資源簡介

(共48張PPT)
第7講 電磁感應中的單杠模型
角度1 單桿與電阻構成回路
角度2 單桿電容器模型
角度3 單桿的振動（簡諧運動）
跟蹤訓練
備用習題
常見的單桿模型分析
示意圖 ___________________________________________ __________________________________________ __________________________________ _______________________________________
運動 分析 ______________________________________ _____________________________________ __________________________________ ____________________________________
能量 分析 動能轉化為內能, 電能轉化為動能 和內能, 外力做功轉 化為動能和 內能, 外力做功轉化
為電場能和動
能,
續表
角度1 單桿與電阻構成回路
例1 [2024·麗水模擬] 如圖甲所示，兩間距為 的光滑平行金屬導軌固定在
水平面內，左端用導線連接，導軌處在豎直向上的勻強磁場中.一根長度
也為、電阻為的金屬棒放在導軌上，在平行于導軌向右、大小為 的恒
力作用下向右運動，金屬棒運動過程中，始終與導軌垂直并接觸良好，金
屬棒運動的加速度與速度關系如圖乙所示，圖乙中的、 均為已知量.
若不計金屬導軌及左邊導線電阻，金屬導軌足夠長，則下列說法不正確的
是( )
A.金屬棒的質量為
B.勻強磁場的磁感應強度大小為
C.當拉力做功為時，通過金屬棒橫截面的電荷量為
D.某時刻撤去拉力，此后金屬棒運動過程中加速度大小與速度大小成正比
√
[解析] 由牛頓第二定律可知，整理得 ，結合
圖像可知，解得，故A正確；結合圖像可知 ，解
得，故B正確；當拉力做功為 時，金屬棒運動的距
離為，則通過金屬棒截面的電荷量 ，故
C錯誤；某時刻撤去拉力，此后有，則 ，故D正確.
角度2 單桿 電容器模型
例2 如圖所示,光滑平行金屬導軌彎折成
對稱的“”字形,導軌間距為,傾角為
(很小)的傾斜部分與底部平滑連接,導軌
位于方向豎直向上的勻強磁場中,磁感應
強度大小為(未知);在導軌左側通過單刀雙擲開關可分別與電動勢為 的
電源 內阻為和極板為和的不帶電的電容為 的電容器連接.將開關擲
向1,長為、質量為的導體棒恰好能靜止在傾斜導軌上高為 處.已知電
容器始終工作在額定電壓范圍內,導體棒 在運動過程中始終與導軌垂直
且接觸良好,重力加速度為 ,不計其他電阻和電磁輻射.
(1) 求磁感應強度 的大小;
[答案]
[解析] 將開關擲向1,導體棒 恰好靜止在傾斜
導軌上,故安培力沿導軌方向的分力與重力沿導
軌方向的分力平衡,有
根據閉合電路歐姆定律得
聯立解得
(2) 若將 擲向2，分析棒的運動情況.
[答案] 見解析
[解析] 將開關擲向2，電容器兩端電壓與導體
棒產生的感應電動勢大小相等.以導體棒為研究
對象,在左側導軌上,由牛頓第二定律有
回路中的電流
聯立解得
所以 為定值,即棒在左側導軌上做勻加速直線
運動.同理,在右側導軌上,由牛頓第二定律有
回路中的電流
聯立解得
所以 為定值,即棒在右側導軌上做勻減速運動,
其運動情況與在左側導軌上時對稱.
角度3 單桿的振動(簡諧運動)
例3 如圖所示，、 是兩條固定在
水平面內的間距 的平行軌道，
兩軌道在、 處各有一小段長度可以
忽略的絕緣體，絕緣體兩側為金屬導軌，
金屬導軌電阻不計.軌道左端連接一個
的電阻，軌道右端連接一個
“恒流源”，使導體棒在、 右側時
電流恒為.沿軌道建立
軸， 為坐標原點，在兩軌道間存在垂
直于軌道平面向下的有界磁場，
區域磁感應強度大小隨坐標 的變化
規律為； 區
域為勻強磁場，磁感應強度大小
.開始時，質量 、
長度、電阻 的導體棒
在外力作用下靜止在 處，
棒與導軌間的動摩擦因數 .現
撤去外力，發現 棒沿軌道向左運動.
重力加速度取 .
(1) 求撤去外力瞬間棒中的電流方向和 棒的加速度大??；
[答案] 到;
[解析] 撤去外力瞬間 棒沿軌道向左運動，
說明受到向左的安培力作用，根據左手定
則可判斷出電流的方向從到 .
對棒 ，由牛頓第二定律可得
其中
解得
(2) 求撤去外力后棒由靜止運動到 處的速度大?。?br/>[答案]
[解析] 撤去外力后棒由靜止運動到
處的過程，由動能定理得
由于磁感應強度與 成線性關
系，則安培力也與 成線性關系，
所以
其中
聯立解得
(3) 若棒最終停在處，其運動的總時間為多少？
已知：質量為 的物體做簡諧運動時，回復力與物體偏離平衡位置的位
移滿足，且振動周期
[答案]
[解析] 在 區域中，棒受到的合力為
由簡諧運動的性質可知,棒在到之間區域以 處
為平衡位置做簡諧運動，,周期為
棒從處運動到處所需時間
設棒從處運動到處所需時間為 ,由于
,故
設棒在左側勻強磁場中運動時間為 ，由動量定理得
其,
聯立解得
則全程總時間
1. 如圖甲,傾角θ=30°的足夠長光滑平行金屬導軌,導軌間距L=1 m,底端接有R=3 Ω的定值電阻,導軌處在磁感應強度大小B=1 T、方向垂直導軌平面向上的勻強磁場中.質量m=0.5 kg、阻值r=1 Ω的金屬棒,在平行于導軌的拉力F作用下,由靜止開始從CD處沿導軌向上加速運動,金屬棒的速度—位移圖像如圖乙所示,金屬棒始終與導軌垂直并接觸良好,導軌電阻忽略不計,重力加速度g取10 m/s2,求:
(1)通過金屬棒的電荷量為1 C時,金屬棒的位移大小;
[答案] 4 m　
[解析] 由q=t=t=t=
可得x=4 m
(2)速度v=2 m/s時,電阻R的發熱功率;
[答案] 0.75 W　
[解析] 速度v=2 m/s時I==0.5 A
所以電阻R的發熱功率PR=I2R=0.75 W
(3)金屬棒從CD處沿導軌向上運動x=2 m的過程中,外力F做的功.
[答案] 10 J
[解析] 極短位移內安培力做功Wi=-xi
金屬棒從CD處沿導軌向上運動x=2 m的過程中對vixi求和即為圖乙圖線與x軸所圍面積S.所以安培力做功為W安=-=-1 J
由動能定理可得WF+W安-mgxsin 30°=m,v1=4 m/s
解得WF=10 J
2. 某研發小組設計了一個臂力測試儀.裝置的簡化原理圖如圖甲所示,兩平行金屬導軌MM'、NN'豎直放置,兩者間距為L=1 m,在M、N間和M'、N'間分別接一個阻值為R=1.5 Ω的電阻,在兩導軌間EFGH矩形區域內有垂直導軌平面向里、寬為d=0.5 m的磁場,磁感應強度變化如圖丙所示,已知B0=0.75 T,t0=0.25 s.一質量為m=0.5 kg、長為L=1 m、電阻也為R的導體棒垂直放置在導軌上,導體棒與彈簧相連,彈簧下端固定,彈簧伸至原長后其頂端恰好與EF在同一條直線上.測試者利用臂力將導體棒向下壓至某位置后釋放,導體棒向上運動經過HG時,會與HG處的壓力傳感器發生撞擊(圖乙為裝置的側視圖),壓力傳感器可以顯示撞擊力的大小,以此來反映臂力的大小.
[答案] A,方向為N流到M　
[解析] 由丙圖可知,0~t0時間內磁感應強度的
變化率為
根據法拉第電磁感應定律有 E=
由閉合電路歐姆定律,可得 I=
聯立解得I= A ， 根據楞次定律,可得此時流過MN的電流為N流到M.
(1)為測試其電特性,進行如下實驗:磁場區域內的磁感應強度如圖丙所示,求0~t0時間內流過MN的電流I的大小和方向;
(2)為測試其力特性,在t>t0這段時間內進行如下實驗:設某次測試中,將彈簧壓縮至AB位置后釋放,AB與EF間的豎直距離為2d,當導體棒進入磁場的瞬間,加速度為2g,導體棒運動到HG時壓力傳感器示數恰好為0.已知彈簧的彈性勢能與彈簧形變量的平方成正比,導體棒運動中與導軌始終保持接觸良好且導軌電阻不計,重力加速度g取10 m/s2,求:
[答案] 26.25 J　
[解析] 導體棒進入磁場瞬間,由牛頓第二定律得
mg+B0IL=2mg
又I= 解得v=
設導體棒運動到HG時彈簧的彈性勢能為Ep,由彈性勢能
與形變量的關系可知釋放導體棒時彈簧的彈性勢能為4Ep,
對導體棒由AB上升至EF這一過程,由能量守恒定律得 4Ep=2mgd+mv2
解得Ep=26.25 J
①導體棒出磁場時彈簧的彈性勢能;
②導體棒向上運動過程中產生的焦耳熱.
[答案] 47.5 J
[解析] 對導體棒上升過程,由能量守恒定律得
4Ep=Ep+3mgd+Q總
導體棒向上運動過程中產生的焦耳熱
Q=Q總=47.5 J
3.　如圖甲所示,傾角α=30°的粗糙斜面上放置矩形金屬框MM1N1N,質量M=5 kg.其中水平邊MN=M1N1=1.0 m,阻值均為R=0.2 Ω;MM1=NN1足夠長,電阻不計.空間中存在方向垂直斜面向上的勻強磁場,磁感應強度B=1 T.一質量m=1.0 kg、阻值r=0.1 Ω、長l=1.0 m的光滑導體棒ab放置在金屬框上,并平行MN邊.t=0時刻,在平行斜面的外力F作用下從x=-0.2 m位置由靜止開始做簡諧運動,簡諧運動的平衡位置在坐標原點O處,導體棒ab的速度隨時間變化的圖像是如圖乙所示的正弦曲線,正弦曲線的周期T= s.導體棒ab始終沿垂直MM1的方向運動,金屬框始終保持靜止，g取10 m/s2.
(1)求導體棒ab在0至0.25T內通過的電荷量;
[答案]1 C　
[解析] 電路總電阻R總=+r=0.2 Ω
根據R總
通過導體棒的電荷量q=·Δt=
解得q=1 C
(2)求MN邊在一個周期內產生的焦耳熱;
[答案] J　
[解析] 通過棒ab的電流隨時間變化規律為
i==10sin 10t(A)
可得電流的有效值
I=5 A
故一個周期內MN邊中產生的熱量
Q=RT= J
(3)求在0至0.25T內外力F的沖量;
[答案] N·s　
[解析]由動量定理得
IF-mgsin α·Δt-Bl·Δt=mvm
其中Bl·Δt=Blq
解得IF= N·s
(4)已知簡諧運動的回復力系數k=100 N/m,求矩形金屬框受到的摩擦力與外力F等大同向時導體棒的位置.
[答案] x=-0.2 m或0
[解析] 金屬框受到的摩擦力
Ff=Mgsin α-Bil=(25-10sin 10t) N
由于導體棒ab做簡諧運動,故可知 F-mgsin a-Bil=-kx
且有x=-0.2cos 10t
解得F=(5+10sin 10t+20cos 10t) N
由于F=Ff
可得x=0或-0.2 m
1.[2024·寧波模擬] 如圖所示，在水平桌面上固定兩間距為 、長度足夠的
平行金屬導軌，導軌間存在方向垂直于桌面向上、磁感應強度大小為 的
勻強磁場.一質量為 的導體棒擱置于導軌間，通過水平絕緣細繩跨過輕質
定滑輪與質量為的重物相連.在導軌左側，通過開關 可分別與含電阻、
電容器和電感線圈的支路連接.在各種情況下導體棒均從靜止開始運動，
且在運動過程中始終垂直于導軌且接觸良好，不計其他電阻、空氣阻力、
摩擦阻力和電磁輻射，當電感線圈中通有電流 時，電感線圈存儲的磁能
為，重力加速度為 .
(1) 若擲向1，串接電阻，阻值為 ，求導體棒運動的加速度與速度的關系；
[答案]
[解析] 若擲向1,串接電阻,則閉合回路
產生電流.設經過時間 ，導體棒的
速度為，由牛頓第二定律，對重物
有
對導體棒有
其中,,
聯立解得
(2) 若擲向2，串接一不帶電的電容器，電容為 ，求導體棒的速度與時
間的關系；
[答案]
[解析] 若 擲向2,串接一不帶電的電容器,則電容器兩端電壓與導體棒產生
的感應電動勢大小始終相等.同(1),有
其中,
聯立解得 ，
所以 為定值
則
(3) 若擲向3，串接一阻值為的電阻和電感為 的電感線圈相串聯的電路，
當重物下降高度為 時，重物開始做勻速運動.
① 求重物勻速運動的速度大小 ；
[答案]
[解析] 若 擲向3,串聯一電阻和一電感線圈,則重物勻速運動時，電路穩恒，
電感不起作用，有
解得
② 重物從靜止開始下降高度為的過程中，求回路產生的焦耳熱 .
[答案]
[解析] 由能量守恒定律有
其中,
聯立解得
2.[2024·金華模擬] 某發光二極管D的伏安特性曲線如圖甲所示，在達到正
向導通電壓 后它才能夠發光.因其發光時的伏安特性曲線斜率極
大，可近似認為它發光后兩端電壓保持不變；電壓小于 或加
反向電壓時，它均處于截止狀態，通過的電流為0.如圖乙所示，現將其連
接在固定于水平面上的電阻不計的兩條平行導軌之間，兩導軌間距離為
，整個導軌處于方向豎直向下、磁感應強度大小為 的勻
強磁場中.取一根長度也為、質量為、電阻為 的勻
質導體棒，將其垂直置于兩導軌上面，與兩導軌間的動摩擦因數為
.現給該導體棒一個水平向右、大小為 的初速度，
后續過程中導體棒與兩導軌始終保持良好接觸，經過 后發光二極
管熄滅，取 .試求：
(1) D剛熄滅時，導體棒的速度大??；
[答案]
[解析] D剛熄滅時，有
解得導體棒的速度大小為
(2) 初始時刻，回路中的電流大小和導體棒的加速度大?。?br/>[答案] ，
[解析] 初始時刻，導體棒產生的
電動勢為
根據閉合電路歐姆定律可得
解得回路中的電流大小為
以導體棒為對象，根據牛頓第二定律可得
解得導體棒的加速度大小為
(3) 導體棒運動的整個過程中的位移大?。?br/>[答案]
[解析] 在發光二極管發光過程中，以導體棒為對象，根據動量定理可得
其中
則有
聯立解得該過程導體棒的位移大小為
發光二極管熄滅后，根據動能定理可得
解得該過程中導體棒的位移大小為
所以導體棒運動的整個過程中的位移大小為
(4) 導體棒運動的整個過程中其產生的焦耳熱.
[答案]
[解析] 導體棒運動的整個過程中，
因摩擦產生的熱量為
發光二極管發光過程中,發光二極管
消耗的電能為
根據能量守恒定律可知,導體棒運動的整段過程中，導體棒產生的焦耳熱
為
聯立解得

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