資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
【名師導航】2025年中考數學一輪復習學案（全國版）
第四章 三角形及四邊形
4.4 銳角三角函數
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 特珠角的三角函數值 ☆ 數學中考中，有關銳角三角函數的部分，每年考查1~2道題,分值為3~10分，通常以選擇題、填空題、解答題的形式考查。銳角三角函數的實際應用屬于全國各省市必考題，希望復習時強化訓練。
考點2 直角三角形的邊角關系 ☆☆
考點3 銳角三角函數的實際應用 ☆☆☆
☆☆☆ 代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示選考點。
考點1 特珠角的三角函數值
1.銳角∠A的正弦、余弦、正切的定義
如圖，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°。
（1）我們把銳角 A 的對邊與_____的比叫做∠A的正弦，記作 sin A 即
sin A==，
（2）我們把銳角A的_____與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA，
cos A==，
（3）我們把銳角A的對邊與_____的比叫做 ∠A 的正切，記作 tanA， 即
tan A==．
2.銳角三角函數的定義
sin A、cos A、tan A分別叫做銳角∠A的正弦、余弦、正切，統稱為銳角∠A的三角函數．
3. 30°、45°、60°角的三角函數值
4. 通過三角函數值求角度
考點2 直角三角形的邊角關系
1. 解直角三角形
由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫作解直角三角形。
注意：在直角三角形中，除直角外有個元素（即3條邊、2個銳角），只要知道其中的2個元素（至少有1個是邊），就可以求出其余的3個未知元素。
2. 直角三角形中邊角關系
在直角三角形ABC中，如果∠C=90°，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，那么
（1）三邊之間的關系為__________（勾股定理）
（2）銳角之間的關系為∠A+∠B=_____
（3）_____角所對直角邊等于斜邊的一半。
（4）直角三角形斜邊上的_____等于斜邊的一半。
（5）邊角之間的關系為：（三角函數定義）
3. 其他有關公式
（1）==
（2）Rt△面積公式：
（3）直角三角形外接圓的半徑，內切圓半徑
（4）直角三角形斜邊上的高
【方法總結1】解直角三角形的常見類型及一般解法
只要知道五個元素中的兩個元素（至少有一個是邊），就可以求出余下的三個未知元素.
Rt△ABC中的已知條件 一般解法
兩邊 兩直角邊a，b (1)； (2)由求出∠A； (3)∠B=90 ∠A.
一直角邊a，斜邊c (1)； (2)由求出∠A； (3)∠B=90 ∠A.
一邊一銳角 一直角邊a，銳角A (1)∠B=90 ∠A； (2)； (3).
斜邊c，銳角A (1)∠B=90 ∠A； (2)a=c·sin A； (3)b=c·cos A.
【方法總結2】當用三角函數定義求角的三角函數值時，首先要判斷這個三角形是否為直角三角形，若是，還應明確哪個角是直角，切忌硬套定義式．對于復雜問題，需要構造直角三角形，將所考查的角置身在這個直角三角形中．
方法總結1：結合平面直角坐標系求某角的正弦、余弦、正切，函數值，一般過已知點向x軸或y軸作垂線，構造直角三角形，再結合勾股定理求解。
方法總結2：已知一邊及其鄰角的正弦、余弦、正切，函數值時，一般需結合方程思想和勾股定理，解決問題。
方法總結3：在沒有明確三角形是直角三角形的前提下，首先判定三角形是不是直角三角形，在明確三角形是直角三角形的條件下，再使用銳角三角函數定義進行解證，否則，通過分割或補形法轉換成直角三角形。
方法總結4：依據同角或等角的三角函數值相等的性質，將一個的三角函數值用另一個等角的三角函數值替換。
考點3 銳角三角函數的實際應用
1. 仰角和俯角：在進行測量時，從_____看，視線與水平線的夾角叫做仰角；從_____看，視線與水平線的夾角叫做俯角。
2. 方位角：以正南或正北方向為準，正南或正北方向線與目標方向線構成的小于____的角，叫做方位角。如圖所示：
3. 坡度，坡角
（1）如圖：坡面的鉛垂高度（h）和水平長度（l）的比叫做坡面_____.記作i，即i=h/l
（2）坡面與水平面的夾角叫做____，記作α，有i=tanα.
坡度通常寫成1∶m的形式，如i=1∶6.
顯然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.
4. 利用解直角三角形的知識解決實際問題的一般過程是：
① 將實際問題抽象為數學問題（畫出平面圖形，轉化為解直角三角形的問題）；
② 根據條件的特點，適當選用銳角三角函數等去解直角三角形；
③ 得到數學問題的答案；
④ 得到實際問題的答案．
5. 利用三角函數測高
(1) 測量底部可以到達的物體的高度步驟：
①在測點A安置測傾器，測得M的仰角∠MCE=α；
②量出測點A到物體底部N的水平距離AN=l；
③量出測傾器的高度AC=a，可求出
MN=ME+EN=l·tanα+a.
(2) 測量東方明珠的高度的步驟是怎么樣的呢？
①在測點A處安置測傾器，測得此時M的仰角∠MCE=α；
②在測點A與物體之間的B處安置測傾器，測得此時M的仰角∠MDE=β；
③量出測傾器的高度AC=BD=a，以及測點A，B之間的距離 AB=b.根據測量數據，求出物體MN的高度.
考點1 特珠角的三角函數值
【例題1】（2024天津市）的值等于（ ）
A. B. C. D.
【變式練1】（2024大連一模）2sin45°的值等于（ 　）
A．1 B． C． D．2
【變式練2】（2024大慶一模）計算：cos245°+sin245°=（　　）
A． B． 1 C． D．
【變式練3】（2024沈陽一模）已知α、β均為銳角，且滿足|sinα﹣|+=0，則α+β=　 　．
考點2 直角三角形的邊角關系
【例題2】（2024甘肅臨夏）如圖，在中，，，則的長是（ ）
A. 3 B. 6 C. 8 D. 9
【變式練1】（2024云南一模）如圖，在△ABC中，AD是BC上的高，，
(1) 求證：AC=BD；
(2)若，BC=12，求AD的長．
【變式練2】（2024廣西一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，則∠A的度數為（ ）
A. B. C. D.
考點3 銳角三角函數的實際應用
【例題3】（2024福建省）無動力帆船是借助風力前行的．下圖是帆船借助風力航行的平面示意圖，已知帆船航行方向與風向所在直線的夾角為，帆與航行方向的夾角為，風對帆的作用力為．根據物理知識，可以分解為兩個力與，其中與帆平行的力不起作用，與帆垂直的力儀可以分解為兩個力與與航行方向垂直，被舵的阻力抵消；與航行方向一致，是真正推動帆船前行的動力．在物理學上常用線段的長度表示力的大小，據此，建立數學模型：，則______．（單位：）（參考數據：）
【變式練1】（2024長春一模）如圖是長春市人民大街下穿隧道工程施工現場的一臺起重機的示意圖，該起重機的變幅索頂端記為點A，變幅索的底端記為點B，垂直地面，垂足為點D，，垂足為點C．設，下列關系式正確的是（ ）
A. B. C. D.
【變式練2】（2024湖北武漢一模）如圖，為了測量山頂鐵塔AE的高，小明在27m高的樓CD底部D測得塔頂A的仰角為45°，在樓頂C測得塔頂A的仰角36°52′．已知山高BE為56m，樓的底部D與山腳在同一水平線上，求該鐵塔的高AE．(參考數據：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75)
【變式練3】（2024山東煙臺一模）如圖，某海域中有A，B，C三個小島，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏東35°方向，且B，C到A的距離相等，則小島C相對于小島A的方向是（　　）
A. 北偏東70° B. 北偏東75° C. 南偏西70° D. 南偏西20°
【變式練4】（2024江蘇揚州一模）如圖，垂直于水平面的5G信號塔AB建在垂直于水平面的懸崖邊B點處，某測量員從山腳C點出發沿水平方向前行78米到D點（點A，B，C在同一直線上），再沿斜坡DE方向前行78米到E點（點A，B，C，D，E在同一平面內），在點E處測得5G信號塔頂端A的仰角為43°，懸崖BC的高為144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，則信號塔AB的高度約為（　　）
（參考數據：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）
A．23米 B．24米 C．24.5米 D．25米
考點1. 特珠角的三角函數值
1. （2024深圳）計算：．
考點2. 直角三角形的邊角關系
1. （2024云南省）在中，∠B=90°，已知，則的值為（　　　）
A. B. C. D.
2. （2024四川達州）如圖，由8個全等的菱形組成的網格中，每個小菱形的邊長均為2，，其中點，，都在格點上，則的值為（ ）
A. 2 B. C. D. 3
3. （2024湖南省）如圖，左圖為《天工開物》記載的用于春（chōng）搗谷物的工具——“碓（duì）”的結構簡圖，右圖為其平面示意圖，已知于點B，與水平線l相交于點O，．若分米，分米．，則點C到水平線l的距離為________分米（結果用含根號的式子表示）．
4. （2024深圳）如圖，在中，，，D上一點，且滿足，過D作交延長線于點E，則________．
考點3. 銳角三角函數的實際應用
1. （2024深圳）如圖，為了測量某電子廠的高度，小明用高的測量儀測得的仰角為，小軍在小明的前面處用高的測量儀測得的仰角為，則電子廠的高度為（ ）（參考數據：，，）
A. B. C. D.
2. （2024黑龍江綏化）如圖，用熱氣球的探測器測一棟樓的高度，從熱氣球上的點測得該樓頂部點的仰角為，測得底部點的俯角為，點與樓的水平距離，則這棟樓的高度為______m（結果保留根號）．
3. （2024江蘇鹽城）如圖，小明用無人機測量教學樓的高度，將無人機垂直上升距地面的點P處，測得教學樓底端點A的俯角為，再將無人機沿教學樓方向水平飛行至點Q處，測得教學樓頂端點B的俯角為，則教學樓的高度約為________m．（精確到，參考數據：，，）
4. （2024廣州）2024年6月2日，嫦娥六號著陸器和上升器組合體（簡稱為“著上組合體”）成功著陸在月球背面．某校綜合實踐小組制作了一個“著上組合體”的模擬裝置，在一次試驗中，如圖，該模擬裝置在緩速下降階段從點垂直下降到點，再垂直下降到著陸點，從點測得地面點的俯角為，米，米．
（1）求的長；
（2）若模擬裝置從點以每秒2米的速度勻速下降到點，求模擬裝置從點下降到點的時間．（參考數據：，，）
5. （2024重慶市A）如圖，甲、乙兩艘貨輪同時從港出發，分別向，兩港運送物資，最后到達港正東方向的港裝運新的物資．甲貨輪沿港的東南方向航行海里后到達港，再沿北偏東方向航行一定距離到達港．乙貨輪沿港的北偏東方向航行一定距離到達港，再沿南偏東方向航行一定距離到達港．（參考數據：，，）
（1）求，兩港之間的距離（結果保留小數點后一位）；
（2）若甲、乙兩艘貨輪的速度相同（停靠、兩港的時間相同），哪艘貨輪先到達港？請通過計算說明．
6. （2024重慶市B）如圖，，，，分別是某公園四個景點，在的正東方向，在的正北方向，且在的北偏西方向，在的北偏東方向，且在的北偏西方向，千米．（參考數據：，，）
（1）求的長度（結果精確到千米）；
（2）甲、乙兩人從景點出發去景點，甲選擇的路線為：，乙選擇的路線為：．請計算說明誰選擇的路線較近？
7. （2024甘肅臨夏）乾元塔（圖1）位于臨夏州臨夏市的北山公園內，共九級，為砼框架式結構，造型獨特別致，遠可眺太子山露骨風月，近可收臨夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立蒼穹．某校數學興趣小組在學習了“解直角三角形”之后，開展了測量乾元塔高度的實踐活動．為乾元塔的頂端，，點，在點的正東方向，在點用高度為1.6米的測角儀（即米）測得點仰角為，向西平移14.5米至點，測得點仰角為，請根據測量數據，求乾元塔的高度．（結果保留整數，參考數據：，，）
8. （2024甘肅威武）習近平總書記于2021年指出，中國將力爭2030年前實現碳達峰、2060年前實現碳中和．甘肅省風能資源豐富，風力發電發展迅速．某學習小組成員查閱資料得知，在風力發電機組中，“風電塔筒”非常重要，它的高度是一個重要的設計參數．于是小組成員開展了“測量風電塔筒高度”的實踐活動．如圖，已知一風電塔筒垂直于地面，測角儀，在兩側，，點C與點E相距 （點C，H，E在同一條直線上），在D處測得簡尖頂點A的仰角為，在F處測得筒尖頂點A的仰角為．求風電塔筒的高度．（參考數據：，，．）
9. （2024貴州省）綜合與實踐：小星學習解直角三角形知識后，結合光的折射規律進行了如下綜合性學習．
【實驗操作】
第一步：將長方體空水槽放置在水平桌面上，一束光線從水槽邊沿A處投射到底部B處，入射光線與水槽內壁的夾角為；
第二步：向水槽注水，水面上升到的中點E處時，停止注水．（直線為法線，為入射光線，為折射光線．）
【測量數據】
如圖，點A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面內，測得，，折射角．
【問題解決】
根據以上實驗操作和測量的數據，解答下列問題：
（1）求的長；
（2）求B，D之間的距離（結果精確到0.1cm）．
（參考數據：，，）
考點1. 特珠角的三角函數值
1. = ______.
考點2. 直角三角形的邊角關系
1. 如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sin A=.求BC的長和tan B的值．
2. （2022廣西賀州）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，則∠A的度數為（ ）
A. B. C. D.
3. （2022江蘇揚州）在中，，分別為的對邊，若，則的值為__________．
4. 如圖，已知在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，AB＝5，BC＝3．求AC的長和sinA的值．
考點3. 銳角三角函數的實際應用
1．如圖，小明利用學到的數學知識測量大橋主架在水面以上的高度，在觀測點處測得大橋主架頂端的仰角為30°，測得大橋主架與水面交匯點的俯角為14°，觀測點與大橋主架的水平距離為60米，且垂直于橋面．（點在同一平面內）
（1）求大橋主架在橋面以上的高度；（結果保留根號）；
（2）求大橋主架在水面以上的高度．（結果精確到1米）（參考數據）
2. 如圖，島在A島的北偏東方向，島在島的北偏西方向，則的大小是_____．
3. 如圖，為了測量河對岸A，B兩點間的距離，數學興趣小組在河岸南側選定觀測點C，測得A，B均在C的北偏東37°方向上，沿正東方向行走90米至觀測點D，測得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B兩點間的距離．參考數據：，，．
4．如圖，A，B是海面上位于東西方向的兩個觀測點，有一艘海輪在C點處遇險發出求救信號，此時測得C點位于觀測點A的北偏東45°方向上，同時位于觀測點B的北偏西60°方向上，且測得C點與觀測點A的距離為25海里．
（1）求觀測點B與C點之間的距離；
（2）有一艘救援船位于觀測點B的正南方向且與觀測點B相距30海里的D點處，在接到海輪的求救信號后立即前往營救，其航行速度為42海里/小時，求救援船到達C點需要的最少時間．
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第四章 三角形及四邊形
4.4 銳角三角函數
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 特珠角的三角函數值 ☆ 數學中考中，有關銳角三角函數的部分，每年考查1~2道題,分值為3~10分，通常以選擇題、填空題、解答題的形式考查。銳角三角函數的實際應用屬于全國各省市必考題，希望復習時強化訓練。
考點2 直角三角形的邊角關系 ☆☆
考點3 銳角三角函數的實際應用 ☆☆☆
☆☆☆ 代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示選考點。
考點1 特珠角的三角函數值
1.銳角∠A的正弦、余弦、正切的定義
如圖，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°。
（1）我們把銳角 A 的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作 sin A 即
sin A==，
（2）我們把銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA，
cos A==，
（3）我們把銳角A的對邊與鄰邊的比叫做 ∠A 的正切，記作 tanA， 即
tan A==．
2.銳角三角函數的定義
sin A、cos A、tan A分別叫做銳角∠A的正弦、余弦、正切，統稱為銳角∠A的三角函數．
3. 30°、45°、60°角的三角函數值
4. 通過三角函數值求角度
考點2 直角三角形的邊角關系
1. 解直角三角形
由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫作解直角三角形。
注意：在直角三角形中，除直角外有5個元素（即3條邊、2個銳角），只要知道其中的2個元素（至少有1個是邊），就可以求出其余的3個未知元素。
2. 直角三角形中邊角關系
在直角三角形ABC中，如果∠C=90°，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，那么
（1）三邊之間的關系為（勾股定理）
（2）銳角之間的關系為∠A+∠B=90°
（3）30°角所對直角邊等于斜邊的一半。
（4）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。
（5）邊角之間的關系為：（三角函數定義）
3. 其他有關公式
（1）==
（2）Rt△面積公式：
（3）直角三角形外接圓的半徑，內切圓半徑
（4）直角三角形斜邊上的高
【方法總結1】解直角三角形的常見類型及一般解法
只要知道五個元素中的兩個元素（至少有一個是邊），就可以求出余下的三個未知元素.
Rt△ABC中的已知條件 一般解法
兩邊 兩直角邊a，b (1)； (2)由求出∠A； (3)∠B=90 ∠A.
一直角邊a，斜邊c (1)； (2)由求出∠A； (3)∠B=90 ∠A.
一邊一銳角 一直角邊a，銳角A (1)∠B=90 ∠A； (2)； (3).
斜邊c，銳角A (1)∠B=90 ∠A； (2)a=c·sin A； (3)b=c·cos A.
【方法總結2】當用三角函數定義求角的三角函數值時，首先要判斷這個三角形是否為直角三角形，若是，還應明確哪個角是直角，切忌硬套定義式．對于復雜問題，需要構造直角三角形，將所考查的角置身在這個直角三角形中．
方法總結1：結合平面直角坐標系求某角的正弦、余弦、正切，函數值，一般過已知點向x軸或y軸作垂線，構造直角三角形，再結合勾股定理求解。
方法總結2：已知一邊及其鄰角的正弦、余弦、正切，函數值時，一般需結合方程思想和勾股定理，解決問題。
方法總結3：在沒有明確三角形是直角三角形的前提下，首先判定三角形是不是直角三角形，在明確三角形是直角三角形的條件下，再使用銳角三角函數定義進行解證，否則，通過分割或補形法轉換成直角三角形。
方法總結4：依據同角或等角的三角函數值相等的性質，將一個的三角函數值用另一個等角的三角函數值替換。
考點3 銳角三角函數的實際應用
1. 仰角和俯角：在進行測量時，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角。
2. 方位角：以正南或正北方向為準，正南或正北方向線與目標方向線構成的小于90°的角，叫做方位角。如圖所示：
3. 坡度，坡角
（1）如圖：坡面的鉛垂高度（h）和水平長度（l）的比叫做坡面坡度.記作i，即i=h/l
（2）坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，有i=tanα.
坡度通常寫成1∶m的形式，如i=1∶6.
顯然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.
4. 利用解直角三角形的知識解決實際問題的一般過程是：
① 將實際問題抽象為數學問題（畫出平面圖形，轉化為解直角三角形的問題）；
② 根據條件的特點，適當選用銳角三角函數等去解直角三角形；
③ 得到數學問題的答案；
④ 得到實際問題的答案．
5. 利用三角函數測高
(1) 測量底部可以到達的物體的高度步驟：
①在測點A安置測傾器，測得M的仰角∠MCE=α；
②量出測點A到物體底部N的水平距離AN=l；
③量出測傾器的高度AC=a，可求出
MN=ME+EN=l·tanα+a.
(2) 測量東方明珠的高度的步驟是怎么樣的呢？
①在測點A處安置測傾器，測得此時M的仰角∠MCE=α；
②在測點A與物體之間的B處安置測傾器，測得此時M的仰角∠MDE=β；
③量出測傾器的高度AC=BD=a，以及測點A，B之間的距離 AB=b.根據測量數據，求出物體MN的高度.
考點1 特珠角的三角函數值
【例題1】（2024天津市）的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本題考查特殊角的三角函數值，熟記特殊的三角函數值是解題的關鍵；根據代入即可求解.
【詳解】，故選：A.
【變式練1】（2024大連一模）2sin45°的值等于（ 　）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】2sin45°=2×故選B
【變式練2】（2024大慶一模）計算：cos245°+sin245°=（　　）
A． B． 1 C． D．
【答案】B
【解析】考點是 特殊角的三角函數值．首先根據cos45°=sin45°=，分別求出cos245°、sin245°的值是多少；然后把它們求和，求出cos245°+sin245°的值是多少即可．
∵cos45°=sin45°=，
∴cos245°+sin245°
=
==1．故選：B．
【變式練3】（2024沈陽一模）已知α、β均為銳角，且滿足|sinα﹣|+=0，則α+β=　 　．
【答案】75°．
【解析】根據非負數的性質求出sinα、tanβ的值，然后根據特殊角的三角函數值求出兩個角的度數。
∵|sinα﹣|+=0，
∴sinα=，tanβ=1，
∴α=30°，β=45°，
則α+β=30°+45°=75°．
考點2 直角三角形的邊角關系
【例題2】（2024甘肅臨夏）如圖，在中，，，則的長是（ ）
A. 3 B. 6 C. 8 D. 9
【答案】B
【解析】本題考查解直角三角形，等腰三角形的性質，勾股定理．正確作出輔助線是解題關鍵．過點A作于點D．由等腰三角形三線合一的性質得出．根據，可求出，最后根據勾股定理可求出，即得出．
【詳解】如圖，過點A作于點D．
∵，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴．故選B．
【變式練1】（2024云南一模）如圖，在△ABC中，AD是BC上的高，，
(1) 求證：AC=BD；
(2)若，BC=12，求AD的長．
【答案】見解析。
【解析】(1)∵AD是BC上的高，∴AD⊥BC．
∴∠ADB=90°，∠ADC=90°．
在Rt△ABD和Rt△ADC中，
∵=，=
又已知
∴=．∴AC=BD．
(2)在Rt△ADC中， ，故可設AD=12k，AC=13k．
【變式練2】（2024廣西一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，則∠A的度數為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根據直角三角形的兩個銳角互余，即可得出∠A的度數．
∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，
∴∠A=90°-∠B=90°-56°=34°．
【點睛】本題考查了直角三角形的性質：直角三角形的兩個銳角互余；熟練掌握直角三角形的性質，并能進行推理計算是解決問題的關鍵．
考點3 銳角三角函數的實際應用
【例題3】（2024福建省）無動力帆船是借助風力前行的．下圖是帆船借助風力航行的平面示意圖，已知帆船航行方向與風向所在直線的夾角為，帆與航行方向的夾角為，風對帆的作用力為．根據物理知識，可以分解為兩個力與，其中與帆平行的力不起作用，與帆垂直的力儀可以分解為兩個力與與航行方向垂直，被舵的阻力抵消；與航行方向一致，是真正推動帆船前行的動力．在物理學上常用線段的長度表示力的大小，據此，建立數學模型：，則______．（單位：）（參考數據：）
【答案】128
【解析】此題考查了解直角三角形的應用，求出，，由得到，求出，求出在中，根據即可求出答案．
【詳解】如圖，
∵帆船航行方向與風向所在直線的夾角為，帆與航行方向的夾角為，
∴，，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
由題意可知， ，
∴，
∴
在中，，
∴，
故答案為：
【變式練1】（2024長春一模）如圖是長春市人民大街下穿隧道工程施工現場的一臺起重機的示意圖，該起重機的變幅索頂端記為點A，變幅索的底端記為點B，垂直地面，垂足為點D，，垂足為點C．設，下列關系式正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根據正弦三角函數的定義判斷即可．
∵BC⊥AC，
∴△ABC是直角三角形，
∵∠ABC=α，
∴．
【點睛】本題考查了正弦三角函數的定義．在直角三角形中任意銳角∠A的對邊與斜邊之比叫做∠A的正弦，記作sin∠A．掌握正弦三角函數的定義是解答本題的關鍵．
【變式練2】（2024湖北武漢一模）如圖，為了測量山頂鐵塔AE的高，小明在27m高的樓CD底部D測得塔頂A的仰角為45°，在樓頂C測得塔頂A的仰角36°52′．已知山高BE為56m，樓的底部D與山腳在同一水平線上，求該鐵塔的高AE．(參考數據：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75)
【答案】該鐵塔的高AE為52米．
【解析】如圖，過點C作CF⊥AB于點F．
設塔高AE=x，由題意得：
EF=BE-CD=56-27=29，AF=AE+EF=(x+29)，
在Rt△AFC中，
∵∠ACF=36°52′，AF=(x+29)，
∴CF===x+，
在Rt△ABD中，
∵∠ADB=45°，AB=x+56，∴BD=AB=x+56.
∵CF=BD，∴x+56=x+. 解得：x=52.
答：該鐵塔的高AE為52米．
【變式練3】（2024山東煙臺一模）如圖，某海域中有A，B，C三個小島，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏東35°方向，且B，C到A的距離相等，則小島C相對于小島A的方向是（　　）
A. 北偏東70° B. 北偏東75° C. 南偏西70° D. 南偏西20°
【答案】A
【解析】根據題意可得∠ABC＝75°，AD∥BE，AB＝AC，再根據等腰三角形的性質可得∠ABC＝∠C＝75°，從而求出∠BAC的度數，然后利用平行線的性質可得∠DAB＝∠ABE＝40°，從而求出∠DAC的度數，即可解答．
如圖：由題意得：
∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝40°+35°＝75°，AD∥BE，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝30°，
∵AD∥BE，
∴∠DAB＝∠ABE＝40°，
∴∠DAC＝∠DAB+∠BAC＝40°+30°＝70°，
∴小島C相對于小島A的方向是北偏東70°．
．
【點睛】本題考查了方向角，等腰三角形的性質，熟練掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵．
【變式練4】（2024江蘇揚州一模）如圖，垂直于水平面的5G信號塔AB建在垂直于水平面的懸崖邊B點處，某測量員從山腳C點出發沿水平方向前行78米到D點（點A，B，C在同一直線上），再沿斜坡DE方向前行78米到E點（點A，B，C，D，E在同一平面內），在點E處測得5G信號塔頂端A的仰角為43°，懸崖BC的高為144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，則信號塔AB的高度約為（　　）
（參考數據：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）
A．23米 B．24米 C．24.5米 D．25米
【答案】D
【分析】過點E作EF⊥DC交DC的延長線于點F，過點E作EM⊥AC于點M，根據斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4可設EF＝x，則DF＝2.4x，利用勾股定理求出x的值，進而可得出EF與DF的長，故可得出CF的長．由矩形的判定定理得出四邊形EFCM是矩形，故可得出EM＝FC，CM＝EF，再由銳角三角函數的定義求出AM的長，進而可得出答案．
【解析】過點E作EF⊥DC交DC的延長線于點F，過點E作EM⊥AC于點M，
∵斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，DE＝CD＝78米，
∴設EF＝x，則DF＝2.4x．
在Rt△DEF中，
∵EF2+DF2＝DE2，即x2+（2.4x）2＝782，
解得x＝30，
∴EF＝30米，DF＝72米，
∴CF＝DF+DC＝72+78＝150米．
∵EM⊥AC，AC⊥CD，EF⊥CD，
∴四邊形EFCM是矩形，
∴EM＝CF＝150米，CM＝EF＝30米．
在Rt△AEM中，
∵∠AEM＝43°，
∴AM＝EM tan43°≈150×0.93＝139.5米，
∴AC＝AM+CM＝139.5+30＝169.5米．
∴AB＝AC﹣BC＝169.5﹣144.5＝25米．
考點1. 特珠角的三角函數值
1. （2024深圳）計算：．
【答案】
【解析】本題考查特殊銳角三角函數值，零指數冪，絕對值以及負整數指數冪．先將各項化簡，再算乘法，最后從左往右計算即可得
【詳解】
．
考點2. 直角三角形的邊角關系
1. （2024云南省）在中，∠B=90°，已知，則的值為（　　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根據三角函數的定義求解即可．
∵∠B=90°， ，
∴=，故選：C．
【點睛】本題考查了三角函數的求法，解題關鍵是理解三角函數的意義，明確是直角三角形中哪兩條邊的比．
2. （2024四川達州）如圖，由8個全等的菱形組成的網格中，每個小菱形的邊長均為2，，其中點，，都在格點上，則的值為（ ）
A. 2 B. C. D. 3
【答案】B
【解析】本題考查了菱形的性質，解直角三角形，延長交格點于點，連接，分別在格點上，根據菱形的性質，進而得出，解直角三角形求得的長，根據對頂角相等，進而根據正切的定義，即可求解．
【詳解】如圖所示，延長交格點于點，連接，分別在格點上，
依題意，，
∴
∴
又，
∴
∴ 故選：B．
3. （2024湖南省）如圖，左圖為《天工開物》記載的用于春（chōng）搗谷物的工具——“碓（duì）”的結構簡圖，右圖為其平面示意圖，已知于點B，與水平線l相交于點O，．若分米，分米．，則點C到水平線l的距離為________分米（結果用含根號的式子表示）．
【答案】##
【解析】題目主要考查解三角形及利用三角形等面積法求解，延長交l于點H，連接，根據題意及解三角形確定，，再由等面積法即可求解，作出輔助線是解題關鍵．
【詳解】解：延長交l于點H，連接，如圖所示：
在中，，
，
即，
解得：．
4. （2024深圳）如圖，在中，，，D上一點，且滿足，過D作交延長線于點E，則________．
【答案】
【解析】本題考查了解直角三角形、勾股定理，平行線分線段成比例，先設，根據，，得出再分別用勾股定理求出，故，再運用解直角三角形得出，，代入，化簡即可作答．
【詳解】解：如圖，過點A作垂足為H,
∵，，
設，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得
∴，，
∴，，
∴，
過點C作垂足為M，
∴，，
∵,，
∴，
∴
考點3. 銳角三角函數的實際應用
1. （2024深圳）如圖，為了測量某電子廠的高度，小明用高的測量儀測得的仰角為，小軍在小明的前面處用高的測量儀測得的仰角為，則電子廠的高度為（ ）（參考數據：，，）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本題考查了與仰角有關的解直角三角形的應用，矩形的判定與性質，先證明四邊形、、是矩形，再設，表示，然后在以及運用線段和差關系，即，再求出，即可作答．
【詳解】如圖：延長交于一點，
∵
∴四邊形是矩形
∵
∴四邊形是矩形
同理得四邊形是矩形
依題意，得，
∴，
∴
∴設，則
在
∴
即
在
∴
即
∴
∴
∴
∴ 故選：A
2. （2024黑龍江綏化）如圖，用熱氣球的探測器測一棟樓的高度，從熱氣球上的點測得該樓頂部點的仰角為，測得底部點的俯角為，點與樓的水平距離，則這棟樓的高度為______m（結果保留根號）．
【答案】##
【解析】本題考查解直角三角形—仰角俯角問題．注意準確構造直角三角形是解答此題的關鍵．根據題意得，然后利用三角函數求解即可．
【詳解】依題意，．
中，，
在中，，
∴．
3. （2024江蘇鹽城）如圖，小明用無人機測量教學樓的高度，將無人機垂直上升距地面的點P處，測得教學樓底端點A的俯角為，再將無人機沿教學樓方向水平飛行至點Q處，測得教學樓頂端點B的俯角為，則教學樓的高度約為________m．（精確到，參考數據：，，）
【答案】17
【解析】本題主要考查解直角三角形的實際應用，延長交直線于點H，先用三角函數解求出，進而求出，再證，最后根據即可求解．
【詳解】解：如圖，延長交直線于點H，則，
由題意知，
在中，，即，
解得，
，
，，
，
，
．
4. （2024廣州）2024年6月2日，嫦娥六號著陸器和上升器組合體（簡稱為“著上組合體”）成功著陸在月球背面．某校綜合實踐小組制作了一個“著上組合體”的模擬裝置，在一次試驗中，如圖，該模擬裝置在緩速下降階段從點垂直下降到點，再垂直下降到著陸點，從點測得地面點的俯角為，米，米．
（1）求的長；
（2）若模擬裝置從點以每秒2米的速度勻速下降到點，求模擬裝置從點下降到點的時間．（參考數據：，，）
【答案】（1）的長約為8米； （2）模擬裝置從點下降到點時間為秒．
【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應用——仰俯角問題，靈活運用銳角三角函數求邊長是解題關鍵．
（1）過點作交于點，根據余弦值求出的長即可；
（2）先由勾股定理，求出的長，再利用正弦值求出的長，進而得到的長，然后除以速度，即可求出下降時間．
【小問1詳解】解：如圖，過點作交于點，
由題意可知，，
，
在中，，米，
，
米，
即的長約為8米；
【小問2詳解】解：米，米，
米，
在中，，米，
，
米，
米，
模擬裝置從點以每秒2米的速度勻速下降到點，
模擬裝置從點下降到點的時間為秒，
即模擬裝置從點下降到點的時間為秒．
5. （2024重慶市A）如圖，甲、乙兩艘貨輪同時從港出發，分別向，兩港運送物資，最后到達港正東方向的港裝運新的物資．甲貨輪沿港的東南方向航行海里后到達港，再沿北偏東方向航行一定距離到達港．乙貨輪沿港的北偏東方向航行一定距離到達港，再沿南偏東方向航行一定距離到達港．（參考數據：，，）
（1）求，兩港之間的距離（結果保留小數點后一位）；
（2）若甲、乙兩艘貨輪的速度相同（停靠、兩港的時間相同），哪艘貨輪先到達港？請通過計算說明．
【答案】（1），兩港之間的距離海里；
（2）甲貨輪先到達港．
【解析】【分析】（）過作于點，由題意可知：，，求出，即可求解；
（）通過三角函數求出甲行駛路程為：，乙行駛路程為：，然后比較即可；
本題考查了方位角視角下的解直角三角形，構造直角三角形，熟練掌握銳角三角函數是解題的關鍵．
【小問1詳解】
如圖，過作于點，
∴，
由題意可知：，，
∴，
∴，
∴，
∴（海里），
∴，兩港之間的距離海里；
【小問2詳解】
由（）得：，，，
∴，
∴，
由題意得：，，
∴，
∴，（海里），
∴甲行駛路程為：（海里），乙行駛路程為：（海里），
∵，且甲、乙速度相同，
∴甲貨輪先到達港．
6. （2024重慶市B）如圖，，，，分別是某公園四個景點，在的正東方向，在的正北方向，且在的北偏西方向，在的北偏東方向，且在的北偏西方向，千米．（參考數據：，，）
（1）求的長度（結果精確到千米）；
（2）甲、乙兩人從景點出發去景點，甲選擇的路線為：，乙選擇的路線為：．請計算說明誰選擇的路線較近？
【答案】（1）千米
（2）甲選擇的路線較近
【解析】
【小問1詳解】
解：如圖所示，過點B作于E，
由題意得，，
∴，
在中，千米，
∴千米，
在中，千米，
∴的長度約為千米；
【小問2詳解】
解：如圖所示，過點C作于D，
在中，千米，
∴千米，
在中，千米，
千米，
在中，，
∴千米，
千米，
∴千米，千米，
∵，
∴甲選擇的路線較近．
7. （2024甘肅臨夏）乾元塔（圖1）位于臨夏州臨夏市的北山公園內，共九級，為砼框架式結構，造型獨特別致，遠可眺太子山露骨風月，近可收臨夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立蒼穹．某校數學興趣小組在學習了“解直角三角形”之后，開展了測量乾元塔高度的實踐活動．為乾元塔的頂端，，點，在點的正東方向，在點用高度為1.6米的測角儀（即米）測得點仰角為，向西平移14.5米至點，測得點仰角為，請根據測量數據，求乾元塔的高度．（結果保留整數，參考數據：，，）
【答案】乾元塔的高度約為米
【解析】本題考查解直角三角形的應用，設平移后得到，延長交于點，設，分別解，表示出的長，列出方程進行求解即可．
【詳解】解：設平移后得到，延長交于點，則：，，，
設，則：，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴；
答：乾元塔的高度約為米．
8. （2024甘肅威武）習近平總書記于2021年指出，中國將力爭2030年前實現碳達峰、2060年前實現碳中和．甘肅省風能資源豐富，風力發電發展迅速．某學習小組成員查閱資料得知，在風力發電機組中，“風電塔筒”非常重要，它的高度是一個重要的設計參數．于是小組成員開展了“測量風電塔筒高度”的實踐活動．如圖，已知一風電塔筒垂直于地面，測角儀，在兩側，，點C與點E相距 （點C，H，E在同一條直線上），在D處測得簡尖頂點A的仰角為，在F處測得筒尖頂點A的仰角為．求風電塔筒的高度．（參考數據：，，．）
【答案】
【解析】【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，矩形的性質與判定，過點作于G，連接，則四邊形是矩形，可得，，再證明四邊形是矩形，則，，進一步證明三點共線，得到；設，解得到；解得到；則，解得，即，則．
【詳解】解：如圖所示，過點作于G，連接，則四邊形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
由題意可得，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，，
∴，
∴三點共線，
∴；
設，
在中，，
∴
∴；
在中，，
∴
∴；
∴，
解得，
∴，
∴，
∴風電塔筒的高度約為．
9. （2024貴州省）綜合與實踐：小星學習解直角三角形知識后，結合光的折射規律進行了如下綜合性學習．
【實驗操作】
第一步：將長方體空水槽放置在水平桌面上，一束光線從水槽邊沿A處投射到底部B處，入射光線與水槽內壁的夾角為；
第二步：向水槽注水，水面上升到的中點E處時，停止注水．（直線為法線，為入射光線，為折射光線．）
【測量數據】
如圖，點A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面內，測得，，折射角．
【問題解決】
根據以上實驗操作和測量的數據，解答下列問題：
（1）求的長；
（2）求B，D之間的距離（結果精確到0.1cm）．
（參考數據：，，）
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】本題考查解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．
（1）根據等腰三角形的性質計算出的值；
（2）利用銳角三角函數求出長，然后根據計算即可．
【小問1詳解】
解：在中，，
∴，
∴，
【小問2詳解】
解：由題可知，
∴，
又∵，
∴，
∴．
考點1. 特珠角的三角函數值
1. = ______.
【答案】.
【解析】根據特殊角的三角函數值填空即可.
由特殊角的三角函數值，能夠確定=.故答案是
【點睛】本題考查了特殊角的三角函數值，解決本題的關鍵是熟練掌握特殊角的三角函數值.
考點2. 直角三角形的邊角關系
1. 如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sin A=.求BC的長和tan B的值．
【答案】見解析。
【解析】用正弦的定義即可求得BC，而要求tan B則先要用勾股定理求得AC．
∵sin A==，AB=10，∴BC=4．
∵AC=，
∴tan B==．
2. （2022廣西賀州）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，則∠A的度數為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根據直角三角形的兩個銳角互余，即可得出∠A的度數．
∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，
∴∠A=90°-∠B=90°-56°=34°．
【點睛】本題考查了直角三角形的性質：直角三角形的兩個銳角互余；熟練掌握直角三角形的性質，并能進行推理計算是解決問題的關鍵．
3. （2022江蘇揚州）在中，，分別為的對邊，若，則的值為__________．
【答案】
【解析】如圖所示：
在中，由勾股定理可知：，
，
，
， ，，
，即：，
求出或（舍去），
在中：，
故答案為：．
【點睛】本題考查了銳角三角函數的概念及勾股定理，熟練掌握銳角三角函數的定義是解答本題的關鍵．在中， ，，．
4. 如圖，已知在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，AB＝5，BC＝3．求AC的長和sinA的值．
【答案】AC=4，sinA=
【解析】根據勾股定理求出AC，根據正弦的定義計算，得到答案．
∵∠C＝Rt∠，AB＝5，BC＝3，
∴．
．
【點睛】本題考查的是勾股定理、銳角三角函數的定義，掌握正弦的定義是解題的關鍵．
考點3. 銳角三角函數的實際應用
1．如圖，小明利用學到的數學知識測量大橋主架在水面以上的高度，在觀測點處測得大橋主架頂端的仰角為30°，測得大橋主架與水面交匯點的俯角為14°，觀測點與大橋主架的水平距離為60米，且垂直于橋面．（點在同一平面內）
（1）求大橋主架在橋面以上的高度；（結果保留根號）；
（2）求大橋主架在水面以上的高度．（結果精確到1米）（參考數據）
【答案】（1）大橋主架在橋面以上的高度為米；（2）大橋主架在水面以上的高度約為50米．
【解析】（1）垂直于橋面
在中，
（米）
答：大橋主架在橋面以上的高度為米．
（2）在中，
（米）答：大橋主架在水面以上的高度約為50米．
【點睛】本題考查直角三角形的邊角關系，銳角三角函數的意義，掌握銳角三角函數的意義是解決問題的前提．
2. 如圖，島在A島的北偏東方向，島在島的北偏西方向，則的大小是_____．
【答案】或者85度
【解析】過作交于，根據方位角的定義，結合平行線性質即可求解．
島在A島的北偏東方向，
，
島在島的北偏西方向，
，
過作交于，如圖所示：
，
，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查方位角的概念與平行線的性質求角度，理解方位角的定義，并熟練掌握平行線的性質是解決問題的關鍵．
3. 如圖，為了測量河對岸A，B兩點間的距離，數學興趣小組在河岸南側選定觀測點C，測得A，B均在C的北偏東37°方向上，沿正東方向行走90米至觀測點D，測得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B兩點間的距離．參考數據：，，．
【答案】96米
【解析】【分析】根據題意可得是直角三角形，解可求出AC的長，再證明是直角三角形，求出BC的長，根據AB=AC-BC可得結論．
【詳解】∵A，B均在C的北偏東37°方向上，A在D的正北方向，且點D在點C的正東方，
∴是直角三角形，
∴，
∴∴∠A=90°-∠BCD=90°-53°=37°，
在Rt△ACD中，，CD=90米，
∴米，
∵，
∴
∴，
∴ 即是直角三角形，
∴，
∴米，
∴米，
答：A，B兩點間的距離為96米．
【點睛】此題主要考查了解直角三角形-方向角問題的應用，解一般三角形，求三角形的邊或高的問題一般可以轉化為解直角三角形的問題．
4．如圖，A，B是海面上位于東西方向的兩個觀測點，有一艘海輪在C點處遇險發出求救信號，此時測得C點位于觀測點A的北偏東45°方向上，同時位于觀測點B的北偏西60°方向上，且測得C點與觀測點A的距離為25海里．
（1）求觀測點B與C點之間的距離；
（2）有一艘救援船位于觀測點B的正南方向且與觀測點B相距30海里的D點處，在接到海輪的求救信號后立即前往營救，其航行速度為42海里/小時，求救援船到達C點需要的最少時間．
【解析】（1）過點C作CE⊥AB于點E，根據題意可得∠ACE＝∠CAE＝45°，AC＝25海里，根據勾股定理可得AE＝CE＝25（海里），由∠CBE＝30°，即可得結論；
（2）作CF⊥DB于點F，證明四邊形CEBF是矩形，可得FB＝CE＝25（海里），CF＝BE＝25（海里），根據勾股定理求出CD的長，進而可得救援船到達C點需要的最少時間．
解：（1）如圖，過點C作CE⊥AB于點E，
根據題意可知：∠ACE＝∠CAE＝45°，AC＝25海里，
∴AE＝CE＝25（海里），
∵∠CBE＝30°，
∴BE＝25（海里），
∴BC＝2CE＝50（海里）．
答：觀測點B與C點之間的距離為50海里；
（2）如圖，作CF⊥DB于點F，
∵CF⊥DB，FB⊥EB，CE⊥AB，
∴四邊形CEBF是矩形，
∴FB＝CE＝25（海里），CF＝BE＝25（海里），
∴DF＝BD+BF＝30+25＝55（海里），
在Rt△DCF中，根據勾股定理，得
CD＝＝＝70（海里），
∴70÷42＝（小時）．
答：救援船到達C點需要的最少時間是小時．
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