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【名師導航】2025年中考數學一輪復習學案（全國版）
第四章 三角形及四邊形
4.6 特殊的平行四邊形
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 矩形的判定及性質 ☆☆☆ 數學中考中，有關特殊的平行四邊形的部分，每年考查2~3道題,分值為6~12分，通常以選擇題、填空題、解答題的形式考查。屬于中考必考內容，涉及知識綜合性強，在解答題里出現，一般考查證明和計算。特別是壓軸試題滲透本專題知識。需要在系統掌握基礎知識前提下，加強訓練，熟能生巧。
考點2 菱形的判定及性質 ☆☆
考點3 正方形的判定及性質 ☆☆
考點4 幾何中的分割與拼接問題 ☆☆☆
☆☆☆ 代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示中頻考點。
考點1 矩形的判定及性質
1．矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。
2．矩形的性質
（1）矩形的四個角都是直角；
（2）矩形的對角線平分且相等。
3．矩形判定定理
（1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形；
（2）對角線相等的平行四邊形是矩形；
（3）有三個角是直角的四邊形是矩形。
4．矩形的面積：S=ab（a、b分別表示矩形的長、寬）
考點2 菱形的判定及性質
1.菱形的定義 ：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。
2.菱形的性質
（1）菱形的四條邊都相等；
（2）菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。
3.菱形的判定定理
（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；
（2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；
（3）四條邊相等的四邊形是菱形。
4．菱形的面積：S=ah=mn/2（菱形底邊長為a，高為h，兩條對角線長分別為m和n）
考點3 正方形的判定及性質
1．正方形定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。
2．正方形的性質：
（1）具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質；
（2）正方形的四個角都是直角，四條邊都相等；
（3）正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角；
（4）正方形是軸對稱圖形，有4條對稱軸；
（5）正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，兩條對角線把正方形分成四個全等的小等腰直角三角形；
（6）正方形的一條對角線上的一點到另一條對角線的兩端點的距離相等。
3．正方形的判定
判定一個四邊形是正方形的主要依據是定義，途徑有兩種：
一是先證它是矩形，再證有一組鄰邊相等。即有一組鄰邊相等的矩形是正方形。
二是先證它是菱形，再證有一個角是直角。即有一個角是直角的菱形是正方形。
4．正方形的面積：設正方形邊長為a，對角線長為b ，S=
考點4 幾何中的分割與拼接問題
1. 用下面的實例來說明分割與拼接
一個直角三角形可以分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形。把完全相同的這個直角三角形通過拼接可以得到一個矩形。利用這一思想方法可以建立恒等式，來證明勾股定律，可以求解矩形面積等。
2. 割補求圖形陰影部分面積：直接求面積較復雜或無法計算時，可通過旋轉、平移、割補等方法，對圖形進行轉化，為利用公式法或和差法創造條件，從而求解．
①全等法（體現拼接思想）
圖形 公式
S陰影= S△AOB
S陰影= S扇形BOC
S陰影=S矩形ACDF
S陰影= S正方形PCQE
②等面積法（體現拼接思想）
圖形 公式
S陰影= S扇形COD
③平移法（體現拼接思想）
圖形 公式
S陰影=S正方形BCFE
S陰影=S矩形ABHG
④旋轉法（體現拼接思想）
圖形 公式
S陰影=S扇形AOE
S陰影= S扇形BOD
S陰影= S扇形ABE-S扇形MBN
⑤對稱法（體現拼接思想）
圖形 公式
S陰影=S△ACD
S陰影= S扇形CDE
S陰影= S△OBC= S正方形ABCD
S陰影= S扇形ACB- S△ACD
【易錯點提示】分割與拼接思想方法是中考試卷里靚麗風景線，求解不規則圖形陰影部分面積問題常常用到分割與拼接。需要作答時認真觀察圖形特點，把不規則圖形面積的求法轉化為規則圖形面積的求法。
考點1 矩形的判定及性質
【例題1】（2024甘肅威武）如圖，在矩形中，對角線，相交于點O，，，則的長為（　　）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
【答案】C
【解析】根據矩形的性質，得，結合，得到是等邊三角形，結合，得到，解得即可．
本題考查了矩形的性質，等邊三角形的判定和性質，熟練掌握矩形的性質是解題的關鍵．
【詳解】根據矩形的性質，得，
∵，
∴是等邊三角形，
∵，
∴，
解得．故選C．
【變式練1】（2024四川南充一模）如圖，點E是矩形ABCD邊AD上一點，點F，G，H分別是BE，BC，CE的中點，AF＝3，則GH的長為 　　．
【答案】3
【解析】由矩形的性質及直角三角形斜邊上的中線的性質可求解BE＝2AF＝6，再利用三角形中位線定理可求解．
解：在矩形ABCD中，∠BAD＝90°，
∵F為BE的中點，AF＝3，
∴BE＝2AF＝6．
∵G，H分別為BC，EC的中點，
∴GH＝BE＝3．
【變式練2】（2024四川自貢一模）如圖，在矩形ABCD中，點E、F分別是邊AB、CD的中點．求證：DE＝BF．
【解析】根據矩形的性質和已知證明DF＝BE，AB∥CD，得到四邊形DEBF是平行四邊形，根據平行四邊形的性質得到答案．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，又E、F分別是邊AB、CD的中點，
∴DF＝BE，又AB∥CD，
∴四邊形DEBF是平行四邊形，
∴DE＝BF．
考點2 菱形的判定及性質
【例題2】（2024貴州省）如圖，在菱形中，點E，F分別是，的中點，連接，．若，，則的長為______．
【答案】##
【解析】延長，交于點M，根據菱形的性質和中點性質證明，，過E點作交N點，根據三角函數求出，，，，在中利用勾股定理求出，根據菱形的性質即可得出答案．
【詳解】延長，交于點M，
在菱形中，點E，F分別是，的中點，
，，，，
在和中
，
，
，
在和中
，
，
，，
，
，
過E點作于N點，
，，
，，
，
，
在中
，
即，
，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了菱形的性質，全等三角形的判定和性質，運用三角函數解直角三角形，勾股定理等，正確添加輔助線構造直角三角形是解本題的關鍵．
【變式練1】（2024河南一模）如圖，菱形ABCD中，E，F分別是AD，BD的中點，若EF＝5，則菱形ABCD的周長為（　　）
A．20 B．30 C．40 D．50
【答案】C
【解析】由三角形中位線定理可求AB＝10，由菱形的性質即可求解．
∵E，F分別是AD，BD的中點，
∴EF是△ABD的中位線，
∴EFAB＝5，
∴AB＝10，
∵四邊形ABD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，
∴菱形ABCD的周長＝4AB＝40
【變式練2】（2024重慶一模）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC＝12，BD＝16，分別以點A，B，C，D為圓心，AB的長為半徑畫弧，與該菱形的邊相交，則圖中陰影部分的面積為　　．（結果保留π）
【答案】96﹣100π．
【解析】先求出菱形面積，再計算四個扇形的面積即可求解．
在菱形ABCD中，有：AC＝12，BD＝16．
∴．
∵∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB＝360°．
∴四個扇形的面積，是一個以AB的長為半徑的圓．
∴圖中陰影部分的面積＝×12×16﹣π×102＝96﹣100π．
考點3 正方形的判定及性質
【例題3】 （2024福建省）如圖，正方形的面積為4，點，，，分別為邊，，，的中點，則四邊形的面積為______．
【答案】2
【解析】本題考查正方形性質，線段中點的性質，根據正方形性質和線段中點的性質得到，進而得到，同理可得，最后利用四邊形的面積正方形的面積個小三角形面積求解，即可解題．
【詳解】正方形的面積為4，
，，
點，，，分別為邊，，，的中點，
，
，
同理可得，
四邊形的面積為．
【變式練1】（2024深圳一模）下列命題是假命題的是（ ）
A．對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形． B．對角線互相垂直的矩形是正方形．
C．對角線相等的菱形是正方形． D．對角線互相垂直平分的四邊形是正方形．
【答案】D
【分析】根據正方形的各種判定方法逐項分析即可．
【詳解】解：對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形，正確；
對角線互相垂直的矩形是正方形，正確；對角線相等的菱形是正方形，正確；
對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；可知選項D是錯誤的．故選：D．
【點睛】本題主要考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理．
【變式練2】（2024天津一模）如圖，在正方形ABCD中，AB＝1，點E，F分別在邊BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝60°，則CF的長是（　　）
A． B． C．﹣1 D．
【答案】C
【解析】∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝1，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴∠BAE＝∠DAF，
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAE+∠DAF＝30°，
∴∠DAF＝15°，
在AD上取一點G，使∠GFA＝∠DAF＝15°，如圖所示：
∴AG＝FG，∠DGF＝30°，
∴DF＝FG＝AG，DG＝DF，
設DF＝x，則DG＝x，AG＝FG＝2x，
∵AG+DG＝AD，
∴2x+x＝1，
解得：x＝2﹣，
∴DF＝2﹣，
∴CF＝CD﹣DF＝1﹣（2﹣）＝﹣1；故選：C．
考點4 幾何中的分割與拼接問題
【例題4】（2024河北省）情境 圖1是由正方形紙片去掉一個以中心O為頂點的等腰直角三角形后得到的．
該紙片通過裁剪，可拼接為圖2所示的鉆石型五邊形，數據如圖所示．
（說明：紙片不折疊，拼接不重疊無縫隙無剩余）
操作 嘉嘉將圖1所示的紙片通過裁剪，拼成了鉆石型五邊形．
如圖3，嘉嘉沿虛線，裁剪，將該紙片剪成①，②，③三塊，再按照圖4所示進行拼接．根據嘉嘉的剪拼過程，解答問題：
（1）直接寫出線段的長；
（2）直接寫出圖3中所有與線段相等的線段，并計算的長．
探究淇淇說：將圖1所示紙片沿直線裁剪，剪成兩塊，就可以拼成鉆石型五邊形．
請你按照淇淇的說法設計一種方案：在圖5所示紙片的邊上找一點P（可以借助刻度尺或圓規），畫出裁剪線（線段）的位置，并直接寫出的長．
【答案】（1）；（2），；的長為或．
【解析】【分析】本題考查的是正方形的性質，等腰直角三角形的判定與性質，勾股定理的應用，二次根式的混合運算，本題要求學生的操作能力要好，想象能力強，有一定的難度．
（1）如圖，過作于，結合題意可得：四邊形為矩形，可得，由拼接可得：，可得，，為等腰直角三角形，為等腰直角三角形，設，則，再進一步解答即可；
（2）由為等腰直角三角形，；求解，再分別求解；可得答案，如圖，以為圓心，為半徑畫弧交于，交于，則直線為分割線，或以圓心，為半徑畫弧，交于，交于，則直線為分割線，再進一步求解的長即可．
【詳解】解：如圖，過作于，
結合題意可得：四邊形為矩形，
∴，
由拼接可得：，
由正方形的性質可得：，
∴，，為等腰直角三角形，
∴為等腰直角三角形，
設，
∴，
∴，，
∵正方形的邊長為，
∴對角線的長，
∴，
∴，
解得：，
∴；
（2）∵為等腰直角三角形，；
∴，
∴，
∵，
，
∴；
如圖，以為圓心，為半徑畫弧交于，交于，則直線為分割線，
此時，，符合要求，
或以圓心，為半徑畫弧，交于，交于，則直線為分割線，
此時，，
∴，
綜上：的長為或．
【變式練1】（2024湖北一模）如圖1，將長為，寬為的矩形分割成四個全等的直角三角形，拼成“趙爽弦圖”（如圖2），得到大正方形，中間陰影部分是一個小正方形．
(1)用關于的代數式表示圖2中陰影小正方形的邊長；
(2)當時，該陰影小正方形的面積是多少？
【答案】(1) (2)
【解析】本題考查以弦圖為背景的計算，正確識圖是解題的關鍵．
（1）根據圖2中小正方形的邊長直角三角形較長邊長減去較短邊長即可求解；
（2）根據正方形面積公式知小正方形的面積，再把代入計算即可求解．
【詳解】（1）直角三角形較短的直角邊，
較長的直角邊，
小正方形的邊長．
（2）小正方形的面積，
當時，面積．
【變式練2】（2024廣西一模）我國古代偉大的數學家劉徽將勾股形(古人稱直角三角形為勾股形)分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形,得到一個恒等式.后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理,如圖所示的矩形由兩個這樣的圖形拼成,若a=3,b=4,則該矩形的面積為(　　)
A.20　　　 B.24　　 C. 99/4　 D. 53/2
【答案】B
【解析】如圖,設小正方形的邊長為x(x>0),
∵a=3,b=4,∴AB=3+4=7,
在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,
即(3+x)2+(x+4)2=72,
整理得x2+7x-12=0,
∴該矩形的面積S=（x+a）×（x+b）=24, 故選B.
考點1. 矩形的判定及性質
1. （2024四川成都市）如圖，在矩形中，對角線與相交于點，則下列結論一定正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本題考查矩形的性質，根據矩形的性質逐項判斷即可．
∵四邊形是矩形，
∴，，，則，
∴選項A中不一定正確，故不符合題意；
選項B中不一定正確，故不符合題意；
選項C中一定正確，故符合題意；
選項D中不一定正確，故不符合題意，故選：C．
2. （2024黑龍江齊齊哈爾）已知矩形紙片，，，點P在邊上，連接，將沿所在的直線折疊，點B的對應點為，把紙片展平，連接，，當為直角三角形時，線段的長為______．
【答案】或2
【解析】本題主要考查了矩形的性質，折疊的性質，勾股定理，等腰三角形的判定和性質，分兩種情況進行討論：當時，當，分別畫出圖形，求出結果即可．
【詳解】解：∵四邊形為矩形，
∴，，，
當時，如圖所示：
∵，
∴點在上，
根據折疊可知：，，
設，則，
∴，
，
中，根據勾股定理得：，
即，
解得：，
即；
當，如圖所示：
根據折疊可知：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
綜上分析可知：或2．
故答案為：或2，
3. （2024黑龍江綏化）在矩形中，，，點在直線上，且，則點到矩形對角線所在直線的距離是______．
【答案】或或
【解析】本題考查了矩形的性質，解直角三角形，設交于點，點在線段上，在的延長線上，過點作，的垂線，垂足分別為，進而分別求得垂線段的長度，即可求解．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，，，
∴，，
∴
∴，，
如圖所示，設交于點，點在線段上，在的延長線上，過點作，的垂線，垂足分別為
∵
∴
當在線段上時，
∴
在中個，
∵
在中，；
當E在射線上時，
在中，
∴
∴
∴
∴，
在中，
綜上所述，點到對角線所在直線的距離為：或或
故答案為：或或．
4. （2024江蘇連云港）如圖，將一張矩形紙片上下對折，使之完全重合，打開后，得到折痕EF，連接BF．再將矩形紙片折疊，使點B落在BF上的點H處，折痕為AG．若點G恰好為線段BC最靠近點B的一個五等分點，，則BC的長為__________．
【答案】
【解析】本題考查矩形折疊，勾股定理，解直角三角形，設與交于點，，則：，勾股定理求出，等積法求出，根據，列出方程進行求解即可．
【詳解】解：設與交于點，
∵矩形，
∴，
∵翻折，
∴，，
設，則：，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，經檢驗是原方程的解，
∴；
故答案為：．
5. （2024貴州省）如圖，四邊形的對角線與相交于點O，，，有下列條件：
①，②．
（1）請從以上①②中任選1個作為條件，求證：四邊形是矩形；
（2）在（1）的條件下，若，，求四邊形的面積．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】本題考查矩形的判定，勾股定理，掌握矩形的判定定理是解題的關鍵．
（1）先根據條件利用兩組對邊平行或一組對邊平行且相等證明是平行四邊形，然后根據矩形的定義得到結論即可；
（2）利用勾股定理得到長，然后利用矩形的面積公式計算即可．
【小問1詳解】
選擇①，
證明：∵，，
∴是平行四邊形，
又∵，
∴四邊形是矩形；
選擇②，
證明：∵，，
∴是平行四邊形，
又∵，
∴四邊形是矩形；
【小問2詳解】
解：∵，
∴，
∴矩形的面積為．
6. （2024上海市）如圖所示，在矩形中，為邊上一點，且．
（1）求證：；
（2）線段延長線上一點，且滿足，求證：．
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析
【解析】【分析】（1）由矩形性質得到，，，由角的互余得到，從而確定，利用相似三角形性質得到；
（2）由矩形性質，結合題中條件，利用等腰三角形的判定與性質得到，，， 進而由三角形全等的判定與性質即可得到．
【小問1詳解】
證明：矩形中，，，，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
；
【小問2詳解】
證明：連接交于點，如圖所示：
在矩形中，，則，
，
，
，
，
，
在矩形中，，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
．
【點睛】本題考查矩形綜合，涉及矩形性質、相似三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質等知識，熟練掌握相關幾何性質與判定是解決問題第的關鍵．
7. （2024廣東） 中國新能源汽車為全球應對氣候變化和綠色低碳轉型作出了巨大貢獻．為滿足新能源汽車的充電需求，某小區增設了充電站，如圖是矩形充電站的平面示意圖，矩形是其中一個停車位．經測量，，，，，是另一個車位的寬，所有車位的長寬相同，按圖示并列劃定．
根據以上信息回答下列問題：（結果精確到，參考數據）
（1）求的長；
（2）該充電站有20個停車位，求的長．
【答案】（1） （2）
【解析】本題主要考查了矩形的性質，解直角三角形的實際應用：
（1）先由矩形的性質得到，再解得到，接著解直角三角形得到，進而求出，據此可得答案；
（2）解得到，解得到，再根據有20個停車位計算出的長即可得到答案．
【小問1詳解】
解：∵四邊形是矩形，
∴，
在中，，，
∴，，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴
【小問2詳解】
解：在中，，
在中，，
∵該充電站有20個停車位，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴．
8. （2024湖北省）如圖，矩形中，分別在上，將四邊形沿翻折，使的對稱點落在上，的對稱點為交于．
（1）求證：．
（2）若為中點，且，求長．
（3）連接，若為中點，為中點，探究與大小關系并說明理由．
【答案】（1）見詳解 （2） （3）
【解析】【分析】（1）根據矩形的性質得，由折疊得出，得出，即可證明；
（2）根據矩形的性質以及線段中點，得出，根據代入數值得，進行計算，再結合，則，代入數值，得，所以；
（3）由折疊性質，得直線，，是等腰三角形，則，因為為中點，為中點，所以，，所以，則，所以，則，即可作答．
【小問1詳解】
解：如圖：
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∵分別在上，將四邊形沿翻折，使的對稱點落在上，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小問2詳解】
解：如圖：
∵四邊形是矩形，
∴，，
∵為中點，
∴，
設，
∴，
中，，
即，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴；
【小問3詳解】
解：如圖：延長交于一點M，連接
∵分別在上，將四邊形沿翻折，使的對稱點落在上，
∴直線
，
，
∴是等腰三角形，
∴，
∵為中點，
∴設，
∴，
∵為中點，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
【點睛】本題考查了矩形與折疊，相似三角形的判定與性質，勾股定理，全等三角形的判定與性質，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．
考點2. 菱形的判定及性質
1. （2024黑龍江綏化）如圖，四邊形是菱形，，，于點，則的長是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本題考查了勾股定理，菱形的性質，根據勾股定理求得，進而得出，進而根據等面積法，即可求解．
【詳解】解：∵四邊形是菱形，，，
∴，，，
中，，
∴，
∵菱形的面積為，
∴，故選：A．
2. （2024甘肅臨夏）如圖，是坐標原點，菱形的頂點在軸的負半軸上，頂點的坐標為，則頂點的坐標為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本題考查平面直角坐標系內兩點間的距離公式，菱形的性質，坐標與圖形．結合菱形的性質求出是解題關鍵．由兩點間的距離公式結合菱形的性質可求出，從而可求出，即得出頂點的坐標為．
【詳解】如圖，
∵點坐標為，
∴．　
∵四邊形為菱形，
∴，
∴，
∴頂點的坐標為．故選C．
3. （2024福建省）如圖，在菱形中，點分別在邊上，，求證：．
【答案】見解析
【解析】本題考查菱形性質、全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解答的關鍵．根據菱形的性質證得，，再根據全等三角形的判定證明即可．
【詳解】證明：四邊形是菱形，
，，
，
，
．
4. （2024廣東） 如圖，菱形的面積為24，點E是的中點，點F是上的動點．若的面積為4，則圖中陰影部分的面積為______．
【答案】10
【解析】本題考查了菱形的性質，三角形中線的性質，利用菱形的性質、三角形中線的性質求出，，根據和菱形的面積求出，，則可求出的面積，然后利用求解即可．
詳解】連接，
∵菱形的面積為24，點E是的中點，的面積為4，
∴，，
設菱形中邊上的高為h，
則，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：10．
5. （2024云南省）如圖，在四邊形中，點、、、分別是各邊的中點，且，，四邊形是矩形．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）若矩形的周長為22，四邊形的面積為10，求的長．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】【分析】（1）連接，，證明四邊形是平行四邊形，再利用三角形中位線定理得到，，利用矩形的性質得到，即可證明四邊形是菱形；
（2）利用三角形中位線定理和菱形性質得到，利用lx 面積公式得到，再利用完全平方公式結合勾股定理進行變形求解即可得到．
【小問1詳解】
解：連接，，
，，
四邊形是平行四邊形，
四邊形中，點、、、分別是各邊的中點，
，，
四邊形是矩形，
，
，
四邊形是菱形；
【小問2詳解】
解：四邊形中，點、、、分別是各邊的中點，
，，
矩形的周長為22，
，
四邊形是菱形，
即，
四邊形的面積為10，
，即，
，
，
．
【點睛】本題考查了平行四邊形性質和判定，矩形的性質和判定，三角形中位線定理，菱形的性質和判定，菱形面積公式，勾股定理，完全平方公式，熟練掌握相關性質是解題的關鍵．
考點3. 正方形的判定及性質
1. （2024山東煙臺）如圖，在正方形中，點E，F分別為對角線的三等分點，連接并延長交于點G，連接，若，則用含α的代數式表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本題考查了正方形的性質，相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，三角形的外角性質．證明，求得，證明，證得，推出，得到，據此求解即可．
【詳解】解：∵正方形中，點E，F分別為對角線的三等分點，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵點E，F分別為對角線的三等分點，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：B．
2. （2024廣西）如圖，邊長為5的正方形，E，F，G，H分別為各邊中點，連接，，，，交點分別為M，N，P，Q，那么四邊形的面積為（ ）
A. 1 B. 2 C. 5 D. 10
【答案】C
【解析】先證明四邊形是平行四邊形，利用平行線分線段成比例可得出，，證明得出，則可得出，同理，得出平行四邊形是矩形，證明，得出，進而得出，得出矩形是正方形，在中，利用勾股定理求出，然后利用正方形的面積公式求解即可．
【詳解】∵四邊形是正方形，
∴，，，，
∵E，F，G，H分別為各邊中點，
∴，，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
同理，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴，
∴，
同理，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，同理，
∴平行四邊形矩形，
∵，，，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴矩形是正方形，
在中，，
∴，
∴，
∴正方形的面積為5，
故選：C．
【點睛】本題考查了正方形判定與性質，全等三角形判定與性質，平行線分線段成比例，勾股定理等知識，明確題意，靈活運用相關知識求解是解題的關鍵．
3. （2024武漢市）如圖是我國漢代數學家趙爽在注解《周髀算經》時給出的“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形．直線交正方形的兩邊于點，，記正方形的面積為，正方形的面積為．若，則用含的式子表示的值是___________．
【答案】
【解析】作交于點，不妨設，設，通過四邊形是正方形，推出，得到，然后證明，利用相似三角形對應邊成比例，得到，從而表示出，的長度，最后利用和表示出正方形和的面積，從而得到．
【詳解】解：作交于點，不妨設，設
四邊形是正方形
在和中，，
由題意可知，
正方形的面積，
正方形的面積
；
故答案為：.
【點睛】本題考查了弦圖，正方形的性質，等腰三角形的性質，相似三角形的判定與性質，正方形的面積，勾股定理，熟練掌握以上知識點并能畫出合適的輔助線構造相似三角形是解題的關鍵．
4. （2024甘肅臨夏）如圖1，在矩形中，點為邊上不與端點重合的一動點，點是對角線上一點，連接，交于點，且．
【模型建立】
（1）求證：；
【模型應用】
（2）若，，，求的長；
【模型遷移】
（3）如圖2，若矩形是正方形，，求的值．
【答案】（1）見解析；（2）；（3）
【解析】【分析】本題考查矩形的性質，正方形的性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質，熟練掌握相關知識點，構造相似三角形，是解題的關鍵：
（1）根據矩形的性質，結合同角的余角，求出，即可得證；
（2）延長交于點，證明，得到，再證明，求出的長，進而求出的長；
（3）設正方形的邊長為，延長交于點，證明，得到，進而得到，勾股定理求出，進而求出的長，即可得出結果．
【詳解】解：（1）∵矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）延長交于點，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）設正方形的邊長為，則：，
延長交于點，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
5. （2024江蘇揚州）如圖，點依次在直線上，點固定不動，且，分別以為邊在直線同側作正方形、正方形，，直角邊恒過點，直角邊恒過點．
（1）如圖，若，，求點與點之間的距離；
（2）如圖，若，當點在點之間運動時，求的最大值；
（3）如圖，若，當點在點之間運動時，點隨之運動，連接，點是的中點，連接，則的最小值為_______．
【答案】（1）或； （2）； （3）．
【解析】【分析】（）設，則，證明，然后根據相似三角形的性質得出，則，轉化為，解方程即可；
（）設，則，證明，然后根據相似三角形的性質得出，則，轉化為然后由二次函數的性質求解即可；
（）連接，由四邊形是正方形，得，即點對角線所在直線上運動，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得，當三點共線時，有最小值，利用勾股定理即可求解．
【小問1詳解】
解：設，則，
∵四邊形、是正方形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴,
∴，
∴，即，則，
解得：或，
∴或；
【小問2詳解】
設，則，
∵四邊形、是正方形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
當時，有最大，最大值為；
【小問3詳解】
連接，
∵四邊形是正方形，
∴，
即點在對角線所在直線上運動，
如圖，作關于的對稱點，連接，過作于點，
∴，四邊形為矩形，
則點三點共線，，
∴，
∴，
∵，點是的中點，
∴，
∴，
∴當三點共線時，有最小值，
∴在中，由勾股定理得：，
∴的最小值為，
故答案為：．
【點睛】本題考查了正方形的性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，解一元二次方程，二次函數的最值，兩點之間線段最短等知識，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．
考點4. 幾何中的分割與拼接問題
1. （2024四川眉山）如圖，圖1是北京國際數學家大會的會標，它取材于我國古代數學家趙爽的“弦圖”，是由四個全等的直角三角形拼成．若圖1中大正方形的面積為24，小正方形的面積為4，現將這四個直角三角形拼成圖2，則圖2中大正方形的面積為（ ）
A. 24 B. 36 C. 40 D. 44
【答案】D
【解析】本題考查勾股定理，設直角三角形的兩直角邊為 ， ，斜邊為 ，根據圖1，結合已知條件得到，，進而求出的值，再進一步求解即可.
【詳解】如圖，直角三角形的兩直角邊為，，斜邊為，
圖1中大正方形的面積是24，
，
小正方形的面積是4，
，
，
圖2中最大的正方形的面積；
故選：D．
2. （2024江西省）將圖所示的七巧板，拼成圖所示的四邊形，連接，則______．
【答案】##
【解析】本題考查了等腰直角三角形的性質，正方形的性質，勾股定理，三角函數，如圖，設等腰直角的直角邊為，利用圖形的位置關系求出大正方形的邊長和大等腰直角三角形的直角邊長，進而根據正切的定義即可求解，掌握等腰直角三角形和正方形的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖，設等腰直角的直角邊為，則，小正方形的邊長為，
∴，
∴，
∴，
∴，
如圖，過點作的延長線于點，則，，
由圖（）可得，，，
∴，，
∴，
∴，
故答案為：．
3. （2024四川資陽）如圖，在矩形中，，．以點為圓心，長為半徑作弧交于點，再以為直徑作半圓，與交于點，則圖中陰影部分的面積為________．
【答案】
【解析】本題考查了切線的性質，等邊三角形的性質和判定，扇形的面積，解題的關鍵是學會利用分割法求陰影部分的面積．
設弓形，連接，，由題意知，即為等邊三角形，，即可得出陰影部分面積為，代入數值即可求出結果．
【詳解】∵以點為圓心，長為半徑作弧交于點，，，
∴，
∴以為直徑作半圓時，圓心為點，
設弓形，連接，，即，如圖：
∴為等邊三角形，
∴，
故陰影部分面積為，
代入數值可得，
故答案為．
考點1. 矩形的判定及性質
1．在矩形ABCD中，AC、BD相交于點O，若△AOB的面積為2，則矩形ABCD的面積為（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【解析】根據矩形的性質得到OA＝OB＝OC＝OD，推出S△ADO＝S△BCO＝S△CDO＝S△ABO＝2，即可求出矩形ABCD的面積．
∵四邊形ABCD是矩形，對角線AC、BD相交于點O，
∴AC＝BD，且OA＝OB＝OC＝OD，
∴S△ADO＝S△BCO＝S△CDO＝S△ABO＝2，
∴矩形ABCD的面積為4S△ABO＝8，
2．如圖，在平行四邊形ABCD中，延長AD到點E，使DE=AD，連接EB，EC，DB請你添加一個條件　 　，使四邊形DBCE是矩形．
【答案】EB=DC．
【解析】利用平行四邊形的判定與性質得到四邊形DBCE為平行四邊形，結合“對角線相等的平行四邊形為矩形”來添加條件即可．
添加EB=DC．理由如下：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，且AD=BC，∴DE∥BC，
又∵DE=AD，∴DE=BC，∴四邊形DBCE為平行四邊形．
又∵EB=DC，∴四邊形DBCE是矩形．
故答案是：EB=DC．
3. 如圖，在矩形ABCD中，點M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足為N．
（1）求證：△ABN≌△MAD；
（2）若AD＝2，AN＝4，求四邊形BCMN的面積．
【答案】見解析。
【解析】（1）利用矩形的對邊平行和四個角都是直角的性質得到兩隊相等的角，利用AAS證得兩三角形全等即可；
（2）利用全等三角形的性質求得AD＝BN＝2，AN＝4，從而利用勾股定理求得AB的長，利用S四邊形BCMN＝S矩形ABCD﹣S△ABN﹣S△MAD求得答案即可．
解：（1）在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB，
∴∠BAN＝∠AMD，
∵BN⊥AM，
∴∠BNA＝90°，
在△MAD和△ABN中，
，
∴△ABN≌△MAD（AAS）；
（2）∵△ABN≌△MAD，
∴BN＝AD，
∵AD＝2，
∴BN＝2，
又∵AN＝4，
在Rt△ABN中，AB＝＝＝2，
∴S矩形ABCD＝2×2＝4，S△ABN＝S△MAD＝×2×4＝4，
∴S四邊形BCMN＝S矩形ABCD﹣S△ABN﹣S△MAD＝4﹣8．
4．如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，點M，N分別為OA、OC的中點，延長BM至點E，使EM＝BM，連接DE．
（1）求證：△AMB≌△CND；
（2）若BD＝2AB，且AB＝5，DN＝4，求四邊形DEMN的面積．
【答案】見解析。
【解析】（1）∵平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，
∴AO＝CO，
又∵點M，N分別為OA、OC的中點，
∴AM＝CN，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAM＝∠DCN，
∴△AMB≌△CND（SAS）；
（2）∵△AMB≌△CND，
∴BM＝DN，∠ABM＝∠CDN，
又∵BM＝EM，
∴DN＝EM，
∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CDO，
∴∠MBO＝∠NDO，∴ME∥DN
∴四邊形DEMN是平行四邊形，
∵BD＝2AB，BD＝2BO，
∴AB＝OB，
又∵M是AO的中點，
∴BM⊥AO，
∴∠EMN＝90°，
∴四邊形DEMN是矩形，
∵AB＝5，DN＝BM＝4，
∴AM＝3＝MO，∴MN＝6，
∴矩形DEMN的面積＝6×4＝24．
考點2. 菱形的判定及性質
1．如圖，四邊形ABCD是菱形，點E，F分別在BC，DC邊上，添加以下條件不能判定△ABE≌△ADF的是（　　）
A．BE＝DF B．∠BAE＝∠DAF C．AE＝AD D．∠AEB＝∠AFD
【答案】C
【解析】由四邊形ABCD是菱形可得：AB＝AD，∠B＝∠D，再根據每個選項添加的條件逐一判斷．
由四邊形ABCD是菱形可得：AB＝AD，∠B＝∠D，
A、添加BE＝DF，可用SAS證明△ABE≌△ADF，故不符合題意；
B、添加∠BAE＝∠DAF，可用ASA證明△ABE≌△ADF，故不符合題意；
C、添加AE＝AD，不能證明△ABE≌△ADF，故符合題意；
D、添加∠AEB＝∠AFD，可用AAS證明△ABE≌△ADF，故不符合題意．
2. 如圖，BD是菱形ABCD的一條對角線，點E在BC的延長線上，若∠ADB＝32°，則∠DCE的度數為 　 　度．
【答案】64
【解析】根據菱形的性質可得BC＝CD，AD∥BC，得到∠CBD＝∠BDC＝∠ADB，利用外角性質可得．
∵四邊形ABCD為菱形，
∴BC＝CD，AD∥BC，
∴∠CBD＝∠BDC，∠CBD＝∠ADB＝32°，
∴∠CBD＝∠BDC＝32°，
∴∠DCE＝∠CBD+∠BDC＝64°．
3. 如圖，在菱形ABCD中，點O為對角線AC與BD的交點，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD兩對邊的距離h.
【答案】見解析
【解析】在Rt△AOB中，OA＝5，OB＝12，
∴S△AOB＝1/2 OA·OB＝1/2×5×12＝30，
∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.
又∵菱形兩組對邊的距離相等，
∴S菱形ABCD＝AB·h＝13h，
∴13h＝120，得h＝120/13 .
4. 如圖，在菱形ABCD中，∠ABC與∠BAD的度數比為1：2，周長是8cm．求：
（1）兩條對角線的長度；
（2）菱形的面積．
【答案】見解析。
【解析】（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AC⊥BD，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°.
∵∠ABC與∠BAD的度數比為1：2，
∴∠ABC=1/3 ×180°=60°，
∴∠ABO=1/2 ×∠ABC=30°，△ABC是等邊三角形.
∵菱形ABCD的周長是8cm．
∴AB=2cm，
∴OA=1/2 AB=1cm，AC=AB=2cm，
∴BD=2OB= cm；
（2）S菱形ABCD=1/2 AC BD
=1/2 ×2×= （cm2）．
5. 如圖，BD為□ABCD的對角線．
（1）作對角線BD的垂直平分線，分別交AD，BC，BD于點E，F，O（尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）連接BE，DF，求證：四邊形BEDF為菱形．
【答案】見解析。
【解析】（1）解：如圖，EF為所作；
（2）證明：∵EF垂直平分BD，
∴OB＝OD，EB＝ED，FB＝FD，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，∠DEO＝∠BFO，
在△ODE和△OBF中，
，
∴△ODE≌△OBF（AAS），
∴DE＝BF，
∴BE＝DE＝BF＝DF，
∴四邊形BEDF為菱形．
6. 如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，BE＝2DE，延長DE到點F，使得EF＝BE，連接CF.
(1)求證：四邊形BCFE是菱形；
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面積．
【答案】見解析
【解析】(1)證明：∵D、E分別是AB、AC的中點，
∴DE∥BC且2DE＝BC.
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴四邊形BCFE是平行四邊形．
又∵EF＝BE，
∴四邊形BCFE是菱形；
(2)解：∵∠BCF＝120°，
∴∠EBC＝60°，
∴△EBC是等邊三角形，
∴菱形的邊長為4，高為，
∴菱形的面積為
.
考點3. 正方形的判定及性質
1．如圖，E，F是正方形ABCD的對角線AC上的兩點，AC＝8，AE＝CF＝2，則四邊形BEDF的周長是　 　．
【答案】8．
【解析】連接BD交AC于點O，則可證得OE＝OF，OD＝OB，可證四邊形BEDF為平行四邊形，且BD⊥EF，可證得四邊形BEDF為菱形；根據勾股定理計算DE的長，可得結論．
如圖，連接BD交AC于點O，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC，
∵AE＝CF＝2，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，
∴四邊形BEDF為平行四邊形，且BD⊥EF，
∴四邊形BEDF為菱形，
∴DE＝DF＝BE＝BF，
∵AC＝BD＝8，OE＝OF2，
由勾股定理得：DE2，
∴四邊形BEDF的周長＝4DE＝48
2．如圖，BD是正方形ABCD的一條對角線，E是BD上一點，F是CB延長線上一點，連接CE，EF，AF．若DE＝DC，EF＝EC，則∠BAF的度數為 　 　．
【答案】22.5°．
【解析】連接AE，根據SAS證△ADE≌△CDE，得出AE＝CE＝EF，再證△AEF為等腰直角三角形，得出∠AFB＝67.5°，即可求出∠BAF的度數．
如圖，連接AE，
∵BD為正方形ABCD的對角線，
∴∠BDC＝45°，
∵DE＝DC＝AD，
∴∠DEC＝∠DCE＝＝67.5°，
∵∠DCB＝90°，
∴∠BCE＝90°﹣∠DCE＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∵EF＝EC，
∴∠EFC＝180°﹣∠EFC﹣∠ECF＝180°﹣22.5°﹣22.5°＝135°，
∵∠BEC＝180°﹣∠DEC＝180°﹣67.5°＝112.5°，
∴∠BEF＝135°﹣112.5°＝22.5°，
∵AD＝DE，∠ADE＝45°，
∴∠AED＝＝67.5°，
∴∠BEF+∠AED＝22.5°+67.5°＝90°，
∴∠AEF＝180°﹣90°＝90°，
在△ADE和△EDC中，
，
∴△ADE≌△EDC（SAS），
∴AE＝EC，
∴AE＝EF，
即△AEF為等腰直角三角形，
∴∠AFE＝45°，
∴∠AFB＝∠AFE+∠BFE＝45°+22.5°＝67.5°，
∵∠ABF＝90°，
∴∠BAF＝90°﹣∠AFB＝90°﹣67.5°＝22.5°，．
3．如圖，在正方形ABCD中，點E，F分別在邊CD，AD上，且AF＝CE．
（1）求證：△ABF≌△CBE；
（2）若AB＝4，AF＝1，求四邊形BEDF的面積．
【答案】（1）見解析；（2）12．
【解答】（1）在△ABF和△CBE中
，
∴△ABF≌△CBE（SAS）；
（2）由已知可得正方形ABCD面積為16，
△ABF面積＝△CBE面積＝×4×1＝2．
所以四邊形BEDF的面積為16﹣2×2＝12．
4.如圖，點E是正方形ABCD的邊BC上的動點，∠AEF＝90°，且EF＝AE，FH⊥BH．
（1）求證：BE＝CH；
（2）若AB＝3，BE＝x，用x表示DF的長．
【答案】見解析。
【解析】（1）由正方形ABCD，∠AEF＝90°，FH⊥BH，可得∠H＝∠B，∠AEB＝∠F，從而△ABE≌△EHF，可得EH＝AB＝BC，即可證明CH＝BE；
（2）連接DF，過F作FP⊥CD于P，證明四邊形PCHF是正方形，可得PF＝CP＝BE＝x，DP＝DC﹣CP＝3﹣x，即可在Rt△DPF中，得DF＝．
【解答】（1）證明：∵正方形ABCD，
∴∠B＝90°，AB＝BC，
∵FH⊥BH，
∴∠H＝90°＝∠B，∠F＝90°﹣∠FEH，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB＝90°﹣∠FEH，
∴∠AEB＝∠F，
在△ABE和△EHF中，
，
∴△ABE≌△EHF（AAS），
∴EH＝AB＝BC，BE＝FH，
∴EH﹣EC＝BC﹣EC，即CH＝BE；
（2）連接DF，過F作FP⊥CD于P，如圖：
∵∠H＝∠DCH＝∠FPC＝90°，
∴四邊形PCHF是矩形，
由（1）知：BE＝FH＝CH，
∴四邊形PCHF是正方形，
∴PF＝CP＝CH＝BE＝x，
∵DC＝AB＝3，
∴DP＝DC﹣CP＝3﹣x，
Rt△DPF中，DF＝，
∴DF＝＝．
考點4. 分割與拼接
1．（拼接）如圖，分別是可活動的菱形和平行四邊形學具，已知平行四邊形較短的邊與菱形的邊長相等．
（1）在一次數學活動中，某小組學生將菱形的一邊與平行四邊形較短邊重合，擺拼成如圖1所示的圖形，AF經過點C，連接DE交AF于點M，觀察發現：點M是DE的中點．
下面是兩位學生有代表性的證明思路：
思路1：不需作輔助線，直接證三角形全等；
思路2：不證三角形全等，連接BD交AF于點H．…
請參考上面的思路，證明點M是DE的中點（只需用一種方法證明）；
（2）如圖2，在（1）的前提下，當∠ABE=135°時，延長AD、EF交于點N，求的值；
（3）在（2）的條件下，若=k（k為大于的常數），直接用含k的代數式表示的值．
【答案】見解析
【分析】（1）證法一，利用菱形性質得AB=CD，AB∥CD，利用平行四邊形的性質得AB=EF，AB∥EF，則CD=EF，CD∥EF，再根據平行線的性質得∠CDM=∠FEM，則可根據“AAS”判斷△CDM≌△FEM，所以DM=EM；
證法二，利用菱形性質得DH=BH，利用平行四邊形的性質得AF∥BE，再根據平行線分線段成比例定理得到==1，所以DM=EM；
（2）由△CDM≌△FEM得到CM=FM，設AD=a，CM=b，則FM=b，EF=AB=a，再證明四邊形ABCD為正方形得到AC=a，接著證明△ANF為等腰直角三角形得到NF=a+b，則NE=NF+EF=2a+b，然后計算的值；
（4）利用==k得到=，則== +1=．
【解答】（1）如圖1，
證法一：∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵四邊形ABEF為平行四邊形，
∴AB=EF，AB∥EF，
∴CD=EF，CD∥EF，
∴∠CDM=∠FEM，
在△CDM和△FEM中
，
∴△CDM≌△FEM，
∴DM=EM，
即點M是DE的中點；
證法二：∵四邊形ABCD為菱形，
∴DH=BH，
∵四邊形ABEF為平行四邊形，
∴AF∥BE，
∵HM∥BE，
∴==1，
∴DM=EM，
即點M是DE的中點；
（2）∵△CDM≌△FEM，
∴CM=FM，
設AD=a，CM=b，
∵∠ABE=135°，
∴∠BAF=45°，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴∠NAF=45°，
∴四邊形ABCD為正方形，
∴AC=AD=a，
∵AB∥EF，
∴∠AFN=∠BAF=45°，
∴△ANF為等腰直角三角形，
∴NF=AF=（a+b+b）=a+b，
∴NE=NF+EF=a+b+a=2a+b，
∴===；
（4）∵==+2 =k，
∴=（k﹣），
∴=，
∴== +1= +1=．
【點評】本題考查了相似形的綜合題：熟練掌握平行線分線段成比例定理、平行四邊形和菱形的性質；靈活利用全等三角形的知識解決線段相等的問題；會利用代數法表示線段之間的關系．
　
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【名師導航】2025年中考數學一輪復習學案（全國版）
第四章 三角形及四邊形
4.6 特殊的平行四邊形
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 矩形的判定及性質 ☆☆☆ 數學中考中，有關特殊的平行四邊形的部分，每年考查2~3道題,分值為6~12分，通常以選擇題、填空題、解答題的形式考查。屬于中考必考內容，涉及知識綜合性強，在解答題里出現，一般考查證明和計算。特別是壓軸試題滲透本專題知識。需要在系統掌握基礎知識前提下，加強訓練，熟能生巧。
考點2 菱形的判定及性質 ☆☆
考點3 正方形的判定及性質 ☆☆
考點4 幾何中的分割與拼接問題 ☆☆☆
☆☆☆ 代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示中頻考點。
考點1 矩形的判定及性質
1．矩形的定義：有一個角是直角的_______叫做矩形。
2．矩形的性質
（1）矩形的四個角都是______；
（2）矩形的______平分且相等。
3．矩形判定定理
（1）有一個角是_____的平行四邊形是矩形；
（2）對角線_____的平行四邊形是矩形；
（3）有______角是直角的四邊形是矩形。
4．矩形的面積：S=ab（a、b分別表示矩形的長、寬）
考點2 菱形的判定及性質
1.菱形的定義 ：有一組_____相等的平行四邊形叫做菱形。
2.菱形的性質
（1）菱形的四條邊都______；
（2）菱形的兩條對角線互相_____，并且每一條對角線____一組對角。
3.菱形的判定定理
（1）一組鄰邊_____的平行四邊形是菱形；
（2）對角線互相_____的平行四邊形是菱形；
（3）四條邊____的四邊形是菱形。
4．菱形的面積：S=ah=mn/2（菱形底邊長為a，高為h，兩條對角線長分別為m和n）
考點3 正方形的判定及性質
1．正方形定義：有一組鄰邊_____并且有一個角是_____的平行四邊形叫做正方形。
2．正方形的性質：
（1）具有______、______、______的一切性質；
（2）正方形的四個角都是_____，四條邊都_____；
（3）正方形的兩條對角線____，并且互相________，每一條對角線____一組對角；
（4）正方形是軸對稱圖形，有4條對稱軸；
（5）正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的_____直角三角形，兩條對角線把正方形分成四個全等的小等腰直角三角形；
（6）正方形的一條對角線上的一點到另一條對角線的兩端點的距離____。
3．正方形的判定
判定一個四邊形是正方形的主要依據是定義，途徑有兩種：
一是先證它是_____，再證有一組_____相等。即有一組鄰邊相等的矩形是正方形。
二是先證它是_____，再證有一個角是____。即有一個角是直角的菱形是正方形。
4．正方形的面積：設正方形邊長為a，對角線長為b ，S=
考點4 幾何中的分割與拼接問題
1. 用下面的實例來說明分割與拼接
一個直角三角形可以分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形。把完全相同的這個直角三角形通過拼接可以得到一個矩形。利用這一思想方法可以建立恒等式，來證明勾股定律，可以求解矩形面積等。
2. 割補求圖形陰影部分面積：直接求面積較復雜或無法計算時，可通過旋轉、平移、割補等方法，對圖形進行轉化，為利用公式法或和差法創造條件，從而求解．
①全等法（體現拼接思想）
圖形 公式
S陰影= S△AOB
S陰影= S扇形BOC
S陰影=S矩形ACDF
S陰影= S正方形PCQE
②等面積法（體現拼接思想）
圖形 公式
S陰影= S扇形COD
③平移法（體現拼接思想）
圖形 公式
S陰影=S正方形BCFE
S陰影=S矩形ABHG
④旋轉法（體現拼接思想）
圖形 公式
S陰影=S扇形AOE
S陰影= S扇形BOD
S陰影= S扇形ABE-S扇形MBN
⑤對稱法（體現拼接思想）
圖形 公式
S陰影=S△ACD
S陰影= S扇形CDE
S陰影= S△OBC= S正方形ABCD
S陰影= S扇形ACB- S△ACD
【易錯點提示】分割與拼接思想方法是中考試卷里靚麗風景線，求解不規則圖形陰影部分面積問題常常用到分割與拼接。需要作答時認真觀察圖形特點，把不規則圖形面積的求法轉化為規則圖形面積的求法。
考點1 矩形的判定及性質
【例題1】（2024甘肅威武）如圖，在矩形中，對角線，相交于點O，，，則的長為（　　）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
【變式練1】（2024四川南充一模）如圖，點E是矩形ABCD邊AD上一點，點F，G，H分別是BE，BC，CE的中點，AF＝3，則GH的長為 　　．
．【變式練2】（2024四川自貢一模）如圖，在矩形ABCD中，點E、F分別是邊AB、CD的中點．求證：DE＝BF．
考點2 菱形的判定及性質
【例題2】（2024貴州省）如圖，在菱形中，點E，F分別是，的中點，連接，．若，，則的長為______．
【變式練1】（2024河南一模）如圖，菱形ABCD中，E，F分別是AD，BD的中點，若EF＝5，則菱形ABCD的周長為（　　）
A．20 B．30 C．40 D．50
變式練2】（2024重慶一模）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC＝12，BD＝16，分別以點A，B，C，D為圓心，AB的長為半徑畫弧，與該菱形的邊相交，則圖中陰影部分的面積為　　．（結果保留π）
考點3 正方形的判定及性質
【例題3】 （2024福建省）如圖，正方形的面積為4，點，，，分別為邊，，，的中點，則四邊形的面積為______．
【變式練1】（2024深圳一模）下列命題是假命題的是（ ）
A．對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形． B．對角線互相垂直的矩形是正方形．
C．對角線相等的菱形是正方形． D．對角線互相垂直平分的四邊形是正方形．
【變式練2】（2024天津一模）如圖，在正方形ABCD中，AB＝1，點E，F分別在邊BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝60°，則CF的長是（　　）
A． B． C．﹣1 D．
考點4 幾何中的分割與拼接問題
【例題4】（2024河北省）情境 圖1是由正方形紙片去掉一個以中心O為頂點的等腰直角三角形后得到的．
該紙片通過裁剪，可拼接為圖2所示的鉆石型五邊形，數據如圖所示．
（說明：紙片不折疊，拼接不重疊無縫隙無剩余）
操作 嘉嘉將圖1所示的紙片通過裁剪，拼成了鉆石型五邊形．
如圖3，嘉嘉沿虛線，裁剪，將該紙片剪成①，②，③三塊，再按照圖4所示進行拼接．根據嘉嘉的剪拼過程，解答問題：
（1）直接寫出線段的長；
（2）直接寫出圖3中所有與線段相等的線段，并計算的長．
探究淇淇說：將圖1所示紙片沿直線裁剪，剪成兩塊，就可以拼成鉆石型五邊形．
請你按照淇淇的說法設計一種方案：在圖5所示紙片的邊上找一點P（可以借助刻度尺或圓規），畫出裁剪線（線段）的位置，并直接寫出的長．
【變式練1】（2024湖北一模）如圖1，將長為，寬為的矩形分割成四個全等的直角三角形，拼成“趙爽弦圖”（如圖2），得到大正方形，中間陰影部分是一個小正方形．
(1)用關于的代數式表示圖2中陰影小正方形的邊長；
(2)當時，該陰影小正方形的面積是多少？
【變式練2】（2024廣西一模）我國古代偉大的數學家劉徽將勾股形(古人稱直角三角形為勾股形)分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形,得到一個恒等式.后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理,如圖所示的矩形由兩個這樣的圖形拼成,若a=3,b=4,則該矩形的面積為(　　)
A.20　　　 B.24　　 C. 99/4　 D. 53/2
考點1. 矩形的判定及性質
1. （2024四川成都市）如圖，在矩形中，對角線與相交于點，則下列結論一定正確的是（ ）
A. B. C. D.
2. （2024黑龍江齊齊哈爾）已知矩形紙片，，，點P在邊上，連接，將沿所在的直線折疊，點B的對應點為，把紙片展平，連接，，當為直角三角形時，線段的長為______．
3. （2024黑龍江綏化）在矩形中，，，點在直線上，且，則點到矩形對角線所在直線的距離是______．
4. （2024江蘇連云港）如圖，將一張矩形紙片上下對折，使之完全重合，打開后，得到折痕EF，連接BF．再將矩形紙片折疊，使點B落在BF上的點H處，折痕為AG．若點G恰好為線段BC最靠近點B的一個五等分點，，則BC的長為__________．
5. （2024貴州省）如圖，四邊形的對角線與相交于點O，，，有下列條件：
①，②．
（1）請從以上①②中任選1個作為條件，求證：四邊形是矩形；
（2）在（1）的條件下，若，，求四邊形的面積．
6. （2024上海市）如圖所示，在矩形中，為邊上一點，且．
（1）求證：；
（2）線段延長線上一點，且滿足，求證：．
7. （2024廣東） 中國新能源汽車為全球應對氣候變化和綠色低碳轉型作出了巨大貢獻．為滿足新能源汽車的充電需求，某小區增設了充電站，如圖是矩形充電站的平面示意圖，矩形是其中一個停車位．經測量，，，，，是另一個車位的寬，所有車位的長寬相同，按圖示并列劃定．
根據以上信息回答下列問題：（結果精確到，參考數據）
（1）求的長；
（2）該充電站有20個停車位，求的長．
8. （2024湖北省）如圖，矩形中，分別在上，將四邊形沿翻折，使的對稱點落在上，的對稱點為交于．
（1）求證：．
（2）若為中點，且，求長．
（3）連接，若為中點，為中點，探究與大小關系并說明理由．
考點2. 菱形的判定及性質
1. （2024黑龍江綏化）如圖，四邊形是菱形，，，于點，則的長是（ ）
A. B. C. D.
2. （2024甘肅臨夏）如圖，是坐標原點，菱形的頂點在軸的負半軸上，頂點的坐標為，則頂點的坐標為（ ）
A. B. C. D.
3. （2024福建省）如圖，在菱形中，點分別在邊上，，求證：．
4. （2024廣東） 如圖，菱形的面積為24，點E是的中點，點F是上的動點．若的面積為4，則圖中陰影部分的面積為______．
5. （2024云南省）如圖，在四邊形中，點、、、分別是各邊的中點，且，，四邊形是矩形．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）若矩形的周長為22，四邊形的面積為10，求的長．
考點3. 正方形的判定及性質
1. （2024山東煙臺）如圖，在正方形中，點E，F分別為對角線的三等分點，連接并延長交于點G，連接，若，則用含α的代數式表示為（ ）
A. B. C. D.
2. （2024廣西）如圖，邊長為5的正方形，E，F，G，H分別為各邊中點，連接，，，，交點分別為M，N，P，Q，那么四邊形的面積為（ ）
A. 1 B. 2 C. 5 D. 10
3. （2024武漢市）如圖是我國漢代數學家趙爽在注解《周髀算經》時給出的“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形．直線交正方形的兩邊于點，，記正方形的面積為，正方形的面積為．若，則用含的式子表示的值是___________．
4. （2024甘肅臨夏）如圖1，在矩形中，點為邊上不與端點重合的一動點，點是對角線上一點，連接，交于點，且．
【模型建立】
（1）求證：；
【模型應用】
（2）若，，，求的長；
【模型遷移】
（3）如圖2，若矩形是正方形，，求的值．
5. （2024江蘇揚州）如圖，點依次在直線上，點固定不動，且，分別以為邊在直線同側作正方形、正方形，，直角邊恒過點，直角邊恒過點．
（1）如圖，若，，求點與點之間的距離；
（2）如圖，若，當點在點之間運動時，求的最大值；
（3）如圖，若，當點在點之間運動時，點隨之運動，連接，點是的中點，連接，則的最小值為_______．
考點4. 幾何中的分割與拼接問題
1. （2024四川眉山）如圖，圖1是北京國際數學家大會的會標，它取材于我國古代數學家趙爽的“弦圖”，是由四個全等的直角三角形拼成．若圖1中大正方形的面積為24，小正方形的面積為4，現將這四個直角三角形拼成圖2，則圖2中大正方形的面積為（ ）
A. 24 B. 36 C. 40 D. 44
2. （2024江西省）將圖所示的七巧板，拼成圖所示的四邊形，連接，則______．
3. （2024四川資陽）如圖，在矩形中，，．以點為圓心，長為半徑作弧交于點，再以為直徑作半圓，與交于點，則圖中陰影部分的面積為________．
考點1. 矩形的判定及性質
1．在矩形ABCD中，AC、BD相交于點O，若△AOB的面積為2，則矩形ABCD的面積為（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
2．如圖，在平行四邊形ABCD中，延長AD到點E，使DE=AD，連接EB，EC，DB請你添加一個條件　 　，使四邊形DBCE是矩形．
3. 如圖，在矩形ABCD中，點M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足為N．
（1）求證：△ABN≌△MAD；
（2）若AD＝2，AN＝4，求四邊形BCMN的面積．
4．如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，點M，N分別為OA、OC的中點，延長BM至點E，使EM＝BM，連接DE．
（1）求證：△AMB≌△CND；
（2）若BD＝2AB，且AB＝5，DN＝4，求四邊形DEMN的面積．
考點2. 菱形的判定及性質
1．如圖，四邊形ABCD是菱形，點E，F分別在BC，DC邊上，添加以下條件不能判定△ABE≌△ADF的是（　　）
A．BE＝DF B．∠BAE＝∠DAF C．AE＝AD D．∠AEB＝∠AFD
2. 如圖，BD是菱形ABCD的一條對角線，點E在BC的延長線上，若∠ADB＝32°，則∠DCE的度數為 　 　度．
3. 如圖，在菱形ABCD中，點O為對角線AC與BD的交點，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD兩對邊的距離h.
4. 如圖，在菱形ABCD中，∠ABC與∠BAD的度數比為1：2，周長是8cm．求：
（1）兩條對角線的長度；
（2）菱形的面積．
5. 如圖，BD為□ABCD的對角線．
（1）作對角線BD的垂直平分線，分別交AD，BC，BD于點E，F，O（尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）連接BE，DF，求證：四邊形BEDF為菱形．
6. 如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，BE＝2DE，延長DE到點F，使得EF＝BE，連接CF.
(1)求證：四邊形BCFE是菱形；
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面積．
考點3. 正方形的判定及性質
1．如圖，E，F是正方形ABCD的對角線AC上的兩點，AC＝8，AE＝CF＝2，則四邊形BEDF的周長是　 　．
2. D是正方形ABCD的一條對角線，E是BD上一點，F是CB延長線上一點，連接CE，EF，AF．若DE＝DC，EF＝EC，則∠BAF的度數為 　 　．
3．如圖，在正方形ABCD中，點E，F分別在邊CD，AD上，且AF＝CE．
（1）求證：△ABF≌△CBE；
（2）若AB＝4，AF＝1，求四邊形BEDF的面積．
4.如圖，點E是正方形ABCD的邊BC上的動點，∠AEF＝90°，且EF＝AE，FH⊥BH．
（1）求證：BE＝CH；
（2）若AB＝3，BE＝x，用x表示DF的長．
考點4. 分割與拼接
1．（拼接）如圖，分別是可活動的菱形和平行四邊形學具，已知平行四邊形較短的邊與菱形的邊長相等．
（1）在一次數學活動中，某小組學生將菱形的一邊與平行四邊形較短邊重合，擺拼成如圖1所示的圖形，AF經過點C，連接DE交AF于點M，觀察發現：點M是DE的中點．
下面是兩位學生有代表性的證明思路：
思路1：不需作輔助線，直接證三角形全等；
思路2：不證三角形全等，連接BD交AF于點H．…
請參考上面的思路，證明點M是DE的中點（只需用一種方法證明）；
（2）如圖2，在（1）的前提下，當∠ABE=135°時，延長AD、EF交于點N，求的值；
（3）在（2）的條件下，若=k（k為大于的常數），直接用含k的代數式表示的值．
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