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高二期末復習2(兩條直線的位置關系)
【復習要求】
1．能根據斜率判定兩條直線平行或垂直；
2．能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標；
3．掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離．
【內容梳理】
1．兩條直線的位置關系：
2．三種距離公式：
【強化訓練】
1．兩平行直線x－2y＋1＝0與直線2x－4y－3＝0的距離為(　　)
A． B． C． D．
2．經過兩直線l1：2x－y＋3＝0與l2：x＋2y－1＝0的交點，且平行于直線3x＋2y＋7＝0的直線方程是(　　)
A．2x－3y＋5＝0 B．2x＋3y－1＝0 C．3x＋2y－2＝0 D．3x＋2y＋1＝0
3．兩直線方程為l1：3x－2y－6＝0，l2：x－y－2＝0，則l1關于l2對稱的直線方程為(　　)
A．3x－2y－4＝0 B．2x＋3y－6＝0 C．2x－3y－4＝0 D．3x－2y－6＝0
4．在平面直角坐標系中，某菱形的一組對邊所在的直線方程分別為x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0，另一組對邊所在的直線方程分別為3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0，則|c1－c2|等于(　　)
A．2 B．2 C．2 D．4
5．已知實數x，y滿足x＋y＋1＝0，則＋的最小值為(　　)
A． B．2 C． D．2
6．使三條直線4x＋y－4＝0，mx＋y＝0,2x－3my－4＝0不能圍成三角形的實數m的值最多有(　　)
A．3個 B．4個 C．5個 D．6個
7．(多選題)已知直線l過點P(1,2)，且點A(2,3)，B(4，－5)到直線l的距離相等，則l的方程可能是(　　)
A．4x＋y－6＝0 B．x＋4y－6＝0 C．3x＋2y－7＝0 D．2x＋3y－7＝0
8．(多選題)已知在以C(2,3)為直角頂點的等腰直角三角形ABC中，頂點A，B都在直線x－y＝1上，下列判斷中正確的是(　　)
A．斜邊AB的中點坐標是(3,2) B．AB＝2
C．△ABC的面積等于4 D．點C關于直線AB的對稱點的坐標是(4,1)
9．△ABC的頂點A(0，－2)，B(3,1)，C(－2,2)．若AD⊥BC，垂足為點D，則點D的坐標為________．
10．正方形ABCD的兩個頂點A，B在直線x＋y－4＝0上，另兩個頂點C，D分別在直線2x－y－1＝0,4x＋y－23＝0上，那么正方形ABCD的邊長為________．
11．點A(5,2)到直線(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距離的取值范圍是________．
12．(2023·南通統考)如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，其中∠BAC＝90°，且AB＝2，光線從AB邊上的中點P出發，經BC，CA反射后又回到點P(反射點分別為Q，R)，則光線經過的路徑總長PQ＋QR＋RP＝______．
13．已知△ABC的頂點C(5,6)，邊BC上的中線AD所在直線方程為x＋4y－16＝0，邊AC上的高BE所在直線方程為5x＋2y－15＝0，則△ABC的面積為________．
14．(1)已知點A(a，6)到直線3x－4y＝2的距離d＝4，求a的值；
(2)在直線x＋3y＝0上求一點P，使它到原點O的距離與到直線x＋3y－2＝0的距離相等．
15．已知△ABC的頂點A(5,1)，AB邊上的中線CM所在直線方程為2x－y－5＝0，∠B的平分線BN所在直線方程為x－2y－5＝0．求：
(1)頂點B的坐標；
(2)直線BC的方程．
高二期末復習2(兩條直線的位置關系)
【復習要求】
1．能根據斜率判定兩條直線平行或垂直；
2．能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標；
3．掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離．
【內容梳理】
1．兩條直線的位置關系：直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1與l3是同一條直線，l2與l4是同一條直線)的位置關系如下表：
位置關系 l1，l2滿足的條件 l3，l4滿足的條件
平行 k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)
垂直 k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0
相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0
2．三種距離公式：
(1)兩點間的距離公式：①條件：點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
②結論：P1P2＝．
③特例：點P(x，y)到原點O(0,0)的距離OP＝．
(2)點到直線的距離：點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝．
(3)兩條平行直線間的距離：兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝．
【二級結論】
六種常用對稱關系
(1)點(x，y)關于原點(0,0)的對稱點為(－x，－y)．
(2)點(x，y)關于x軸的對稱點為(x，－y)，關于y軸的對稱點為(－x，y)．
(3)點(x，y)關于直線y＝x的對稱點為(y，x)，關于直線y＝－x的對稱點為(－y，－x)．
(4)點(x，y)關于直線x＝a的對稱點為(2a－x，y)，關于直線y＝b的對稱點為(x，2b－y)．
(5)點(x，y)關于點(a，b)的對稱點為(2a－x，2b－y)．
(6)點(x，y)關于直線x＋y＝k的對稱點為(k－y，k－x)，關于直線x－y＝k的對稱點為(k＋y，x－k)．
【強化訓練】
1．兩平行直線x－2y＋1＝0與直線2x－4y－3＝0的距離為(　　)
A． B． C． D．
答案　A 解析　由直線2x－4y－3＝0可得，x－2y－＝0，
根據兩條平行線間的距離公式知d＝＝．
2．經過兩直線l1：2x－y＋3＝0與l2：x＋2y－1＝0的交點，且平行于直線3x＋2y＋7＝0的直線方程是(　　)
A．2x－3y＋5＝0 B．2x＋3y－1＝0 C．3x＋2y－2＝0 D．3x＋2y＋1＝0
答案　D 解析　方法一　由解得所以直線l1與l2的交點為(－1,1)，設與直線3x＋2y＋7＝0平行的直線為3x＋2y＋m＝0(m≠7)，所以3×(－1)＋2×1＋m＝0，解得m＝1，所以所求直線方程為3x＋2y＋1＝0．
方法二　設所求直線方程為2x－y＋3＋λ(x＋2y－1)＝0，即(λ＋2)x＋(2λ－1)y＋3－λ＝0，又該直線與3x＋2y＋7＝0平行，故(λ＋2)·2－3·(2λ－1)＝0，
解得λ＝，故所求直線方程為x＋y＋3－＝0，即3x＋2y＋1＝0．
直線系方程：過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，λ∈R，但不包括直線l2．
3．兩直線方程為l1：3x－2y－6＝0，l2：x－y－2＝0，則l1關于l2對稱的直線方程為(　　)
A．3x－2y－4＝0 B．2x＋3y－6＝0 C．2x－3y－4＝0 D．3x－2y－6＝0
答案　C 解析　設所求直線上任意一點M(x，y)，M關于直線x－y－2＝0的對稱點為M′(x1，y1)，則解得①
∵點M′在直線3x－2y－6＝0上，∴將①式代入，得3(y＋2)－2(x－2)－6＝0，
化簡得2x－3y－4＝0，即為l1關于l2對稱的直線方程．
思維升華 對稱問題的求解策略：(1)解決對稱問題的思路是利用待定系數法將幾何關系轉化為代數關系求解．
(2)中心對稱問題可以利用中點坐標公式解題，兩點軸對稱問題可以利用垂直和中點兩個條件列方程組解題．
4．在平面直角坐標系中，某菱形的一組對邊所在的直線方程分別為x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0，另一組對邊所在的直線方程分別為3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0，則|c1－c2|等于(　　)
A．2 B．2 C．2 D．4
答案　B 解析　因為菱形四條邊都相等，所以每條邊上的高也相等，且菱形對邊平行，
直線x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0之間的距離為＝，直線3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0之間的距離為＝，于是有＝ |c1－c2|＝2．
5．已知實數x，y滿足x＋y＋1＝0，則＋的最小值為(　　)
A． B．2 C． D．2
答案　D 解析　＋表示直線x＋y＋1＝0上一動點P(x，y)到定點A(1,1)，B(2,0)的距離之和，如圖所示，
設點A(1,1)關于直線x＋y＋1＝0的對稱點為A′(x0，y0)，
則解得所以對稱點為A′(－2，－2)，
則A′B＝＝2，由圖知＋的最小值為2．
6．使三條直線4x＋y－4＝0，mx＋y＝0,2x－3my－4＝0不能圍成三角形的實數m的值最多有(　　)
A．3個 B．4個 C．5個 D．6個
答案　B 解析　要使三條直線不能圍成三角形，存在兩條直線平行或三條直線交于一點，
若4x＋y－4＝0，mx＋y＝0平行，則＝，解得m＝4；
若mx＋y＝0,2x－3my－4＝0平行，則＝，無解；
若4x＋y－4＝0,2x－3my－4＝0平行，則＝，解得m＝－；
若三條直線交于一點，可得m＝或m＝－1，
經檢驗，當m∈時，均滿足三條直線不能圍成三角形，故m的值最多有4個．
7．(多選題)已知直線l過點P(1,2)，且點A(2,3)，B(4，－5)到直線l的距離相等，則l的方程可能是(　　)
A．4x＋y－6＝0 B．x＋4y－6＝0 C．3x＋2y－7＝0 D．2x＋3y－7＝0
答案　AC 解析　由條件可知直線l平行于直線AB或過線段AB的中點，
當直線l∥AB時，因為直線AB的斜率為＝－4，
所以直線l的方程是y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0；
當直線l經過線段AB的中點(3，－1)時，l的斜率為＝－，
此時直線l的方程是y－2＝－(x－1)，即3x＋2y－7＝0．
8．(多選題)已知在以C(2,3)為直角頂點的等腰直角三角形ABC中，頂點A，B都在直線x－y＝1上，下列判斷中正確的是(　　)
A．斜邊AB的中點坐標是(3,2) B．AB＝2
C．△ABC的面積等于4 D．點C關于直線AB的對稱點的坐標是(4,1)
答案　ABD 解析　如圖，取AB的中點為P(x，y)，
因為△ABC為以C為直角頂點的等腰直角三角形，
所以CP⊥AB，即CP垂直于直線x－y＝1，
則kCP＝＝－1，且x－y＝1，解得
則AB的中點P的坐標為(3,2)，故A正確；
CP＝＝，AB＝2CP＝2，故B正確；
所以S△ABC＝AB·CP＝×2×＝2，故C錯誤；
設點C關于直線AB的對稱點為點C1，則CC1的中點為點P，即xP＝＝3，
所以＝4，所以＝－1，解得＝1，
即點C關于直線AB的對稱點的坐標是(4,1)，故D正確．
9．△ABC的頂點A(0，－2)，B(3,1)，C(－2,2)．若AD⊥BC，垂足為點D，則點D的坐標為________．
答案　 解析　kBC＝＝－，∴直線BC方程為y－2＝－(x＋2)，即x＋5y－8＝0，又AD⊥BC，∴kAD＝5，∴直線AD方程為y＝5x－2，即5x－y－2＝0，
聯立解得故D．
10．(2023·上饒統考)正方形ABCD的兩個頂點A，B在直線x＋y－4＝0上，另兩個頂點C，D分別在直線2x－y－1＝0,4x＋y－23＝0上，那么正方形ABCD的邊長為________．
答案　2或14 解析　設直線CD的方程為x＋y＋m＝0，
聯立得C，聯立得D，
∴由兩點間的距離公式可得CD＝|m＋11|，
又直線AB與CD的距離為d＝，∴|m＋11|＝，
解得m＝－8或m＝－32，即CD＝2或14．即正方形的邊長為2或14．
思維升華 利用距離公式應注意的點
(1)點P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|．
(2)兩條平行線間的距離公式要把兩條直線方程中x，y的系數化為相等．
11．(2023·菏澤模擬)點A(5,2)到直線(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距離的取值范圍是________．
答案　[0,2]解析　直線(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5可化為(x＋2y－1)m－x－y＋5＝0，
由解得所以直線過定點P(9，－4)，
當AP與直線垂直時，點A(5,2)到直線(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距離的最大值為
d＝＝2，
當點A在直線上時，點A(5,2)到直線(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距離的最小值為0，
故點A(5,2)到直線(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距離的取值范圍是[0,2]．
12．(2023·南通統考)如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，其中∠BAC＝90°，且AB＝2，光線從AB邊上的中點P出發，經BC，CA反射后又回到點P(反射點分別為Q，R)，則光線經過的路徑總長PQ＋QR＋RP＝______．
答案　
解析　以A為坐標原點，AB，AC分別為x軸，y軸建立平面直角坐標系(圖略)，
因為△ABC為等腰直角三角形，其中∠BAC＝90°，且AB＝2，則lBC：x＋y－2＝0，
點P(1,0)，所以點P關于y軸的對稱點為P1(－1,0)，
設點P關于直線lBC：x＋y－2＝0的對稱點為P2(x0，y0)，
則＝1且＋－2＝0，解得x0＝2，y0＝1，即P2(2,1)，
則PQ＋QR＋RP＝P2Q＋QR＋RP1＝P1P2＝．
13．(2023·長春東北師大附中模擬)已知△ABC的頂點C(5,6)，邊BC上的中線AD所在直線方程為x＋4y－16＝0，邊AC上的高BE所在直線方程為5x＋2y－15＝0，則△ABC的面積為________．
答案　13 解析　依題意，AC⊥BE，設直線AC的方程為2x－5y＋m＝0，
于是2×5－5×6＋m＝0，解得m＝20，即直線AC：2x－5y＋20＝0，
由解得即點A(0,4)，
設點B(a，b)，則線段BC的中點D，
于是解得即點B(3,0)，
因此點B(3,0)到直線AC的距離d＝＝，AC＝＝，
所以△ABC的面積為AC·d＝××＝13．
14．(1)已知點A(a，6)到直線3x－4y＝2的距離d＝4，求a的值；
(2)在直線x＋3y＝0上求一點P，使它到原點O的距離與到直線x＋3y－2＝0的距離相等．
解　(1)由題意，得＝4，|3a－26|＝20，解得a＝2或a＝．
(2)設點P(－3b，b)，由題意，得OP＝＝．
點P到直線x＋3y－2＝0的距離為＝，
所以＝，解得b＝±．即點P的坐標為或．
15．已知△ABC的頂點A(5,1)，AB邊上的中線CM所在直線方程為2x－y－5＝0，∠B的平分線BN所在直線方程為x－2y－5＝0．求：
(1)頂點B的坐標；
(2)直線BC的方程．
解　(1)設點B(x0，y0)，由AB中點在2x－y－5＝0上，可得2×－－5＝0，
即2x0－y0－1＝0，又x0－2y0－5＝0，聯立解得即點B(－1，－3)．
(2)設點A關于x－2y－5＝0的對稱點為A′(x′，y′)，
則有解得即A′，
∴BC邊所在的直線方程為y＋3＝(x＋1)，即6x－17y－45＝0．

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