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第3章　章末復(fù)習(xí)課
一、圓錐曲線的定義及標準方程
1．求圓錐曲線方程的常用方法
(1)直接法：動點滿足的幾何條件本身就是幾何量的等量關(guān)系，只需把這種關(guān)系“翻譯”成含x，y的等式就得到曲線的軌跡方程．
(2)定義法：動點滿足已知曲線的定義，可先設(shè)定方程，再確定其中的基本量．
(3)代入法：動點滿足的條件不便用等式列出，但動點是隨著另一動點(稱之為相關(guān)點)而運動的．如果相關(guān)點所滿足的條件是明顯的，或是可分析的，這時我們可以用動點坐標表示相關(guān)點坐標，根據(jù)相關(guān)點所滿足的方程即可求得動點的軌跡方程．
(4)待定系數(shù)法：根據(jù)條件能確定曲線的類型，可設(shè)出方程形式，再根據(jù)條件確定待定的系數(shù)．
2．求圓錐曲線方程體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運算和直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．
例1　(1)已知動點M的坐標滿足方程5＝|3x＋4y－12|，則動點M的軌跡是(　　)
A．橢圓 B．雙曲線
C．拋物線 D．以上都不對
(2)雙曲線16x2－9y2＝144的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線上，且PF1·PF2＝64，則∠F1PF2＝________.
反思感悟　(1)應(yīng)用定義解題時注意圓錐曲線定義中的限制條件．
(2)涉及橢圓、雙曲線上的點與兩個定點構(gòu)成的三角形問題時，常用定義結(jié)合解三角形的知識來解決．
(3)在求有關(guān)拋物線的最值問題時，常利用定義把到焦點的距離和到準線的距離進行相互轉(zhuǎn)化，結(jié)合幾何圖形，利用幾何意義去解決．
跟蹤訓(xùn)練1　(1)已知拋物線y2＝4x，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，拋物線的準線過雙曲線的左焦點F1，與雙曲線的漸近線在第二象限交于點A，若∠F1F2A＝，則雙曲線的標準方程為(　　)
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C．x2－＝1 D.－y2＝1
(2)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點．設(shè)A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1＋d2＝6，則雙曲線的方程為(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
二、圓錐曲線的幾何性質(zhì)
1．本類問題主要有兩種考查類型：
(1)已知圓錐曲線的方程研究其幾何性質(zhì)，其中與離心率、雙曲線的漸近線相關(guān)的問題為考查重點．
(2)已知圓錐曲線的性質(zhì)求其方程，基本方法是待定系數(shù)法，其步驟可以概括為“先定位、后定量”．
2．圓錐曲線的性質(zhì)的討論和應(yīng)用充分體現(xiàn)了直觀想象和邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．
例2　(1)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P＝120°，則C的離心率為(　　)
A. B. C. D.
(2)已知雙曲線的中心是坐標原點，它的一個頂點為A(，0)，兩條漸近線與以A為圓心，1為半徑的圓都相切，則該雙曲線的漸近線方程是________，該雙曲線的標準方程是________．
反思感悟　求解離心率的三種方法
(1)定義法：由橢圓(雙曲線)的標準方程可知，不論橢圓(雙曲線)的焦點在x軸上還是在y軸上都有關(guān)系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意兩個參數(shù)，可以求其他的參數(shù)，這是基本且常用的方法．
(2)方程法：建立參數(shù)a與c之間的齊次關(guān)系式，從而求出其離心率，這是求離心率的十分重要的思路及方法．
(3)幾何法：求與過焦點的三角形有關(guān)的離心率問題，根據(jù)平面幾何性質(zhì)以及橢圓(雙曲線)的定義、幾何性質(zhì)，建立參數(shù)之間的關(guān)系，通過畫出圖形，觀察線段之間的關(guān)系，使問題更形象、直觀．
跟蹤訓(xùn)練2　(1)已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的半焦距是c，A，B分別是長軸、短軸的一個端點，O為原點，若△ABO的面積是c2，則此橢圓的離心率是(　　)
A. B. C. D.
(2)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的焦距為2c，右頂點為A，拋物線x2＝2py(p>0)的焦點為F.若雙曲線截拋物線的準線所得線段長為2c，且FA＝c，則雙曲線的漸近線方程為__________．
三、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
1．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，可以通過討論直線方程與曲線方程組成的方程組的實數(shù)解的個數(shù)來確定，通常消去方程組中的變量y(或x)得到關(guān)于變量x(或y)的一元二次方程，通過研究該一元二次方程的判別式與0的關(guān)系來確定直線和圓錐曲線公共點的情況，當然，還要注意二次項系數(shù)有沒有為0的情況．
2．設(shè)直線與圓錐曲線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，直線的斜率存在且為k，則弦長公式：AB＝|x1－x2|＝，
當k存在且不為零時， 弦長公式還可以寫成
AB＝|y1－y2|＝.
3．借用直線與圓錐曲線問題培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．
例3　已知圓M：x2＋y2＋2x－2y＋1＝0經(jīng)過橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左焦點和上頂點．
(1)求橢圓C的方程；
(2)直線l：y＝x＋m與橢圓C交于A，B兩點，若AB＝，求m的值．
反思感悟　將直線的方程與圓錐曲線方程聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的方程．
(1)若方程為一元二次方程，其判別式為Δ.
①Δ＞0 直線和圓錐曲線相交 直線和圓錐曲線有兩個交點(或兩個公共點)；
②Δ＝0 直線和圓錐曲線相切 直線和圓錐曲線有一個切點(或一個公共點)；
③Δ＜0 直線和圓錐曲線相離 直線和圓錐曲線無公共點．
(2)若方程為一元一次方程(與雙曲線或拋物線方程聯(lián)立時可能出現(xiàn))，則直線和圓錐曲線(雙曲線或拋物線)有一個交點，但不相切．
跟蹤訓(xùn)練3　已知橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)，其焦點為F1，F(xiàn)2，離心率為，直線l：x＋2y－2＝0與x軸，y軸分別交于點A，B.
(1)若點A是橢圓E的一個頂點，求橢圓的方程；
(2)若線段AB上存在點P滿足PF1＋PF2＝2a，求a的取值范圍．
四、圓錐曲線的綜合問題
1．圓錐曲線的綜合問題包括位置關(guān)系證明及定點、定值、最值、探索性問題，解決的基本思路是利用代數(shù)法，通過直線與圓錐曲線的方程求解．
2．圓錐曲線的綜合問題的解決培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．
例4　已知過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，線段AB的中點E的橫坐標為，AB＝5.
(1)求拋物線C的方程；
(2)已知點D(1,2)，過點(4,0)作直線l交拋物線于M，N兩點，求·的最大值，并求·取得最大值時直線l的方程．
反思感悟　(1)解決最值問題常見的題型，可用建立目標函數(shù)的方法求解．
(2)圓錐曲線的綜合問題可以從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，利用直線系或曲線系方程或函數(shù)方程思想，通過聯(lián)想與類比，使問題獲解．
跟蹤訓(xùn)練4　已知拋物線C：y2＝2px(p>0)上的點M與焦點F的距離為，且點M的縱坐標為2.
(1)求拋物線C的方程和點M的坐標；
(2)若直線l與拋物線C相交于A，B兩點，且MA⊥MB，證明直線l過定點．
五、圓錐曲線的實際應(yīng)用
1．用圓錐曲線知識解決實際問題，要注意認真分析數(shù)量間的關(guān)系，緊扣圓錐曲線概念，充分利用曲線的幾何性質(zhì)，這樣才能順利獲得相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．
2．通過對圓錐曲線的實際應(yīng)用問題的探究，可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)．
例5　外形是雙曲面的冷卻塔具有眾多優(yōu)點，如自然通風(fēng)和散熱效果好，結(jié)構(gòu)強度和抗變形能力強等，其設(shè)計原理涉及物理學(xué)、建筑學(xué)等學(xué)科知識．如圖1是中國華電集團的某個火力發(fā)電廠的一座冷卻塔，它的外形可以看成是由一條雙曲線的一部分繞著它的虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)而成，其軸截面如圖2所示，已知下口圓面的直徑為80米，上口圓面的直徑為40米，高為90米，下口到最小直徑圓面的距離為80米．求最小直徑圓面的面積．
反思感悟　應(yīng)先建立平面直角坐標系，根據(jù)條件抽象出對應(yīng)的圓錐曲線，即可得結(jié)果．此類問題若與最值有關(guān)，有兩種方法解決：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決；二是將圓錐曲線中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題或用不等式法求解．
跟蹤訓(xùn)練5　如圖所示，“嫦娥一號”探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點P變軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，最終衛(wèi)星在P點第三次變軌進入以F為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月飛行．已知橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的中心與F在同一直線上，設(shè)橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長半軸長分別為a1，a2，半焦距分別為c1，c2，則有(　　)
A.＝ B．a(chǎn)1－c1C.> D．a(chǎn)1－c1>a2－c2
章末復(fù)習(xí)課
例1　(1)C　[把軌跡方程5＝|3x＋4y－12|寫成＝.
∴動點M到原點的距離與它到直線3x＋4y－12＝0的距離相等，
∴點M的軌跡是以原點為焦點，以直線3x＋4y－12＝0為準線的拋物線．]
(2)60°
解析　雙曲線方程16x2－9y2＝144，
化簡為－＝1，
即a2＝9，b2＝16，所以c2＝25，
解得a＝3，c＝5，
所以F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)．
設(shè)PF1＝m，PF2＝n，
由雙曲線的定義知|m－n|＝2a＝6，
又已知mn＝64，
在△PF1F2中，由余弦定理知
cos∠F1PF2＝
＝
＝
＝＝.
所以∠F1PF2＝60°.
跟蹤訓(xùn)練1　(1)C　[由題意可得拋物線的準線為x＝－，
又拋物線的準線過雙曲線的左焦點F1，
∴c＝，聯(lián)立
可得yA＝，
又∠F1F2A＝，
∴yA＝F1F2，
∴＝2c，
∴b＝2a，∴b2＝4a2，
又c2＝a2＋b2，
∴5＝a2＋4a2，
∴a2＝1，b2＝4，
∴雙曲線的標準方程為x2－＝1.]
(2)C　[方法一　因為雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，所以解得
所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x.依題意，不妨設(shè)A，B到直線y＝x的距離分別為d1，d2，因為d1＋d2＝6，所以＋＝6，所以＋＝6，解得a＝，所以b＝3，所以雙曲線的方程為－＝1.
方法二　因為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為2，所以解得
如圖所示，
由d1＋d2＝6，即AD＋BE＝6，可得CF＝3，故b＝3，所以a＝，所以雙曲線的方程為－＝1.]
例2　(1)D　[由題意知直線AP的方程為y＝(x＋a)，①
直線PF2的方程為y＝(x－c)．②
聯(lián)立①②，得P點縱坐標y＝(a＋c)，
如圖，過P向x軸引垂線，垂足為H，
則PH＝(a＋c)．
因為∠PF2H＝60°，PF2＝F1F2＝2c，
所以sin 60°＝＝＝，
即a＋c＝5c，即a＝4c，
所以e＝＝.]
(2)y＝±x?。?
解析　由雙曲線的一個頂點為A(，0)，
可知焦點在x軸上，則a＝，
故設(shè)雙曲線的標準方程為－＝1(b>0)，
則漸近線方程為bx±y＝0，
又＝1，解得b2＝2，
所以漸近線方程為y＝±x，
雙曲線的標準方程為－＝1.
跟蹤訓(xùn)練2　(1)A　[由ab＝c2，即a2(a2－c2)＝12c4，
所以(a2＋3c2)(a2－4c2)＝0，所以a2＝4c2，a＝2c，
故e＝＝.]
(2)x±y＝0
解析　在雙曲線中易得c2＝a2＋b2，①
由雙曲線截拋物線的準線所得線段長為2c知，
雙曲線過點，
即－＝1.②
由FA＝c，得c2＝a2＋，③
由①③得p2＝4b2.④
將④代入②，得＝2.
∴＝2，即＝1，
故雙曲線的漸近線方程為y＝±x，即x±y＝0.
例3　解　(1)對于圓M：x2＋y2＋2x－2y＋1＝0，
令x＝0得y2－2y＋1＝0，解得y＝1，即與y軸的交點為(0,1)，
令y＝0得x2＋2x＋1＝0，解得x＝－1，即與x軸的交點為(－1,0)．
因為圓M經(jīng)過橢圓C的左焦點和上頂點，橢圓C的焦點在x軸上，
所以(－1,0)為橢圓的左焦點，(0,1)為橢圓的上頂點，
所以c＝1，b＝1，a2＝b2＋c2＝2，
所以橢圓C的方程為＋y2＝1.
(2)因為直線l：y＝x＋m與橢圓C交于A，B兩點，
所以聯(lián)立方程
得3x2＋4mx＋2m2－2＝0，
所以Δ＝16m2－12(2m2－2)＝－8m2＋24>0，
解得－設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以AB＝＝＝·＝·，
整理得m2＝1，解得m＝±1，滿足－所以m＝±1.
跟蹤訓(xùn)練3　解　(1)由橢圓的離心率為，得a＝c，
由A(2,0)，得a＝2，
∴c＝，b＝，
∴橢圓的方程為＋＝1.
(2)由e＝，設(shè)橢圓的方程為＋＝1，
聯(lián)立得6y2－8y＋4－a2＝0，
若線段AB上存在點P滿足PF1＋PF2＝2a，則線段AB與橢圓E有公共點，等價于方程6y2－8y＋4－a2＝0在y∈[0,1]上有解．
設(shè)f(y)＝6y2－8y＋4－a2，
∴即
∴≤a2≤4，
故a的取值范圍是.
例4　解　(1)設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由于線段AB的中點E的橫坐標為，
則＝，
由拋物線的焦點弦公式得AB＝x1＋x2＋p＝3＋p＝5，解得p＝2，
因此拋物線C的方程為y2＝4x.
(2)設(shè)點M(x3，y3)，N(x4，y4)，
設(shè)直線l的方程為x＝my＋4，
聯(lián)立
消去x并整理得y2－4my－16＝0.
由根與系數(shù)的關(guān)系得y3＋y4＝4m，y3y4＝－16.
＝(x3－1，y3－2)＝(my3＋3，y3－2)，
同理可得＝(my4＋3，y4－2)，
·＝(my3＋3)(my4＋3)＋(y3－2)(y4－2)＝(m2＋1)y3y4＋(3m－2)(y3＋y4)＋13＝－16(m2＋1)＋4m(3m－2)＋13＝－4m2－8m－3＝－4(m＋1)2＋1.
當m＝－1時，·取得最大值1，此時，直線l的方程為x＋y－4＝0.
跟蹤訓(xùn)練4　(1)解　設(shè)M(x0,2)，則
解得∴拋物線C：y2＝2x，M(2,2)．
(2)證明　由題意知，直線l的斜率不為零，
可設(shè)l：x＝my＋n，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得y2－2my－2n＝0，
∴Δ＝4m2＋8n>0，即m2＋2n>0，
∴y1＋y2＝2m，y1y2＝－2n.
kMA＝＝＝，
同理kMB＝，又MA⊥MB，
∴kMA·kMB＝
＝＝＝－1，
則n＝2m＋4(此時m2＋2n＝m2＋4m＋8＝(m＋2)2＋4>0成立)，
∴直線l：x＝my＋2m＋4＝m(y＋2)＋4，
當y＝－2時，x＝4，∴直線l恒過定點(4，－2)．
例5　解　如圖，由題意設(shè)－＝1，則A(40，－80)，B(20,10)在雙曲線上，
∴
解得
又最小直徑的圓面是以雙曲線的實軸為直徑的圓面，
∴此時圓面的面積為πa2＝π.
跟蹤訓(xùn)練5　C　[設(shè)圓形軌道 Ⅲ 的半徑為R，
a1－c1＝a2－c2＝R，＝＝1－，
＝＝1－，
由a1>a2知>.]

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