資源簡介

5.3.2簡單復合函數的導數教學設計
學習目標：
1、通過具體實例理解復合函數的概念，在對復合函數的拆分和復合的過程中，提升邏輯推理素養；
2、通過具體實例學會復合函數的求導法則，提高數學抽象素養；
3、能利用復合函數的求導法則，并結合基本初等函數的求導公式和導數的四則運算法則求一些簡單復合函數的導數，提升數學運算素養。
重點：了解和認識復合函數的概念及求導法則；
難點：掌握簡單復合函數求導法則并能進行求導運算。
測：
1、基本初等函數的導數公式
（c）ˊ=_____， （xα）ˊ=______， （sinx）ˊ=______， （cosx）ˊ=__________
（ax）ˊ=______， （ex）ˊ=______， （logax）ˊ=_____， （lnx）ˊ=___________
2、導數的四則運算法則
（f(x)+g(x)）ˊ=_______________
（f(x)g(x) ）ˊ=____________________ 特別的：（cg(x)）ˊ=_________
（）ˊ=_____________________
3、求函數y=sin2x的導數：
Y’x=(sin2x)’=(2sinxcosx)’
=2[(sinx)’cosx+sinx(cosx)’]
=2[cosxcosx+sinx(-sinx)]
=2[cos2x-sin2x]
=2cos2x
導：求函數y=ln(2x+1) 的導數。
思，議，展，評：
問題1、能否運用基本初等函數的導數公式或導數的四則運算法則求該函數的導函數？
現有方法無法求出它的導數：（1）用定義不能求出極限；（2）不是基本初等函數，沒有求導公式；（3）不是基本初等函數的和、差、積、商，不能用導數的四則運算法則解決這個問題.
問題2、函數y=ln(2x+1)的結構特點是什么？
函數 y＝ln(2x-1)可以看成是由 y＝lnu 和 u＝2x-1 復合而成
問題3、閱讀課本并填空：
復合函數的定義：一般的，對于兩個函數________和__________,如果通過中間變量__，___可以表示成___的函數，那么就稱這個函數為函數___________和_____________的復合函數，記作______________.
復合函數的定義：一般的，對于兩個函數y=f(u)和u=g(x),如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數，那么就稱這個函數為函數y=f(u)和u=g(x)的復合函數，記作y=f(g(x)).
問題4、必修一中涉及到復合函數的單調性和值域，你還記得它是怎么判斷的嗎？那么，一個合理的猜想就是：復合函數的導數和它的內、外層函數的導數可能也有某種關系。不妨以函數y=sin2x為例探究一下。
函數y=sin2x由外層函數_____________、內層函數__________復合而成。
函數 導函數
y=sin2x yx=2cos2x
外層函數_______ y＝lnu ________y’u=
內層函數______ u＝2x-1 _________u’x=2
所以，三者之間的關系：_________y’x=2cos2x=coxu*2=y’u*u’x
總結:簡單復合函數的求導法則：
一般地，對于由函數y=f(u)和u=g(x)復合而成的函數y=f(g(x)).它的導數與函數y=f(u)、u=g(x)的導數間的關系為______________________ y’x=y’u*u’x
文字表述為：___________________________________________
Y對x的導數等于y對u的導數與u對x 的導數的乘積。
問題5、試一試：求函數y=ln(2x+1)的導數，并總結復合函數的求導步驟。
解：函數 y＝ln(2x-1)可以看成是由 y＝lnu 和 u＝2x-1 復合而成
以y’u 表示y對 u 求導, 以_u’x表示u對x求導
因為y'u＝(lnu)'＝ , u'x＝2,
y’ 2=y’u*u’x x=*2=
復合函數y＝f (g(x))的導數的一般步驟嗎？
(1)觀察函數結構，識別構成復合函數的基本初等函數；分解
(2)引入中間變量，運用基本初等函數的求導公式，即先求y′u，再求u′x，然后計算y′u·u′x；求導
(3)用中間變量關于自變量的函數替換掉中間變量，得到關于自變量的導數. 回代
練：求下列函數的導數
y=(3x+5)3
解：函數 y=(3x+5)3以看成是由 y＝(u)3和 u＝3x+5 復合而成
因為y'u＝(u)3'＝3(u)2, u'x＝3,
y’ x=y’u*u’x x=3(u)2*3=6(3x+5)2
（2）y=e-0.05x+1
解：函數 y= e-0.05x+1以看成是由 y＝eu和 u＝-0.05x+1 復合而成
因為y'u＝eu'＝eu, u'x＝-0.05,
y’ x=y’u*u’x x= eu *(-0.05)= (-0.05) e-0.05x+1
(3)y=(1-2x)3
解：函數 y=(1-2x)3以看成是由 y＝(u)3和 u＝1-2x 復合而成
因為y'u＝(u)3'＝3(u)2, u'x＝-2,
y’ x=y’u*u’x x=-2(u)2*3=-6(1-2x)2
（4）y=log2(2x+1)
解：函數 y= log2(2x+1)以看成是由 y＝log2u和 u＝2x+1 復合而成
因為y'u＝log2u'＝, u'x＝2,
y’ x=y’u*u’x x=*2=
（5）y=cos()
解：函數 y= cos()以看成是由 y＝cosu和 u＝ 復合而成
因為y'u＝cosu'＝-sinu, u'x＝,
y’ x=y’u*u’x x=-sinu *=-sin()
（6）y=sin()
解：函數 y= sin()以看成是由 y＝sinu和 u＝ 復合而成
因為y'u＝sinu'＝cosu, u'x＝-3,
y’ x=y’u*u’x x= cosu *(-3)=-3 cos()
小結：
1.復合函數的概念
一般地，對于兩個函數y＝f (u)和u＝g(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數，那么稱這個函數為函數y＝f (u)和u＝g(x)的復合函數，記作y＝f (g(x)).
2.復合函數的求導法則
復合函數y＝f (g(x))的導數和函數y＝f (u)，u＝g(x)的導數間的關系
為y′x＝yu'×ux′，即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積
3.復合函數求導的步驟：分解→求導→回代
反思：
復合函數求導公式的證明高中階段不需要掌握，所以我早講課時是有一個實例引出復合函數的求導公式，我覺得這樣比較自然一些。但經過實踐發現，一個實例是不夠的，至少應舉兩例，這樣能給學生一個緩沖的時間。使結論的出現不至于太突兀。更有說服力，本節課還有一個缺點，在講新課之前沒有給學生復習復合函數的概念。此概念在必修一中已經學過。但時間太久，大部分學生已經忘記此處。教學要考慮到學生的情況，就是認為簡單的學生不一定會，要結合學生實際進行教學。
本節的教學設計應該這樣改一改，首先復習簡單函數復合函數的概念，然后給出一個函數。復合函數，讓學生判斷這個函數是簡單函數還是復合函數。再問，學生能否用學過的導數的四則運算來求導？如果能，所求的結果與原函數有什么關系？進而才想出復合函數的求導法則。緊接著再用一個實例去驗證，從而總結出復合函數的求導法則，最后再講解例題和做練習。這樣的設計會讓這些過程更自然一些，學生更易接受。5.3.2簡單復合函數的導數 導學案
學習目標：1、了解和認識復合函數的概念及求導法則；
2、掌握簡單復合函數求導法則并能進行求導運算。
測：
1、基本初等函數的導數公式
（c）ˊ=_____， （xα）ˊ=______， （sinx）ˊ=______， （cosx）ˊ=__________
（ax）ˊ=______， （ex）ˊ=______， （logax）ˊ=_____， （lnx）ˊ=___________
2、導數的四則運算法則
（f(x)+g(x)）ˊ=_______________
（f(x)g(x) ）ˊ=____________________ 特別的：（cg(x)）ˊ=_________
（）ˊ=_____________________
3、求函數y=sin2x的導數：
導：求函數y=ln(2x+1) 的導數。
思，議，展：
問題1、能否運用基本初等函數的導數公式或導數的四則運算法則求該函數的導函數？
問題2、函數y=ln(2x+1)的結構特點是什么？
問題3、閱讀課本并填空：
復合函數的定義：一般的，對于兩個函數________和__________,如果通過中間變量__，___可以表示成___的函數，那么就稱這個函數為函數___________和_____________的復合函數，記作______________.
問題4、必修一中涉及到復合函數的單調性，你還記得它是怎么判斷的嗎？那么，一個合理的猜想就是：復合函數的導數和它的內、外層函數的導數可能也有某種關系。不妨以函數y=sin2x為例探究一下。
函數y=sin2x由外層函數_____________、內層函數__________復合而成。
函數 導函數
y=sin2x yx=2cos2x
外層函數____________ _________________
內層函數____________ _________________
所以，三者之間的關系：__________________________
總結:簡單復合函數的求導法則：
一般地，對于由函數y=f(u)和u=g(x)復合而成的函數y=f(g(x)).它的導數與函數y=f(u)、
u=g(x)的導數間的關系為______________________
文字表述為：___________________________________________
問題5、試一試：求函數y=ln(2x+1)的導數，并總結復合函數的求導步驟。
練：求下列函數的導數
（1）y=(3x+5)3 （2）y=e-0.05x+1
（3）y=(1-2x)3 （4）y=log2(2x+1)
（5）y=cos() （6）y=sin()
小結：

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