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【名師導(dǎo)航】2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（全國版）
第四章 三角形及四邊形
4.5 多邊形與平行四邊形
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1 多邊形 ☆☆ 數(shù)學(xué)中考中，有關(guān)的多邊形與平行四邊形部分，每年考查1~2道題,分值為3~8分，通常以選擇題、填空題、解答題的形式考查。在解答題里出現(xiàn)涉及證明和計(jì)算，屬于中考重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)。
考點(diǎn)2 平行四邊形的判定及相關(guān)證明 ☆☆☆
☆☆☆ 代表必考點(diǎn)，☆☆代表?？键c(diǎn)，☆星表示選考點(diǎn)。
考點(diǎn)1. 多邊形
1．多邊形：在平面內(nèi)，由一些線段_________組成的圖形叫做多邊形。
2．多邊形的內(nèi)角：多邊形_____兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角。
3．多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的_____組成的角叫多邊形的外角。
4．多邊形的對(duì)角線：連接多邊形____的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線。
5．正多邊形：在平面內(nèi)，各個(gè)角都____，各條邊都_____的多邊形叫做正多邊形。
6．多邊形內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和等于____________
7．多邊形的外角和：多邊形的內(nèi)角和為________。
8.多邊形對(duì)角線的條數(shù)：
（1）從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引______條對(duì)角線，把多邊形分成______個(gè)三角形。
（2）n邊形共有條對(duì)角線。
考點(diǎn)2. 平行四邊形的判定及相關(guān)證明
1.平行四邊形定義
有兩組對(duì)邊分別_____的四邊形叫做平行四邊形。平行四邊形用符號(hào)“□ABCD”表示，讀作“平行四邊形ABCD”。
2.平行四邊形的性質(zhì)
（1）平行四邊形的對(duì)邊_____且_____；
（2）平行四邊形的______相等；
（3）平行四邊形的______互相平分。
3.平行四邊形的判定
（1）兩組對(duì)邊分別____的四邊形是平行四邊形；
（2）兩組對(duì)邊分別_____的四邊形是平行四邊形；
（3）一組對(duì)邊____且___的四邊形是平行四邊形；
（4）對(duì)角線互相_____的四邊形是平行四邊形；
（5）兩組對(duì)角分別_____的四邊形是平行四邊形。
4.平行四邊形的面積：S平行四邊形=底邊長(zhǎng)×高=ah
5. 三角形中位線問題
1．三角形中位線的定義：連接三角形________的線段叫做三角形的中位線。
2．三角形中位線定理：三角形的中位線_____于第三邊，并且等于它的_____。
3.對(duì)三角形中位線的深刻理解
（1）三角形有三條中位線，每一條與第三邊都有相應(yīng)的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系.
（2）三角形的三條中位線把原三角形分成可全等的4個(gè)小三角形.因而每個(gè)小三角形的周長(zhǎng)為原三角形周長(zhǎng)的，每個(gè)小三角形的面積為原三角形面積的.
（3）三角形的中位線不同于三角形的中線.
【易錯(cuò)點(diǎn)提示】
易錯(cuò)點(diǎn)1. 截角問題中忽視多種情況而致錯(cuò)
分析指導(dǎo)：截去一個(gè)角的方法不止一種，要按照截線經(jīng)過的頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類討論：（1）不經(jīng)過頂點(diǎn)；（2）經(jīng)過一個(gè)頂點(diǎn)；（3）經(jīng)過兩個(gè)頂點(diǎn).
易錯(cuò)點(diǎn)2. 無圖的題目中因沒有分類討論而出現(xiàn)漏解
分析指導(dǎo)：對(duì)于題目中沒有給出圖形但需要畫圖形解答的題目，要考慮周到，畫出符合條件的所有圖形，以免漏解.
考點(diǎn)1. 多邊形
【例題1】 （2024甘肅臨夏）“香渡欄干屈曲，紅妝映、薄綺疏欞．”圖1窗欞的外邊框?yàn)檎呅危ㄈ鐖D2），則該正六邊形的每個(gè)內(nèi)角為______．
【變式練1】（2024黑龍江龍東一模）已知一個(gè)多邊形內(nèi)角和是外角和的4倍，則這個(gè)多邊形是（ ）
A. 八邊形 B. 九邊形 C. 十邊形 D. 十二邊形
【變式練2】 （2024上海一模）如果一個(gè)正多邊形的中心角是，那么這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為________．
【變式練3】（2024湖南長(zhǎng)沙一模）若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和的比它的外角和多90°，那么這個(gè)多
邊形的邊數(shù)是多少？
考點(diǎn)2. 平行四邊形的判定及相關(guān)證明
【例題2】 （2024廣西）如圖，兩張寬度均為的紙條交叉疊放在一起，交叉形成的銳角為，則重合部分構(gòu)成的四邊形的周長(zhǎng)為______．
【變式練1】（2024鄭州一模）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，下列條件不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（　　）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
【變式練2】（2024福州一模）如圖，在□ABCD中，BE⊥AB交對(duì)角線AC于點(diǎn)E，若∠1=20°，則∠2的度數(shù)是_______.
【變式練3】（2024杭州一模）如圖，□ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，EF過點(diǎn)O與AB、CD分別相交于點(diǎn)E、F.求證：OE＝OF.
【變式練4】（中位線問題）如圖，菱形ABCD周長(zhǎng)為20，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是CD的中點(diǎn)，則OE的長(zhǎng)是（　?。?br/>A．2.5 B．3 C．4 D．5
考點(diǎn)1. 多邊形
1. （2024四川樂山）下列多邊形中，內(nèi)角和最小的是（ ）
A. B. C. D.
2. （2024云南省）一個(gè)七邊形的內(nèi)角和等于（ ）
A. B. C. D.
3. （2024重慶市A）如果一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都是，那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)為______．
4. （2024河北?。┲本€l與正六邊形的邊分別相交于點(diǎn)M，N，如圖所示，則（ ）
A. B. C. D.
5. （2024內(nèi)蒙古赤峰）如圖，是正邊形紙片的一部分，其中是正邊形兩條邊的一部分，若所在的直線相交形成的銳角為，則的值是（　?。?br/>A. B. C. D.
6. （2024山東棗莊）如圖，已知，，是正邊形的三條邊，在同一平面內(nèi)，以為邊在該正邊形的外部作正方形．若，則的值為（ ）
A. 12 B. 10 C. 8 D. 6
7. （2024內(nèi)蒙古包頭）已知一個(gè)n邊形的內(nèi)角和是，則________．
8. （2024山東威海）如圖，在正六邊形中，，，垂足為點(diǎn)I．若，則________．
考點(diǎn)2.平行四邊形的判定及相關(guān)證明
1. （2024貴州?。┤鐖D，平行四邊形ABCD的對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A. B. C. D.
2. （2024河南省）如圖，在中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，交于點(diǎn)F．若，則的長(zhǎng)為（ ）
A. B. 1 C. D. 2
3. （2024四川廣安）如圖，在中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，若，，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
4. （2024湖南長(zhǎng)沙）如圖，在中，點(diǎn)D，E分別是的中點(diǎn)，連接．若，則的長(zhǎng)為______．
5. （2024重慶市A）如圖，在中，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，過點(diǎn)作，且，連接交于點(diǎn)．若，，則______．
6. （2024河北省）下面是嘉嘉作業(yè)本上的一道習(xí)題及解答過程：
已知：如圖，中，，平分的外角，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接． 求證：四邊形是平行四邊形． 證明：∵，∴． ∵，，， ∴①______． 又∵，， ∴（②______）． ∴．∴四邊形是平行四邊形．
若以上解答過程正確，①，②應(yīng)分別為（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
7. （2024廣州）如圖，平行四邊形ABCD中，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，若平分，則______．
8. （2024武漢市）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)，分別在邊，上，．
（1）求證：；
（2）連接．請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)與線段相關(guān)的條件，使四邊形是平行四邊形．（不需要說明理由）
9. （2024湖北省）已知：如圖，E，F(xiàn)為□ABCD對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且AE=CF，連接BE，DF，求證：BE=DF．
10. （2024湖南?。┤鐖D，在四邊形中，，點(diǎn)E在邊上， ．請(qǐng)從“①；②，”這兩組條件中任選一組作為已知條件，填在橫線上（填序號(hào)），再解決下列問題：
（1）求證：四邊形為平行四邊形；
（2）若，，，求線段的長(zhǎng)．
11.（2024黑龍江大慶） 如圖，平行四邊形中，、分別是，的平分線，且E、F分別在邊，上．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）若，，求的面積．
12. （2024深圳）垂中平行四邊形的定義如下：在平行四邊形中，過一個(gè)頂點(diǎn)作關(guān)于不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線的垂線交平行四邊形的一條邊，若交點(diǎn)是這條邊的中點(diǎn)，則該平行四邊形是“垂中平行四邊形”．
（1）如圖1所示，四邊形為“垂中平行四邊形”，，，則________；________；
（2）如圖2，若四邊形為“垂中平行四邊形”，且，猜想與的關(guān)系，并說明理由；
（3）①如圖3所示，在中，，，交于點(diǎn)，請(qǐng)畫出以為邊的垂中平行四邊形，要求：點(diǎn)在垂中平行四邊形的一條邊上（溫馨提示：不限作圖工具）；
②若關(guān)于直線對(duì)稱得到，連接，作射線交①中所畫平行四邊形的邊于點(diǎn)，連接，請(qǐng)直接寫出的值．
考點(diǎn)1. 多邊形
1.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為900°，則這個(gè)多邊形是（　?。?br/>A. 七邊形 B. 八邊形 C. 九邊形 D. 十邊形
2．一個(gè)10邊形的內(nèi)角和等于（　?。?br/>A．1800° B．1660° C．1440° D．1200°
3．如圖，正五邊形ABCDE中，∠CAD的度數(shù)為（　　）
A．72° B．45° C．36° D．35°
4．若正多邊形的一個(gè)外角是45°，則該正多邊形的內(nèi)角和為（　?。?br/>A．540° B．720° C．900° D．1080°
5. （2022四川眉山）一個(gè)多邊形外角和是內(nèi)角和的，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為________．
6. 如圖，正六邊形和正五邊形內(nèi)接于，且有公共頂點(diǎn)A，則的度數(shù)為______度．
7．如圖，一個(gè)正五邊形和一個(gè)正六邊形有一個(gè)公共頂點(diǎn)O，則∠1+∠2＝　 　．
考點(diǎn)2.平行四邊形的判定及相關(guān)證明
1．下列條件中，能判定四邊形是平行四邊形的是（　?。?br/>A．對(duì)角線互相平分
B．對(duì)角線互相垂直
C．對(duì)角線相等
D．對(duì)角線互相垂直且相等
2. 如圖，點(diǎn)O是□ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，EF過點(diǎn)O分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，下列結(jié)論成立的
是（　?。?br/>A．OE＝OF B．AE＝BF C．∠DOC＝∠OCD D．∠CFE＝∠DEF
3. 如圖，在□ABCD中，AE平分∠BAD且交BC于點(diǎn)E，∠D＝58°，則∠AEC的大小是（　?。?br/>A．61° B．109° C．119° D．122°
4．如圖，在 ABCD中，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，∠BCD的平分線交AD于點(diǎn)F，若AB＝3，AD＝4，則EF的長(zhǎng)是（　　）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
5．如圖，在□ABCD中，AB＝13，AD＝5，AC⊥BC，則 ABCD的面積為（　?。?br/>A．30 B．60 C．65 D．
6．如圖，在四邊形ABCD中AB∥CD，若加上AD∥BC，則四邊形ABCD為平行四邊形．現(xiàn)在請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件：　 　，使得四邊形AECF為平行四邊形．（圖中不再添加點(diǎn)和線）
7．四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝6，∠BAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E，若CE＝2，則 ABCD的周長(zhǎng)為 　 ?。?br/>8．如圖，在□ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AB⊥AC，AH⊥BD于點(diǎn)H，若AB＝2，BC＝2，則AH的長(zhǎng)為 　 ．
9．如圖，在平行四邊形ABCD中，BE平分∠ABC，CF⊥BE，連接AE，G是AB的中點(diǎn)，連接GF，若AE＝4，則GF＝_____．
10．如圖，在△ABC中，M，N分別是AB和AC的中點(diǎn)，連接MN，點(diǎn)E是CN的中點(diǎn)，連接ME并延長(zhǎng)，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．若BC＝4，則CD的長(zhǎng)為　　11. 證明：平行四邊形的對(duì)邊相等。平行四邊形的對(duì)角相等。
12. 如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.
(1)求∠D的度數(shù)；
(2)求證：四邊形ABCD是平行四邊形．
13.如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，BE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F.
(1)求證：△ABE≌△CDF；
(2)連接BF、DE，試判斷四邊形BFDE是什么樣的四邊形？寫出你的結(jié)論并予以證明．
14.如圖，E為□ABCD中DC邊的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE＝DC，連接AE，分別交BC、BD于點(diǎn)F、G，連接AC交BD于O，連接OF，判斷AB與OF的位置關(guān)系和大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
15．如圖，點(diǎn)B、E、C、F在一條直線上，AB=DF，AC=DE，BE=FC．
（1）求證：△ABC≌△DFE；
（2）連接AF、BD，求證：四邊形ABDF是平行四邊形．
16. 如圖，AB、CD相交于點(diǎn)O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分別是OC、OD的中點(diǎn)．求證：
(1)△AOC≌△BOD；
(2)四邊形AFBE是平行四邊形．
17.如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分別以AB，AC為直角邊向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G為BD的中點(diǎn)，連接CG，BE，CD，BE與CD交于點(diǎn)F．
（1）判斷四邊形ACGD的形狀，并說明理由．
（2）求證：BE=CD，BE⊥CD．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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【名師導(dǎo)航】2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（全國版）
第四章 三角形及四邊形
4.5 多邊形與平行四邊形
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1 多邊形 ☆☆ 數(shù)學(xué)中考中，有關(guān)的多邊形與平行四邊形部分，每年考查1~2道題,分值為3~8分，通常以選擇題、填空題、解答題的形式考查。在解答題里出現(xiàn)涉及證明和計(jì)算，屬于中考重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)。
考點(diǎn)2 平行四邊形的判定及相關(guān)證明 ☆☆☆
☆☆☆ 代表必考點(diǎn)，☆☆代表常考點(diǎn)，☆星表示選考點(diǎn)。
考點(diǎn)1. 多邊形
1．多邊形：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形。
2．多邊形的內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角。
3．多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫多邊形的外角。
4．多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線。
5．正多邊形：在平面內(nèi)，各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形。
6．多邊形內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）·180°
7．多邊形的外角和：多邊形的內(nèi)角和為360°。
8.多邊形對(duì)角線的條數(shù)：
（1）從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引（n-3）條對(duì)角線，把多邊形分成（n-2）個(gè)三角形。
（2）n邊形共有條對(duì)角線。
考點(diǎn)2. 平行四邊形的判定及相關(guān)證明
1.平行四邊形定義
有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。平行四邊形用符號(hào)“□ABCD”表示，讀作“平行四邊形ABCD”。
2.平行四邊形的性質(zhì)
（1）平行四邊形的對(duì)邊平行且相等；
（2）平行四邊形的對(duì)角相等；
（3）平行四邊形的對(duì)角線互相平分。
3.平行四邊形的判定
（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；
（2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
（3）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；
（4）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；
（5）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形。
4.平行四邊形的面積：S平行四邊形=底邊長(zhǎng)×高=ah
5. 三角形中位線問題
1．三角形中位線的定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。
2．三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。
3.對(duì)三角形中位線的深刻理解
（1）三角形有三條中位線，每一條與第三邊都有相應(yīng)的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系.
（2）三角形的三條中位線把原三角形分成可全等的4個(gè)小三角形.因而每個(gè)小三角形的周長(zhǎng)為原三角形周長(zhǎng)的，每個(gè)小三角形的面積為原三角形面積的.
（3）三角形的中位線不同于三角形的中線.
【易錯(cuò)點(diǎn)提示】
易錯(cuò)點(diǎn)1. 截角問題中忽視多種情況而致錯(cuò)
分析指導(dǎo)：截去一個(gè)角的方法不止一種，要按照截線經(jīng)過的頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類討論：（1）不經(jīng)過頂點(diǎn)；（2）經(jīng)過一個(gè)頂點(diǎn)；（3）經(jīng)過兩個(gè)頂點(diǎn).
易錯(cuò)點(diǎn)2. 無圖的題目中因沒有分類討論而出現(xiàn)漏解
分析指導(dǎo)：對(duì)于題目中沒有給出圖形但需要畫圖形解答的題目，要考慮周到，畫出符合條件的所有圖形，以免漏解.
考點(diǎn)1. 多邊形
【例題1】 （2024甘肅臨夏）“香渡欄干屈曲，紅妝映、薄綺疏欞．”圖1窗欞的外邊框?yàn)檎呅危ㄈ鐖D2），則該正六邊形的每個(gè)內(nèi)角為______．
【答案】120
【解析】本題考查多邊形內(nèi)角和，正多邊形的性質(zhì)．掌握n邊形內(nèi)角和為和正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等是解題關(guān)鍵．根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式求出正六邊形的內(nèi)角和為，再除以6即可．
【詳解】∵正六邊形的內(nèi)角和為，
∴正六邊形的每個(gè)內(nèi)角為．
【變式練1】（2024黑龍江龍東一模）已知一個(gè)多邊形內(nèi)角和是外角和的4倍，則這個(gè)多邊形是（ ）
A. 八邊形 B. 九邊形 C. 十邊形 D. 十二邊形
【答案】C
【解析】設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，然后根據(jù)內(nèi)角和與外角和公式列方程求解即可.
設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，
則（n－2）×180°＝4×360°，
解得：n＝10.
【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和定理及多邊形的外角和定理，熟練掌握多邊形內(nèi)角和定理是解答本題的關(guān)鍵.n變形的內(nèi)角和為：(n-2) ×180°， n變形的外角和為：360°；然后根據(jù)等量關(guān)系列出方程求解．
【變式練2】 （2024上海一模）如果一個(gè)正多邊形的中心角是，那么這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為________．
【答案】18
【解析】根據(jù)正n邊形的中心角的度數(shù)為進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．
根據(jù)正n邊形的中心角的度數(shù)為，
則，
故這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為18．
【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形內(nèi)角和中心角的知識(shí)，掌握中心角的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．
【變式練3】（2024湖南長(zhǎng)沙一模）若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和的比它的外角和多90°，那么這個(gè)多
邊形的邊數(shù)是多少？
【答案】12
【解析】設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是n，
由題意得：（n﹣2）×180°﹣360°＝90°，
∴n＝12，
答：這個(gè)多邊形的邊數(shù)是12．
考點(diǎn)2. 平行四邊形的判定及相關(guān)證明
【例題2】 （2024廣西）如圖，兩張寬度均為的紙條交叉疊放在一起，交叉形成的銳角為，則重合部分構(gòu)成的四邊形的周長(zhǎng)為______．
【答案】
【解析】本題考查了平行四邊形的判定，菱形的判定和性質(zhì)，菱形的周長(zhǎng)，過點(diǎn)作于，于，由題意易得四邊形是平行四邊形，進(jìn)而由平行四邊形的面積可得，即可得到四邊形是菱形，再解可得，即可求解，得出四邊形是菱形是解題的關(guān)鍵．
【詳解】過點(diǎn)作于，于，則，
∵兩張紙條的對(duì)邊平行，
∴，，
∴四邊形是平行四邊形，
又∵兩張紙條的寬度相等，∴，
∵，∴，
∴四邊形是菱形，
在中，，，
∴，
∴四邊形的周長(zhǎng)為
【變式練1】（2024鄭州一模）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，下列條件不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（　　）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
【答案】C
【解析】∵AB∥DC，AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)A中條件可以判定四邊形ABCD是平行四邊形；
∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)B中條件可以判定四邊形ABCD是平行四邊形；
∵AB∥DC，AD＝BC，則無法判斷四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)C中的條件，不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形；
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)D中條件可以判定四邊形ABCD是平行四邊形；
【變式練2】（2024福州一模）如圖，在□ABCD中，BE⊥AB交對(duì)角線AC于點(diǎn)E，若∠1=20°，則∠2的度數(shù)是_______.
【答案】110°
【解析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和和三角形外角的性質(zhì)求角的大小，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用平行四邊形性質(zhì)或三角形外角的有關(guān)知識(shí)．思路：首先利用平行四邊形的性質(zhì)求出∠BAE的度數(shù)，再由∠2是△ABE的外角求出∠2的大小.
∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AB∥CD，
∴∠BAE=∠1=20°
∵BE⊥AB
∴∠ABE=90°
∵∠2是△ABE的外角
∴∠2=∠ABE+∠BAE=90°+20°=110 ，故答案為110°.
【變式練3】（2024杭州一模）如圖，□ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，EF過點(diǎn)O與AB、CD分別相交于點(diǎn)E、F.求證：OE＝OF.
【答案】見解析。
【解析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出OD＝OB，DC∥AB，推出∠FDO＝∠EBO，證出△DFO≌△BEO即可．
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OD＝OB，DC∥AB，∴∠FDO＝∠EBO.
在△DFO和△BEO中，
∴△DFO≌△BEO(ASA)，∴OE＝OF.
方法總結(jié)：利用平行四邊形的性質(zhì)解決線段的問題時(shí)，要注意運(yùn)用平行四邊形的對(duì)邊相等，對(duì)角線互相平分的性質(zhì)．
【變式練4】（中位線問題）如圖，菱形ABCD周長(zhǎng)為20，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是CD的中點(diǎn)，則OE的長(zhǎng)是（　?。?br/>A．2.5 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】∵四邊形ABCD為菱形，
∴CD＝BC5，且O為BD的中點(diǎn)，
∵E為CD的中點(diǎn)，
∴OE為△BCD的中位線，
∴OECB＝2.5
考點(diǎn)1. 多邊形
1. （2024四川樂山）下列多邊形中，內(nèi)角和最小的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】邊數(shù)為n的多邊形的內(nèi)角和，分別求出三角形，四邊形，五邊形，六邊形的內(nèi)角和，即可得到．
三角形的內(nèi)角和等于
四邊形的內(nèi)角和等于
五邊形的內(nèi)角和等于
六邊形的內(nèi)角和等于
所以三角形的內(nèi)角和最小 故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，能熟記邊數(shù)為n的多邊形的內(nèi)角和是解此題的關(guān)鍵．
2. （2024云南省）一個(gè)七邊形的內(nèi)角和等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本題考查多邊形的內(nèi)角和，根據(jù)邊形的內(nèi)角和為求解，即可解題．
一個(gè)七邊形的內(nèi)角和等于，故選：B．
3. （2024重慶市A）如果一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都是，那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)為______．
【答案】9
【解析】本題考查了多邊形的外角和定理，用外角和除以即可求解，掌握多邊形的外角和等于是解題的關(guān)鍵．
，
∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)是．
4. （2024河北省）直線l與正六邊形的邊分別相交于點(diǎn)M，N，如圖所示，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，正多邊形的每個(gè)內(nèi)角，鄰補(bǔ)角，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．
先求出正六邊形的每個(gè)內(nèi)角為，再根據(jù)六邊形的內(nèi)角和為即可求解的度數(shù)，最后根據(jù)鄰補(bǔ)角的意義即可求解．
【詳解】解：正六邊形每個(gè)內(nèi)角為：，
而六邊形的內(nèi)角和也為，
∴，
∴，
∵，
∴，故選：B．
5. （2024內(nèi)蒙古赤峰）如圖，是正邊形紙片的一部分，其中是正邊形兩條邊的一部分，若所在的直線相交形成的銳角為，則的值是（　?。?br/>A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本題考查了正多邊形，求出正多邊形的每個(gè)外角度數(shù)，再用外角和除以外角度數(shù)即可求解，掌握正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】如圖，直線相交于點(diǎn)，則，
∵正多邊形的每個(gè)內(nèi)角相等，
∴正多邊形的每個(gè)外角也相等，
∴，
∴，
故選：．
6. （2024山東棗莊）如圖，已知，，是正邊形的三條邊，在同一平面內(nèi)，以為邊在該正邊形的外部作正方形．若，則的值為（ ）
A. 12 B. 10 C. 8 D. 6
【答案】A
【解析】本題考查的是正多邊形的性質(zhì)，正多邊形的外角和，先求解正多邊形的1個(gè)內(nèi)角度數(shù)，得到正多邊形的1個(gè)外角度數(shù)，再結(jié)合外角和可得答案.
【詳解】∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∴正邊形的一個(gè)外角為，
∴的值為；故選A
7. （2024內(nèi)蒙古包頭）已知一個(gè)n邊形的內(nèi)角和是，則________．
【答案】7
【解析】本題考查根據(jù)多邊形的內(nèi)角和計(jì)算公式求多邊形的邊數(shù)，多邊形的內(nèi)角和可以表示成，依此列方程可求解．
根據(jù)題意，得，
解得
8. （2024山東威海）如圖，在正六邊形中，，，垂足為點(diǎn)I．若，則________．
【答案】##50度
【解析】本題考查了正六邊形的內(nèi)角和、平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，先求出正六邊形的每個(gè)內(nèi)角為，即，則可求得的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求得的度數(shù)，進(jìn)而可求出的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出的度數(shù)．
∵正六邊形的內(nèi)角和，
每個(gè)內(nèi)角為：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
考點(diǎn)2.平行四邊形的判定及相關(guān)證明
1. （2024貴州省）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，對(duì)角線互相平分是解題的關(guān)鍵．
∵是平行四邊形，
∴，故選B．
2. （2024河南?。┤鐖D，在中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，交于點(diǎn)F．若，則的長(zhǎng)為（ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】B
【解析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，利用平行四邊形的性質(zhì)、線段中點(diǎn)定義可得出，證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，故選：B．
3. （2024四川廣安）如圖，在中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，若，，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本題考查了三角形中位線定理、平行線性質(zhì)定理，三角形的內(nèi)角和定理，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．先證明，可得，再利用三角形的內(nèi)角和定理可得答案.
【詳解】∵點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故選D
4. （2024湖南長(zhǎng)沙）如圖，在中，點(diǎn)D，E分別是的中點(diǎn)，連接．若，則的長(zhǎng)為______．
【答案】24
【解析】本題主要考查三角形中位線定理，熟知三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．
∵D，E分別是，的中點(diǎn)，
∴是的中點(diǎn)，
∴．
5. （2024重慶市A）如圖，在中，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，過點(diǎn)作，且，連接交于點(diǎn)．若，，則______．
【答案】
【解析】先根據(jù)平行線分線段成比例證，進(jìn)而得，，再證明，得，從而即可得解．
【詳解】∵，過點(diǎn)作，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，故答案為：，
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形的中位線定理，平行線分線段成比例以及全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握三角形的中位線定理，平行線分線段成比例以及全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6. （2024河北?。┫旅媸羌渭巫鳂I(yè)本上的一道習(xí)題及解答過程：
已知：如圖，中，，平分的外角，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接． 求證：四邊形是平行四邊形． 證明：∵，∴． ∵，，， ∴①______． 又∵，， ∴（②______）． ∴．∴四邊形是平行四邊形．
若以上解答過程正確，①，②應(yīng)分別為（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】本題考查平行四邊形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)等邊對(duì)等角得，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及角平分線的定義可得，證明，得到，再結(jié)合中點(diǎn)的定義得出，即可得證．解題的關(guān)鍵是掌握：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．
【詳解】證明：∵，∴．
∵，，，
∴①．
又∵，，
∴（②）．
∴．∴四邊形是平行四邊形．故選：D．
7. （2024廣州）如圖，平行四邊形ABCD中，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，若平分，則______．
【答案】5
【解析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．由平行四邊形的性質(zhì)可知，，，進(jìn)而得出，再由等角對(duì)等邊的性質(zhì)，得到，即可求出的長(zhǎng)．
【詳解】在平行四邊形ABCD中，，
，，
，
平分，
，
，
，
．
8. （2024武漢市）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)，分別在邊，上，．
（1）求證：；
（2）連接．請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)與線段相關(guān)的條件，使四邊形是平行四邊形．（不需要說明理由）
【答案】（1）見解析 （2）添加（答案不唯一）
【解析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定；
（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，，結(jié)合已知條件可得，即可證明；
（2）添加，依據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即可求解．
【小問1詳解】
證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，
∵，
∴即，
在與中，
，
∴；
【小問2詳解】
添加（答案不唯一）
如圖所示，連接．
∵四邊形是平行四邊形，
∴，即，
當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形．
9. （2024湖北?。┮阎喝鐖D，E，F(xiàn)為□ABCD對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且AE=CF，連接BE，DF，求證：BE=DF．
【答案】證明見解析．
【解析】利用SAS證明△AEB≌△CFD，再根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB//DC，AB=DC，
∴∠BAE=∠DCF，
在△AEB和△CFD中，
，
∴△AEB≌△CFD（SAS），
∴BE=DF．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10. （2024湖南省）如圖，在四邊形中，，點(diǎn)E在邊上， ．請(qǐng)從“①；②，”這兩組條件中任選一組作為已知條件，填在橫線上（填序號(hào)），再解決下列問題：
（1）求證：四邊形為平行四邊形；
（2）若，，，求線段的長(zhǎng)．
【答案】（1）①或②，證明見解析； （2）6
【解析】題目主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理解三角形，理解題意，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
（1）選擇①或②，利用平行四邊形的判定證明即可；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，再由勾股定理即可求解．
【小問1詳解】
解：選擇①，
證明：∵，
∴，
∵，
∴四邊形為平行四邊形；
選擇②，
證明：∵，，
∴，
∵，
∴四邊形為平行四邊形；
【小問2詳解】
解：由（1）得，
∵，，
∴．
11.（2024黑龍江大慶） 如圖，平行四邊形中，、分別是，的平分線，且E、F分別在邊，上．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）若，，求的面積．
【答案】（1）見解析 （2）．
【解析】【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得到，，結(jié)合角平分線的條件得到，由得到，，根據(jù)平行線的判定得到，根據(jù)平行四邊形的判定即可得到是平行四邊形；
（2）求得是等邊三角形，得到，，證明，求得，作于點(diǎn)，在中，求得，據(jù)此求解即可．
【小問1詳解】
證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∵分別是、的平分線，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形；
【小問2詳解】
解：由（1）得，，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
作于點(diǎn)，
在中，，，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)．正確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵．
12. （2024深圳）垂中平行四邊形的定義如下：在平行四邊形中，過一個(gè)頂點(diǎn)作關(guān)于不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線的垂線交平行四邊形的一條邊，若交點(diǎn)是這條邊的中點(diǎn)，則該平行四邊形是“垂中平行四邊形”．
（1）如圖1所示，四邊形為“垂中平行四邊形”，，，則________；________；
（2）如圖2，若四邊形為“垂中平行四邊形”，且，猜想與的關(guān)系，并說明理由；
（3）①如圖3所示，在中，，，交于點(diǎn)，請(qǐng)畫出以為邊的垂中平行四邊形，要求：點(diǎn)在垂中平行四邊形的一條邊上（溫馨提示：不限作圖工具）；
②若關(guān)于直線對(duì)稱得到，連接，作射線交①中所畫平行四邊形的邊于點(diǎn)，連接，請(qǐng)直接寫出的值．
【答案】（1），
（2），理由見解析
（3）①見解析；②或．
【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可推出，得到，從而推出，再根據(jù)勾股定理可求得，再求得；
（2）根據(jù)題意可推出，得到，設(shè)，則，，再利用勾股定理得到，從而推出、，即可求得答案；
（3）①分情況討論，第一種情況，作的平行線，使，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)；第二種情況，作的平分線，取交的平分線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，在射線上取，連接；第三種情況，作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，作的垂直平分線；
在延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F，使，連接；
②根據(jù)①中的三種情況討論：
第一種情況，根據(jù)題意可證得是等腰三角形，作，則，可推出，從而推出，計(jì)算可得，最后利用勾股定理即可求得；
第二種情況，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，同理可得是等腰三角形，連接，可由，結(jié)合三線合一推出，從而推出，同第一種情況即可求得；
第三種情況無交點(diǎn)，不符合題意．
【小問1詳解】
解：，為的中點(diǎn)，，，，
，，
，即，解得，
，
；
故答案為：1；；
【小問2詳解】
解：，理由如下：
根據(jù)題意，在垂中四邊形中，，且為的中點(diǎn)，
，；
又，
，
；
設(shè)，則，
，
，
，，
，
，
，
；
【小問3詳解】
解：①第一種情況：
作的平行線，使，連接，
則四邊形為平行四邊形；
延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
，
，
，
，，
，即，
為的中點(diǎn)；
故如圖1所示，四邊形即為所求的垂中平行四邊形：
第二種情況：
作的平分線，取交的平分線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，在射線上取，連接，
故為的中點(diǎn)；
同理可證明：，
則，
則四邊形是平行四邊形；
故如圖2所示，四邊形即為所求的垂中平行四邊形：
第三種情況：
作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，作的垂直平分線；
在延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F，使，連接，
則為的中點(diǎn)，
同理可證明，從而，
故四邊形是平行四邊形；
故如圖3所示，四邊形即為所求的垂中平行四邊形：
②若按照?qǐng)D1作圖，
由題意可知，，
四邊形是平行四邊形，
，
，
是等腰三角形；
過P作于H，則，
，，
，，
，
；
,，
，
，即
∴
若按照?qǐng)D2作圖，
延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，
同理可得：是等腰三角形，
連接，
，
，
，
，
；
同理，，
，，，
，即，
，
若按照?qǐng)D3作圖，則：沒有交點(diǎn)，不存在PE（不符合題意）
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂中平行四邊形的定義，平行四邊形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，尺規(guī)作圖，等腰三角形的判定與性質(zhì)等，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，讀懂題意并作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)1. 多邊形
1.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為900°，則這個(gè)多邊形是（　?。?br/>A. 七邊形 B. 八邊形 C. 九邊形 D. 十邊形
【答案】A
【解析】根據(jù)n邊形的內(nèi)角和是（n﹣2） 180°，列出方程即可求解．
根據(jù)n邊形的內(nèi)角和公式，得
（n﹣2） 180°=900°，
解得n=7，
∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)是7，故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是熟記內(nèi)角和公式并列出方程．
2．一個(gè)10邊形的內(nèi)角和等于（　　）
A．1800° B．1660° C．1440° D．1200°
【答案】C
【解析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和等于（n﹣2） 180°即可得解．
根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式得，10邊形的內(nèi)角和等于：
（10﹣2）×180°＝8×180°＝1440°．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，熟記多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．
3．如圖，正五邊形ABCDE中，∠CAD的度數(shù)為（　　）
A．72° B．45° C．36° D．35°
【答案】C
【解析】首先可根據(jù)五邊形內(nèi)角和公式求出每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，然后求出∠CAB和∠DAE，即可求出∠CAD．
根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式可得，
正五邊形ABCDE的內(nèi)角和＝180°×（5﹣2）＝540°，
則∠BAE＝∠B＝∠E＝＝108°，
根據(jù)正五邊形的性質(zhì)，△ABC≌△AED，
∴∠CAB＝∠DAE＝（180°﹣108°）＝36°，
∴∠CAD＝108°﹣36°﹣36°＝36°.
4．若正多邊形的一個(gè)外角是45°，則該正多邊形的內(nèi)角和為（　?。?br/>A．540° B．720° C．900° D．1080°
【答案】D
【解析】先根據(jù)多邊形的外角和定理求出多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求出這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和．
正多邊形的邊數(shù)為：360°÷45°＝8，
∴這個(gè)多邊形是正八邊形，
∴該多邊形的內(nèi)角和為（8﹣2）×180°＝1080°．
5. （2022四川眉山）一個(gè)多邊形外角和是內(nèi)角和的，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為________．
【答案】11
【解析】多邊形的內(nèi)角和定理為，多邊形的外角和為360°，根據(jù)題意列出方程求出n的值．
根據(jù)題意可得：，
解得： ．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是多邊形的內(nèi)角和公式以及外角和定理，屬于基礎(chǔ)題型．記憶理解并應(yīng)用這兩個(gè)公式是解題的關(guān)鍵．
6. 如圖，正六邊形和正五邊形內(nèi)接于，且有公共頂點(diǎn)A，則的度數(shù)為______度．
【答案】12
【解析】連接AO，求出正六邊形和正五邊形的中心角即可作答．
連接AO，如圖，
∵多邊形ABCDEF是正六邊形，
∴∠AOB=360°÷6=60°，
∵多邊形AHIJK是正五邊形，
∴∠AOH=360°÷5=72°，
∴∠BOH=∠AOH-∠AOB=72°-60°=12°．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的中心角的知識(shí)，掌握正多邊形中心角的計(jì)算方法是解答本題的關(guān)鍵．
7．如圖，一個(gè)正五邊形和一個(gè)正六邊形有一個(gè)公共頂點(diǎn)O，則∠1+∠2＝　 ?。?br/>【答案】132°．
【解析】∵正五邊形的每個(gè)內(nèi)角度數(shù)＝180°﹣360°÷5＝108°，
正六邊形的每個(gè)內(nèi)角度數(shù)＝180°﹣360°÷6＝120°，
∴∠1+∠2+108°+120°＝360°，
∴∠1+∠2＝132°．
考點(diǎn)2.平行四邊形的判定及相關(guān)證明
1．下列條件中，能判定四邊形是平行四邊形的是（　?。?br/>A．對(duì)角線互相平分
B．對(duì)角線互相垂直
C．對(duì)角線相等
D．對(duì)角線互相垂直且相等
【答案】A
【解析】A、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．正確．
B、對(duì)角線互相垂直的四邊形不一定是平行四邊形．錯(cuò)誤．
C、對(duì)角線相等的四邊形不一定是平行四邊形．錯(cuò)誤．
D、對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形不一定是平行四邊形．錯(cuò)誤．
故選：A．
2. 如圖，點(diǎn)O是□ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，EF過點(diǎn)O分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，下列結(jié)論成立的
是（　　）
A．OE＝OF B．AE＝BF C．∠DOC＝∠OCD D．∠CFE＝∠DEF
【答案】A
【解析】證△AOE≌△COF（ASA），得OE＝OF，AE＝CF，∠CFE＝∠AEF，進(jìn)而得出結(jié)論．
∵ ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，
∴AO＝CO，BO＝DO，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，AE＝CF，∠CFE＝∠AEF，
又∵∠DOC＝∠BOA，
∴選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B、C、D不正確．
3. 如圖，在□ABCD中，AE平分∠BAD且交BC于點(diǎn)E，∠D＝58°，則∠AEC的大小是（　　）
A．61° B．109° C．119° D．122°
【答案】C
【解析】由平行四邊形的性質(zhì)可得∠BAD＝122°，∠B＝∠D＝58°，由角平分線的性質(zhì)和外角性質(zhì)可求解．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠D＝58°，
∴∠BAD＝122°，∠B＝∠D＝58°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝61°，
∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝119°．
4．如圖，在 ABCD中，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，∠BCD的平分線交AD于點(diǎn)F，若AB＝3，AD＝4，則EF的長(zhǎng)是（　?。?br/>A．1 B．2 C．2.5 D．3
【答案】B
【解析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明DF＝CD，AE＝AB，進(jìn)而可得AF和ED的長(zhǎng)，然后可得答案．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥CB，AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，
∴∠DFC＝∠FCB，
又∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠FCB，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴DF＝DC＝3，
同理可證：AE＝AB＝3，
∵AD＝4，
∴AF＝5﹣4＝1，DE＝4﹣3＝1，
∴EF＝4﹣1﹣1＝2．
5．如圖，在□ABCD中，AB＝13，AD＝5，AC⊥BC，則 ABCD的面積為（　?。?br/>A．30 B．60 C．65 D．
【答案】B
【解析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理求出四邊形ABCD的底邊BC和其對(duì)角線AC的值，然后根據(jù)平行四邊形的面積計(jì)算公式求解．
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴BC＝AD＝5．
∵AC⊥BC，
∴△ACB是直角三角形．
∴AC＝＝＝12．
∴S ABCD＝BC AC＝5×12＝60．
6．如圖，在四邊形ABCD中AB∥CD，若加上AD∥BC，則四邊形ABCD為平行四邊形．現(xiàn)在請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件：　 　，使得四邊形AECF為平行四邊形．（圖中不再添加點(diǎn)和線）
【答案】BE＝DF．
【解析】添加的條件：BE＝DF．
證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形
∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF
又∵BE＝DF
∴△ABE≌△CDF
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD
∴∠AEF＝∠EFC
∴AE∥FC
∴四邊形AECF為平行四邊形．
故答案為：BE＝DF．
7．四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝6，∠BAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E，若CE＝2，則 ABCD的周長(zhǎng)為 　 ?。?br/>【答案】28．
【解析】由平行四邊形的性質(zhì)知BC∥AD，由平行線的性質(zhì)即角平分線的定義可得∠BEA＝∠BAE，進(jìn)而可求解BE的長(zhǎng)，即可求得BC的長(zhǎng)，再根據(jù)平行四邊形的周長(zhǎng)可求解．
如圖：
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴BC∥AD，
∴∠BEA＝∠EAD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴BE＝AB，
∵AB＝6，
∴BE＝6，
∵CE＝2，
∴BC＝BE+CE＝6+2＝8，
∴平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為：2×（6+8）＝28，
8．如圖，在□ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AB⊥AC，AH⊥BD于點(diǎn)H，若AB＝2，BC＝2，則AH的長(zhǎng)為 　 ．
【答案】．
【解析】在Rt△ABC和Rt△OAB中，分別利用勾股定理可求出BC和OB的長(zhǎng)，又AH⊥OB，可利用等面積法求出AH的長(zhǎng)．
如圖，
∵AB⊥AC，AB＝2，BC＝2，
∴AC＝＝2，
在 ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝OC＝，
在Rt△OAB中，
OB＝＝，
又AH⊥BD，
∴OB AH＝OA AB，即＝，
解得AH＝．
9．如圖，在平行四邊形ABCD中，BE平分∠ABC，CF⊥BE，連接AE，G是AB的中點(diǎn)，連接GF，若AE＝4，則GF＝_____．
【答案】2
【解析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合角平分線的定義可求解∠CBE=∠BEC，即可得CB=CE，利用等腰三角形的性質(zhì)得到BF=EF，進(jìn)而可得GF是△ABE的中位線，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)可求解．
在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，∴∠ABE=∠BEC．
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BEC，∴CB=CE．
∵CF⊥BE，∴BF=EF．∵G是AB的中點(diǎn)，∴GF是△ABE的中位線，∴GF=AE，
∵AE=4，∴GF=2．故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線的性質(zhì)，證明GF是△ABE的中位線是解題的關(guān)鍵．
10．如圖，在△ABC中，M，N分別是AB和AC的中點(diǎn)，連接MN，點(diǎn)E是CN的中點(diǎn)，連接ME并延長(zhǎng)，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．若BC＝4，則CD的長(zhǎng)為　　．
【答案】2
【解析】依據(jù)三角形中位線定理，即可得到MNBC＝2，MN∥BC，依據(jù)△MNE≌△DCE（AAS），即可得到CD＝MN＝2．
∵M(jìn)，N分別是AB和AC的中點(diǎn)，
∴MN是△ABC的中位線，
∴MNBC＝2，MN∥BC，
∴∠NME＝∠D，∠MNE＝∠DCE，
∵點(diǎn)E是CN的中點(diǎn)，
∴NE＝CE，
∴△MNE≌△DCE（AAS），
∴CD＝MN＝2．
11. 證明：平行四邊形的對(duì)邊相等。平行四邊形的對(duì)角相等。
【解析】已知：四邊形ABCD是平行四邊形.
求證:AD=BC,AB=CD,∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC.
證明：如圖，連接AC.
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD∥BC，AB ∥ CD,
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
又∵AC是△ABC和△CDA的公共邊，
∴ △ABC≌△CDA,
∴AD=BC，AB=CD，∠ABC=∠ADC.
∵∠BAD=∠1+∠4，∠BCD=∠2+∠3，
∴∠BAD=∠BCD.
不添加輔助線，利用平行線性質(zhì)也能證明。
12. 如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.
(1)求∠D的度數(shù)；
(2)求證：四邊形ABCD是平行四邊形．
【答案】見解析。
【解析】(1)解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，
∴∠D＝180°－∠2－∠1＝55°；
(2)證明：∵AB∥DC，
∴∠2＝∠CAB，
∴∠DAB＝∠1＋∠2＝125°.
∵∠DCB＋∠DAB＋∠D＋∠B＝360°，
∴∠DCB＝∠DAB＝125°.
又∵∠D＝∠B＝55°，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
13.如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，BE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F.
(1)求證：△ABE≌△CDF；
(2)連接BF、DE，試判斷四邊形BFDE是什么樣的四邊形？寫出你的結(jié)論并予以證明．
【答案】見解析
【解析】(1)根據(jù)“AAS”可證出△ABE≌△CDF；(2)首先根據(jù)△ABE≌△CDF得出AE＝FC，BE＝DF.再利用已知得出△ADE≌△CBF，進(jìn)而得出DE＝BF，即可得出四邊形BFDE是平行四邊形．
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA.∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，∴∠AEB＝∠DFC＝90°.在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(AAS)；
（2）解：四邊形BFDE是平行四邊形．理由如下：∵△ABE≌△CDF，∴AE＝FC，BE＝DF.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝CB，AD∥CB，∴∠DAC＝∠BCA.在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF(SAS)，∴DE＝BF，∴四邊形BFDE是平行四邊形．
方法總結(jié)：熟練運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)，可證明三角形全等，證明邊相等，再利用兩組對(duì)邊分別相等可判定四邊形是平行四邊形．
14.如圖，E為□ABCD中DC邊的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE＝DC，連接AE，分別交BC、BD于點(diǎn)F、G，連接AC交BD于O，連接OF，判斷AB與OF的位置關(guān)系和大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
【答案】見解析。
【解析】本題可先證明△ABF≌△ECF，從而得出BF＝CF，這樣就得出了OF是△ABC的中位線，從而利用中位線定理即可得出線段OF與線段AB的關(guān)系．
AB∥OF，AB＝2OF.證明如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，∴∠BAF＝∠CEF，∠ABF＝∠ECF.∵CE＝DC，∴AB＝CE.在△ABF和△ECF中，
∴△ABF≌△ECF(ASA)，∴BF＝CF.
∵OA＝OC，
∴OF是△ABC的中位線，∴AB∥OF，AB＝2OF.
方法總結(jié)：本題綜合的知識(shí)點(diǎn)比較多，解答本題的關(guān)鍵是判斷出OF是△ABC的中位線．
15．如圖，點(diǎn)B、E、C、F在一條直線上，AB=DF，AC=DE，BE=FC．
（1）求證：△ABC≌△DFE；
（2）連接AF、BD，求證：四邊形ABDF是平行四邊形．
【答案】見解析
【解析】證明：（1）∵BE=FC，
∴BC=EF，
在△ABC和△DFE中，，
∴△ABC≌△DFE（SSS）；
（2）解：如圖所示：
由（1）知△ABC≌△DFE，
∴∠ABC=∠DFE，∴AB∥DF，
∵AB=DF，
∴四邊形ABDF是平行四邊形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定；熟練掌握平行四邊形的判定方法，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．
16. 如圖，AB、CD相交于點(diǎn)O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分別是OC、OD的中點(diǎn)．求證：
(1)△AOC≌△BOD；
(2)四邊形AFBE是平行四邊形．
證明：(1)∵AC∥BD，
∴∠C＝∠D.
又∵∠COA=∠DOB，AO＝BO ，
∴△AOC≌△BOD(AAS)；
(2)∵△AOC≌△BOD，
∴CO＝DO.
∵E、F分別是OC、OD的中點(diǎn)，
∴EO＝FO.
又∵AO＝BO，
∴四邊形AFBE是平行四邊形．
17.如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分別以AB，AC為直角邊向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G為BD的中點(diǎn)，連接CG，BE，CD，BE與CD交于點(diǎn)F．
（1）判斷四邊形ACGD的形狀，并說明理由．
（2）求證：BE=CD，BE⊥CD．
【答案】看解析。
【解析】（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴AB=BC，
∵△ABD和△ACE均為等腰直角三角形，
∴BD==BC=2BC，
∵G為BD的中點(diǎn)，
∴BG=BD=BC，
∴△CBG為等腰直角三角形，∴∠CGB=45°，
∵∠ADB=45°，
AD∥CG，
∵∠ABD=45°，∠ABC=45°∴∠CBD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBD+∠ACB=180°，∴AC∥BD，∴四邊形ACGD為平行四邊形；
（2）證明：∵∠EAB=∠EAC+∠CAB=90°+45°=135°，
∠CAD=∠DAB+∠BAC=90°+45°=135°，∴∠EAB=∠CAD，
在△DAC與△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE，∴BE=CD；
∵∠EAC=∠BCA=90°，EA=AC=BC，
∴四邊形ABCE為平行四邊形，∴CE=AB=AD，
在△BCE與△CAD中，
，
∴△BCE≌△CAD，∴∠CBE=∠ACD，
∵∠ACD+∠BCD=90°，∴∠CBE+∠BCD=90°，∴∠CFB=90°，即BE⊥CD．
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