D錯誤.
7.已知△ABC的三邊長分別為a＝5，b＝6，c＝7，則△ABC的外接圓半徑R＝　　.
解析：由結論1可得p＝＝＝9，S△ABC＝＝6，R＝＝＝.
8.在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知bsin C＋asin A＝bsin B＋csin C.則A＝　　.
解析：根據正弦定理，由bsin C＋asin A＝bsin B＋csin C，可得bc＋a2＝b2＋c2，即bc＝b2＋c2－a2，由余弦定理可得，cos A＝＝，因為A為三角形內角，所以A＝.
9.在△ABC中，C＝60°，a＋2b＝8，sin A＝6sin B，則c＝（　　）
A.　 B. C.6　 D.5
解析：B　因為sin A＝6sin B，則由正弦定理得a＝6b，又a＋2b＝8，所以a＝6，b＝1，因為C＝60°，所以由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，即c2＝62＋12－2×6×1×，解得c＝.
10.在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，則cos B＝　　.
解析：設內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，因為sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，所以a∶b∶c＝3∶2∶4，設a＝3k，b＝2k，c＝4k，k＞0，則cos B＝＝＝＝.
11.已知△ABC外接圓的半徑為R，其內角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，設2R（sin2A－sin2B）＝（a－c）·sin C.（1）求角B；（2）若b＝12，c＝8，求sin A的值.
解：（1）∵2R（sin2A－sin2B）＝（a－c）sin C，∴2R·2R（sin2A－sin2B）＝（a－c）sin C·2R，
即a2＋c2－b2＝ac.∴cos B＝＝.∵0＜B＜π，∴B＝.
（2）若b＝12，c＝8，由正弦定理＝，得sin C＝，
由于b＞c，故C為銳角，cos C＝.∴sin A＝sin（B＋C）＝sin＝×＋×＝.
12.在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a2＋c2－b2－ac＝0，△ABC的外接圓半徑R＝，△ABC的周長為9，則ac＝（　　）
A.6　 B.9 C.16　 D.24
解析：B　在△ABC中，由a2＋c2－b2－ac＝0，可得a2＋c2－b2＝ac，所以cos B＝＝，由0＜B＜π可得B＝，所以b＝2Rsin B＝2×＝3.因為△ABC的周長為9，所以a＋c＝9－b＝9－3＝6，由a2＋c2－b2－ac＝0，可得（a＋c）2－3ac＝b2＝9，所以3ac＝27，所以ac＝9.
13.在①（a－c）（sin A＋sin C）＝b（sin A－sin B）；②2ccos C＝acos B＋bcos A；③△ABC的面積為c（asin A＋bsin B－csin C）這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并加以解答.
已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且　　.
（1）求角C；（2）若D為AB的中點，且c＝2，CD＝，求a，b的值.
注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.
解：（1）選擇①，根據正弦定理得（a－c）（a＋c）＝b（a－b），
整理得a2－c2＝ab－b2，即a2＋b2－c2＝ab，所以cos C＝＝.
因為C∈（0，π），所以C＝.
選擇②，根據正弦定理有sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos C，
所以sin（A＋B）＝2sin Ccos C，即sin C＝2sin Ccos C.
因為C∈，所以sin C≠0，從而有cos C＝，故C＝.
選擇③，因為casin B＝c（asin A＋bsin B－csin C），
所以asin B＝asin A＋bsin B－csin C，由正弦定理得ab＝a2＋b2－c2，
由余弦定理，得cos C＝＝＝，又因為C∈（0，π），所以C＝.
（2）在△ACD中，AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC，即b2＝1＋3－2cos∠ADC.
在△BCD中，BC2＝BD2＋CD2－2BD·CDcos∠BDC，即a2＝1＋3－2cos∠BDC.
因為∠ADC＋∠BDC＝π，所以cos∠ADC＝－cos∠BDC，所以a2＋b2＝8.
由C＝及c＝2，得a2＋b2－4＝ab，所以ab＝4，從而a2＋b2－2ab＝0，所以a＝b＝2.
考點二：面積公式
1.記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為4，a＝2，B＝30°，則c＝　8　.
解析：由S△ABC＝acsin B＝×2c×＝4，得c＝8.
2.△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若A＝，a＝2，c＝b，則△ABC的面積為（　　）
A.2　 B. C.　 D.2
解析：C　由余弦定理的推論得cos ＝＝－，因為c＝b，所以b＝2（負值舍去），c＝2，所以S△ABC＝bcsin A＝×2×2×＝.故選C.
3.已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知b＝1，C＝，△ABC的面積S＝2，則△ABC的外接圓的半徑為（　　）
A.4　 B.2 C.5　 D.
解析：D　因為b＝1，C＝，△ABC的面積S＝2，所以S＝a×1×sin＝2，解得a＝4，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝（4）2＋12－2×4×1×＝25，解得c＝5（負值舍去），所以結合正弦定理可知，△ABC的外接圓的半徑為＝，故選D.
4.在△ABC中，a，b，c分別是內角A，B，C的對邊，b＝2，c＝，且asin B＋bcos A＝b，則△ABC的面積為　　.
解析：∵asin B＋bcos A＝b，∴由正弦定理得sin Asin B＋sin Bcos A＝sin B，∵0＜B＜π，∴sin B≠0，∴sin A＋cos A＝1，即sin（A＋）＝，∵0＜A＜π，∴A＝，∴S△ABC＝bcsin A＝×2××＝.
考點三：三角形的解的個數
1.在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，則此三角形的解的情況是（　　）
A.有一解　 B.有兩解 C.無解　 D.有解但解的個數不確定
解析：C　由正弦定理得＝，∴sin B＝＝＝＞1.∴B不存在，即滿足條件的三角形不存在.
考點四：判斷三角形的形狀
1.在△ABC中，sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，則△ABC的形狀是　等腰直角三角形　.
解析：根據正弦定理＝＝，∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角，B＋C＝90°，∴2sin Bcos C＝2sin Bcos（90°－B）＝2sin2B＝sin A＝1，∴sin B＝.∵0°＜B＜90°，∴B＝45°，C＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形.
2在△ABC中，＝sin2 （a，b，c分別為角A，B，C的對邊），則△ABC的形狀為（　　）
A.直角三角形 B.等邊三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
解析：由sin2 ＝，得＝，即cos B＝.
法一　由余弦定理得＝，即a2＋c2－b2＝2a2，所以a2＋b2＝c2.所以△ABC為直角三角形，無法判斷兩直角邊是否相等.
法二　由正弦定理得cos B＝，又sin A＝sin（B＋C）＝sin Bcos C＋cos Bsin C，所以cos Bsin C＝sin Bcos C＋cos Bsin C，即sin Bcos C＝0，又sin B≠0，所以cos C＝0，又C為三角形的內角，所以C＝，所以△ABC為直角三角形，無法判斷兩直角邊是否相等.
3.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若＜cos A，則△ABC為( )
A.鈍角三角形　 B.直角三角形 C.銳角三角形　 D.等邊三角形
解析：由＜cos A，得＜cos A.又B∈（0，π），所以sin B＞0，所以sin C＜sin Bcos A，即sin（A＋B）＜sin Bcos A，所以sin Acos B＜0.因為sin A＞0，所以cos B＜0，即B為鈍角，所以△ABC為鈍角三角形.
4.在△ABC中，若c－acos B＝（2a－b）cos A，則△ABC的形狀為　直角三角形或等腰三角形　.
解析：由正弦定理得sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，所以sin（A＋B）－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，故cos A（sin B－sin A）＝0,所以cos A＝0或sin A＝sin B，即A＝或A＝B，故△ABC為直角三角形或等腰三角形.
5.在△ABC中，＝，（b＋c＋a）（b＋c－a）＝3bc，則△ABC的形狀為等邊三角形.
解析：因為＝，所以＝，所以b＝c.又（b＋c＋a）（b＋c－a）＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝＝.因為A∈（0，π），所以A＝，所以△ABC是等邊三角形.
6.（多選）已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列四個命題中正確的是（　　）
A.若acos A＝bcos B，則△ABC一定是等腰三角形 B.若bcos C＋ccos B＝b，則△ABC是等腰三角形
C.若＝＝，則△ABC一定是等邊三角形 D.若B＝60°，b2＝ac，則△ABC是直角三角形
解析：BC　對于A，若acos A＝bcos B，則由正弦定理得sin Acos A＝sin Bcos B，∴sin 2A＝sin 2B，則2A＝2B或2A＋2B＝180°，即A＝B或A＋B＝90°，則△ABC為等腰三角形或直角三角形，故A錯誤；對于B，若bcos C＋ccos B＝b，則由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin（B＋C）＝sin A＝sin B，即A＝B，則△ABC是等腰三角形，故B正確；對于C，若＝＝，則由正弦定理得＝＝，則tan A＝tan B＝tan C，即A＝B＝C，即△ABC是等邊三角形，故C正確；對于D，由于B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得b2＝ac＝a2＋c2－ac，可得（a－c）2＝0，解得a＝c，可得A＝C＝B，故△ABC是等邊三角形，故D錯誤.
7.已知在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a－b＝ccos B－ccos A，則△ABC的形狀為　等腰三角形或直角三角形　.
解析：由題意及余弦定理的推論得a－b＝c·－c·，整理得a2b－ab2＋ac2－bc2＋b3－a3＝0，即（a－b）（c2－a2－b2）＝0，∴a＝b或c2＝a2＋b2，∴△ABC的形狀為等腰三角形或直角三角形.

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