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高二期末復習1(直線方程)
【復習要求】
1．理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式．
2．根據確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點斜式、斜截式、兩點式、截距式及一般式)．
【內容梳理】
1．直線的方向向量：
2．直線的傾斜角：
3．直線的斜率：
4．直線方程的五種形式：
【強化訓練】
1．直線l的傾斜角是直線x－y－1＝0的傾斜角的2倍，且過點(，－1)，則直線l的方程為(　　)
A．x－y－4＝0 B．2x－y－7＝0 C．x＋y－2＝0 D．x＋y－4＝0
2．已知直線l的方程為xsin α＋y－1＝0，α∈R，則直線l傾斜角的范圍是(　　)
A．∪ B．∪ C． D．
3．過點P(1,4)在兩坐標軸上的截距的絕對值相等的直線有(　　)
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
4．在△ABC中，若A(2,3)，B(－2,0)，C(2,0)，則∠BAC的角平分線所在直線l的方程是(　 )
A．2x－y＋1＝0 B．2x－y－1＝0 C．2x－3y－2＝0 D．3x－y－1＝0
5．若直線l：(a－2)x＋ay＋2a－3＝0經過第四象限，則a的取值范圍為(　　)
A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．(－∞，0)∪[2，＋∞)
C．(－∞，0)∪ D．(－∞，0)∪
6．(2023·南通聯考)已知直線a1x＋b1y＋1＝0和直線a2x＋b2y＋1＝0都過點A(4,3)，則過點P1(a1，b1)和點P2(a2，b2)的直線方程為(　　)
A．4x－3y＋1＝0 B．3x－4y－1＝0 C．4x＋3y＋1＝0 D．3x＋4y－1＝0
7．(多選題)已知直線l的方程為ax＋by－2＝0，則下列判斷正確的是(　　)
A．若ab>0，則直線l的斜率小于0 B．若b＝0，a≠0，則直線l的傾斜角為90°
C．直線l可能經過坐標原點 D．若a＝0，b≠0，則直線l的傾斜角為0°
8．(多選題)(2023·鹽城模擬)下列說法正確的是(　　)
A．直線的傾斜角越大，其斜率就越大
B．傾斜角相等的兩直線的斜率一定相等
C．經過任意兩個不同的點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示
D．若直線l沿x軸向左平移3個單位長度，再沿y軸向上平移2個單位長度后，回到原來的位置，則該直線l的斜率為－
9．過點M(－3,5)且在兩坐標軸上的截距互為相反數的直線方程為________．
10．在平面直角坐標系中，等邊三角形ABC的邊AB所在直線斜率為2，則邊AC所在直線斜率的一個可能值為________________．
11．如圖，8個半徑為1的圓擺在坐標平面的第一象限(每個圓與相鄰的圓或坐標軸外切)，設L為八個圓形區域的并集，斜率為3的直線l將L劃分為面積相等的兩個區域，則直線l的方程為________．
12．設m∈R，過定點A的動直線x＋my＋1＝0和過定點B的動直線mx－y－2m＋3＝0交于點P(x，y)，則PA＋PB的最大值為________．
13．根據所給條件求直線方程．
(1)直線過點A(1,2)，傾斜角α的正弦值為；
(2)直線過點A(1,3)，且在兩坐標軸上的截距之和為8；
(3)直線過點A(2,4)，B(－2,8)．
14．已知直線l：x－ky＋2＋k＝0(k∈R)．
(1)若直線l不經過第一象限，求k的取值范圍；
(2)若直線l交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，△AOB的面積為S(O為坐標原點)，求S的最小值和此時直線l的方程．
高二期末復習1(直線方程)
【復習要求】
1．理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式．
2．根據確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點斜式、斜截式、兩點式、截距式及一般式)．
【內容梳理】
1．直線的方向向量：設A，B為直線上的兩點，則就是這條直線的方向向量．
2．直線的傾斜角
(1)定義：在平面直角坐標系中，對于一條與x軸相交的直線，把x軸繞著交點按逆時針方向旋轉到與直線重合時，所轉過的最小正角α也能刻畫直線的傾斜程度，我們把這個角α稱為這條直線的傾斜角．
(2)范圍：直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°．
3．直線的斜率
(1)定義：把一條直線的傾斜角α的正切值叫作這條直線的斜率．斜率常用小寫字母k表示，即k＝tan α．(α≠90°)
(2)過兩點的直線的斜率公式：如果直線經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝．
4．直線方程的五種形式
名稱 方程 適用范圍
點斜式 y－y1＝k(x－x1) 不含直線x＝x1
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x軸的直線
兩點式 ＝(x1≠x2，y1≠y2) 不含直線x＝x1和直線y＝y1
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐標軸和過原點的直線
一般式 Ax＋By＋C＝0(A，B不全為0) 平面直角坐標系內的直線都適用
【二級結論】
1．直線的斜率k與傾斜角α之間的關系
α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
k 0 k>0 不存在 k<0
牢記口訣：“斜率變化分兩段，90°是分界線；
遇到斜率要謹記，存在與否要討論”．
2．“截距”是直線與坐標軸交點的坐標值，它可正，可負，也可以是零，而“距離”是一個非負數．應注意過原點的特殊情況是否滿足題意．
3．斜率為k的直線的一個方向向量為(1，k)．
【強化訓練】
1．直線l的傾斜角是直線x－y－1＝0的傾斜角的2倍，且過點(，－1)，則直線l的方程為(　　)
A．x－y－4＝0 B．2x－y－7＝0 C．x＋y－2＝0 D．x＋y－4＝0
答案　C 解析　直線x－y－1＝0可化為y＝x－1，其斜率為，
∴其傾斜角為60°，∴直線l的傾斜角為120°，∴kl＝tan 120°＝－，
∴直線l的方程為y＋1＝－(x－)，即x＋y－2＝0．
2．(2023·綿陽模擬)已知直線l的方程為xsin α＋y－1＝0，α∈R，則直線l傾斜角的范圍是(　　)
A．∪ B．∪ C． D．
答案　B 解析　xsin α＋y－1＝0，則k＝－sin α∈，
設直線l的傾斜角為θ(0≤θ<π)，故k＝tan θ∈，
所以當k∈時，直線l的傾斜角θ∈；
當k∈時，直線l的傾斜角θ∈，
綜上所述，直線l的傾斜角θ∈∪．
3．過點P(1,4)在兩坐標軸上的截距的絕對值相等的直線有(　　)
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
答案　C 解析　當截距為0時，設直線方程為y＝kx，
將P(1,4)代入y＝kx，求得k＝4，故方程為y＝4x；
當截距不為0時，①若截距相等，設方程為＋＝1，
將P(1,4)代入，即＋＝1，解得a＝5，故方程為x＋y＝5．
②若截距互為相反數，設直線方程為－＝1，
將P(1,4)代入，即－＝1，解得a＝－3，故方程為x－y＋3＝0．
一條是截距為0，一條是截距相等(不為0)，一條是截距互為相反數(不為0)，共3條．
4．在△ABC中，若A(2,3)，B(－2,0)，C(2,0)，則∠BAC的角平分線所在直線l的方程是(　　)
A．2x－y＋1＝0 B．2x－y－1＝0 C．2x－3y－2＝0 D．3x－y－1＝0
答案　B 解析　如圖所示，設∠BAC的角平分線所在直線l與橫軸的交點為D(a，0)，
由角平分線的性質可知＝ ＝ a＝，
所以∠BAC的角平分線所在直線l的方程是＝ 2x－y－1＝0．
5．(2023·貴州聯考)若直線l：(a－2)x＋ay＋2a－3＝0經過第四象限，則a的取值范圍為(　　)
A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．(－∞，0)∪[2，＋∞)
C．(－∞，0)∪ D．(－∞，0)∪
答案　C 解析　若a＝0，則l的方程為x＝－，不經過第四象限；
若a≠0，將l的方程轉化為y＝－x－，
因為l經過第四象限，所以－<0或解得a<0或a>．
綜上，a的取值范圍為(－∞，0)∪．
6．(2023·南通聯考)已知直線a1x＋b1y＋1＝0和直線a2x＋b2y＋1＝0都過點A(4,3)，則過點P1(a1，b1)和點P2(a2，b2)的直線方程為(　　)
A．4x－3y＋1＝0 B．3x－4y－1＝0 C．4x＋3y＋1＝0 D．3x＋4y－1＝0
答案　C 解析　因為直線a1x＋b1y＋1＝0和直線a2x＋b2y＋1＝0都過點A(4,3)，
所以4a1＋3b1＋1＝0,4a2＋3b2＋1＝0．由上式可得點P1(a1，b1)和點P2(a2，b2)都在直線4x＋3y＋1＝0上，即過點P1(a1，b1)和點P2(a2，b2)的直線方程為4x＋3y＋1＝0．
7．(多選題)已知直線l的方程為ax＋by－2＝0，則下列判斷正確的是(　　)
A．若ab>0，則直線l的斜率小于0 B．若b＝0，a≠0，則直線l的傾斜角為90°
C．直線l可能經過坐標原點 D．若a＝0，b≠0，則直線l的傾斜角為0°
答案　ABD 解析　若ab>0，則直線l的斜率－<0，故A正確；
若b＝0，a≠0，則直線l的方程為x＝，其傾斜角為90°，故B正確；
將(0,0)代入ax＋by－2＝0中，顯然不成立，故C錯誤；
若a＝0，b≠0，則直線l的方程為y＝，其傾斜角為0°，故D正確．
8．(多選題)(2023·鹽城模擬)下列說法正確的是(　　)
A．直線的傾斜角越大，其斜率就越大
B．傾斜角相等的兩直線的斜率一定相等
C．經過任意兩個不同的點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示
D．若直線l沿x軸向左平移3個單位長度，再沿y軸向上平移2個單位長度后，回到原來的位置，則該直線l的斜率為－
答案　CD 解析　對于A，如傾斜角為的直線的斜率為－，而傾斜角為的直線的斜率為，故A錯誤；
對于B，當兩直線的傾斜角為時，直線的斜率不存在，故B錯誤；
對于C，當x1＝x2時，經過P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線方程為x＝x1，
此時適合(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)；
當y1＝y2時，經過P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線方程為y＝y1，
此時適合(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)；
當x1≠x2，y1≠y2時，經過P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線方程為＝，
也即(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)，
故經過任意兩個不同的點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線方程
可以表示為(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)，故C正確；
對于D，設直線l為y＝kx＋b，由題意得y＝k(x＋3)＋b＋2＝kx＋3k＋b＋2，
則3k＋b＋2＝b，即k＝－，故D正確．
9．過點M(－3,5)且在兩坐標軸上的截距互為相反數的直線方程為________．
答案　y＝－x或x－y＋8＝0 解析　過點M(－3,5)且在兩坐標軸上的截距互為相反數，當截距為0時，所求直線斜率為－，方程為y＝－x，即5x＋3y＝0；
當截距不為0時，設所求直線方程為x－y＝a，代入M的坐標，可得a＝－3－5＝－8，
即直線方程為x－y＋8＝0．
綜上可得所求直線方程為y＝－x或x－y＋8＝0．
10．(2024·廣州模擬)在平面直角坐標系中，等邊三角形ABC的邊AB所在直線斜率為2，則邊AC所在直線斜率的一個可能值為________________．
答案　－ 解析　設直線AB的傾斜角為α，由已知得kAB＝tan α＝2，
設直線AC的傾斜角為θ，則kAC＝tan θ，
因為在等邊三角形ABC中，∠BAC＝60°，所以θ＝α±60°，
當θ＝α＋60°時，tan θ＝tan(α＋60°)＝＝＝－，
所以kAC＝－；
當θ＝α－60°時，tan θ＝tan(α－60°)＝＝＝，所以kAC＝，
綜上，kAC＝－或kAC＝．
11．如圖，8個半徑為1的圓擺在坐標平面的第一象限(每個圓與相鄰的圓或坐標軸外切)，設L為八個圓形區域的并集，斜率為3的直線l將L劃分為面積相等的兩個區域，則直線l的方程為________．
答案　3x－y－5＝0(答案不唯一) 解析　當過A(2,1)的直線將圓1與圓2平分，過B(3,4)的直線將圓3與圓4平分時，L劃分為面積相等的兩個區域且kAB＝＝3，
∴直線AB的方程為y－1＝3(x－2)，
即直線l：3x－y－5＝0(答案不唯一)．
12．設m∈R，過定點A的動直線x＋my＋1＝0和過定點B的動直線mx－y－2m＋3＝0交于點P(x，y)，則PA＋PB的最大值為________．
答案　6 解析　由題意知，動直線x＋my＋1＝0過定點A(－1,0)，
動直線mx－y－2m＋3＝0可化為(x－2)m＋3－y＝0，令可得B(2,3)，
又1×m＋m×(－1)＝0，所以兩動直線互相垂直，且交點為P，
所以PA2＋PB2＝AB2＝(－1－2)2＋(0－3)2＝18，因為≥2，
所以PA＋PB≤＝＝6，當且僅當PA＝PB＝3時取等號，
即PA＋PB的最大值為6．
13．根據所給條件求直線方程．
(1)直線過點A(1,2)，傾斜角α的正弦值為；
(2)直線過點A(1,3)，且在兩坐標軸上的截距之和為8；
(3)直線過點A(2,4)，B(－2,8)．
解　(1)因為sin α＝，所以k＝tan α＝±，
則所求直線方程為y－2＝±(x－1)，即3x－4y＋5＝0或3x＋4y－11＝0．
(2)依題意得，直線的橫截距、縱截距均不為0，可設直線方程為＋＝1，
代入點A(1,3)，可得＋＝1，解得m＝2或m＝4，
所以所求直線方程為＋＝1或＋＝1，
即所求直線方程為3x＋y－6＝0或x＋y－4＝0．
(3)直線斜率k＝＝－1，則所求直線方程為y－4＝－(x－2)，即x＋y－6＝0．
14．已知直線l：x－ky＋2＋k＝0(k∈R)．
(1)若直線l不經過第一象限，求k的取值范圍；
(2)若直線l交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，△AOB的面積為S(O為坐標原點)，求S的最小值和此時直線l的方程．
解　(1)當k＝0時，方程x－ky＋2＋k＝0可化為x＝－2，不經過第一象限；
當k≠0時，方程x－ky＋2＋k＝0可化為y＝x＋＋1，
要使直線不經過第一象限，則解得－2≤k<0．
綜上，k的取值范圍為[－2,0]．
(2)由題意可得k>0，由x－ky＋2＋k＝0，令y＝0，得x＝－2－k，
令x＝0得y＝，所以S＝OA·OB＝··(2＋k)＝≥＝4，
當且僅當k＝，即k＝2時取等號，此時Smin＝4，直線l的方程為x－2y＋4＝0．

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