資源簡介

高二期末復習5(橢圓)
【復習要求】
1．理解橢圓的定義、幾何圖形、標準方程；
2．掌握橢圓的簡單幾何性質(范圍、對稱性、頂點、離心率)；
3．掌握橢圓的簡單應用．
【內容梳理】
1．橢圓的定義：
2．橢圓的簡單幾何性質：
【強化訓練】
1．過點(3,2)且與橢圓3x2＋8y2＝24有相同焦點的橢圓方程為(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
2．已知過橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點F(－1,0)的直線與橢圓交于不同的兩點A，B，與y軸交于點C，點C，F是線段AB的三等分點，則該橢圓的標準方程是(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
3．已知圓C1：(x＋1)2＋y2＝25，圓C2：(x－1)2＋y2＝1，動圓M與圓C2外切，同時與圓C1內切，則動圓圓心M的軌跡方程為(　　)
A．＋y2＝1 B．＋＝1 C．＋y2＝1 D．＋＝1
4．(2024·濟南模擬)若橢圓C：＋＝1的離心率為，則橢圓C的長軸長為(　　)
A．2 B．或2 C．2 D．2或2
5．(2022·全國甲卷)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關于y軸對稱．若直線AP，AQ的斜率之積為，則C的離心率為(　　)
A． B． C． D．
6．魏晉時期數學家劉徽(圖(1))為研究球體的體積公式，創造了一個獨特的立體圖形“牟合方蓋”，它由完全相同的四個曲面構成，相對的兩個曲面在同一圓柱的側面上．將兩個底面半徑為1的圓柱分別從縱橫兩個方向嵌入棱長為2的正方體時(如圖(2))，兩圓柱公共部分形成的幾何體(如圖(3))即得一個“牟合方蓋”，圖(4)是該“牟合方蓋”的直觀圖(圖中標出的各點A，B，C，D，P，Q均在原正方體的表面上)．
由“牟合方蓋”產生的過程可知，圖(4)中的曲線PBQD為一個橢圓，則此橢圓的離心率為(　　)
A． B． C． D．
7．已知橢圓＋＝1的左頂點為A，右焦點為F，M是橢圓上任意一點，則·的取值范圍為(　　)
A．[－16,0] B．[－8,0] C．[0,8] D．[0,16]
8．已知P為橢圓C：＋＝1(a>b>0)上一點，若C的右焦點F的坐標為(3,0)，點M滿足||＝1，·＝0，若||的最小值為2，則橢圓C的方程為(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
9．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，過F1作直線l與橢圓C相交于M，N兩點，∠MF2N＝90°，且4F2N＝3F2M，則橢圓的離心率為(　　)
A． B． C． D．
10．(多選題)(2023·長沙模擬)人造地球衛星繞地球運行遵循開普勒行星運動定律：衛星在以地球為焦點的橢圓軌道上繞地球運行時，其運行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒定律，即衛星的向徑(衛星與地球的連線)在相同的時間內掃過的面積相等．設橢圓的長軸長、焦距分別為2a，2c，下列結論正確的是(　　)
A．衛星向徑的取值范圍是[a－c，a＋c]
B．衛星運行速度在近地點時最小，在遠地點時最大
C．衛星向徑的最小值與最大值的比值越大，橢圓軌道越圓
D．衛星在左半橢圓弧的運行時間大于其在右半橢圓弧的運行時間
11．(多選題)已知橢圓＋＝1的左、右焦點分別為F1，F2，點P在橢圓上，且不與橢圓的左、右頂點重合，則下列關于△PF1F2的說法正確的有(　　)
A．△PF1F2的周長為4＋2
B．當∠PF1F2＝90°時，PF1＝2
C．當∠F1PF2＝60°時，△PF1F2的面積為
D．橢圓上有且僅有6個點P，使得△PF1F2為直角三角形
12．已知一個離心率為，長軸長為4的橢圓，其兩個焦點分別為F1，F2，在橢圓上存在一點P，使得∠F1PF2＝60°，設△PF1F2的內切圓半徑為r，則r的值為________．
13．如圖，菱形架ABCD是一種作圖工具，由四根長度均為4的直桿用鉸鏈首尾連接而成．已知A，C可在帶滑槽的直桿l上滑動；另一根帶滑槽的直桿DH長度為4，且一端記為H，另一端用鉸鏈連接在D處，上述兩根帶滑槽直桿的交點P處有一栓子(可在帶滑槽的直桿上滑動)．若將H，B固定在桌面上，且兩點之間距離為2，轉動桿HD，則點P到點B距離的最大值為________．
14．已知P是橢圓＋＝1上的點，F1，F2分別是橢圓的左、右焦點，若＝，則△F1PF2的面積為________．
15．(2024·哈爾濱模擬)“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術活動，在我國源遠流長，某些折紙活動蘊含豐富的數學內容．例如，用一張圓形紙片，按如下步驟折紙(如圖)．
步驟1：設圓心是E，在圓內異于圓心處取一點，標記為F；
步驟2：把紙片折疊，使圓周正好經過點F；
步驟3：把紙片展開，并留下一道折痕；
步驟4：不停重復步驟2和步驟3，就能得到越來越多的折痕．圓面上所有這些折痕圍成一條曲線，記為C．
現有半徑為4的圓形紙片，定點F到圓心E的距離為2，按上述方法折紙，在C上任取一點M，O為線段EF的中點，則OM的最小值為________．
16．已知點P是橢圓＋＝1上異于頂點的動點，F1，F2為橢圓的左、右焦點，O為坐標原點，若M是∠F1PF2平分線上的一點，且·＝0，則||的取值范圍是________．
17．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1(－c，0)，F2(c，0)，過F2作垂直于x軸的直線l交橢圓于A，B兩點，且滿足AF2＝c．
(1)求橢圓C的離心率；
(2)M，N是橢圓C短軸的兩個端點，設點P是橢圓C上一點(異于橢圓C的頂點)，直線MP，NP分別與x軸相交于R，Q兩點，O為坐標原點，若OR·OQ＝4，求橢圓C的方程．
18．在平面直角坐標系中，點B與點A關于原點對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于－．
(1)求動點P的軌跡方程，并注明x的取值范圍；
(2)設直線AP與BP分別與直線x＝3交于M，N，問是否存在點P使得△PAB與△PMN面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．
高二期末復習5(橢圓)
【復習要求】
1．理解橢圓的定義、幾何圖形、標準方程；
2．掌握橢圓的簡單幾何性質(范圍、對稱性、頂點、離心率)；
3．掌握橢圓的簡單應用．
【內容梳理】
1．橢圓的定義：平面內到兩個定點F1，F2的距離之和等于常數(大于F1F2)的點的軌跡叫作橢圓．兩個定點F1，F2叫作橢圓的焦點，兩個焦點間的距離F1F2叫作橢圓的焦距．
注意：(1)當動點M滿足MF1＋MF2＝常數>F1F2時，動點M的軌跡為橢圓；
(2)當動點M滿足MF1＋MF2＝常數＝F1F2時，動點M的軌跡為以F1，F2為兩端點的線段；
(3)當動點M滿足MF1＋MF2＝常數2．橢圓的簡單幾何性質：
焦點的位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上
圖形
標準方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
范圍 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a
頂點 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0)
軸長 短軸長為2b，長軸長為2a
焦點 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 F1F2＝2c
對稱性 對稱軸：x軸和y軸，對稱中心：原點
離心率 e＝(0a，b，c的關系 a2＝b2＋c2
【二級結論】
橢圓的焦點三角形：
橢圓上的點P(x0，y0)與兩焦點構成的△PF1F2叫做焦點三角形．如圖所示，設∠F1PF2＝θ．
(1)當P為短軸端點時，θ最大，最大． (2)(PF1)max＝a＋c，(PF1)min＝a－c．
(3)PF1·PF2≤2＝a2． (4)4c2＝PF＋PF－2PF1·PF2cos θ．
【強化訓練】
1．過點(3,2)且與橢圓3x2＋8y2＝24有相同焦點的橢圓方程為(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
答案　C 解析　由3x2＋8y2＝24化簡可得＋＝1，
焦點為(±，0)在x軸上，設所求橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，
則解得a2＝15，b2＝10．故所求橢圓方程為＋＝1．
2．已知過橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點F(－1,0)的直線與橢圓交于不同的兩點A，B，與y軸交于點C，點C，F是線段AB的三等分點，則該橢圓的標準方程是(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
答案　B 解析　不妨設A(xA，yA)在第一象限，由橢圓的左焦點F(－1,0)，點C，F是線段AB的三等分點，
則C為AF的中點，F為BC的中點，所以xA＝1，
所以＋＝1，則yA＝，即A，所以C，B，
將點B的坐標代入橢圓方程得＋＝1，即＋＝1，
又a2－b2＝1，所以a2＝5，b2＝4，所以橢圓的標準方程是＋＝1．
思維升華 根據條件求橢圓方程的主要方法
(1)定義法：根據題目所給條件確定動點的軌跡滿足橢圓的定義．
(2)待定系數法：根據題目所給的條件確定橢圓中的a，b．當不知焦點在哪一個坐標軸上時，一般可設所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)；與橢圓＋＝1(a>b>0)共焦點的橢圓方程可設為＋＝1(a>b>0，m>－b2)；與橢圓＋＝1(a>b>0)有相同離心率的橢圓方程可設為＋＝λ或＋＝λ(a>b>0，λ>0)．
3．已知圓C1：(x＋1)2＋y2＝25，圓C2：(x－1)2＋y2＝1，動圓M與圓C2外切，同時與圓C1內切，則動圓圓心M的軌跡方程為(　　)
A．＋y2＝1 B．＋＝1 C．＋y2＝1 D．＋＝1
答案　D 解析　如圖，由題意得，C1M＝5－MQ，C2M＝1＋MP，其中MQ＝MP，所以C1M＋C2M＝5－MQ＋1＋MP＝6>2＝C1C2，由橢圓定義可知，動圓圓心M的軌跡為以C1，C2為焦點且長軸長為6的橢圓，
設＋＝1，則2a＝6，c＝1，解得a＝3，b2＝a2－c2＝9－1＝8，
故動圓圓心M的軌跡方程為＋＝1．
4．(2024·濟南模擬)若橢圓C：＋＝1的離心率為，則橢圓C的長軸長為(　　)
A．2 B．或2 C．2 D．2或2
答案　D 解析　因為e2＝＝＝1－＝2＝，所以＝．
(1)若橢圓C的焦點在x軸上，則＝＝，可得m＝6，則a＝＝，
此時橢圓C的長軸長為2；
(2)若橢圓C的焦點在y軸上，則＝＝，可得m＝，則a＝，
此時橢圓C的長軸長為2．綜上所述，橢圓C的長軸長為2或2．
5．(2022·全國甲卷)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關于y軸對稱．若直線AP，AQ的斜率之積為，則C的離心率為(　　)
A． B． C． D．
答案　A 解析　設P(m，n)(n≠0)，則Q(－m，n)，易知A(－a，0)，
所以kAP·kAQ＝·＝＝．(*)
因為點P在橢圓C上，所以＋＝1，得n2＝(a2－m2)，
代入(*)式，得＝，所以e＝＝＝．
思維升華 求橢圓離心率或其范圍的方法
(1)直接求出a，c，利用離心率公式e＝求解．
(2)由a與b的關系求離心率，利用變形公式e＝求解．
(3)構造a，c的方程．可以不求出a，c的具體值，而是得出a與c的關系，從而求得e．
6．(2023·沈陽模擬)魏晉時期數學家劉徽(圖(1))為研究球體的體積公式，創造了一個獨特的立體圖形“牟合方蓋”，它由完全相同的四個曲面構成，相對的兩個曲面在同一圓柱的側面上．將兩個底面半徑為1的圓柱分別從縱橫兩個方向嵌入棱長為2的正方體時(如圖(2))，兩圓柱公共部分形成的幾何體(如圖(3))即得一個“牟合方蓋”，圖(4)是該“牟合方蓋”的直觀圖(圖中標出的各點A，B，C，D，P，Q均在原正方體的表面上)．
由“牟合方蓋”產生的過程可知，圖(4)中的曲線PBQD為一個橢圓，則此橢圓的離心率為(　　)
A． B． C． D．
答案　A 解析　如圖，連接AC，BD交于點O，連接PO，由“牟合方蓋”產生的過程可知，圖中的曲線PBQD所對應的橢圓的長軸長2a＝BD＝2，短軸長2b＝PQ＝2，
于是可得此橢圓的半焦距c＝＝1，因此離心率e＝＝．
7．已知橢圓＋＝1的左頂點為A，右焦點為F，M是橢圓上任意一點，則·的取值范圍為(　　)
A．[－16,0] B．[－8,0] C．[0,8] D．[0,16]
答案　D 解析　方法一　由題意知A(－4,0)，F(2,0)，設M(x0，y0)，
則·＝(－4－x0，－y0)·(2－x0，－y0)＝(x0－2)(x0＋4)＋y
＝x＋2x0－8＋12－x＝x＋2x0＋4＝(x0＋4)2，
因為＋＝1，所以＝1－≤1，所以－4≤x0≤4，所以0≤·≤16．
方法二　由題意知A(－4,0)，F(2,0)，設M(x0，y0)，取線段AF的中點N，
則N(－1,0)，連接MN，如圖，
則·＝＝＝2－9
＝(x0＋1)2＋y－9＝x＋2x0＋1＋12－x－9＝x＋2x0＋4＝(x0＋4)2，
因為＋＝1，所以＝1－≤1，所以－4≤x0≤4，所以0≤·≤16．
8．(2023·陜西省安康中學模擬)已知P為橢圓C：＋＝1(a>b>0)上一點，若C的右焦點F的坐標為(3,0)，點M滿足||＝1，·＝0，若||的最小值為2，則橢圓C的方程為(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
答案　B 解析　如圖，∵||＝1，∴FM＝1，又∵·＝0，
∴⊥，即PM⊥FM，∴||＝PM＝＝，
∴當點P為橢圓的右頂點時，PF取最小值，(PF)min＝a－c＝a－3，
此時||min＝＝2，解得a＝0(舍)或a＝6，
∴b2＝a2－c2＝36－9＝27，∴橢圓C的方程為＋＝1．
9．(2023·衡陽聯考)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，過F1作直線l與橢圓C相交于M，N兩點，∠MF2N＝90°，且4F2N＝3F2M，則橢圓的離心率為(　　)
A． B． C． D．
答案　D 解析　如圖所示，設F1F2＝2c，因為4F2N＝3F2M，
設F2N＝3t，則F2M＝4t，在Rt△F2MN中，MN＝＝5t，
由橢圓定義可知F1N＝2a－3t，F1M＝2a－4t，
F1N＋F1M＝MN＝4a－7t＝5t，解得a＝3t，
所以F1N＝2a－3t＝3t＝F2N，F1M＝2a－4t＝2t，
在△F1NF2中，可得cos∠NF1F2＝，
在△F1MF2中，由余弦定理可得cos∠MF1F2＝，
因為∠NF1F2＋∠MF1F2＝π，所以cos∠NF1F2＋cos∠MF1F2＝0，
即＋＝0，解得c＝，所以橢圓的離心率e＝＝．
10．(多選題)(2023·長沙模擬)人造地球衛星繞地球運行遵循開普勒行星運動定律：衛星在以地球為焦點的橢圓軌道上繞地球運行時，其運行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒定律，即衛星的向徑(衛星與地球的連線)在相同的時間內掃過的面積相等．設橢圓的長軸長、焦距分別為2a，2c，下列結論正確的是(　　)
A．衛星向徑的取值范圍是[a－c，a＋c]
B．衛星運行速度在近地點時最小，在遠地點時最大
C．衛星向徑的最小值與最大值的比值越大，橢圓軌道越圓
D．衛星在左半橢圓弧的運行時間大于其在右半橢圓弧的運行時間
答案　ACD 解析　根據橢圓定義知衛星向徑的取值范圍是[a－c，a＋c]，A正確；
根據面積守恒定律，衛星在近地點時向徑最小，故速度最大，
在遠地點時向徑最大，故速度最小，B不正確；
＝＝－1，比值越大，則e越小，橢圓軌道越圓，C正確；
當衛星在左半橢圓弧上運行時，對應的速度慢，根據面積守恒定律，則運行時間長，D正確．
11．(多選題)已知橢圓＋＝1的左、右焦點分別為F1，F2，點P在橢圓上，且不與橢圓的左、右頂點重合，則下列關于△PF1F2的說法正確的有(　　)
A．△PF1F2的周長為4＋2
B．當∠PF1F2＝90°時，PF1＝2
C．當∠F1PF2＝60°時，△PF1F2的面積為
D．橢圓上有且僅有6個點P，使得△PF1F2為直角三角形
答案　AD 解析　由橢圓的方程可得，a＝2，b＝，c＝，
△PF1F2的周長為PF1＋PF2＋F1F2＝2a＋2c＝4＋2，故A正確；
當∠PF1F2＝90°時，PF1⊥x軸，令x＝－，可得y＝±1，
所以PF1＝1，故B不正確；
當∠F1PF2＝60°時，△PF1F2的面積為b2·tan 30°＝2×＝，故C不正確；
當點P位于橢圓的上、下頂點時，PF1＝PF2＝a＝2，而F1F2＝2c＝2，
此時∠F1PF2＝90°，有2個直角三角形，當PF1⊥F1F2時，∠PF1F2＝90°，
此時點P位于第二或第三象限，有2個直角三角形，同理可得PF2⊥F1F2時，∠PF2F1＝90°，此時有2個直角三角形，所以共有6個直角三角形，故D正確．
12．已知一個離心率為，長軸長為4的橢圓，其兩個焦點分別為F1，F2，在橢圓上存在一點P，使得∠F1PF2＝60°，設△PF1F2的內切圓半徑為r，則r的值為________．
答案　 解析　因為橢圓的離心率為，長軸長為4，所以a＝2，c＝1，
在△PF1F2中，由余弦定理得F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2cos 60°＝(PF1＋PF2)2－3PF1·PF2，解得PF1·PF2＝4，所以＝PF1·PF2sin 60°＝r(PF1＋PF2＋F1F2)，即×4×＝r×(4＋2)，解得r＝．
13．(2023·濰坊模擬)如圖，菱形架ABCD是一種作圖工具，由四根長度均為4的直桿用鉸鏈首尾連接而成．已知A，C可在帶滑槽的直桿l上滑動；另一根帶滑槽的直桿DH長度為4，且一端記為H，另一端用鉸鏈連接在D處，上述兩根帶滑槽直桿的交點P處有一栓子(可在帶滑槽的直桿上滑動)．若將H，B固定在桌面上，且兩點之間距離為2，轉動桿HD，則點P到點B距離的最大值為________．
答案　3 解析　連接BD，PB，BH(圖略)，
因為四邊形ABCD為菱形，則AC為線段BD的垂直平分線，故PB＝PD，所以PH＋PB＝PH＋PD＝DH＝4>2＝BH，故點P的軌跡是以B，H為焦點且長軸長為4的橢圓，
可得2a＝4,2c＝2，即a＝2，c＝1，所以PB的最大值為a＋c＝3．
14．(2023·眉山模擬)已知P是橢圓＋＝1上的點，F1，F2分別是橢圓的左、右焦點，若＝，則△F1PF2的面積為________．
答案　3 解析　因為a＝5，b＝3，c＝＝4，所以||＋||＝10，
因為cos〈，〉＝＝，且0°≤〈，〉<180°，
所以∠F1PF2＝60°，由余弦定理可得cos 60°＝cos〈，〉＝
＝＝，所以||||＝12，
則＝||||sin 60°＝×12×＝3．
思維升華 橢圓定義的應用技巧
(1)橢圓定義的應用主要有：求橢圓的標準方程、求焦點三角形的周長、面積及求弦長、最值和離心率等．
(2)通常將定義和余弦定理結合使用求解關于焦點三角形的周長和面積問題．
15．(2024·哈爾濱模擬)“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術活動，在我國源遠流長，某些折紙活動蘊含豐富的數學內容．例如，用一張圓形紙片，按如下步驟折紙(如圖)．
步驟1：設圓心是E，在圓內異于圓心處取一點，標記為F；
步驟2：把紙片折疊，使圓周正好經過點F；
步驟3：把紙片展開，并留下一道折痕；
步驟4：不停重復步驟2和步驟3，就能得到越來越多的折痕．圓面上所有這些折痕圍成一條曲線，記為C．
現有半徑為4的圓形紙片，定點F到圓心E的距離為2，按上述方法折紙，在C上任取一點M，O為線段EF的中點，則OM的最小值為________．
答案　 解析　如圖，設點F關于折痕的對稱點為點A，由對稱性可知MF＝MA，
且A，M，E三點共線，以FE所在直線為x軸，EF的中點O為原點建立如圖所示的平面直角坐標系，所以ME＋MF＝EA＝4>EF＝2，
所以曲線C是以F，E為焦點，長軸長為4，焦距為2的橢圓，
則可得a＝2，c＝1，則b＝＝，
所以曲線C的方程為＋＝1，設點M(x0，y0)，則＋＝1，
所以y＝3－且－2≤x0≤2，所以OM＝＝
＝≥，當且僅當x0＝0時，等號成立，故OM的最小值為．
16．(2024·呼和浩特模擬)已知點P是橢圓＋＝1上異于頂點的動點，F1，F2為橢圓的左、右焦點，O為坐標原點，若M是∠F1PF2平分線上的一點，且·＝0，則||的取值范圍是________．
答案　(0,4) 解析　如圖，延長PF2，F1M相交于點N，連接OM，
因為·＝0，則⊥，即F1M⊥MP，
因為PM為∠F1PF2的平分線，所以PN＝PF1，則點M為F1N的中點，
因為O為F1F2的中點，所以OM＝F2N＝|PN－PF2|＝|PF1－PF2|，
設點P(x0，y0)，由已知可得a＝8，b＝4，c＝＝4，
則－8PF1＝＝＝＝＝8＋x0，
故PF2＝16－PF1＝8－x0，所以OM＝|PF1－PF2|＝|x0|∈(0,4)．
17．(2024·西安模擬)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1(－c，0)，F2(c，0)，過F2作垂直于x軸的直線l交橢圓于A，B兩點，且滿足AF2＝c．
(1)求橢圓C的離心率；
(2)M，N是橢圓C短軸的兩個端點，設點P是橢圓C上一點(異于橢圓C的頂點)，直線MP，NP分別與x軸相交于R，Q兩點，O為坐標原點，若OR·OQ＝4，求橢圓C的方程．
解　(1)由題意，令x＝c，可得y2＝b2，解得y＝±，可得＝c，
又由c2＝a2－b2，整理得6a2－6c2＝ac，即6－6e2＝e，
即6e2＋e－6＝0，解得e＝，即橢圓C的離心率為．
(2)由橢圓C的方程，可得M(0，b)，N(0，－b)，
設P(x0，y0)，所以b2x＋a2y＝a2b2，則直線MP的方程為y＝x＋b，
令y＝0，可得xR＝，同理直線NP的方程為y＝x－b，
令y＝0，可得xQ＝，因為OR·OQ＝＝a2＝4，解得a＝2，
又因為e＝，所以c＝，則b＝＝1，所以橢圓C的方程為＋y2＝1．
18．在平面直角坐標系中，點B與點A關于原點對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于－．
(1)求動點P的軌跡方程，并注明x的取值范圍；
(2)設直線AP與BP分別與直線x＝3交于M，N，問是否存在點P使得△PAB與△PMN面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．
解　(1)因為點B與點A關于原點對稱，所以點B的坐標為，
設點P的坐標為(x，y)，由題意得·＝－，
化簡得＋＝1(x≠±1)，故動點P的軌跡方程為＋＝1(x≠±1)．
(2)若存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等，設點P的坐標為(x0，y0)，
則PA·PB·sin∠APB＝PM·PN·sin∠MPN，因為sin∠APB＝sin∠MPN，
所以＝，所以＝，即(3－x0)2＝|x－1|，解得x0＝，
因為＋＝1(x≠±1)，所以y0＝±，
故存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等，此時點P的坐標為．

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