資源簡介

高二期末復(fù)習3(圓的方程)
【復(fù)習要求】
1．理解確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，掌握圓的標準方程與一般方程；
2．能根據(jù)圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實際問題．
【內(nèi)容梳理】
1．圓的定義和圓的方程：
2．點與圓的位置關(guān)系：
【強化訓(xùn)練】
1．已知點M(3,1)在圓C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，則k的取值范圍為(　　)
A．－6 C．k>－6 D．k<
2．點M，N是圓x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上的不同兩點，且點M，N關(guān)于直線l：x－y＋1＝0對稱，則該圓的半徑等于(　　)
A．2 B． C．3 D．9
3．已知圓C過點A(－2,0)，B(2,4)，當圓心C到原點O的距離最小時，圓C的標準方程為(　　)
A．(x－1)2＋y2＝10 B．x2＋(y＋1)2＝10
C．(x－1)2＋(y－1)2＝10 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝10
4．自圓C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一點P引該圓的一條切線，切點為Q，PQ的長度等于點P到原點O的距離，則點P的軌跡方程為(　　)
A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0 C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0
5．(2024·滁州模擬)已知圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝1上存在兩動點A，B滿足△ABC為正三角形，O為坐標原點，則|＋|的最大值為(　　)
A．2 B．2 C．2－ D．2＋
6．(2023·清華附中模擬)在平面直角坐標系內(nèi)，A(1,0)，B(2,0)，動點C在直線y＝x上，若圓M過A，B，C三點，則圓M面積的最小值為(　　)
A． B． C．π D．
7．(多選題)圓M與y軸相切，且經(jīng)過A(1,0)，B(2,1)兩點，則圓M可能是(　　)
A．(x－1)2＋(y－2)2＝4 B．(x－5)2＋(y＋3)2＝25
C．(x－1)2＋(y－1)2＝1 D．(x－3)2＋(y＋1)2＝9
8．(多選題) (2024·宿遷模擬)已知圓C：(x－3k)2＋(y－4k＋1)2＝1＋25k2，則下列結(jié)論中正確的有(　　)
A．圓C過定點 B．點(0,0)在圓C外
C．直線4x－3y－3＝0平分圓周 D．存在實數(shù)k，使圓與x軸相切
9．已知圓M過曲線y＝－x2＋4與坐標軸的三個交點，則圓M的標準方程為____________．
10． (2022·全國甲卷)設(shè)點M在直線2x＋y－1＝0上，點(3,0)和(0,1)均在⊙M上，則⊙M的方程為________________．
11．若圓C經(jīng)過坐標原點，且圓心在直線y＝－2x＋3上運動，當半徑最小時，圓的方程為___________．
12．已知等腰△ABC，其中頂點A的坐標為(0,0)，底邊的一個端點B的坐標為(1,1)，則另一個端點C的軌跡方程為__________．
13．若直線x－y－3＝0分別與x軸、y軸交于A，B兩點，動點P在圓x2＋(y－1)2＝1上，則△ABP面積的取值范圍是__________．
14．已知O為坐標原點，點M(－3,4)，動點N在圓x2＋y2＝4上運動，以O(shè)M，ON為鄰邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡．
15．已知實數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0．求：
(1)的最大值和最小值； (2)y－x的最小值； (3)x2＋y2的最大值和最小值．
16．已知圓C1經(jīng)過點A(1,3)和B(2,4)，圓心在直線2x－y－1＝0上．
(1)求圓C1的方程；
(2)若M，N分別是圓C1和圓C2：(x＋3)2＋(y＋4)2＝9上的點，點P是直線x＋y＝0上的點，求PM＋PN的最小值，以及此時點P的坐標．
高二期末復(fù)習3(圓的方程)
【復(fù)習要求】
1．理解確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，掌握圓的標準方程與一般方程；
2．能根據(jù)圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實際問題．
【內(nèi)容梳理】
1．圓的定義和圓的方程
定義 平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合叫作圓
方程 標準 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圓心C(a，b)
半徑為r
一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圓心C
半徑r＝
2．點與圓的位置關(guān)系
平面上的一點M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關(guān)系：
(1)MC>r M在圓外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2 M在圓外；
(2)MC＝r M在圓上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 M在圓上；
(3)MC【二級結(jié)論】
1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0．
2．圓心在過切點且與切線垂直的直線上．
3．圓心在任一弦的垂直平分線上．
【強化訓(xùn)練】
1．(2023·寧德模擬)已知點M(3,1)在圓C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，則k的取值范圍為(　　)
A．－6 C．k>－6 D．k<
答案　A 解析　∵圓C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0，
∴圓C的標準方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝1－2k，∴圓心坐標為(1，－2)，半徑r＝．
若點M(3,1)在圓C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，則滿足>，
且1－2k>0，即13>1－2k且k<，即－62．點M，N是圓x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上的不同兩點，且點M，N關(guān)于直線l：x－y＋1＝0對稱，則該圓的半徑等于(　　)
A．2 B． C．3 D．9
答案　C 解析　圓x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的標準方程為2＋(y＋1)2＝5＋，
則圓心坐標為，半徑為r＝，因為點M，N在圓x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且點M，N關(guān)于直線l：x－y＋1＝0對稱，所以直線l：x－y＋1＝0經(jīng)過圓心，
所以－＋1＋1＝0，解得k＝4．所以圓的半徑r＝＝3．
3．已知圓C過點A(－2,0)，B(2,4)，當圓心C到原點O的距離最小時，圓C的標準方程為(　　)
A．(x－1)2＋y2＝10 B．x2＋(y＋1)2＝10
C．(x－1)2＋(y－1)2＝10 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝10
答案　C 解析　由A(－2,0)，B(2,4)可得線段AB中點坐標為(0,2)，
又kAB＝＝1，所以AB垂直平分線的方程為y＝－x＋2，
所以圓心C在線段AB垂直平分線上，當圓心C到原點O的距離最小時，則OC∥AB，所以直線OC的方程為y＝x，聯(lián)立解得所以圓心C(1,1)，
又半徑r2＝AC2＝(－2－1)2＋(0－1)2＝10，故圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝10．
4．自圓C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一點P引該圓的一條切線，切點為Q，PQ的長度等于點P到原點O的距離，則點P的軌跡方程為(　　)
A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0 C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0
答案　D 解析　由題意得，圓心C的坐標為(3，－4)，半徑r＝2，如圖所示．設(shè)P(x，y)，由題意可知PQ＝PO，且PQ⊥CQ，
所以PO2＋r2＝PC2，所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，
即6x－8y－21＝0．
5．(2024·滁州模擬)已知圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝1上存在兩動點A，B滿足△ABC為正三角形，O為坐標原點，則|＋|的最大值為(　　)
A．2 B．2 C．2－ D．2＋
答案　D 解析　由題意可知△ABC是邊長為1的正三角形，
設(shè)AB的中點為M，則CM＝，又C(1,1)，
所以點M的軌跡方程為(x－1)2＋(y－1)2＝，且OC＝．
因為＋＝2，所以|＋|＝2||，因為OM≤OC＋CM＝＋，
當且僅當點C在線段OM上時等號成立，所以||的最大值為＋，
所以|＋|的最大值為2＋．
6．(2023·清華附中模擬)在平面直角坐標系內(nèi)，A(1,0)，B(2,0)，動點C在直線y＝x上，若圓M過A，B，C三點，則圓M面積的最小值為(　　)
A． B． C．π D．
答案　A 解析　由圓的幾何性質(zhì)知，圓心在A，B中垂線上，
故可設(shè)圓心M的坐標為，如圖，當圓M與直線y＝x相切即圓心到y(tǒng)＝x的距離等于圓心到A點距離時，圓M的面積最小，
可得＝，解得a＝或－，
當a＝時，M，圓M的半徑為MA＝＝，圓M的面積為；
當a＝－時，M，圓M的半徑為MA＝＝，
圓M的面積為，所以圓M面積的最小值為．
7．(多選題)圓M與y軸相切，且經(jīng)過A(1,0)，B(2,1)兩點，則圓M可能是(　　)
A．(x－1)2＋(y－2)2＝4 B．(x－5)2＋(y＋3)2＝25
C．(x－1)2＋(y－1)2＝1 D．(x－3)2＋(y＋1)2＝9
答案　BC 解析　設(shè)圓M的圓心為M(a，b)，則半徑r＝|a|．
又點A(1,0)，B(2,1)在圓上，所以有MA＝MB，即＝，
整理可得a＋b＝2．又MA＝r＝|a|，即＝|a|，整理可得b2－2a＋1＝0．
聯(lián)立解得或所以圓心坐標為(1,1)或(5，－3)．
當圓心坐標為(1,1)時，r＝1，圓M的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1；
當圓心坐標為(5，－3)時，r＝5，圓M的方程為(x－5)2＋(y＋3)2＝25．
綜上所述，圓M的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1或(x－5)2＋(y＋3)2＝25．
8．(多選題) (2024·宿遷模擬)已知圓C：(x－3k)2＋(y－4k＋1)2＝1＋25k2，則下列結(jié)論中正確的有(　　)
A．圓C過定點 B．點(0,0)在圓C外
C．直線4x－3y－3＝0平分圓周 D．存在實數(shù)k，使圓與x軸相切
答案　ACD 解析　對于選項A，由(x－3k)2＋(y－4k＋1)2＝1＋25k2，
得到x2－6kx＋9k2＋y2－2(4k－1)y＋16k2－8k＋1＝1＋25k2，
整理得x2＋y2＋2y－k(6x＋8y＋8)＝0，由
得或故圓C過定點和，所以選項A正確；
對于選項B，因為圓心為(3k，4k－1)，r＝，
點(0,0)到圓心的距離d＝＝，
又因為k∈R，當k>0時，d對于選項C，因為圓心為(3k，4k－1)，又4×3k－3(4k－1)－3＝0，
即圓心在直線4x－3y－3＝0上，所以選項C正確；
對于選項D，若圓與x軸相切，則|4k－1|＝，
即9k2＋8k＝0，解得k＝0或k＝－，所以選項D正確．
9．已知圓M過曲線y＝－x2＋4與坐標軸的三個交點，則圓M的標準方程為_________．
答案　x2＋2＝ 解析　曲線y＝－x2＋4與坐標軸的三個交點分別為A(－2,0)，B(2,0)，C(0,4)，設(shè)過A，B，C的圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
則解得
∴過A，B，C的圓的方程為x2＋y2－3y－4＝0，即x2＋2＝．
10． (2022·全國甲卷)設(shè)點M在直線2x＋y－1＝0上，點(3,0)和(0,1)均在⊙M上，則⊙M的方程為________________．
答案　(x－1)2＋(y＋1)2＝5 解析　方法一　設(shè)⊙M的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
則解得∴⊙M的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝5．
方法二　設(shè)⊙M的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，則M，
∴解得
∴⊙M的方程為x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝5．
方法三　設(shè)A(3,0)，B(0,1)，⊙M的半徑為r，則kAB＝＝－，AB的中點坐標為，
∴AB的垂直平分線方程為y－＝3，即3x－y－4＝0．
聯(lián)立解得∴M(1，－1)，
∴r2＝MA2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，∴⊙M的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝5．
思維升華 求圓的方程的常用方法
(1)直接法：直接求出圓心坐標和半徑，寫出方程．
(2)待定系數(shù)法
①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標準方程，求出a，b，r的值；
②選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進而求出D，E，F(xiàn)的值．
11．若圓C經(jīng)過坐標原點，且圓心在直線y＝－2x＋3上運動，當半徑最小時，圓的方程為___________．
答案　2＋2＝ 解析　設(shè)圓心坐標為(a，－2a＋3)，
則圓的半徑r＝＝＝．
當a＝時，rmin＝．故所求圓的方程為2＋2＝．
12．已知等腰△ABC，其中頂點A的坐標為(0,0)，底邊的一個端點B的坐標為(1,1)，則另一個端點C的軌跡方程為__________．
答案　x2＋y2＝2(除去點(1,1)和點(－1，－1)) 解析　設(shè)C(x，y)，根據(jù)在等腰△ABC中AB＝AC，可得(x－0)2＋(y－0)2＝(1－0)2＋(1－0)2，即x2＋y2＝2．
考慮到A，B，C三點要構(gòu)成三角形，因此點C不能為(1,1)和(－1，－1)．
所以點C的軌跡方程為x2＋y2＝2(除去點(1,1)和點(－1，－1))．
13．(2023·酒泉統(tǒng)考)若直線x－y－3＝0分別與x軸、y軸交于A，B兩點，動點P在圓x2＋(y－1)2＝1上，則△ABP面積的取值范圍是__________．
答案　[，3] 解析　如圖所示，因為直線x－y－3＝0與坐標軸的交點A(，0)，B(0，－3)，則AB＝＝2，
圓x2＋(y－1)2＝1的圓心C(0,1)，半徑為r＝1，
則圓心C(0,1)到直線x－y－3＝0的距離為d＝＝2，
所以圓x2＋(y－1)2＝1上的點P到直線x－y－3＝0的距離的最小值為d－r＝2－1＝1，距離的最大值為d＋r＝2＋1＝3，
所以△ABP面積的最小值為×2×1＝，最大值為×2×3＝3，
即△ABP面積的取值范圍為[，3]．
14．已知O為坐標原點，點M(－3,4)，動點N在圓x2＋y2＝4上運動，以O(shè)M，ON為鄰邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡．
解　設(shè)P(x，y)，N(x0，y0)，∵四邊形MONP為平行四邊形，則＝＋，
即(x，y)＝(－3,4)＋(x0，y0)，即則
又N(x0，y0)在圓x2＋y2＝4上，∴x＋y＝4，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4，
易知直線OM的方程為y＝－x，
聯(lián)立得或
∴點P的軌跡為圓(x＋3)2＋(y－4)2＝4除去點和．
思維升華 求與圓有關(guān)的軌跡問題的常用方法
(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．
(2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程．
(3)相關(guān)點代入法：找到要求點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式．
15．(2024·泉州模擬)已知實數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0．求：
(1)的最大值和最小值；
(2)y－x的最小值；
(3)x2＋y2的最大值和最小值．
解　(1)如圖，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以點(2,0)為圓心，為半徑的圓．設(shè)＝k，即y＝kx，則圓心(2,0)到直線y＝kx的距離為半徑時直線與圓相切，斜率取得最大、最小值．
由＝，解得k2＝3，∴kmax＝，kmin＝－．
∴max＝，min＝－．
(2)設(shè)y－x＝b，則y＝x＋b，當且僅當直線y＝x＋b與圓相切于第四象限時，截距b取最小值，由點到直線的距離公式，得＝，即b＝－2±，故(y－x)min＝－2－．
(3)x2＋y2是圓上點與原點的距離的平方，
設(shè)圓與x軸相交于點B和C′(點B在點C′左側(cè))，
則(x2＋y2)max＝OC′2＝(2＋)2＝7＋4，(x2＋y2)min＝OB2＝(2－)2＝7－4．
16．已知圓C1經(jīng)過點A(1,3)和B(2,4)，圓心在直線2x－y－1＝0上．
(1)求圓C1的方程；
(2)若M，N分別是圓C1和圓C2：(x＋3)2＋(y＋4)2＝9上的點，點P是直線x＋y＝0上的點，求PM＋PN的最小值，以及此時點P的坐標．
解　(1)由題意知AB的中點坐標為，kAB＝＝1，
∴AB的垂直平分線為y－＝－，即y＝5－x，聯(lián)立解得
即圓C1的圓心坐標為(2,3)，半徑r＝1，其方程為(x－2)2＋(y－3)2＝1．
(2)注意到點C1(2,3)和點C2(－3，－4)在直線x＋y＝0的兩側(cè)，
直線x＋y＝0與兩圓分別相離，如圖所示．
∴PM＋PN≥PC1－1＋PC2－3≥C1C2－4＝－4，
當且僅當M，N，P，C1，C2五點共線時等號成立，
則PM＋PN的最小值為－4，
此時點P為直線C1C2與x＋y＝0的交點，過C1，C2的直線方程為7x－5y＋1＝0，
聯(lián)立解得∴點P的坐標為．

展開更多......

收起↑