資源簡介

習(xí)題課　倒序相加法、裂項相消法求和
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1.熟練掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項和公式.2.根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)形式會用倒序相加法和裂項相消法求和．
一、倒序相加法求和
例1　已知函數(shù)f(x)＝.
(1)求證：對任意實數(shù)x都有f(x)＋f(1－x)＝1；
(2)an＝f ，其中m∈N*，n＝1,2，…，m.求數(shù)列{an}的前m項的和．
反思感悟　倒序相加法求和適合的題型
一般情況下，數(shù)列項數(shù)有限但比較多，且與首末等距離的兩項之和均相等，這時，我們可以利用推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和公式的方法，利用倒序相加法求和．當(dāng)然，首末兩項的和需要結(jié)合題意主動發(fā)現(xiàn)．
跟蹤訓(xùn)練1　請利用教材上推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和公式的方法，計算sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝________.
二、裂項相消法求和
問題　已知數(shù)列an＝，如何求{an}的前n項和Sn.
知識梳理
常見的裂項形式：
(1)＝；
(2)＝；
(3)＝－；
(4)＝；
(5)＝－；
(6)ln＝ln(n＋1)－ln n.
例2　已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足S2＝2，S4＝16，{an＋1}是等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若an>0，設(shè)bn＝log2(3an＋3)，求數(shù)列的前n項和．
反思感悟　關(guān)于裂項相消法
(1)操作步驟：把數(shù)列的通項公式分解成兩個形式相同的表達式的差的形式(有時在差的前面有系數(shù))，求和時有些部分可以相互抵消，從而達到求和的目的．
(2)步驟書寫：為發(fā)現(xiàn)裂項后消去的項有哪些，有兩種方式：一是前邊裂幾項，后邊就裂幾項，直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止；也可以把正項和負項分別結(jié)合，從而確定消完后剩余的項．
(3)消項規(guī)律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項．
跟蹤訓(xùn)練2　設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知S3＝a7，a8－2a3＝3.
(1)求an；
(2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
1．知識清單：
(1)倒序相加法求和．
(2)裂項相消法求和．
2．方法歸納：倒序相加法、裂項求和法．
3．常見誤區(qū)：裂項求和中要關(guān)注正項與負項的個數(shù)是否相同及相消后前后剩余的項數(shù)．
1．已知an＝，則a1＋a2＋a3＋…＋a80等于(　　)
A．7 B．8 C．9 D．10
2．?dāng)?shù)列，，，…，，…的前n項和為(　　)
A. B. C. D.
3．設(shè)函數(shù)f＝，則f＋f＋…＋f＋…＋f＋f的值為(　　)
A．9 B．11 C. D.
設(shè)函數(shù)f(x)＝＋lg，則f ＋f ＋…＋f ＝________.
習(xí)題課　倒序相加法、裂項相消法求和
例1　(1)證明　f(1－x)＝＝＝，
∴f(x)＋f(1－x)＝＋＝＝1.
(2)解　設(shè){an}的前m項和為Sm，則
Sm＝a1＋a2＋…＋am
＝f ＋f ＋…＋f ＋f(1)，①
又Sm＝am＋am－1＋…＋a1
＝f(1)＋f ＋…＋f ＋f ，②
①②相加，得2Sm＝f(1)＋＋＋…＋
＋f(1)＝m－1＋2f(1)＝m－1＋2×＝m＋，
∴Sm＝＋，
∴數(shù)列{an}的前m項和為＋.
跟蹤訓(xùn)練1　
解析　令S＝sin21°＋sin22°＋…＋sin289°，
則S＝sin289°＋sin288°＋…＋sin21°，
兩式相加可得
2S＝＋＋…＋＝89，
故S＝，即sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝.
問題　an＝＝－，
Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝＋＋…＋
＝1－＝.
例2　解　(1)設(shè)等比數(shù)列{an＋1}的公比為q，其前n項和為Tn，
因為S2＝2，S4＝16，所以T2＝4，T4＝20，
易知q≠1，所以T2＝＝4，①
T4＝＝20，②
由得1＋q2＝5，解得q＝±2.
當(dāng)q＝2時，a1＝，所以an＋1＝×2n－1＝；
當(dāng)q＝－2時，a1＝－5，
所以an＋1＝(－4)×(－2)n－1＝－(－2)n＋1.
所以an＝－1或an＝－(－2)n＋1－1.
(2)因為an>0，所以an＝－1，
所以bn＝log2(3an＋3)＝n＋1，
所以＝＝－，
所以數(shù)列的前n項和為
＋＋…＋
＝－＝.
跟蹤訓(xùn)練2　解　(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，
由題意得
解得a1＝3，d＝2，∴an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1.
(2)由(1)得Sn＝na1＋d＝n(n＋2)，
∴bn＝＝.
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn
＝
＝＝－.
隨堂演練
1．B　[因為an＝＝－，所以a1＋a2＋a3＋…＋a80＝－1＋－＋…＋－＝9－1＝8.]
2．B　[因為＝，
所以Sn＝×
＝＝.]
3．B　[∵f＝，∴f＋f＝＋＝＋＝＋＝＝2，
設(shè)S＝f＋f＋…＋f＋…＋f＋f，則S＝f＋f＋…＋f＋…＋f＋f，兩式相加得2S＝11×2＝22，因此，S＝11.]
4.
解析　若x1，x2∈(0,1)，且x1＋x2＝1，則
f(x1)＋f(x2)＝1＋lg
＝1＋lg ＝1＋lg 1＝1，
故f ＋f ＋…＋f ＝4＋f ＝4＋＝.

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