資源簡介

(共70張PPT)
增分指導一 數學方法在物理中的應用
方法1 估算法
方法2 三角函數法
方法3 均值不等式求極值
方法4 二次函數求極值
方法5 數學歸納法、數列的應用
方法6 求導的妙用
應用數學知識處理物理問題的能力具體要求為：
(1)能根據具體的物理問題列出物理量之間的關系,能把有關的物理條件用
數學方程表示出來.
(2)在解決物理問題時,往往需要經過數學推導和求解,或進行數值計算;求得
結果后,有時還要用圖像或函數關系把它表示出來;必要時還應對數學運算
的結果做出物理上的結論或解釋.
(3)能夠運用幾何圖形、函數圖像解決物理問題,要能夠對物理規律、狀態
和過程在理解的基礎上用合適的圖像表示出來,會用圖像來處理物理問題.
高中物理解題常見的數學思想方法包括估算法、幾何法、函數法、比值法、
圖解法、極值法、微元法、歸納法、極限分析法、分類討論法等,經常要
用到的數學知識包括平面幾何、函數圖像、三角函數、不等式、數列、微
積分初步等.
方法1 估算法
解決此類問題需要了解一些常見的數據，例如：原子直徑數量級為
，地球半徑約為 ，地球自轉周期約為1天(24小時)，地球
公轉周期約為1年，近地衛星的運行周期約為85分鐘，月球繞地球運行周
期約為27天，一個雞蛋的質量約為，中學生的質量約為 ，課桌的
高度約為，每層樓的高度約為，自行車的速度約為 ，
，地球表面重力加速度約為 ，月球表面重力加速度約為
地球表面的 等.
例1 我國執行火星探測任務的“天問一號”探測器在成功實施三次近火制動
后，進入運行周期約為 的橢圓形停泊軌道，軌道與火星表面的
最近距離約為.已知火星半徑約為 ，火星表面處自
由落體的加速度大小約為 ，則“天問一號”的停泊軌道與火星表面
的最遠距離約為( )
A. B. C. D.
√
[解析] 已知火星半徑，則火星近地衛星的周期為 ，設停泊軌道
的半長軸為，由開普勒第三定律可知,整理得 ，代入數
據得 ，即
，近火點和遠火點距離即為長軸，近火點與火星表面
的最近距離約為 ，則遠火點與火星表面的最遠距離約為
.
技法點撥
對數值計算的處理，第一是得出目標物理量函數關系再計算數值，不要列
一個關系式得出一個中間結果，這樣不僅使得計算成本提高，而且容易因
為每一步的四舍五入導致最終的結果出現偏差，把關系式清晰表達出來，
再代入數據，是一種更加科學的計算方式.第二就是要掌握必要的估算技
巧，上述解答過程中，將3.7和4抵消、與抵消，是一種近似處理，
而且結果是取在一個區間內，并不需要最終得出精確的數值.
例2 [2024·杭州高級中學模擬] 如圖所示是某同學跳遠的頻閃圖，該同學
身高，起跳點為點.圖中輔助標線方格橫豎長度比為， 取
，則他起跳時的初速度最接近的值是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 從圖中可知，人的高度約占三格豎直線，所以一格豎直線的長度
約為，則一格水平線的長度約為 ，從
起跳到最高點過程，重心在豎直方向運動了約2格，根據逆向思維有
，，解得， ，水平方向運動了約2
格，則有，解得 ，起跳時的初速度為
，故選D.
方法2 三角函數法
角度1 三角函數求極值
(1) ，當 時， .
(2) ，當時， .
(3)輔助角求極值
三角函數：
，其中 .
當 時，有極大值 .
例3 (不定項)某實驗研究小組為探究物體沖上粗糙斜面能達到的最大位移
與斜面傾角 的關系，使某一物體每次以不變的初速率 沿足夠長的斜
面向上運動，如圖甲所示，調節斜面與水平面的夾角 ，實驗測得與
的關系如圖乙所示，取 .則由圖可知( )
A.物體的初速率
B.物體與斜面間的動摩擦因數
C.圖乙中
D.取初始位置所在水平面為重力勢能參考平面，當 ，物體上滑過
程中動能與重力勢能相等時，物體上滑的位移為
√
√
[解析] 由圖乙可知，當 時，物體做豎直上拋運動，摩擦力是零，由
豎直上拋運動的速度—位移關系公式可得 ,解得
,A錯誤；當 時，物體沿水平面做勻
減速直線運動，由動能定理可得 ,解得
,B正確；物體沿斜面向上運動時，由動能定理
可得 ,代入數據整理可得
,C正確；設動能與重力
勢能相等時，物體上滑的位移為 ，則有
,代入數據解得
,D錯誤.
角度2 正、余弦定理的應用
(1)正弦定理
在如圖所示的三角形中，各邊和所對應角的正弦之比相等，即
.
(2)余弦定理
在如圖所示的三角形中，有：
例4 [2024·湖北卷] 如圖所示，兩拖船、 拉著無
動力貨船 一起在靜水中沿圖中虛線方向勻速前進，
兩根水平纜繩與虛線的夾角均保持為 .假設水對
三艘船在水平方向的作用力大小均為 ，方向與船
的運動方向相反，則每艘拖船發動機提供的動力大
小為( )
A. B. C. D.
√
[解析] 對貨船受力分析如圖甲所示，其中 為繩的拉力，根據正交分解
法可得，對拖船受力分析如圖乙所示，其中 為發動機提
供的動力，有 ，根據牛頓第三定律
可知，聯立解得 ，故B正確.
例5 一振動片以頻率 做簡諧運動時，固定在振動片上
的兩根細桿同步周期性地觸動水面上、 兩點，兩波源
發出的波在水面上形成穩定的干涉圖樣. 是水面上的一
點，、、間的距離均為，如圖所示.已知除 點外，
A. B. C. D.
在、連線上還有其他振幅極大的點，其中距最近的點到的距離為 .
則該波的波長為( )
√
[解析] 設與點最近的振幅極大點為 ，則
，由余弦定理有
，根據干涉加
強點距離差的關系有 ，則有
，所以波長為 ，選項C正確.
方法3 均值不等式求極值
由均值不等式 可知：
(1)兩個正數的積為定值時，若兩數相等，和最小；
(2)兩個正數的和為定值時，若兩數相等，積最大.
例6 [2024·安徽卷] 如圖所示，一“ ”形金屬導軌固定在豎直平
面內，一電阻不計，質量為的金屬棒 垂直于導軌，并靜置
于絕緣固定支架上.邊長為的正方形 區域內，存在垂直于
紙面向外的勻強磁場.支架上方的導軌間存在豎直向下的勻強磁
場.兩磁場的磁感應強度大小隨時間 的變化關系均為
，為常數 .支架上方的導軌足夠長，兩邊導
軌單位長度的電阻均為，下方導軌的總電阻為 時，對
施加豎直向上的拉力，恰使其向上做加速度大小為 的勻加
速直線運動，整個運動過程中與兩邊導軌接觸良好.已知
與導軌間的動摩擦因數為 ，重力加速度大小為 . 不計空氣阻
力，兩磁場互不影響.
例6 [2024·安徽卷] 如圖所示，一“ ”形金屬導軌固定在豎直平面內，一電
阻不計，質量為的金屬棒 垂直于導軌，并靜置于絕緣固定支架上.邊
長為的正方形 區域內，存在垂直于紙面向外的勻強磁場.支架上方的
導軌間存在豎直向下的勻強磁場.兩磁場的磁感應強度大小隨時間 的變
化關系均為，為常數 .支架上方的導軌足夠長，兩邊導
軌單位長度的電阻均為，下方導軌的總電阻為時，對 施加豎直
向上的拉力，恰使其向上做加速度大小為 的勻加速直線運動，整個運動
過程中與兩邊導軌接觸良好.已知與導軌間的動摩擦因數為 ，重力
加速度大小為 .不計空氣阻力，兩磁場互不影響.
(1) 求通過面積的磁通量大小隨時間 變化的關系式，以及感應電動
勢的大小，并寫出 中電流的方向;
[答案] ; ; 從流向
[解析] 通過面積的磁通量大小隨時間 變化的關系式為
根據法拉第電磁感應定律得
由楞次定律可知中的電流方向為從流向 .
例6 [2024·安徽卷] 如圖所示，一“ ”形金屬導軌固定在豎直平面內，一電
阻不計，質量為的金屬棒 垂直于導軌，并靜置于絕緣固定支架上.邊
長為的正方形 區域內，存在垂直于紙面向外的勻強磁場.支架上方的
導軌間存在豎直向下的勻強磁場.兩磁場的磁感應強度大小隨時間 的變
化關系均為，為常數 .支架上方的導軌足夠長，兩邊導
軌單位長度的電阻均為，下方導軌的總電阻為時，對 施加豎直
向上的拉力，恰使其向上做加速度大小為 的勻加速直線運動，整個運動
過程中與兩邊導軌接觸良好.已知與導軌間的動摩擦因數為 ，重力
加速度大小為 .不計空氣阻力，兩磁場互不影響.
(2) 求所受安培力的大小隨時間 變化的關系式;
[答案]
[解析] 根據左手定則可知 受到的安培力方向垂直于導軌平
面向里，大小為
其中
設金屬棒向上運動的位移為，則根據運動學公式有
導軌接入回路的電阻為
由閉合電路歐姆定律得
聯立解得所受安培力的大小隨時間 變化的關系式為
例6 [2024·安徽卷] 如圖所示，一“ ”形金屬導軌固定在豎直平面內，一電
阻不計，質量為的金屬棒 垂直于導軌，并靜置于絕緣固定支架上.邊
長為的正方形 區域內，存在垂直于紙面向外的勻強磁場.支架上方的
導軌間存在豎直向下的勻強磁場.兩磁場的磁感應強度大小隨時間 的變
化關系均為，為常數 .支架上方的導軌足夠長，兩邊導
軌單位長度的電阻均為，下方導軌的總電阻為時，對 施加豎直
向上的拉力，恰使其向上做加速度大小為 的勻加速直線運動，整個運動
過程中與兩邊導軌接觸良好.已知與導軌間的動摩擦因數為 ，重力
加速度大小為 .不計空氣阻力，兩磁場互不影響.
(3) 經過多長時間，對 所施加的拉力達到最大值？并求此最大值.
[答案] ;
[解析] 由題知時，對 施加豎直向上的拉力，恰使其向
上做加速度大小為的勻加速直線運動，則對 受力分析，由
牛頓第二定律有
其中
聯立可得
整理有
根據均值不等式可知，當且僅當 時取
等號， 有
最大值，此時
的最大值為
方法4 二次函數求極值
(1)二次函數：
①當時，有極值(若二次項系數， 有極小值；若
， 有極大值).
②利用一元二次方程判別式求極值.
(2)用判別式 有解可求某量的極值.
例7 [2024·四川成都模擬] 如圖所示，一半徑為 的光滑絕緣半球面開口
向下，固定在水平面上.整個空間存在磁感應強度為 、方向豎直向下的勻
強磁場.一電荷量為、質量為的小球 在球面上做水平的勻速
圓周運動，圓心為.球心 到該圓周上任一點的連線與豎直方向的夾角為
.若重力加速度為 ，以下說法正確的是( )
A.從上面俯視，小球沿順時針方向運動
B.球面對小球的彈力大小為
C.小球的速率越大，則小球受到的洛倫茲力越大
D.磁感應強度的大小可能為
√
[解析] 小球受到的洛倫茲力方向水平指向圓心 ，
根據左手定則可知，從上面俯視小球沿逆時針方
向運動，故A錯誤；小球豎直方向受力平衡，則有
，可得球面對小球的彈力大小為
，故B錯誤；根據 可知
小球的速率越大，則小球受到的洛倫茲力越大，
故C正確；水平方向根據牛頓第二定律可得
，整
理可得，對于 的一元
二次方程，根據數學知
識可知，需要滿足 ，
可得 ，可知
磁感應強度的大小不可能為 ，故D錯誤.
方法5 數學歸納法、數列的應用
凡涉及數列求解的物理問題都具有過程多、重復性強的特點，但每一個重
復過程均不是與原來完全相同的重復，而是一種變化了的重復.隨著物理
過程的重復，某些物理量逐步發生著前后有聯系的變化.該類問題求解的
基本思路為：
(1)逐個分析開始的幾個物理過程；
(2)利用歸納法從中找出物理量變化的通項公式(這是解題的關鍵)；
(3)最后分析整個物理過程，應用數列特點和規律求解.
無窮數列的求和，一般是無窮遞減數列，有相應的公式可用.
等差數列：為公差 .
等比數列：為公比 .
例8 如圖所示，水平地面上放有木板
和滑塊 ，兩者靜止在同一直線上，木
板底面光滑， 與地面間的動摩擦因
數為 ，某時刻滑塊從左側以水平初速度滑上木板，已知滑塊 與木
板上表面間的動摩擦因數也為 ，滑塊、木板的質量均為 ，重力加
速度為 ，
開始時木板與滑塊相距 ，木
板足夠長，與之間的碰撞均為彈性碰撞，碰撞時間極短，與 發生碰
撞后反彈，之后木板每當運動到與滑塊 上次碰撞的位置時，恰好不再
相對 滑動，求：
例8 如圖所示，水平地面上放有木板和滑塊 ，兩者靜止在同一直線上，
木板底面光滑，與地面間的動摩擦因數為 ，某時刻滑塊 從左側以水
平初速度滑上木板，已知滑塊與木板上表面間的動摩擦因數也為 ，
滑塊、木板的質量均為，重力加速度為，開始時木板與滑塊 相距
，木板足夠長，與 之間的碰撞
均為彈性碰撞，碰撞時間極短，與發生碰撞后反彈，之后木板 每當
運動到與滑塊上次碰撞的位置時，恰好不再相對 滑動，求：
(1) 滑上后經多長時間與 發生第1次碰撞；
[答案]
[解析] 假設先與達到共同速度，再與
相碰.設滑上后經時間，木板與滑塊
達到共同速度，該過程和 組成的系統
動量守恒，有
解得
設此過程木板的位移為，對 由動能定
理得
解得 ，則假設正確.
此過程對木板 由動量定理有
解得
設再經時間，與 發生第1次碰撞，有
解得
則滑上后到與 發生第1次碰撞經過的
時間為
聯立解得 .
例8 如圖所示，水平地面上放有木板和滑塊 ，兩者靜止在同一直線上，
木板底面光滑，與地面間的動摩擦因數為 ，某時刻滑塊 從左側以水
平初速度滑上木板，已知滑塊與木板上表面間的動摩擦因數也為 ，
滑塊、木板的質量均為 ，重力加速
度為，開始時木板與滑塊相距 ，
木板足夠長，與之間的碰撞均為彈性碰撞，碰撞時間極短，與 發生
碰撞后反彈，之后木板每當運動到與滑塊 上次碰撞的位置時，恰好不
再相對 滑動，求：
(2) 滑塊 的質量；
[答案]
[解析] 設滑塊的質量為，木板與 發生
第1次碰撞后瞬間的速度為，木板 的速
度為，以水平向右為正方向，與 之間
發生彈性碰撞，對、 組成的系統，根據動
量守恒定律和機械能守恒定律，有
根據木板總是在與滑塊 上次碰撞的位置恰
好不再與滑塊相對滑動，可知從、 碰后
到、再次共速，的位移為0，設、 再
次共速的速度為，該過程時間為 ，由勻
變速直線運動規律有
則
與第1次碰后瞬間到與 相互作用達到共
速過程，、 組成的系統動量守恒，有
聯立解得， ，
.
例8 如圖所示，水平地面上放有木板和滑塊 ，兩者靜止在同一直線上，
木板底面光滑，與地面間的動摩擦因數為 ，某時刻滑塊 從左側以水
平初速度滑上木板，已知滑塊與木板上表面間的動摩擦因數也為 ，
滑塊、木板的質量均為，重力加速度為 ，
開始時木板與滑塊相距 ，木
板足夠長，與之間的碰撞均為彈性碰撞，碰撞時間極短，與 發生碰
撞后反彈，之后木板每當運動到與滑塊 上次碰撞的位置時，恰好不再
相對 滑動，求：
(3) 第2次碰撞前，滑塊相對木板 滑動的距離；
[答案]
[解析] 設第1次碰撞前相對 滑動的距
離為，對、 組成的系統由能量守
恒定律有
解得
設從第1次碰撞后到第2次碰撞前 相對
滑動的距離為 ，同理有
解得
則第2次碰撞前，滑塊相對木板 滑動
的距離 .
例8 如圖所示，水平地面上放有木板和滑塊 ，兩者靜止在同一直線上，
木板底面光滑，與地面間的動摩擦因數為 ，某時刻滑塊 從左側以水
平初速度滑上木板，已知滑塊與木板上表面間的動摩擦因數也為 ，
滑塊、木板的質量均為，重力加速度為，開始時木板與滑塊 相
距，木板足夠長，與 之間的碰
撞均為彈性碰撞，碰撞時間極短，與發生碰撞后反彈，之后木板 每
當運動到與滑塊上次碰撞的位置時，恰好不再相對 滑動，求：
(4) 經次碰撞，滑塊 能運動的總位移.
[答案]
[解析] 第1次碰撞后，、 做勻變速運動，
根據牛頓第二定律分別有
解得、的加速度大小，
根據運動學規律有
解得
設回到與第1次碰撞的位置時， 的速度
為
則有
解得，所以第2次碰前 已靜止，
由(3)知，此時的速度為
同理，第2次碰后瞬間，、 的速度分別
為，
第3次碰前已靜止， 的速度為
第3次碰后瞬間，、 的速度分別為
，
……
依次類推，第次碰后瞬間， 的速度為
設第1次碰后滑塊運動的位移為 ，該過
程，對滑塊 由動能定理，有
解得
同理，第2次碰后滑塊 運動的位移為
第次碰后滑塊 運動的位移為
則經次碰撞，滑塊 能運動的總位移
根據等比數列求和，可知 .
方法6 求導的妙用
(1)分析物理問題，應用物理規律，將已知量和未知量之間建立一定的函數式；
(2)求導數，代入數據求出物理量；
(3)求物理量最值時，先求導數，再建立導數為零的獨立方程，解方程得
出自變量或自變量的表達式，將自變量代入原來的函數式中求出目標量的
最大值或最小值.
例9 [2024·麗水中學模擬] 如圖所示，一個帶正電的絕緣圓環豎直放置，
圓環半徑為，帶電荷量為 ，電荷量均勻分布在圓環表面上，將一正試
探電荷 從圓環中心偏右側一點(圖中未畫出)的位置由靜止釋放，試探電
荷只在電場力的作用下沿著中心軸線向右側運動，則下列說法正確的是
( )
A.試探電荷將向右先加速后減速
B.試探電荷的加速度逐漸減小
C.當試探電荷距離圓環中心為 時，其加速度最大
D.將圓環所帶電荷量擴大兩倍，則加速度最大的位置
右移
√
[解析] 根據圓環電場分布的對稱性可知，圓環中心軸
線上的電場強度均背離圓環中心，沿著中軸線向外，
則可知試探電荷將始終受到向右的電場力，一直做加
速運動，故A錯誤；如圖所示，將圓環上所帶電荷進
行無限分割，設每一份的電荷量為，則其在 點的
場強 ，其水平分量
，微元累加并根據對稱性可知， 點的合
場強為 ，令
，則其導函數為
，此時 ，
可知當，即試探電荷距離圓環中心為 時，
場強最大，加速度最大，并且這個位置與電荷量無關，
故C正確，B、D錯誤.
例10 [2024·學軍中學模擬] 如圖所示，兩根平行金屬
導軌固定在水平桌面上，每根導軌每米的電阻為
，導軌的端點、 用電阻可以忽
[答案]
略的導線相連，兩導軌間的距離 .隨時間變化的勻強磁場垂直于
桌面，已知磁感應強度與時間的關系為，比例系數 .
一電阻不計的金屬桿可在導軌上無摩擦地滑動，在滑動過程中保持與導軌
垂直，在時刻，金屬桿緊靠在、 端，在外力作用下，桿以恒定的
加速度從靜止開始向導軌的另一端滑動，求 時金屬桿所受的安培
力大小.
[解析] 整個電路中的感應電動勢由兩部分組成，一部
分是金屬桿向左做切割磁感線的運動引起的，稱為動
生電動勢；另一部分是由于磁感應強度變化所引起的，
稱為感生電動勢.
設金屬桿的加速度為，在時刻 的磁通量
根據法拉第電磁感應定律，電路內產生的感應電動勢
為
整個電路的總電阻和總電流分別為
因此，金屬桿所受的安培力為
代入題中數據，得

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