資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
【名師導(dǎo)航】2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（全國版）
第五章 圓
5.1 圓的有關(guān)概念和性質(zhì)
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢
考點(diǎn)1 圓的有關(guān)概念及性質(zhì) ☆ 數(shù)學(xué)中考中，有關(guān)圓的概念與性質(zhì)部分，每年考查1~2道題,分值為3~6分，通常以選擇題、 填空題的形式考查。對于這部分的復(fù)習(xí)需要學(xué)生熟練掌握圓的概念和性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理及圓內(nèi)接多邊形。特別是圓周角定律及圓內(nèi)接多邊形是每年都涉及。
考點(diǎn)2 垂徑定理及其計(jì)算 ☆☆
考點(diǎn)3 圓周角定理及圓內(nèi)接多邊形 ☆☆☆
☆☆☆ 代表必考點(diǎn)，☆☆代表?？键c(diǎn)，☆星表示選考點(diǎn)。
考點(diǎn)1. 圓的有關(guān)概念及性質(zhì)
（一）圓的定義和性質(zhì)
1.圓的旋轉(zhuǎn)定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)__所形成的圖形叫做圓．以點(diǎn)O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”.
2.圓的集合定義：圓心為O、半徑為r的圓可以看成是所有到定點(diǎn)O的距離___定長r的點(diǎn)的集合．
3.圓心與半徑：固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑，一般用r表示．
4.圓的對稱性：
（1）圓是______圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸；
（2）圓是以圓心為對稱中心的_______圖形。
【注意】（1）圓心相同且半徑相等的圓叫做______；
（2）圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做_______；
（3）半徑相等的圓叫做______。
（二）與圓有關(guān)的概念
1. 弦的概念：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的_____叫做弦(如圖中的AC)。
2. 直徑的概念：經(jīng)過______的弦叫做直徑（如圖中的AB）。
【注意1】（1）直徑是同一圓中最長的弦。（2）直徑長度等于半徑長度的2倍。
3.弧的概念：圓上任意兩點(diǎn)間的_____叫做圓弧，簡稱弧。以A、B為端點(diǎn)的弧記作 ，讀作“圓弧AB”或“弧AB”．
4.等弧的概念：在同圓或等圓中，能夠互相_____的弧叫做等弧。
5.半圓的概念：圓的任意一條_____的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。
6.優(yōu)弧的概念：在一個(gè)圓中______半圓的弧叫做優(yōu)弧。如圖中的 ；
7.劣弧的概念：_____半圓的弧叫做劣弧。如圖中的。
8.圓的周長公式：c＝2πr．
9.圓的面積公式：S＝πr2
【注意2】對圓的認(rèn)識需要注意的幾個(gè)問題
（1）在一個(gè)圓中可以畫出無數(shù)條弦和直徑．
（2）直徑是弦，但弦不一定是直徑．
（3）在同一個(gè)圓中，直徑是最長的弦．
（4）半圓是弧，但弧不一定是半圓．弧有長度和度數(shù)，規(guī)定半圓的度數(shù)為180°，劣弧的度數(shù)小于180°，優(yōu)弧的度數(shù)大于180°．
（5）在同圓或等圓中能夠互相重合的弧是等弧，度數(shù)或長度相等的弧不一定是等弧．
考點(diǎn)2. 垂徑定理及其計(jì)算
1. 垂徑定理:垂直于弦的______平分弦,并且平分弦所對的____條弧.
∵ CD是直徑，CD⊥AB，
∴ AE=BE,
【溫馨提示】垂徑定理是圓中一個(gè)重要的定理,三種語言要相互轉(zhuǎn)化,形成整體,才能運(yùn)用自如.
2. 垂徑定理的推論：
推論1：1）平分弦（不是直徑）的____垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；
2）弦的________經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧；
3）平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的______弧。
推論2：圓的兩條_____弦所夾的弧相等。
3.涉及垂徑定理時(shí)輔助線的添加方法
在圓中有關(guān)弦長a,半徑r, 弦心距d（圓心到弦的距離），弓形高h(yuǎn)的計(jì)算題時(shí)，常常通過連半徑或作弦心距構(gòu)造直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理求解.
4.垂徑定理的應(yīng)用
解決應(yīng)用垂徑定理的圓問題，基本思路就是利用勾股定理構(gòu)造方程。
考點(diǎn)3. 圓周角定理及圓內(nèi)接多邊形
（一）弧、弦、圓心角的關(guān)系問題
1.圓心角的定義
（1）頂點(diǎn)在_____的角,叫圓心角，如∠AOB .
（2）圓心角 ∠AOB 所對的弧為
（3）圓心角 ∠AOB所對的弦為AB.
注意：對于任意給定一個(gè)圓心角，都對應(yīng)出現(xiàn)三個(gè)量：即圓心角、弧、弦。
2.圓心角、弧、弦之間的關(guān)系
定理：在同圓或等圓中，如果圓心角相等，那么圓心角所對的_____相等， 圓心角所對的____相等。
推論：（1）在同圓或等圓中，如果弧相等，那么弧所對的______相等，弧所對的____相等。
（2）在同圓或等圓中，如果弦相等，那么弦所對應(yīng)的_____相等，弦所對應(yīng)的____相等，弦所對應(yīng)的_____相等。
（二）圓周角定理
1.圓周角的定義
_____在圓上，并且兩邊都與圓_____的角叫做圓周角.
2.圓周角定理及其推論
圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的______的一半．
如圖，連接BO,CO,得圓心角∠BOC.試猜想∠BAC與∠BOC存在怎樣的數(shù)量關(guān)系.
圓周角定理推論：（1）在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角_____．
（2）直徑所對的圓周角是直角．
3.圓周角與圓心角的關(guān)系中圓心的位置存在的情形
（1）圓心O在∠BAC的一邊上（如圖甲）
（2）圓心O 在∠BAC的 內(nèi)部（如圖乙）
（3）圓心O在∠BAC的外部（如圖丙）
甲 乙 丙
4.圓周角和直徑的關(guān)系
半圓或直徑所對的圓周角都相等，都等于______.
【方法總結(jié)】在圓中，如果有直徑，一般要找直徑所對的圓周角，構(gòu)造直角三角形解題．
（三）圓內(nèi)接四邊形
如果一個(gè)多邊形所有_____都在同一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓.
推論1：圓的內(nèi)接四邊形的對角______.
推論2：圓的內(nèi)接四邊形的任何一個(gè)外角都_____它的內(nèi)對角.
注意：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)．
【易錯(cuò)點(diǎn)提示】
考點(diǎn)1. 圓的有關(guān)概念及性質(zhì)
【例題1】（原創(chuàng)）下列對圓的說法中，錯(cuò)誤的是（　　）
A．半圓是弧 B．半徑相等的圓是等圓
C．過圓心的線段是直徑 D．直徑是弦
【變式練1】（2024湖南一模）下列命題中正確的有( )
①弦是圓上任意兩點(diǎn)之間的部分；②半徑是弦；③直徑是最長的弦；④弧是半圓，半圓是弧
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【變式練2】（2024福建一模）已知AB是半徑為5的圓的一條弦，則AB的長不可能是（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
考點(diǎn)2. 垂徑定理及其計(jì)算
【例題2】（2024江西?。┤鐖D，是的直徑，，點(diǎn)C在線段上運(yùn)動，過點(diǎn)C的弦，將沿翻折交直線于點(diǎn)F，當(dāng)?shù)拈L為正整數(shù)時(shí)，線段的長為______．
【變式練1】（2024西藏一模）在中，直徑AB＝15，弦DE⊥AB于點(diǎn)C．若OC：OB＝3 ：5，則DE的長為（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【變式練2】（2024山西一模）為了測量一個(gè)鐵球的直徑，將該鐵球放入工件槽內(nèi)，測得的有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示（單位：cm），則該鐵球的直徑為（　　）
A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm
考點(diǎn)3. 圓周角定理及圓內(nèi)接多邊形
【例題3】（2024甘肅臨夏）如圖，是直徑，，則（ ）
A. B. C. D.
【變式練1】（2024甘肅一模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CD是⊙O的直徑，∠ACD＝40°，則
∠B=（ ）
A. 70° B. 60° C. 50° D. 40°
【變式練2】（2024安徽一模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)P為邊AD上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，D重合）連接CP．若∠B＝120°，則∠APC的度數(shù)可能為（　?。?br/>A．30° B．45° C．50° D．65°
考點(diǎn)1. 圓的有關(guān)概念及性質(zhì)
1．（2024內(nèi)蒙古包頭）已知中最長的弦為12厘米，則此圓半徑為 厘米．
2．（2024云南）下列判斷正確的個(gè)數(shù)有（ ）
①直徑是圓中最大的弦；
②長度相等的兩條弧一定是等弧；
③半徑相等的兩個(gè)圓是等圓；
④弧分優(yōu)弧和劣??；
⑤同一條弦所對的兩條弧一定是等弧．
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
考點(diǎn)2. 垂徑定理及其計(jì)算
1. （2024內(nèi)蒙古赤峰）如圖，是的直徑，是的弦，半徑，連接，交于點(diǎn)E，，則的度數(shù)是（　?。?br/>A. B. C. D.
2. （2024四川涼山）數(shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們要測一個(gè)如圖所示的殘缺圓形工件的半徑，小明的解決方案是：在工件圓弧上任取兩點(diǎn)，連接，作的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，測出，則圓形工件的半徑為（ ）
A. B. C. D.
考點(diǎn)3. 圓周角定理及圓內(nèi)接多邊形
1. （2024湖南?。┤鐖D，，為的兩條弦，連接，，若，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
2. （2024甘肅威武）如圖，點(diǎn)A，B，C在上，，垂足為D，若，則的度數(shù)是（　?。?br/>A. B. C. D.
3. （2024四川廣元）如圖，已知四邊形是的內(nèi)接四邊形，為延長線上一點(diǎn)，，則等于（ ）
A. B. C. D.
4. （2024吉林?。┤鐖D，四邊形內(nèi)接于，過點(diǎn)B作，交于點(diǎn)E．若，則的度數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
5. （2024武漢市）如圖，四邊形內(nèi)接于，，，，則的半徑是（ ）
A. B. C. D.
6. （2024江蘇連云港）如圖，是圓的直徑，、、、的頂點(diǎn)均在上方的圓弧上，、的一邊分別經(jīng)過點(diǎn)A、B，則__________．
考點(diǎn)1. 圓的有關(guān)概念及性質(zhì)
1．如圖，AB是⊙O的直徑，，∠COB＝40°，則∠A的度數(shù)是（　　）
A．50° B．55° C．60° D．65°
考點(diǎn)2. 垂徑定理及其計(jì)算
1.如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，CD＝2OE，則∠BCD的度數(shù)為（　　）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
2．如圖，弦AB⊥OC，垂足為點(diǎn)C，連接OA，若OC＝4，AB＝6，則sinA等于（　?。?br/>A． B． C． D．
3. 趙州橋是當(dāng)今世界上建造最早，保存最完整的中國古代單孔敞肩石拱橋．如圖，主橋拱呈圓弧形，跨度約為37m，拱高約為7m，則趙州橋主橋拱半徑R約為（　　）
A．20m B．28m C．35m D．40m
4. 如圖，A、B、C是上的點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)D，且D為OC的中點(diǎn)，若，則BC的長為___________．
5．如圖是一個(gè)圓形餐盤的正面及其固定支架的截面圖，凹槽ABCD是矩形．當(dāng)餐盤正立且緊靠支架于點(diǎn)A，D時(shí)，恰好與BC邊相切，則此餐盤的半徑等于 　 　cm．
考點(diǎn)3. 圓周角定理及圓內(nèi)接多邊形
1. 如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，則∠BOC的度數(shù)為（　　）
A．27° B．108° C．116° D．128°
2. 如圖，點(diǎn)A，B，C是⊙O上的三點(diǎn)．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，則∠AOB的大小為（　?。?br/>A．25° B．30° C．35° D．40°
3. 如圖，在⊙O中，AB是直徑，弦AC的長為5cm，點(diǎn)D在圓上且∠ADC＝30°，則⊙O的半徑為　　cm．
4. 如圖，AB是的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E，連接AC，AD．若，則______°
5. 如圖，⊙O的直徑AB經(jīng)過弦CD的中點(diǎn)H，若cos∠CDB＝，BD＝5，則⊙O的半徑為_______．
6．如圖所示，AB是⊙O的直徑，C、D、E是⊙O上的點(diǎn)，若，∠E＝70°，則∠ABC的度數(shù)（　?。?br/>A．30° B．40° C．50° D．60°
7. 如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為BC延長線上一點(diǎn)．若∠DCE＝65°，則∠BOD的度數(shù)
是（　?。?br/>A．65° B．115° C．130° D．140°
8．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E，連接AC，AD．若∠D＝62°，則∠BAC＝　　．
9. 如圖，在⊙O內(nèi)接四邊形ABCD中，若∠ABC＝100°，則∠ADC＝　 　°．
10．已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB為直徑作半圓O，分別交BC，AC于點(diǎn)D，E．
（1）求證：BD＝DC．
（2）若∠BAC＝40°，求所對的圓心角的度數(shù)．
11．如圖，AB是⊙O的直徑，C是的中點(diǎn)，CE⊥AB于點(diǎn)E，BD交CE于點(diǎn)F．
（1）求證：CF＝BF；
（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半徑及CE的長．
12．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D是⊙O上的點(diǎn)，且OD∥BC，AC分別與BD．OD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．
（1）求證：點(diǎn)D為弧AC的中點(diǎn)；
（2）若DF＝4，AC＝16，求⊙O的直徑．
13．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，AC＝4，D是弧AC的中點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)E．若E是BD的中點(diǎn)，則BC的長為（　?。?br/>A．5 B．3 C．2 D．1
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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【名師導(dǎo)航】2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（全國版）
第五章 圓
5.1 圓的有關(guān)概念和性質(zhì)
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢
考點(diǎn)1 圓的有關(guān)概念及性質(zhì) ☆ 數(shù)學(xué)中考中，有關(guān)圓的概念與性質(zhì)部分，每年考查1~2道題,分值為3~6分，通常以選擇題、 填空題的形式考查。對于這部分的復(fù)習(xí)需要學(xué)生熟練掌握圓的概念和性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理及圓內(nèi)接多邊形。特別是圓周角定律及圓內(nèi)接多邊形是每年都涉及。
考點(diǎn)2 垂徑定理及其計(jì)算 ☆☆
考點(diǎn)3 圓周角定理及圓內(nèi)接多邊形 ☆☆☆
☆☆☆ 代表必考點(diǎn)，☆☆代表常考點(diǎn)，☆星表示選考點(diǎn)。
考點(diǎn)1. 圓的有關(guān)概念及性質(zhì)
（一）圓的定義和性質(zhì)
1.圓的旋轉(zhuǎn)定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓．以點(diǎn)O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”.
2.圓的集合定義：圓心為O、半徑為r的圓可以看成是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長r的點(diǎn)的集合．
3.圓心與半徑：固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑，一般用r表示．
4.圓的對稱性：
（1）圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸；
（2）圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形。
【注意】（1）圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓；
（2）圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓；
（3）半徑相等的圓叫做等圓。
（二）與圓有關(guān)的概念
1. 弦的概念：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦(如圖中的AC)。
2. 直徑的概念：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑（如圖中的AB）。
【注意1】（1）直徑是同一圓中最長的弦。（2）直徑長度等于半徑長度的2倍。
3.弧的概念：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧。以A、B為端點(diǎn)的弧記作 ，讀作“圓弧AB”或“弧AB”．
4.等弧的概念：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。
5.半圓的概念：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。
6.優(yōu)弧的概念：在一個(gè)圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧。如圖中的 ；
7.劣弧的概念：小于半圓的弧叫做劣弧。如圖中的。
8.圓的周長公式：c＝2πr．
9.圓的面積公式：S＝πr2
【注意2】對圓的認(rèn)識需要注意的幾個(gè)問題
（1）在一個(gè)圓中可以畫出無數(shù)條弦和直徑．
（2）直徑是弦，但弦不一定是直徑．
（3）在同一個(gè)圓中，直徑是最長的弦．
（4）半圓是弧，但弧不一定是半圓．弧有長度和度數(shù)，規(guī)定半圓的度數(shù)為180°，劣弧的度數(shù)小于180°，優(yōu)弧的度數(shù)大于180°．
（5）在同圓或等圓中能夠互相重合的弧是等弧，度數(shù)或長度相等的弧不一定是等?。?br/>考點(diǎn)2. 垂徑定理及其計(jì)算
1. 垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧.
∵ CD是直徑，CD⊥AB，
∴ AE=BE,
【溫馨提示】垂徑定理是圓中一個(gè)重要的定理,三種語言要相互轉(zhuǎn)化,形成整體,才能運(yùn)用自如.
2. 垂徑定理的推論：
推論1：1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；
2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧；
3）平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。
推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。
3.涉及垂徑定理時(shí)輔助線的添加方法
在圓中有關(guān)弦長a,半徑r, 弦心距d（圓心到弦的距離），弓形高h(yuǎn)的計(jì)算題時(shí)，常常通過連半徑或作弦心距構(gòu)造直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理求解.
4.垂徑定理的應(yīng)用
解決應(yīng)用垂徑定理的圓問題，基本思路就是利用勾股定理構(gòu)造方程。
考點(diǎn)3. 圓周角定理及圓內(nèi)接多邊形
（一）弧、弦、圓心角的關(guān)系問題
1.圓心角的定義
（1）頂點(diǎn)在圓心的角,叫圓心角，如∠AOB .
（2）圓心角 ∠AOB 所對的弧為
（3）圓心角 ∠AOB所對的弦為AB.
注意：對于任意給定一個(gè)圓心角，都對應(yīng)出現(xiàn)三個(gè)量：即圓心角、弧、弦。
2.圓心角、弧、弦之間的關(guān)系
定理：在同圓或等圓中，如果圓心角相等，那么圓心角所對的弧相等， 圓心角所對的弦相等。
推論：（1）在同圓或等圓中，如果弧相等，那么弧所對的圓心角相等，弧所對的弦相等。
（2）在同圓或等圓中，如果弦相等，那么弦所對應(yīng)的圓心角相等，弦所對應(yīng)的優(yōu)弧相等，弦所對應(yīng)的劣弧相等。
（二）圓周角定理
1.圓周角的定義
頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.
2.圓周角定理及其推論
圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．
如圖，連接BO,CO,得圓心角∠BOC.試猜想∠BAC與∠BOC存在怎樣的數(shù)量關(guān)系.
圓周角定理推論：（1）在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等．
（2）直徑所對的圓周角是直角．
3.圓周角與圓心角的關(guān)系中圓心的位置存在的情形
（1）圓心O在∠BAC的一邊上（如圖甲）
（2）圓心O 在∠BAC的 內(nèi)部（如圖乙）
（3）圓心O在∠BAC的外部（如圖丙）
甲 乙 丙
4.圓周角和直徑的關(guān)系
半圓或直徑所對的圓周角都相等，都等于90°.
【方法總結(jié)】在圓中，如果有直徑，一般要找直徑所對的圓周角，構(gòu)造直角三角形解題．
（三）圓內(nèi)接四邊形
如果一個(gè)多邊形所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓.
推論1：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ).
推論2：圓的內(nèi)接四邊形的任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對角.
注意：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)．
【易錯(cuò)點(diǎn)提示】
考點(diǎn)1. 圓的有關(guān)概念及性質(zhì)
【例題1】（原創(chuàng)）下列對圓的說法中，錯(cuò)誤的是（　?。?br/>A．半圓是弧 B．半徑相等的圓是等圓
C．過圓心的線段是直徑 D．直徑是弦
【答案】C
【解析】根據(jù)圓的有關(guān)概念進(jìn)行判斷
A．半圓是弧，所以A選項(xiàng)的說法正確；
B．半徑相等的圓是等圓，所以B選項(xiàng)的說法正確；
C．過圓心的弦為直徑，所以C選項(xiàng)的說法錯(cuò)誤；
D．直徑是弦，所以D選項(xiàng)的說法正確．故選C．
【變式練1】（2024湖南一模）下列命題中正確的有( )
①弦是圓上任意兩點(diǎn)之間的部分；②半徑是弦；③直徑是最長的弦；④弧是半圓，半圓是弧
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】A
【解析】①弦是圓上任意兩點(diǎn)之間的連線段，所以①錯(cuò)誤；
②半徑不是弦，所以②錯(cuò)誤；
③直徑是最長的弦，正確；
④弧是半圓，只有180°的弧才是半圓，所以④錯(cuò)誤．
【變式練2】（2024福建一模）已知AB是半徑為5的圓的一條弦，則AB的長不可能是（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【解析】根據(jù)圓中最長的弦為直徑求解．因?yàn)閳A中最長的弦為直徑，直徑為10，所以弦長L≤10．
考點(diǎn)2. 垂徑定理及其計(jì)算
【例題2】（2024江西?。┤鐖D，是的直徑，，點(diǎn)C在線段上運(yùn)動，過點(diǎn)C的弦，將沿翻折交直線于點(diǎn)F，當(dāng)?shù)拈L為正整數(shù)時(shí)，線段的長為______．
【答案】或或2
【解析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，折疊的性質(zhì)，根據(jù)，可得或2，利用勾股定理進(jìn)行解答即可，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．
【詳解】為直徑，為弦，
，
當(dāng)?shù)拈L為正整數(shù)時(shí)，或2，
當(dāng)時(shí)，即為直徑，
將沿翻折交直線于點(diǎn)F，此時(shí)與點(diǎn)重合，
故；
當(dāng)時(shí)，且在點(diǎn)在線段之間，
如圖，連接，
此時(shí)，
，
，
，
，
；
當(dāng)時(shí)，且點(diǎn)在線段之間，連接，
同理可得，
，
綜上，可得線段的長為或或2．
【變式練1】（2024西藏一模）在中，直徑AB＝15，弦DE⊥AB于點(diǎn)C．若OC：OB＝3 ：5，則DE的長為（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】C
【解析】根據(jù)題意畫出圖形，然后利用垂徑定理和勾股定理解答即可．
如圖所示：∵直徑AB＝15，∴BO＝7.5，∵OC：OB＝3：5，∴CO＝4.5，
∵DE⊥AB，∴DC＝＝6，∴DE＝2DC＝12．
【變式練2】（2024山西一模）為了測量一個(gè)鐵球的直徑，將該鐵球放入工件槽內(nèi)，測得的有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示（單位：cm），則該鐵球的直徑為（　?。?br/>A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm
【答案】B
【解析】連接AB、CO交于點(diǎn)D，
由題意得，OC⊥AB，
則AD＝DB＝AB＝4，
設(shè)圓的半徑為Rcm，則OD＝（R﹣2）cm，
在Rt△AOD中，OA2＝AD2+OD2，即R2＝42+（R﹣2）2，
解得，R＝5，
則該鐵球的直徑為10cm．
【提示】垂徑定理內(nèi)容是垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧.
考點(diǎn)3. 圓周角定理及圓內(nèi)接多邊形
【例題3】（2024甘肅臨夏）如圖，是直徑，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本題考查圓周角定理，關(guān)鍵是由圓周角定理推出．
由圓周角定理得到，由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求出．
，
，
．故選：D．
【變式練1】（2024甘肅一模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CD是⊙O的直徑，∠ACD＝40°，則
∠B=（ ）
A. 70° B. 60° C. 50° D. 40°
【答案】C
【解析】由CD是⊙O的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，得出∠CAD＝90°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余得到∠ACD與∠D互余，即可求得∠D的度數(shù)，繼而求得∠B的度數(shù)．
∵CD是⊙O的直徑，
∴∠CAD＝90°，
∴∠ACD+∠D＝90°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠ADC＝∠B＝50°．故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．
【變式練2】（2024安徽一模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)P為邊AD上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，D重合）連接CP．若∠B＝120°，則∠APC的度數(shù)可能為（　?。?br/>A．30° B．45° C．50° D．65°
【答案】D
【解析】由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠D度數(shù)為60°，再由∠APC為△PCD的外角求解．
∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠B+∠D＝180°，
∵∠B＝120°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，
∵∠APC為△PCD的外角，
∴∠APC＞∠D，只有D滿足題意．
考點(diǎn)1. 圓的有關(guān)概念及性質(zhì)
1．（2024內(nèi)蒙古包頭）已知中最長的弦為12厘米，則此圓半徑為 厘米．
【答案】6
【解析】中最長的弦為12厘米，
的直徑為12厘米，
的半徑為6厘米．
2．（2024云南）下列判斷正確的個(gè)數(shù)有（ ）
①直徑是圓中最大的弦；
②長度相等的兩條弧一定是等??；
③半徑相等的兩個(gè)圓是等圓；
④弧分優(yōu)弧和劣??；
⑤同一條弦所對的兩條弧一定是等?。?br/>A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】B
【解析】①直徑是圓中最大的弦；故①正確，
②同圓或等圓中長度相等的兩條弧一定是等??；故②不正確
③半徑相等的兩個(gè)圓是等圓；故③正確
④弧分優(yōu)弧、劣弧和半圓，故④不正確
⑤同一條弦所對的兩條弧可位于弦的兩側(cè)，故不一定相等，則⑤不正確．
綜上所述，正確的有①③ 故選B
考點(diǎn)2. 垂徑定理及其計(jì)算
1. （2024內(nèi)蒙古赤峰）如圖，是的直徑，是的弦，半徑，連接，交于點(diǎn)E，，則的度數(shù)是（　?。?br/>A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理以及三角形的外角性質(zhì)．先根據(jù)垂徑定理，求得，利用圓周角定理求得，再利用三角形的外角性質(zhì)即可求解．
∵半徑，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴， 故選：B．
2. （2024四川涼山）數(shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們要測一個(gè)如圖所示的殘缺圓形工件的半徑，小明的解決方案是：在工件圓弧上任取兩點(diǎn)，連接，作的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，測出，則圓形工件的半徑為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識．由垂徑定理，可得出的長；設(shè)圓心為O，連接，在中，可用半徑表示出的長，進(jìn)而可根據(jù)勾股定理求出得出輪子的半徑，即可得出輪子的直徑長．
【詳解】∵是線段的垂直平分線，
∴直線經(jīng)過圓心，設(shè)圓心為，連接．
中，，
根據(jù)勾股定理得：
，即：
，
解得：；
故輪子的半徑為， 故選：C．
考點(diǎn)3. 圓周角定理及圓內(nèi)接多邊形
1. （2024湖南?。┤鐖D，，為的兩條弦，連接，，若，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本題考查了圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圓周角定理可知，即可得到答案．
【詳解】根據(jù)題意，圓周角和圓心角同對著，
，
，
． 故選：C．
2. （2024甘肅威武）如圖，點(diǎn)A，B，C在上，，垂足為D，若，則的度數(shù)是（　?。?br/>A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根據(jù)得到，根據(jù)得到，根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余，計(jì)算即可．
本題考查了圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴． 故選A．
3. （2024四川廣元）如圖，已知四邊形是的內(nèi)接四邊形，為延長線上一點(diǎn)，，則等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍可求得的度數(shù)，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，可推出，即可得到答案．
【詳解】是圓周角，與圓心角對相同的弧，且，
，
又四邊形是的內(nèi)接四邊形，
，
又，
， 故選：A．
4. （2024吉林?。┤鐖D，四邊形內(nèi)接于，過點(diǎn)B作，交于點(diǎn)E．若，則的度數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本題考查了平行線的性質(zhì)，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
先根據(jù)得到，再由四邊形內(nèi)接于得到，即可求解．
【詳解】∵，，
∴，
∵四邊形內(nèi)接于，
∴，
∴, 故選：C．
5. （2024武漢市）如圖，四邊形內(nèi)接于，，，，則的半徑是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】延長至點(diǎn)E，使，連接，連接并延長交于點(diǎn)F，連接，即可證得，進(jìn)而可求得，再利用圓周角定理得到，結(jié)合三角函數(shù)即可求解．
【詳解】延長至點(diǎn)E，使，連接，連接并延長交于點(diǎn)F，連接，
∵四邊形內(nèi)接于，
∴
∴
∵
∴，
∴是的直徑，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∵
∴
∴，,
∵
∴
又∵
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∵
∴
∵
∴
∴ 故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，圓周角定理，銳角三角函數(shù)、等腰三角形的性質(zhì)與判定等知識點(diǎn)，熟練掌握圓周角定理以及全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
6. （2024江蘇連云港）如圖，是圓的直徑，、、、的頂點(diǎn)均在上方的圓弧上，、的一邊分別經(jīng)過點(diǎn)A、B，則__________．
【答案】90
【解析】本題考查圓周角定理，根據(jù)半圓的度數(shù)為，同弧所對的圓周角是圓心角的一半，進(jìn)行求解即可．
∵是圓的直徑，
∴所對的弧是半圓，所對圓心角的度數(shù)為，
∵、、、所對的弧的和為半圓，
∴．
考點(diǎn)1. 圓的有關(guān)概念及性質(zhì)
1．如圖，AB是⊙O的直徑，，∠COB＝40°，則∠A的度數(shù)是（　?。?br/>A．50° B．55° C．60° D．65°
【答案】B
【解析】∵AB是⊙O的直徑，，∠COB＝40°，
∴∠AOD＝∠DOC，
∴，
∵OA＝OD，
∴．故選：B．
考點(diǎn)2. 垂徑定理及其計(jì)算
1.如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，CD＝2OE，則∠BCD的度數(shù)為（　　）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
【答案】B
【解析】由垂徑定理知，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，有CD＝2ED＝2CE，可得DE＝OE，則∠DOE＝∠ODE＝45°，利用圓周角定理即可求解．
∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，
∴CD＝2ED＝2CE，
∵CD＝2OE，
∴DE＝OE，
∵CD⊥AB，
∴∠DOE＝∠ODE＝45°，
∴∠BCD＝∠DOE＝22.5°．
2．如圖，弦AB⊥OC，垂足為點(diǎn)C，連接OA，若OC＝4，AB＝6，則sinA等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】∵弦AB⊥OC，AB＝4，OC＝2，
∴AC＝AB＝3，
∴OA＝＝＝5，
∴sinA＝＝．故選：C．
3. 趙州橋是當(dāng)今世界上建造最早，保存最完整的中國古代單孔敞肩石拱橋．如圖，主橋拱呈圓弧形，跨度約為37m，拱高約為7m，則趙州橋主橋拱半徑R約為（　?。?br/>A．20m B．28m C．35m D．40m
【答案】B
【解析】由題意可知，AB＝37m，CD＝7m，
設(shè)主橋拱半徑為R m，
∴OD＝OC﹣CD＝（R﹣7）m，
∵OC是半徑，OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝（m），
在RtADO中，AD2+OD2＝OA2，
∴（）2+（R﹣7）2＝R2，
解得R＝≈28．故選：B．
4. 如圖，A、B、C是上的點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)D，且D為OC的中點(diǎn)，若，則BC的長為___________．
【答案】7
【解析】根據(jù)垂徑定理可得垂直平分，根據(jù)題意可得平方，可得四邊形是菱形，進(jìn)而根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求解．
如圖，連接，
A、B、C是上的點(diǎn)，，
，
D為OC的中點(diǎn)，
，
四邊形是菱形，，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，菱形的性質(zhì)與判定，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．
5．如圖是一個(gè)圓形餐盤的正面及其固定支架的截面圖，凹槽ABCD是矩形．當(dāng)餐盤正立且緊靠支架于點(diǎn)A，D時(shí)，恰好與BC邊相切，則此餐盤的半徑等于 　 　cm．
【答案】10．
【解析】由題意得：BC＝16cm，CD＝4cm，
如圖，連接OA，過點(diǎn)O作OE⊥BC，交BC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，
則∠OEC＝90°，
∵餐盤與BC邊相切，
∴點(diǎn)E為切點(diǎn)，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝16cm，AD∥BC，∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴四邊形CDFE是矩形，OE⊥AD，
∴CD＝EF＝4cm，∠AFO＝90°，AF＝DF＝AD＝×16＝8（cm），
設(shè)餐盤的半徑為x cm，
則OA＝OE＝x cm，
∴OF＝OE﹣EF＝（x﹣4）cm，
在Rt△AFO中，由勾股定理得：AF2+OF2＝OA2，
即82+（x﹣4）2＝x2，
解得：x＝10，
∴餐盤的半徑為10cm，
考點(diǎn)3. 圓周角定理及圓內(nèi)接多邊形
1. 如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，則∠BOC的度數(shù)為（　?。?br/>A．27° B．108° C．116° D．128°
【答案】B
【解析】∵∠A＝54°，
∴∠BOC＝2∠A＝108°．
【提示】圓周角定理內(nèi)容是：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．
2. 如圖，點(diǎn)A，B，C是⊙O上的三點(diǎn)．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，則∠AOB的大小為（　?。?br/>A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】B
【解析】由圓周角定理可得∠BOC＝2∠BAC＝60°，繼而∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．
∵∠BAC與∠BOC所對弧為，
由圓周角定理可知：∠BOC＝2∠BAC＝60°，
又∠AOC＝90°，
∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．
3. 如圖，在⊙O中，AB是直徑，弦AC的長為5cm，點(diǎn)D在圓上且∠ADC＝30°，則⊙O的半徑為　　cm．
【答案】5．
【解析】連接OC，證明△AOC是等邊三角形，可得結(jié)論．
如圖，連接OC．
∵∠AOC＝2∠ADC，∠ADC＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等邊三角形，
∴OA＝AC＝5（cm），
∴⊙O的半徑為5cm．
4. 如圖，AB是的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E，連接AC，AD．若，則______°
【答案】62
【解析】連接，根據(jù)直徑所對的圓周角是90°，可得，由，可得，進(jìn)而可得．
【詳解】連接，
∵AB是的直徑，
∴，
，
，
【點(diǎn)睛】考查了同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角，掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
5. 如圖，⊙O的直徑AB經(jīng)過弦CD的中點(diǎn)H，若cos∠CDB＝，BD＝5，則⊙O的半徑為_______．
【答案】
【解析】【分析】先由垂徑定理求得BC=BD=5，再由直徑所對圓周角是直角∠ACB=90°，由余弦定義可推出sinA=,即可求得sinA=,然后由圓周角定理得∠A=∠D，，即可得，即可求解．
【詳解】解：連接AC，如圖，
∵⊙O的直徑AB經(jīng)過弦CD的中點(diǎn)H，
∴CH=DH，AB⊥CD，
∴BC=BD=5，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴sinA=,
∵∠A=∠D，
∴cosA= cosD=,
∴sinA=sinD=
∴，
∴AB=
【點(diǎn)睛】考查解直角三角形，圓周角定理，垂徑定理的推論，求得∠ACB=90°、∠A=∠D是解題關(guān)鍵．
6．如圖所示，AB是⊙O的直徑，C、D、E是⊙O上的點(diǎn)，若，∠E＝70°，則∠ABC的度數(shù)（　?。?br/>A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【解析】連接DB，
∵∠E＝70°，
∴∠A＝70°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣70°＝20°，
∵，
∴∠DBC＝∠DBA＝20°，
∴∠ABC＝∠DBC+∠DBA＝20°+20°＝40°．故選：B．
7. 如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為BC延長線上一點(diǎn)．若∠DCE＝65°，則∠BOD的度數(shù)
是（　?。?br/>A．65° B．115° C．130° D．140°
【答案】C
【解析】∵∠DCE＝65°，
∴∠DCB＝180°﹣∠DCE＝180°﹣65°＝115°，
∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠BAD+∠DCB＝180°，
∴∠BAD＝65°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝2×65°＝130°，故選：C．
8．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E，連接AC，AD．若∠D＝62°，則∠BAC＝　?。?br/>【答案】28°．
【解析】連接BC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵∠D＝62°，
∴∠B＝∠D＝62°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝28°
9. 如圖，在⊙O內(nèi)接四邊形ABCD中，若∠ABC＝100°，則∠ADC＝　 　°．
【答案】80
【解析】直接根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求解即可．
∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣100°＝80°．
10．已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB為直徑作半圓O，分別交BC，AC于點(diǎn)D，E．
（1）求證：BD＝DC．
（2）若∠BAC＝40°，求所對的圓心角的度數(shù)．
【答案】見解析
【解析】（1）證明：連接AD，
∵AB是半⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD；
（2）解：連接OD，OE，
∵AB＝AC，BD＝DC，
∴∠DAC＝∠BAC＝20°，
∴∠DOE＝2∠DAE＝40°，
∴所對的圓心角的度數(shù)為40°．
11．如圖，AB是⊙O的直徑，C是的中點(diǎn)，CE⊥AB于點(diǎn)E，BD交CE于點(diǎn)F．
（1）求證：CF＝BF；
（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半徑及CE的長．
【答案】見解析
【解析】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC．
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠ECB＝90°﹣∠ABC，
∴∠ECB＝∠A．
又∵C是的中點(diǎn)，
∴＝，
∴∠DBC＝∠A，
∴∠ECB＝∠DBC，
∴CF＝BF；
（2）解：∵＝，
∴BC＝CD＝6，
∵∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝10，
∴⊙O的半徑為5，
∵S△ABC＝AB CE＝BC AC，
∴CE＝＝＝．
12．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D是⊙O上的點(diǎn)，且OD∥BC，AC分別與BD．OD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．
（1）求證：點(diǎn)D為弧AC的中點(diǎn)；
（2）若DF＝4，AC＝16，求⊙O的直徑．
【答案】（1）證明見解析；（2）20．
【解析】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥BC，
∴∠OFA＝∠C＝90°，
∴OF⊥AC，
∴＝，
∴點(diǎn)D為的中點(diǎn)；
（2）∵OF⊥AC，
∴AF＝AC＝8，
在Rt△AFO中，AO2＝AF2+OF2，
∴OA2＝64+（OD﹣DF）2，
∴OA2＝64+（OA﹣4）2，
∴OA＝10，
∴⊙O的直徑為20．
13．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，AC＝4，D是弧AC的中點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)E．若E是BD的中點(diǎn)，則BC的長為（　?。?br/>A．5 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】連接OD交AC于F，如圖，
∵D是弧AC的中點(diǎn)，
∴OD⊥AC， ∴AF＝CF，
∵AB是直徑，∴∠C＝90°，
∴OD∥BC，∴∠D＝∠CBE，
∵E是BD的中點(diǎn)，∴BE＝DE，
∵∠BEC＝∠DEF，
∴△BCE≌△DFE（ASA），∴BC＝DF，
∵OF＝BC，∴OF＝DF，∴OF＝OD，
設(shè)BC＝x，則OD＝x，
∴AB＝2OD＝3x，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，
∴（3x）2＝（4）2+x2，
解得x＝2，
BC＝2．
故選：C．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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