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(共45張PPT)
第8講 電磁感應中的雙桿和線框模型
角度1 雙桿模型
角度2 線框模型
跟蹤訓練
備用習題
基本模型 圖例 運動特點 圖像 最終特征
無外力等 距式 ____________________________________ 棒1做加速度減 小的加速運動, 棒2做加速度減 小的減速運動 _________________________________________ ,
系統動量守恒
基本模型 圖例 運動特點 圖像 最終特征
無外力不 等距式 _____________________________________ 棒1做加速度減 小的減速運動, 棒2做加速度減 小的加速運動 _______________________________________ , ,
對單桿應用動
量定理;聯立
求解
續表
基本模型 圖例 運動特點 圖像 最終特征
有外力等 距式 ____________________________________ 棒1做加速度增 大的加速運動, 棒2做加速度減 小的加速運動 ______________________________________ ,、
恒定
對單桿應用動
量定理,穩定
后對單桿應用
牛頓第二定
律;聯立求解
續表
角度1 雙桿模型
例1 如圖所示，在空間中有上、下兩個足夠長的水平光滑平行金屬導軌
、和水平光滑平行金屬導軌、 ，平行導軌間距均為
，導軌電阻不計，上、下兩導軌的高度差為 ，上導軌
最左端接一電阻 .虛線左側寬度的 區域內
存在著豎直向下的勻強磁場，磁感應強度隨時間變化規律為
；虛線右側 區域內存在豎直向上的勻強磁場，
磁感應強度；豎直線與 的右側空間存在豎直向上的勻強
磁場，磁感應強度 .上、下導軌中垂直于導軌分別放置相同的導
體棒和導體棒，棒長均為，質量均為 ，電阻均為
.時刻閉合開關，導體棒 在安培力的作用下開始運動，
導體棒在離開上導軌、前已經達到穩定狀態.導體棒從 離
開下落到下導軌上時，豎直速度立即變為零，水平速度不變.重力加速度
取 .
(1) 求開關閉合瞬間時，流過導體棒的電流 ；
[答案]
[解析] 開關閉合時,回路中產生的感應電動勢
由于,故
流過導體棒的電流
聯立解得
(2) 求導體棒離開上導軌時的速度 ；
[答案]
[解析] 導體棒在上導軌上做加速度減小的加速運動，當通過導體棒
的電流為零時，導體棒 的速度達到穩定，此時回路中磁通量不變，有
聯立解得導體棒離開上導軌時的速度
(3) 若導體棒與導體棒恰好不相碰，求導體棒的初始位置與 的
水平距離 .
[答案]
[解析] 導體棒 離開上導軌后，
從離開到落到下導軌上,做平拋運動,有
聯立解得
導體棒 在下導軌上運動過程中,兩導體棒組成的系統動量守恒,有
對導體棒,由動量定理得
其中,,
聯立解得
由于導體棒與導體棒恰好不相碰，故導體棒的初始位置與 的水
平距離
角度2 線框模型
例2 [2024·溫州模擬] 電動汽車可以利用電磁相關原理進行驅動和制動并
進行動能回收，其中一種輪轂電機可以通過控制定子繞組通電順序和時間，
形成旋轉磁場，驅動轉子繞組帶動輪胎轉動，其展開簡化模型如圖甲所示.
定子產生一個個邊長為的正方形勻強磁場，磁感應強度大小均為 ，相鄰
磁場方向相反.轉子繞組可簡化為一個水平放置的正方形線圈，質量為 ，
匝數為，邊長為，總電阻為，線圈運動時受到恒定阻力 .不考慮定子
發熱損耗和磁場運動引起的電磁輻射.
[解析] 線圈達到最大速度時，產生的感應電動勢
線圈中的電流
線圈受到的安培力
此時線圈也勻速運動,受力平衡,有
聯立解得
(1) 若磁場以速度向右勻速運動，求線圈能達到的最大速度 ；
[答案]
(2) 若磁場從 時刻開始由靜止勻加速運動，經過一段時間，線圈也勻
加速運動，時刻速度為，求線圈的加速度大小 ；
[答案]
[解析] 對線圈,根據牛頓第二定律有
其中,,
聯立可得
由于線圈也做勻加速運動，即不變，則 應不變，說明磁場的
加速度也為, 時刻有
解得
(3) 制動時，磁場立刻停下，此時速度為 的線圈通過整流裝置可以給電
動勢為的動力電池充電，此過程線圈的 圖像如圖乙所示，
則此制動過程給動力電池充入的電荷量約為多少？
[答案]
[解析] 制動時,線圈給電池充電，有
當時,線圈不再給電池充電，由于 ,故此時線圈速度
由圖像可知對應 時刻.在這段時間內,有
其中，在圖像中，對應速度由到 段圖線圍成的面積,利
用數格法計算,
由于
聯立解得
1.　如圖所示,足夠長的光滑平行金屬導軌MN、PQ,間距為L,導軌電阻不計;左端向上彎曲,水平段導軌所處空間有兩個有界勻強磁場(相距一段距離,不重疊),磁場Ⅰ區的磁感應強度為B,方向豎直向上,左邊界在水平段導軌的最左端;磁場Ⅱ區的磁感應強度為2B,方向豎直向下.質量均為m、電阻均為R的金屬棒a、b垂直放置在導軌上(b在區域Ⅱ內),現將金屬棒a從彎曲導軌上距水平段導軌高h處由靜止釋放,金屬棒a、b始終垂直導軌且接觸良好,重力加速度為g.則:
(1)求金屬棒a剛進入磁場Ⅰ區時,金屬棒b的加速度;
[答案],方向向左　
[解析] a棒下滑過程中由機械能守恒
定律得mgh=m解得v0=
a棒剛進入磁場Ⅰ區時,有E=BLv0
此時通過a、b棒的感應電流I=
對b棒,F安=2BIL=
則a=,方向向左.
(2)設兩磁場區足夠大(即a、b分別在磁場Ⅰ、Ⅱ運動),回路中最多能產生的焦耳熱有多少
[答案]
[解析] 當金屬棒a進入磁場 Ⅰ 后 , a棒向右減速,b棒向左加速,最終達到穩定狀態,
有BLv1=2BLv2,得v1=2v2
設向右為正方向,對金屬棒a,由動量定理有-BLi·t=mv1-mv0
對金屬棒b,由動量定理有-2BLi·t=-mv2-0 ，解得v1= ,v2=
根據能量守恒定律知,回路中產生的最多的焦耳熱
Q=mgh-
2. 如圖所示,在水平面內固定一足夠長的光滑平行金屬導軌ab-a'b'與cdef-c'd'e'f',b與c之間以及b'與c'之間分別通過一小段長度可忽略的絕緣光滑軌道平滑連接,其中abcd-a'b'c'd'部分的寬度為2d,ef-e'f'部分的寬度為d,導軌最左端a、a'之間連接有一帶電的、電容為C的電容器和開關S,整個導軌所在空間存在方向豎直向上、磁感應強度大小為B的勻強磁場.開始時開關斷開,質量為m,長度為d,阻值為R的金屬棒N靜止在導軌ef-e'f'部分上,質量為2m,長度為2d,電阻可忽略不計的金屬棒M靜止在導軌ab-a'b'部分上.現閉合開關S,電容器C通過金屬棒M放電,金屬棒M開始沿導軌向右運動,且離開ab-a'b'部分前的一段距離內金屬棒M以速度大小v0勻速運動.不計導軌電阻,兩金屬棒運動過程中始終與導軌垂直且接觸良好,金屬棒M始終在abcd-a'b'c'd'部分運動,求:
(1)金屬棒M剛滑上導軌cdef-c'd'e'f'部分時加速度的大小;
[答案] 　
[解析] 金屬棒M剛滑上導軌cdef-c'd'e'f'部分時,回路中的電流大小為I1=
E=2Bdv0
由牛頓第二定律可知金屬棒M的加速度大小為a=
解得a=
(2)電容器初始時的帶電荷量;
[答案] +2Bdv0C　
[解析] 閉合開關S,設金屬棒M速度達到穩定前某時刻的電流為I,金屬棒M受到的安培力大小為F=BI·2d
在一小段時間Δt內,由動量定理可得F·Δt=2m·Δv
通過金屬棒M的電荷量為Δq=I·Δt
從閉合開關S到金屬棒M速度達到穩定的過程中累加求和有Bq·2d=2mv0-0
金屬棒M速度穩定時切割磁感線產生的電動勢為 E'=B·2dv0
此時電容器剩余的電荷量為Q1=CE'
所以電容器初始時的帶電荷量為Q=q+Q1=+2Bdv0C
(3)整個過程中金屬棒N產生的焦耳熱.
[答案] m
[解析] 金屬棒M滑上導軌cdef-c'd'e'f'部分后,流過金屬棒M和金屬棒N的電流大小相等,當回路中的電流為0時,兩金屬棒速度達到穩定,此時有B·2dv1=Bdv2
從金屬棒M滑上導軌cdef-c'd'e'f'部分到速度達到穩定的過程中,根據動量定理可知,對金屬棒M有Bq'·2d=2mv0-2mv1
對金屬棒N有Bq'd=mv2-0
由能量守恒定律可得·2m·2mm+Q熱
解得Q熱=m
1.如圖甲所示，在光滑的水平面上有一質量、足夠長的 形金屬
導軌，導軌間距.一阻值 的細導體棒 垂直于導軌
放置，并被固定在水平面上的兩立柱擋住，導體棒 與導軌間的動摩擦
因數，在、兩端接有一理想電壓表(圖中未畫出).在形導軌
邊初始位置右側存在垂直于導軌平面向下、磁感應強度大小 的勻
強磁場，在兩立柱左側 形導軌內存在方向水平向左、磁感應強度大小為
的勻強磁場.以形導軌的點初始位置為原點，以沿 方向為正方向，
建立坐標軸時，形導軌的邊在沿軸正方向的外力 作用下從
靜止開始運動，電壓表測得電壓與時間的關系如圖乙所示.經過 時間，
撤去外力，直至形導軌靜止.已知內外力做功 .不計其他
電阻，導體棒始終與導軌垂直，忽略導體棒 的重力.
(1) 求在內外力隨時間 的變化規律；
[答案]
[解析] 根據法拉第電磁感應定律可知
由于只有導體棒有電阻，故、兩端電壓等于產生的感應電動勢 .
由圖像可知
聯立得
根據速度與時間關系可知
由于忽略導體棒的重力，所以摩擦力
對形金屬導軌，根據牛頓第二定律有
其中
聯立解得
[解析] 由功能關系得
由于摩擦力與安培力的關系為，故
則
解得
(2) 求在整個運動過程中電路產生的焦耳熱 ；
[答案]
(3) 寫出在整個運動過程中形導軌的邊的速度與位置 的函數關系式.
[答案] 見解析
[解析] 撤去外力的時刻為時，形導軌的邊在 時間內
做勻加速直線運動，在 后做非勻變速直線運動.
①時，根據位移與速度關系可知
根據勻變速直線運動規律可知，時形導軌的 邊的速度為
位移為
②時，形導軌的 邊做非勻變速直線運動直到停止，由動量定
理得
其中
聯立解得
當時，
綜上所述，邊的速度與位置 的函數關系式如下：
2.[2024·杭州模擬] 如圖所示，固定
的一對長金屬導軌間距為 ，
其水平部分與傾斜部分均足夠長.導
軌的水平部分處于豎直向上的勻強磁
場中，磁感應強度大小為 ，其左側
連接了電源 .導軌的傾斜部分傾角
且處于平行于斜面向上的勻
強磁場中，磁感應強度大小為 ，其
下方接有開關和電容 的電
容器，開始時開關斷開、電容器不帶
電.導軌上正對的、 兩處各有一小
段用絕緣材料制成，長度不計.質量
均為 的導電桿甲、乙靜
止在導軌上，均與導軌垂直，甲與導
軌間的摩擦不計，甲的電阻
， 乙的電阻 .某時
刻起電源 開始工作，輸出恒定電流
，經 ，使甲運動到
、處，電源 立即停止工作.當甲
越過、 瞬間，再對其施加一個沿
導軌水平向右的恒力 ，此時
乙恰好開始運動. 已知 ，
不計除導電桿外所有電阻，不計回路
自身激發磁場，最大靜摩擦力等于滑
動摩擦力， ，
.
(1) 求甲通過、 時的速度大小；
[答案]
[解析] 對甲導電桿進行分析，根據牛
頓第二定律有
根據運動學公式有
聯立解得
(2) 求乙與傾斜導軌間的動摩擦因數；
[答案]
[解析] 甲導電桿剛剛通過、 時產生的
感應電動勢
感應電流
根據右手定則可知,回路中電流方向為逆
時針，根據左手定則可知，乙導電桿所
受安培力方向垂直于斜面向上，大小為
此時乙導電桿恰好開始運動，有
聯立解得
(3) 求電源 輸出的總能量；
[答案]
[解析] 根據能量守恒定律可知，電源
輸出的總能量
聯立解得
(4) 為回收部分能量，閉合開關，其他條件不變，已知在甲通過、 后
內位移為，產生的焦耳熱為 ，此時電容器已達到最大穩定電
壓.當電容器電壓為時，其儲能為 .忽略電磁輻射，求此過程
中乙上產生的焦耳熱.
[答案]
[解析] 甲導電桿越過、 后，在拉力作
用下，甲導電桿向右先做加速度減小的
加速運動，最后做勻速直線運動，勻速
運動時受力平衡，有
感應電流
對甲導電桿，根據動能定理有
根據功能關系有
其中
聯立解得

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