資源簡介

高二期末復(fù)習(xí)4(直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系)
【復(fù)習(xí)要求】
1．能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系；
2．能用直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實際問題．
【內(nèi)容梳理】
1．直線與圓的位置關(guān)系(圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r)：
2．圓與圓的位置關(guān)系(⊙O1，⊙O2的半徑分別為r1，r2，d＝O1O2)：
3．直線被圓截得的弦長：
【強化訓(xùn)練】
1．M(x0，y0)為圓x2＋y2＝1內(nèi)異于圓心的一點，則直線x0x＋y0y＝1與該圓的位置關(guān)系為(　　)
A．相切 B．相交 C．相離 D．相切或相交
2．若直線＋＝1與圓x2＋y2＝1相交，則(　　)
A．＋<1 B．＋>1 C．a(chǎn)2＋b2<1 D．a(chǎn)2＋b2>1
3．(2024·南京模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，圓O1：(x－1)2＋y2＝1和圓O2：x2＋(y－2)2＝4的位置關(guān)系是(　　)
A．外離 B．相交 C．外切 D．內(nèi)切
4．若圓x2＋y2＋4x－4y＝0和圓x2＋y2＋2x－8＝0相交于M，N兩點，則線段MN的長度為(　　)
A．4 B． C． D．
5．若一條光線從點A(－2，－3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，則反射光線所在直線的斜率為(　　)
A．－或－ B．－或－ C．－或－ D．－或－
6．已知點P在圓O：x2＋y2＝1上運動，若對任意點P，在直線l：x＋y－4＝0上均存在兩點A，B，使得∠APB≥恒成立，則線段AB長度的最小值是(　　)
A．－1 B．＋1 C．2－1 D．4＋2
7．(多選題)已知圓C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝25，圓C2：(x＋1)2＋(y＋a)2＝4，若圓C1與圓C2內(nèi)切，則實數(shù)a的值是(　　)
A．－2 B．2 C．－1 D．1
8．(多選題)已知圓C：(x－2)2＋y2＝1，點P是直線l：x＋y＝0上一動點，過點P作圓的切線PA，PB，切點分別是A和B，則下列說法錯誤的是(　　)
A．圓C上恰有一個點到直線l的距離為 B．切線PA長的最小值為1
C．四邊形ACBP面積的最小值為2 D．直線AB恒過定點
9．(多選題)已知圓M：(x＋cos θ)2＋(y－sin θ)2＝1，直線l：y＝kx，則(　　)
A．對任意實數(shù)k與θ，直線l和圓M相切
B．對任意實數(shù)k與θ，直線l和圓M有公共點
C．對任意實數(shù)θ，必存在實數(shù)k，使得直線l和圓M相切
D．對任意實數(shù)k，必存在實數(shù)θ，使得直線l和圓M相切
10．已知過點P(0,1)的直線l與圓x2＋y2＋2x－6y＋6＝0相交于A，B兩點，則當(dāng)AB＝2時，直線l的方程為________________．
11．(2023·新高考全國Ⅱ)已知直線x－my＋1＝0與⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B兩點，寫出滿足“△ABC面積為”的m的一個值為________．
12．與直線x＋y－2＝0和曲線x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________________
13．已知P是直線3x＋4y＋8＝0上的動點，PA，PB是圓C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，A，B是切點，則四邊形PACB面積的最小值為________．
14．若圓C1：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)上存在點P，且點P關(guān)于y軸的對稱點Q在圓C2：(x＋2)2＋(y－2)2＝1上，則r的取值范圍是__________．
15．寫出一個經(jīng)過原點，截y軸所得弦長是截x軸所得弦長2倍的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程__________．
16．(2022·新高考全國Ⅰ)寫出與圓x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一條直線的方程________________．
17．已知直線l是圓C：(x－2)2＋(y－1)2＝1的切線，并且點B(3,4)到直線l的距離是2，這樣的直線l有________條．
18．已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝5，圓C′是以圓x2＋y2＝1上任意一點為圓心，半徑為1的圓．圓C與圓C′交于A，B兩點，則當(dāng)∠ACB最大時，CC′＝________．
19．已知圓C：x2＋y2－4x＝0，直線l恒過點P(4,1)．
(1)若直線l與圓C相切，求l的方程；
(2)當(dāng)直線l與圓C相交于A，B兩點，且AB＝2時，求l的方程．
高二期末復(fù)習(xí)4(直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系)
【復(fù)習(xí)要求】
1．能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系；
2．能用直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實際問題．
【內(nèi)容梳理】
1．直線與圓的位置關(guān)系(圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r)：
相離 相切 相交
圖形
量化 方程觀點 Δ<0 Δ＝0 Δ>0
幾何觀點 d>r d＝r d2．圓與圓的位置關(guān)系(⊙O1，⊙O2的半徑分別為r1，r2，d＝O1O2)：
外離 外切 相交 內(nèi)切 內(nèi)含
圖形
量的關(guān)系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 | r1－r2|3．直線被圓截得的弦長：
(1)幾何法：弦心距d、半徑r和弦長AB的一半構(gòu)成直角三角形，弦長AB＝2．
(2)代數(shù)法：設(shè)直線y＝kx＋m與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于點M，N，代入，消去y，得關(guān)于x的一元二次方程，則MN＝·．
【二級結(jié)論】
1．圓的切線方程常用結(jié)論：
(1)過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2．
(2)過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x＋y0y＝r2．
2．圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論：
(1)兩圓相交時，其公共弦所在的直線方程由兩圓方程相減得到．
(2)兩個圓系方程：
①過直線Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交點的圓系方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
②過圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點的圓系方程為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圓C2，所以注意檢驗C2是否滿足題意，以防丟解)．
【強化訓(xùn)練】
1．M(x0，y0)為圓x2＋y2＝1內(nèi)異于圓心的一點，則直線x0x＋y0y＝1與該圓的位置關(guān)系為(　　)
A．相切 B．相交 C．相離 D．相切或相交
答案　C 解析　由題意知M(x0，y0)為圓x2＋y2＝1內(nèi)異于圓心的一點，
則01＝r，
故直線x0x＋y0y＝1與該圓的位置關(guān)系為相離．
2．若直線＋＝1與圓x2＋y2＝1相交，則(　　)
A．＋<1 B．＋>1 C．a(chǎn)2＋b2<1 D．a(chǎn)2＋b2>1
答案　B 解析　由直線＋＝1，可化為bx＋ay－ab＝0，因為直線bx＋ay－ab＝0與圓x2＋y2＝1相交，可得<1，整理得a2＋b2>a2b2，所以＋>1．
3．(2024·南京模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，圓O1：(x－1)2＋y2＝1和圓O2：x2＋(y－2)2＝4的位置關(guān)系是(　　)
A．外離 B．相交 C．外切 D．內(nèi)切
答案　B 解析　由題意知，圓O1：(x－1)2＋y2＝1，可得圓心坐標(biāo)O1(1,0)，半徑r1＝1，
圓O2：x2＋(y－2)2＝4，可得圓心坐標(biāo)O2(0,2)，半徑r2＝2，
則兩圓的圓心距O1O2＝＝，則2－1<<2＋1，
即|r2－r1|4．若圓x2＋y2＋4x－4y＝0和圓x2＋y2＋2x－8＝0相交于M，N兩點，則線段MN的長度為(　　)
A．4 B． C． D．
答案　C 解析　x2＋y2＋4x－4y＝0，①x2＋y2＋2x－8＝0，②
由①－②可得x－2y＋4＝0．∴兩圓的公共弦所在直線的方程是x－2y＋4＝0，
∵圓x2＋y2＋4x－4y＝0的圓心坐標(biāo)為(－2,2)，半徑為2，
∴圓心到公共弦的距離d＝＝，
∴公共弦長為2＝，即MN＝．
5．若一條光線從點A(－2，－3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，則反射光線所在直線的斜率為(　　)
A．－或－ B．－或－ C．－或－ D．－或－
答案　D 解析　點(－2，－3)關(guān)于y軸的對稱點為(2，－3)，
由題意知，反射光線所在的直線一定過點(2，－3)．設(shè)反射光線所在直線的斜率為k，
則反射光線所在直線的方程為y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0．
由反射光線與圓相切，圓心為(－3,2)，得＝1，解得k＝－或k＝－．
6．(2023·武漢模擬)已知點P在圓O：x2＋y2＝1上運動，若對任意點P，在直線l：x＋y－4＝0上均存在兩點A，B，使得∠APB≥恒成立，則線段AB長度的最小值是(　　)
A．－1 B．＋1 C．2－1 D．4＋2
答案　D 解析　如圖，由題可知，圓心為O(0,0)，半徑R＝1，
若直線l：x＋y－4＝0上存在兩點A，B，使得∠APB≥恒成立，
則O：x2＋y2＝1始終在以AB為直徑的圓內(nèi)或圓上，點O(0,0)到直線l的距離d＝＝2，所以AB長度的最小值為2(d＋1)＝4＋2．
7．(多選題)已知圓C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝25，圓C2：(x＋1)2＋(y＋a)2＝4，若圓C1與圓C2內(nèi)切，則實數(shù)a的值是(　　)
A．－2 B．2 C．－1 D．1
答案　BC 解析　由題可知圓心C1(a，－2)，半徑r1＝5，
圓心C2(－1，－a)，半徑r2＝2，因為圓C1與圓C2內(nèi)切，
所以C1C2＝＝|r1－r2|＝3，解得a＝－1或a＝2．
8．(多選題)已知圓C：(x－2)2＋y2＝1，點P是直線l：x＋y＝0上一動點，過點P作圓的切線PA，PB，切點分別是A和B，則下列說法錯誤的是(　　)
A．圓C上恰有一個點到直線l的距離為 B．切線PA長的最小值為1
C．四邊形ACBP面積的最小值為2 D．直線AB恒過定點
答案　AC 解析　對于A，由圓C：(x－2)2＋y2＝1，可得圓心C(2,0)，半徑r＝1，
∴圓心C到直線l：x＋y＝0的距離為＝，∵－1<<＋1，故圓C上不是只有一個點到直線l的距離為，故A錯誤；
對于B，由圓的性質(zhì)，可得切線長PA＝＝，
當(dāng)PC最小時，PA最小，又(PC)min＝，則(PA)min＝1，故B正確；
對于C，由四邊形ACBP的面積為2××PA·CA＝PA，
因為(PA)min＝1，所以四邊形ACBP的面積的最小值為1，故C錯誤；
對于D，設(shè)P(t，－t)，由題知A，B在以PC為直徑的圓上，
又由C(2,0)，所以(x－t)(x－2)＋(y＋t)(y－0)＝0，即x2＋y2－(t＋2)x＋ty＋2t＝0，
因為圓C：(x－2)2＋y2＝1，即x2＋y2－4x＋3＝0．
兩圓的方程相減得直線AB：(2－t)x＋ty－3＋2t＝0，即2x－3－t(x－y－2)＝0，
由解得即直線AB恒過定點，故D正確．
9．(多選題) (2023·重慶九龍坡育才中學(xué)模擬)已知圓M：(x＋cos θ)2＋(y－sin θ)2＝1，直線l：y＝kx，則(　　)
A．對任意實數(shù)k與θ，直線l和圓M相切
B．對任意實數(shù)k與θ，直線l和圓M有公共點
C．對任意實數(shù)θ，必存在實數(shù)k，使得直線l和圓M相切
D．對任意實數(shù)k，必存在實數(shù)θ，使得直線l和圓M相切
答案　BD 解析　圓M：(x＋cos θ)2＋(y－sin θ)2＝1恒過定點O(0,0)，直線l：y＝kx也恒過定點O(0,0)，所以對任意實數(shù)k與θ，直線l和圓M有公共點，故B正確；
圓心M(－cos θ，sin θ)，圓心到直線l的距離d＝＝＝|sin(θ＋α)|≤1，其中tan α＝k，則對任意實數(shù)k，存在θ，使得直線l和圓M的關(guān)系是相交或者相切，故D正確，A錯誤；當(dāng)θ＝0時，圓M為(x＋1)2＋y2＝1，此時不存在實數(shù)k，使得直線l和圓M相切，故C錯誤．
10．(2023·滁州模擬)已知過點P(0,1)的直線l與圓x2＋y2＋2x－6y＋6＝0相交于A，B兩點，則當(dāng)AB＝2時，直線l的方程為________________．
答案　x＝0或3x＋4y－4＝0 解析　因為圓x2＋y2＋2x－6y＋6＝0可以化為(x＋1)2＋(y－3)2＝4，所以圓心為(－1,3)，半徑為r＝2，
因為AB＝2，所以圓心到直線的距離為d＝＝1，
當(dāng)直線l斜率不存在時，直線l的方程為x＝0，
此時圓心(－1,3)到直線x＝0的距離為1，滿足條件；
當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)斜率為k，直線l的方程為y＝kx＋1，則圓心(－1,3)到直線l的距離d＝＝1，解得k＝－，此時直線l的方程為3x＋4y－4＝0，
綜上，所求直線的方程為3x＋4y－4＝0或x＝0．
11．(2023·新高考全國Ⅱ)已知直線x－my＋1＝0與⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B兩點，寫出滿足“△ABC面積為”的m的一個值為________．
答案　2 解析　設(shè)直線x－my＋1＝0為直線l，點C到直線l的距離為d，由弦長公式得AB＝2，
所以S△ABC＝×d×2＝，解得d＝或d＝，
又d＝＝，所以＝或＝，解得m＝±或m＝±2．
思維升華 弦長的兩種求法
(1)代數(shù)法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，根據(jù)弦長公式求弦長．
(2)幾何法：若弦心距為d，圓的半徑長為r，則弦長l＝2．
12．與直線x＋y－2＝0和曲線x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________________
答案　(x－2)2＋(y－2)2＝2 解析　曲線方程化為(x－6)2＋(y－6)2＝18，
其圓心到直線x＋y－2＝0的距離d＝＝5．
所求的最小圓的圓心在直線y＝x上，其到直線的距離為，圓心坐標(biāo)為(2,2)．
標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－2)2＝2．
13．已知P是直線3x＋4y＋8＝0上的動點，PA，PB是圓C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，A，B是切點，則四邊形PACB面積的最小值為________．
答案　2 解析　圓C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，即圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，
所以圓心C(1,1)，半徑r＝1，如圖，連接PC，
因為S四邊形PACB＝2S△PAC＝2××AP·AC＝AP＝，
所以求S四邊形PACB的最小值就是求PC的最小值，而PC的最小值就是圓心到直線3x＋4y＋8＝0的距離d，即d＝＝3，
即四邊形PACB面積的最小值為＝2．
思維升華 涉及與圓的切線有關(guān)的線段長度范圍(最值)問題，解題關(guān)鍵是能夠把所求線段長表示為關(guān)于圓心與直線上的點的距離的函數(shù)的形式，利用求函數(shù)值域的方法求得結(jié)果．
14．若圓C1：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)上存在點P，且點P關(guān)于y軸的對稱點Q在圓C2：(x＋2)2＋(y－2)2＝1上，則r的取值范圍是__________．
答案　[－1，＋1] 解析　設(shè)圓C1關(guān)于y軸的對稱圓為圓C3，其方程為(x＋1)2＋y2＝r2，根據(jù)題意，圓C3與圓C2有交點，
又圓C3與圓C2的圓心距為＝，
要滿足題意，只需|r－1|≤≤r＋1，解得r∈[－1，＋1]．
15．寫出一個經(jīng)過原點，截y軸所得弦長是截x軸所得弦長2倍的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程__________．
答案　(x－1)2＋(y－2)2＝5(答案不唯一) 解析　顯然圓截x軸、y軸所得弦的一個端點為O(0,0)，設(shè)圓截x軸所得弦的另一端點為A(a，0)，a≠0，則該圓截y軸所得弦的另一端點為B(0,2a)或B(0，－2a)，
因此該圓的圓心C或C，半徑r＝＝|a|，
所以該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2＋(y－a)2＝a2或2＋(y＋a)2＝a2，
取a＝2，得圓的一個標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－2)2＝5．
16．(2022·新高考全國Ⅰ)寫出與圓x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一條直線的方程________________．
答案　x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0(答案不唯一，只需寫出上述三個方程中的一個即可)
解析　如圖，因為圓x2＋y2＝1的圓心為O(0,0)，半徑r1＝1，圓(x－3)2＋(y－4)2＝16的圓心為A(3,4)，半徑r2＝4，
所以O(shè)A＝5，r1＋r2＝5，所以O(shè)A＝r1＋r2，所以兩圓外切，公切線有三種情況：
①易知公切線l1的方程為x＝－1．
②另一條公切線l2與公切線l1關(guān)于過兩圓圓心的直線l對稱．
易知過兩圓圓心的直線l的方程為y＝x，由得
由對稱性可知公切線l2過點．設(shè)公切線l2的方程為y＋＝k(x＋1)，
則點O(0,0)到l2的距離為1，所以1＝，解得k＝，
所以公切線l2的方程為y＋＝(x＋1)，即7x－24y－25＝0．
③還有一條公切線l3與直線l：y＝x垂直，設(shè)公切線l3的方程為y＝－x＋t，
易知t>0，則點O(0,0)到l3的距離為1，
所以1＝，解得t＝或t＝－(舍去)，
所以公切線l3的方程為y＝－x＋，即3x＋4y－5＝0．
綜上，所求直線方程為x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0．
17．(2023·大慶模擬)已知直線l是圓C：(x－2)2＋(y－1)2＝1的切線，并且點B(3,4)到直線l的距離是2，這樣的直線l有________條．
答案　4 解析　由已知可得，圓心C(2,1)，半徑r1＝1．由點B(3,4)到直線l的距離是2，所以直線l是以B(3,4)為圓心，r2＝2為半徑的圓的切線，
又直線l是圓C：(x－2)2＋(y－1)2＝1的切線，所以直線l是圓C與圓B的公切線．
因為BC＝＝>3＝r1＋r2，
所以兩圓外離，所以兩圓的公切線有4條，即滿足條件的直線l有4條．
18．(2023·贛州統(tǒng)考)已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝5，圓C′是以圓x2＋y2＝1上任意一點為圓心，半徑為1的圓．圓C與圓C′交于A，B兩點，則當(dāng)∠ACB最大時，CC′＝________．
答案　2 解析　依題意，在△ABC中，AC＝BC＝，如圖，
顯然0又函數(shù)y＝sin x在上單調(diào)遞增，
因此當(dāng)且僅當(dāng)公共弦AB的長度最大時，∠ACB最大，此時弦AB為圓C′的直徑，
在Rt△ACC′中，∠AC′C＝90°，AC′＝1，所以CC′＝＝2．
19．已知圓C：x2＋y2－4x＝0，直線l恒過點P(4,1)．
(1)若直線l與圓C相切，求l的方程；
(2)當(dāng)直線l與圓C相交于A，B兩點，且AB＝2時，求l的方程．
解　(1)由題意可知，圓C的圓心為(2,0)，半徑r＝2，
①當(dāng)直線l的斜率不存在時，即l的方程為x＝4，此時直線與圓相切，符合題意；
②當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)斜率為k，∴直線l的方程為y－1＝k(x－4)，
即kx－y＋1－4k＝0，若直線l與圓相切，則d＝＝2，解得k＝－，
∴l(xiāng)：－x－y＋4＝0，即l：3x＋4y－16＝0，綜上，當(dāng)直線l與圓C相切時，
所求直線l的方程為x＝4或3x＋4y－16＝0．
(2)由題意可知，直線l的斜率一定存在，設(shè)斜率為k，∴直線l的方程為y－1＝k(x－4)，
即kx－y＋1－4k＝0，設(shè)圓心到直線l的距離為d，則d＝，
由垂徑定理可得，d2＋2＝4，即＋3＝4，
整理得，3k2－4k＝0，解得k＝0或k＝，
則直線l的方程為y＝1或4x－3y－13＝0．

展開更多......

收起↑