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【名師導(dǎo)航】2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（全國(guó)版）
第五章 圓
5.2 與圓有關(guān)的位置關(guān)系
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1 點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系 ☆☆ 與圓有關(guān)的位置關(guān)系部分，每年考查1道題,分值為3~10分，常以選擇題、解答題的形式考查，切線性質(zhì)與判斷以解答題形式出現(xiàn)是常態(tài),是中考重點(diǎn)也是難點(diǎn)，需要掌握相關(guān)概念及其性質(zhì)的應(yīng)用，多訓(xùn)練多總結(jié)解題規(guī)律方法。
考點(diǎn)2 切線的性質(zhì)與判定 ☆☆☆
考點(diǎn)3 三角形的外接圓與內(nèi)切圓 ☆
☆☆☆ 代表必考點(diǎn)，☆☆代表常考點(diǎn)，☆星表示選考點(diǎn)。
考點(diǎn)1. 點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系
（一）點(diǎn)和圓的位置關(guān)系
設(shè)已知圓的半徑為r,點(diǎn)p到圓心的距離為d．則
(1)d(2)d=r 點(diǎn)p在⊙O上；
(3)d>r 點(diǎn)p在⊙O外．
【方法總結(jié)】判斷點(diǎn)與圓之間的位置關(guān)系，將該點(diǎn)的圓心距與半徑作比較即可．解決這類(lèi)問(wèn)題體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。
【拓展】反證法的定義：先____命題的結(jié)論不成立，然后由此經(jīng)過(guò)_____得出矛盾(常與公理、定理、定義或已知條件相矛盾)，由矛盾判定假設(shè)______，從而得到原命題成立，這種方法叫做反證法．
（二）直線與圓的位置關(guān)系
1.用定義判斷直線與圓的位置關(guān)系
(1) 相離、相切、相交
（2）圓的切線定義：直線和圓有唯一的_____時(shí)，這條直線叫做圓的切線（如圖直線l），這個(gè)唯一的_____叫做切點(diǎn)（如圖點(diǎn)A）.
2.用數(shù)量關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系
用圓心O到直線的距離d與圓的半徑r的關(guān)系來(lái)區(qū)分
（1）直線和圓相交，d r
（2）直線和圓相切，d r
（3）直線和圓相離，d r
體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想。
考點(diǎn)2. 切線的判定與性質(zhì)
1.切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且_____于這條半徑的直線是圓的切線.
OA為⊙O的半徑，BC ⊥ OA于A。則BC為⊙O的切線。
注意：在此定理中，“經(jīng)過(guò)半徑的外端”和“垂直于這條半徑”，兩個(gè)條件缺一不可，否則就不是圓的切線。
【方法總結(jié)】判斷一條直線是一個(gè)圓的切線有三個(gè)方法：
（1）定義法：直線和圓只有個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，我們說(shuō)這條直線是圓的切線;
（2）數(shù)量關(guān)系法：圓心到這條直線的距離____半徑(即d=r)時(shí)，直線與圓相切；
（3）判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且_____于這條半徑的直線是圓的切線.
2.切線的性質(zhì)定理：圓的切線____于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．
直線l是⊙O 的切線，A是切點(diǎn)， 直線l ⊥OA.
說(shuō)明：利用切線的性質(zhì)解題時(shí)，常需連接輔助線，一般連接圓心與切點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形，再利用直角三角形的相關(guān)性質(zhì)解題.
考點(diǎn)3. 三角形的外接圓與內(nèi)切圓
三角形的 外接圓 圖形 相關(guān)概念 圓心的確定 內(nèi)、外心的性質(zhì)
經(jīng)過(guò)三角形各頂點(diǎn)的圓叫作三角形的外接圓,外接圓的圓心叫作三角形的外心,這個(gè)三角形叫作圓的內(nèi)接三角形 三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn) 外心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。
三角形的 內(nèi)切圓 與三角形各邊都相切的圓叫作三角形的內(nèi)切圓,內(nèi)切圓的圓心叫作三角形的內(nèi)心 三角形三條角平分線的交點(diǎn) 內(nèi)心到三角形的三條邊的距離相等。
【溫馨提示】1.在△ABC中,若∠ACB=90°,AC=b,BC=a,AB=c,則△ABC內(nèi)切圓的半徑r=。
2.△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,☉O內(nèi)切于△ABC,且半徑為r,則有r=。
考點(diǎn)1. 點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系
【例題1】（2024廣州）如圖，中，弦的長(zhǎng)為，點(diǎn)在上，，．所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)，若，則點(diǎn)與的位置關(guān)系是（ ）
A. 點(diǎn)在上 B. 點(diǎn)在內(nèi) C. 點(diǎn)在外 D. 無(wú)法確定
【變式練1】（2024陜西一模）已知⊙O的半徑是5，點(diǎn)A到圓心O的距離是7，則點(diǎn)A與⊙O的位置關(guān)系是（ ）
A．點(diǎn)A在⊙O上 B．點(diǎn)A在⊙O內(nèi) C．點(diǎn)A在⊙O外 D．點(diǎn)A與圓心O重合
【變式練2】 （2024江西一模）已知⊙O的半徑為2，直線l上有一點(diǎn)P滿足PO=2，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是（ ）
A．相切 B．相離 C．相離或相切 D．相切或相交
【變式練3】（2024呼和浩特一模）在同一平面內(nèi)，已知⊙O的半徑為2，圓心O到直線l的距離為3，點(diǎn)P為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l的最大距離是（　　）
A．2 B．5 C．6 D．8
考點(diǎn)2. 切線的性質(zhì)與判定
【例題2】（2024福建省）如圖，已知點(diǎn)在上，，直線與相切，切點(diǎn)為，且為的中點(diǎn)，則等于（ ）
A. B. C. D.
【變式練1】（2024湖南長(zhǎng)沙一模）如圖，是的直徑，點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上，與相切于點(diǎn)A，連接，若，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【變式練2】（2024河南一模）如圖，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，PO交⊙O于點(diǎn)B，點(diǎn)C在PA上，且CB＝CA．若OA＝5，PA＝12，則CA的長(zhǎng)為　　 ．
【變式練3】（2024武漢一模）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D為圓心，AD為半徑的弧恰好與BC相切，切點(diǎn)為E，若，則sinC的值是（　　）
A． B． C． D．
考點(diǎn)3. 三角形的外接圓與內(nèi)切圓
【例題3】（2024江蘇蘇州）如圖，是的內(nèi)接三角形，若，則______．
【變式練1】（2024大連一模）如圖，已知 Rt△ABC 中 ，∠C=90°。若 AC=12cm，BC=5cm，求的外接圓半徑.
【變式練2】（2024河北一模）點(diǎn)O是△ABC的外心，若∠BOC＝110°，則∠BAC為 　　 ．
【變式練3】（2024廣州深圳一模）已知△ABC的周長(zhǎng)為l，其內(nèi)切圓的面積為πr2，則△ABC的面
積為（　　）
A．rl B．πrl C．rl D．πrl
考點(diǎn)1. 點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系
1. （2024上海市）在中，，，，點(diǎn)在內(nèi)，分別以為圓心畫(huà)，圓半徑為1，圓半徑為2，圓半徑為3，圓與圓內(nèi)切，圓與圓的關(guān)系是（ ）
A. 內(nèi)含 B. 相交 C. 外切 D. 相離
2．（2024桂林）在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A（4，3）為圓心、以R為半徑作圓A與x軸相交，且原點(diǎn)O在圓A的外部，那么半徑R的取值范圍是（　　）
A．0＜R＜5 B．3＜R＜4 C．3＜R＜5 D．4＜R＜5
考點(diǎn)2. 切線的性質(zhì)與判定
1. （2024江蘇鹽城）如圖，點(diǎn)C在以為直徑的上，過(guò)點(diǎn)C作的切線l，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為D，連接．
（1）求證：；
（2）若，，求的半徑．
2. （2024貴州省）如圖，為半圓O的直徑，點(diǎn)F在半圓上，點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上，與半圓相切于點(diǎn)C，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D，與相交于點(diǎn)E，．
（1）寫(xiě)出圖中一個(gè)與相等的角：______；
（2）求證：；
（3）若，，求的長(zhǎng)．
3.（2024湖北省） 中，，點(diǎn)在上，以為半徑的圓交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．且．
（1）求證：是的切線．
（2）連接交于點(diǎn)，若，求弧的長(zhǎng)．
4. （2024江西省）如圖，是半圓O的直徑，點(diǎn)D是弦延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，．
（1）求證：是半圓O的切線；
（2）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．
考點(diǎn)3. 三角形的外接圓與內(nèi)切圓
1. （2024四川眉山）如圖，內(nèi)接于，點(diǎn)在上，平分交于，連接．若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
2. （2024四川宜賓）如圖，內(nèi)接于，為的直徑，平分交于．則的值為（ ）
A. B. C. D.
3. 【教材呈現(xiàn)】
現(xiàn)行人教版九年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材85頁(yè)“拓廣探索”第14題：
14．（2024山東濱州）如圖，在銳角中，探究，，之間的關(guān)系．（提示：分別作和邊上的高．）
【得出結(jié)論】
．
【基礎(chǔ)應(yīng)用】
在中，，，，利用以上結(jié)論求的長(zhǎng)；
【推廣證明】
進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，不僅在銳角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且還滿足（R為外接圓的半徑）．
請(qǐng)利用圖1證明：．
【拓展應(yīng)用】
如圖2，四邊形中，，，，．
求過(guò)A，B，D三點(diǎn)的圓的半徑．
4. （2024山東濱州）劉徽（今山東濱州人）是魏晉時(shí)期我國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家，中國(guó)古典數(shù)學(xué)理論的奠基者之一，被譽(yù)為“世界古代數(shù)學(xué)泰斗”．劉徽在注釋《九章算術(shù)》時(shí)十分重視一題多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圓公式的推導(dǎo)，他給出了內(nèi)切圓直徑的多種表達(dá)形式．如圖，中，，的長(zhǎng)分別為．則可以用含的式子表示出的內(nèi)切圓直徑，下列表達(dá)式錯(cuò)誤的是（ ）
A. B.
C. D.
5. （2024四川自貢）在中，，是的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)．
（1）圖1中三組相等的線段分別是，________，________；若，，則半徑長(zhǎng)為_(kāi)_______；
（2）如圖2，延長(zhǎng)到點(diǎn)M，使，過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)N．
求證：是的切線．
考點(diǎn)1. 點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系
1．平面內(nèi)，已知⊙O的半徑是8cm，線段OP＝7cm，則點(diǎn)P（　　）
A．在⊙O外 B．在⊙O上 C．在⊙O內(nèi) D．不能確定
2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)（﹣3，4）為圓心，4為半徑的圓與x軸的位置關(guān)系是（　　）
A．相交 B．相離 C．相切 D．無(wú)法判斷
3．已知⊙O和直線l相交，圓心到直線l的距離為10cm，則⊙O的半徑可能為（　　）
A．11cm B．10cm C．9cm D．8cm
4．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA＝，以點(diǎn)B為圓心，r為半徑作⊙B，當(dāng)r＝3時(shí)，⊙B與AC的位置關(guān)系是（　　）
A．相離 B．相切 C．相交 D．無(wú)法確定
5．已知平面內(nèi)有⊙O和點(diǎn)A，B，若⊙O半徑為2cm，線段OA＝3cm，OB＝2cm，則直線AB與⊙O的位置關(guān)系為（　　）
A．相離 B．相交
C．相切 D．相交或相切
6．如圖，直線a⊥b，垂足為H，點(diǎn)P在直線b上，PH＝4cm，O為直線b上一動(dòng)點(diǎn)，若以1cm為半徑的⊙O與直線a相切，則OP的長(zhǎng)為　 　．
考點(diǎn)2. 切線的性質(zhì)與判定
1．如圖，PA是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，PO的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)B，若∠P=40°，則∠B的度數(shù)為 （ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
2. 如圖，在△ABC中，O是AC上（異于點(diǎn)A，C）的一點(diǎn)，⊙O恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，AD⊥CB于點(diǎn)D，且AB平分∠CAD．
（1）判斷BC與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（2）若AC＝10，DC＝8，求⊙O的半徑長(zhǎng)．
3.如圖,△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交邊BC于P， PE⊥AC于E.
求證:PE是⊙O的切線.
4．如圖，已知，BE是⊙O的直徑，BC切⊙O于B，弦DE∥OC，連接CD并延長(zhǎng)交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)A．
（1）證明：CD是⊙O的切線；
（2）若AD＝2，AE＝1，求CD的長(zhǎng)．
考點(diǎn)3. 三角形的外接圓與內(nèi)切圓
1．如圖，PA、PB分別與⊙O相切于A、B，∠P＝70°，C為⊙O上一點(diǎn)，則∠ACB的度數(shù)為（　　）
A．110° B．120° C．125° D．130°
2．已知三角形的周長(zhǎng)為12，面積為6，則該三角形內(nèi)切圓的半徑為（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．如圖是一塊直角三角形木料，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，木工師傅要從中裁下一塊圓形木料，則可裁圓形木料的最大半徑為　 　．
4．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)O是內(nèi)心，若CO＝2，△ABC的周長(zhǎng)為16，則△ABC的面積為（　　）
A． B． C．16 D．32
5．一個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為2，則這個(gè)等邊三角形的內(nèi)切圓半徑為（　　）
A． B．1 C． D．
6. 如圖，在中，的內(nèi)切圓與分別相切于點(diǎn)，，連接的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則_________．
7. 如圖，△ABC中，I是內(nèi)心，∠A的平分線和△ABC的外接圓相交于點(diǎn)D.
求證：DI＝DB.
8. 如圖，⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，BE．
（1）求證：DB＝DE；
（2）若AE＝3，DF＝4，求DB的長(zhǎng)．
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第五章 圓
5.2 與圓有關(guān)的位置關(guān)系
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1 點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系 ☆☆ 與圓有關(guān)的位置關(guān)系部分，每年考查1道題,分值為3~10分，常以選擇題、解答題的形式考查，切線性質(zhì)與判斷以解答題形式出現(xiàn)是常態(tài),是中考重點(diǎn)也是難點(diǎn)，需要掌握相關(guān)概念及其性質(zhì)的應(yīng)用，多訓(xùn)練多總結(jié)解題規(guī)律方法。
考點(diǎn)2 切線的性質(zhì)與判定 ☆☆☆
考點(diǎn)3 三角形的外接圓與內(nèi)切圓 ☆
☆☆☆ 代表必考點(diǎn)，☆☆代表常考點(diǎn)，☆星表示選考點(diǎn)。
考點(diǎn)1. 點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系
（一）點(diǎn)和圓的位置關(guān)系
設(shè)已知圓的半徑為r,點(diǎn)p到圓心的距離為d．則
(1)d(2)d=r 點(diǎn)p在⊙O上；
(3)d>r 點(diǎn)p在⊙O外．
【方法總結(jié)】判斷點(diǎn)與圓之間的位置關(guān)系，將該點(diǎn)的圓心距與半徑作比較即可．解決這類(lèi)問(wèn)題體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。
【拓展】反證法的定義：先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后由此經(jīng)過(guò)推理得出矛盾(常與公理、定理、定義或已知條件相矛盾)，由矛盾判定假設(shè)不正確，從而得到原命題成立，這種方法叫做反證法．
（二）直線與圓的位置關(guān)系
1.用定義判斷直線與圓的位置關(guān)系
(1) 相離、相切、相交
（2）圓的切線定義：直線和圓有唯一的公共點(diǎn)時(shí)，這條直線叫做圓的切線（如圖直線l），這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)（如圖點(diǎn)A）.
2.用數(shù)量關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系
用圓心O到直線的距離d與圓的半徑r的關(guān)系來(lái)區(qū)分
（1）直線和圓相交，d< r
（2）直線和圓相切，d= r
（3）直線和圓相離，d> r
體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想。
考點(diǎn)2. 切線的判定與性質(zhì)
1.切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
OA為⊙O的半徑，BC ⊥ OA于A。則BC為⊙O的切線。
注意：在此定理中，“經(jīng)過(guò)半徑的外端”和“垂直于這條半徑”，兩個(gè)條件缺一不可，否則就不是圓的切線。
【方法總結(jié)】判斷一條直線是一個(gè)圓的切線有三個(gè)方法：
（1）定義法：直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，我們說(shuō)這條直線是圓的切線;
（2）數(shù)量關(guān)系法：圓心到這條直線的距離等于半徑(即d=r)時(shí)，直線與圓相切；
（3）判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
2.切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．
直線l是⊙O 的切線，A是切點(diǎn)， 直線l ⊥OA.
說(shuō)明：利用切線的性質(zhì)解題時(shí)，常需連接輔助線，一般連接圓心與切點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形，再利用直角三角形的相關(guān)性質(zhì)解題.
考點(diǎn)3. 三角形的外接圓與內(nèi)切圓
三角形的 外接圓 圖形 相關(guān)概念 圓心的確定 內(nèi)、外心的性質(zhì)
經(jīng)過(guò)三角形各頂點(diǎn)的圓叫作三角形的外接圓,外接圓的圓心叫作三角形的外心,這個(gè)三角形叫作圓的內(nèi)接三角形 三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn) 外心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。
三角形的 內(nèi)切圓 與三角形各邊都相切的圓叫作三角形的內(nèi)切圓,內(nèi)切圓的圓心叫作三角形的內(nèi)心 三角形三條角平分線的交點(diǎn) 內(nèi)心到三角形的三條邊的距離相等。
【溫馨提示】1.在△ABC中,若∠ACB=90°,AC=b,BC=a,AB=c,則△ABC內(nèi)切圓的半徑r=。
2.△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,☉O內(nèi)切于△ABC,且半徑為r,則有r=。
考點(diǎn)1. 點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系
【例題1】（2024廣州）如圖，中，弦的長(zhǎng)為，點(diǎn)在上，，．所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)，若，則點(diǎn)與的位置關(guān)系是（ ）
A. 點(diǎn)在上 B. 點(diǎn)在內(nèi) C. 點(diǎn)在外 D. 無(wú)法確定
【答案】C
【解析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，銳角三角函數(shù)，掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．由垂徑定理可得，由圓周角定理可得，再結(jié)合特殊角的正弦值，求出的半徑，即可得到答案．
如圖，令與的交點(diǎn)為，
為半徑，為弦，且，
，
，
在中，，，，
，
，即的半徑為4，
，
點(diǎn)在外，
故選：C．
【變式練1】（2024陜西一模）已知⊙O的半徑是5，點(diǎn)A到圓心O的距離是7，則點(diǎn)A與⊙O的位置關(guān)系是（ ）
A．點(diǎn)A在⊙O上 B．點(diǎn)A在⊙O內(nèi) C．點(diǎn)A在⊙O外 D．點(diǎn)A與圓心O重合
【答案】C
【解析】直接根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷．
∵O的半徑是5，點(diǎn)A到圓心O的距離是7，
即點(diǎn)A到圓心O的距離大于圓的半徑，
∴點(diǎn)A在⊙O外．
【變式練2】 （2024江西一模）已知⊙O的半徑為2，直線l上有一點(diǎn)P滿足PO=2，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是（ ）
A．相切 B．相離 C．相離或相切 D．相切或相交
【答案】D
【解析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系來(lái)判定：①相交：d＜r；②相切：d=r；③相離：d＞r（d為直線與圓的距離，r為圓的半徑）．因此，分OP垂直于直線l，OP不垂直直線l兩種情況討論：
當(dāng)OP垂直于直線l時(shí)，即圓心O到直線l的距離d=2=r，⊙O與l相切；
當(dāng)OP不垂直于直線l時(shí)，即圓心O到直線l的距離d=2＜r，⊙O與直線l相交．
故直線l與⊙O的位置關(guān)系是相切或相交．
【變式練3】（2024呼和浩特一模）在同一平面內(nèi)，已知⊙O的半徑為2，圓心O到直線l的距離為3，點(diǎn)P為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l的最大距離是（　　）
A．2 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【解析】如圖，由題意得，OA＝2，OB＝3，
當(dāng)點(diǎn)P在BO的延長(zhǎng)線與⊙O的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離最大，
此時(shí)，點(diǎn)P到直線l的最大距離是3+2＝5，故選：B．
考點(diǎn)2. 切線的性質(zhì)與判定
【例題2】（2024福建省）如圖，已知點(diǎn)在上，，直線與相切，切點(diǎn)為，且為的中點(diǎn)，則等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本題考查了切線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)C為的中點(diǎn)，三角形內(nèi)角和可求出，再根據(jù)切線的性質(zhì)即可求解．
【詳解】∵，為的中點(diǎn)，
∴
∵
∴
∵直線與相切，
∴，
∴ 故選：A．
【變式練1】（2024湖南長(zhǎng)沙一模）如圖，是的直徑，點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上，與相切于點(diǎn)A，連接，若，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由切線性質(zhì)得出，根據(jù)三角形的內(nèi)角和是、對(duì)頂角相等求出，即可得出答案；
PA與⊙O相切于點(diǎn)A，AD是⊙O的直徑，
，
，
，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查圓內(nèi)求角的度數(shù)，涉及知識(shí)點(diǎn)：切線的性質(zhì)、對(duì)頂角相等、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和是，解題關(guān)鍵根據(jù)切線性質(zhì)推出．
【變式練2】（2024河南一模）如圖，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，PO交⊙O于點(diǎn)B，點(diǎn)C在PA上，且CB＝CA．若OA＝5，PA＝12，則CA的長(zhǎng)為　　 ．
【答案】．
【解析】連接OC，
∵PA與⊙O相切于點(diǎn)A，
∴∠OAP＝90°，
∵OA＝OB，OC＝OC，CA＝CB，
∴△OAC≌△OBC（SSS），
∴∠OAP＝∠OBC＝90°，
在Rt△OAP中，OA＝5，PA＝12，
∴OP＝＝＝13，
∵△OAC的面積+△OCP的面積＝△OAP的面積，
∴OA AC+OP BC＝OA AP，
∴OA AC+OP BC＝OA AP，
∴5AC+13BC＝5×12，
∴AC＝BC＝，
故答案為：
【變式練3】（2024武漢一模）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D為圓心，AD為半徑的弧恰好與BC相切，切點(diǎn)為E，若，則sinC的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】連接DB、DE，設(shè)AB＝m，
∵＝，
∴CD＝3AB＝3m，
∵AD是⊙D的半徑，AD⊥AB，
∴AB是⊙D的切線，
∵⊙D與BC相切于點(diǎn)E，
∴BC⊥DE，EB＝AB＝m，∠CBD＝∠ABD，
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴CB＝CD＝3m，
∴CE＝CB﹣EB＝3m﹣m＝2m，
∵∠CED＝90°，
∴DE＝＝＝m，
∴sinC＝＝＝，故選：B．
考點(diǎn)3. 三角形的外接圓與內(nèi)切圓
【例題3】（2024江蘇蘇州）如圖，是的內(nèi)接三角形，若，則______．
【答案】##62度
【解析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，連接，利用等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，然后利用圓周角定理求解即可．
【詳解】解：連接，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【變式練1】（2024大連一模）如圖，已知 Rt△ABC 中 ，∠C=90°。若 AC=12cm，BC=5cm，求的外接圓半徑.
【答案】6.5cm.
【解析】設(shè)Rt△ABC 的外接圓的外心為O，連接OC，則OA=OB=OC.
∴O是斜邊AB 的中點(diǎn).
∵∠C=900，AC=12cm，BC=5cm.
∴AB=13cm，OA=6.5cm.
故Rt△ABC 的外接圓半徑為6.5cm.
【變式練2】（2024河北一模）點(diǎn)O是△ABC的外心，若∠BOC＝110°，則∠BAC為 　　 ．
【答案】55°或125°．
【解析】由題意可知，需要分兩種情況：①△ABC是銳角三角形；②△ABC是鈍角三角形，再分別求解即可．
①△ABC是銳角三角形，如圖，
∵∠BOC＝110°，
∴∠BAC＝55°；
②△A′BC是鈍角三角形，如圖，
∵∠BAC+∠BA′C＝180°，
∴∠BA′C＝125°．
【變式練3】（2024廣州深圳一模）已知△ABC的周長(zhǎng)為l，其內(nèi)切圓的面積為πr2，則△ABC的面
積為（　　）
A．rl B．πrl C．rl D．πrl
【答案】A
【解析】如圖，設(shè)內(nèi)切圓O與△ABC相切于點(diǎn)D，點(diǎn)E，點(diǎn)F，連接OA，OB，OC，OE，OF，OD，
∵AB切⊙O于E，
∴OE⊥AB，OE＝r，
∴S△AOB＝AB×OE＝AB×r，
同理：S△BOC＝BC×r，
S△AOC＝AC×r，
∴S＝S△AOB+S△BOC+S△AOC＝AB×r+BC×r+AC×r＝（AB+BC+AC）×r，
∵l＝AB+BC+AC，
∴S＝lr，故選：A．
考點(diǎn)1. 點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系
1. （2024上海市）在中，，，，點(diǎn)在內(nèi)，分別以為圓心畫(huà)，圓半徑為1，圓半徑為2，圓半徑為3，圓與圓內(nèi)切，圓與圓的關(guān)系是（ ）
A. 內(nèi)含 B. 相交 C. 外切 D. 相離
【答案】B
【解析】本題考查圓的位置關(guān)系，涉及勾股定理，根據(jù)題意，作出圖形，數(shù)形結(jié)合，即可得到答案，熟記圓的位置關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【詳解】圓半徑為1，圓半徑為3，圓與圓內(nèi)切，
圓含在圓內(nèi)，即，
在以為圓心、為半徑的圓與邊相交形成的弧上運(yùn)動(dòng)，如圖所示：
當(dāng)?shù)轿恢脮r(shí)，圓與圓圓心距離最大，為，
，
圓與圓相交，故選：B．
2．（2024桂林）在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A（4，3）為圓心、以R為半徑作圓A與x軸相交，且原點(diǎn)O在圓A的外部，那么半徑R的取值范圍是（　　）
A．0＜R＜5 B．3＜R＜4 C．3＜R＜5 D．4＜R＜5
【答案】C
【解析】∵A（4，3），
∴，
∵原點(diǎn)O在圓A的外部，
∴R＜OA，即R＜5，
∵圓A與x軸相交，
∴R＞3，
∴3＜R＜5，故選：C．
考點(diǎn)2. 切線的性質(zhì)與判定
1. （2024江蘇鹽城）如圖，點(diǎn)C在以為直徑的上，過(guò)點(diǎn)C作的切線l，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為D，連接．
（1）求證：；
（2）若，，求的半徑．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）
【解析】【分析】題目主要考查切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)及勾股定理解三角形，作出輔助線，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
（1）連接，根據(jù)題意得，，利用等量代換確定，再由相似三角形的判定即可證明；
（2）先由勾股定理確定，然后利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．
【小問(wèn)1詳解】
證明：連接，如圖所示：
∵是的切線，點(diǎn)C在以為直徑的上，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小問(wèn)2詳解】
∵，，
∴，
由（1）得，
∴即，
∴，
∴的半徑為．
2. （2024貴州省）如圖，為半圓O的直徑，點(diǎn)F在半圓上，點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上，與半圓相切于點(diǎn)C，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D，與相交于點(diǎn)E，．
（1）寫(xiě)出圖中一個(gè)與相等的角：______；
（2）求證：；
（3）若，，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）（答案不唯一） （2） （3）
【解析】分析】（1）利用等邊對(duì)等角可得出，即可求解；
（2）連接，利用切線的性質(zhì)可得出，利用等邊對(duì)等角和對(duì)頂角的性質(zhì)可得出，等量代換得出，然后利用三角形內(nèi)角和定理求出，即可得證；
（3）設(shè)，則可求，，，，在中，利用勾股定理得出，求出x的值，利用可求出，即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
解：∵，
∴，
故答案為：（答案不唯一）；
【小問(wèn)2詳解】
證明：連接，
，
∵是切線，
∴，即，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
【小問(wèn)3詳解】
解：設(shè)，則，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得，（舍去）
∴，，，
∵，
∴，
解得，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形的應(yīng)用等知識(shí)，靈活運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
3.（2024湖北省） 中，，點(diǎn)在上，以為半徑的圓交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．且．
（1）求證：是的切線．
（2）連接交于點(diǎn)，若，求弧的長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）弧的長(zhǎng)為．
【解析】（1）利用證明，推出，據(jù)此即可證明結(jié)論成立；
（2）設(shè)的半徑為，在中，利用勾股定理列式計(jì)算求得，求得，再求得，利用弧長(zhǎng)公式求解即可．
小問(wèn)1詳解】
證明：連接，
在和中，，
∴，
∴，
∵為的半徑，
∴是的切線；
【小問(wèn)2詳解】
解：∵，
∴，
設(shè)的半徑為，
在中，，即，
解得，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴弧的長(zhǎng)為．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，勾股定理，三角函數(shù)的定義，弧長(zhǎng)公式．正確引出輔助線解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．
4. （2024江西省）如圖，是半圓O的直徑，點(diǎn)D是弦延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，．
（1）求證：是半圓O的切線；
（2）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）
【解析】【分析】本題考查了直徑所對(duì)的圓周角為直角，等邊三角形的判定和性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，熟知相關(guān)性質(zhì)和計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角結(jié)合已知條件，可得，即可得，進(jìn)而可證得結(jié)論；
（2）連接，證明為等邊三角形，求得，利用弧長(zhǎng)公式即可解答．
【小問(wèn)1詳解】
證明：是半圓O的直徑，
，
，
，
，
是半圓O的切線；
【小問(wèn)2詳解】
解：如圖，連接，
，
為等邊三角形，
，，
，
．
考點(diǎn)3. 三角形的外接圓與內(nèi)切圓
1. （2024四川眉山）如圖，內(nèi)接于，點(diǎn)在上，平分交于，連接．若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】本題考查了圓周角定理，角平分線的定義全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，延長(zhǎng)，交于，由圓周角定理可得，，進(jìn)而可證明，得到，即得，利用勾股定理得，再證明，得到，據(jù)此即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：延長(zhǎng)，交于，
是的直徑，
，，
平分，
，
又∵，
∴，
，
，
，，
，
，
又∵，
∴，
，
，
，
，
2. （2024四川宜賓）如圖，內(nèi)接于，為的直徑，平分交于．則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本題考查了三角形的外接圓，特殊角的三角函數(shù)，圓周角定理，圖形的旋轉(zhuǎn)等知識(shí)點(diǎn)，合理作輔助線為解題的關(guān)鍵．
作輔助線如圖，先證明，，從而可以得到旋轉(zhuǎn)后的圖形，再證明是等腰直角三角形，利用三角函數(shù)即可求得結(jié)果．
【詳解】解：如圖，連接、，
∵是的直徑，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
在四邊形中，，
∴，
∴繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則三點(diǎn)共線，如圖所示
∴，
∵由旋轉(zhuǎn)可知，
∴，
∴在等腰直角三角形中，，
∴．故選：A
3. 【教材呈現(xiàn)】
現(xiàn)行人教版九年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材85頁(yè)“拓廣探索”第14題：
14．（2024山東濱州）如圖，在銳角中，探究，，之間的關(guān)系．（提示：分別作和邊上的高．）
【得出結(jié)論】
．
【基礎(chǔ)應(yīng)用】
在中，，，，利用以上結(jié)論求的長(zhǎng)；
【推廣證明】
進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，不僅在銳角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且還滿足（R為外接圓的半徑）．
請(qǐng)利用圖1證明：．
【拓展應(yīng)用】
如圖2，四邊形中，，，，．
求過(guò)A，B，D三點(diǎn)的圓的半徑．
【答案】教材呈現(xiàn)：見(jiàn)解析；基礎(chǔ)應(yīng)用：；推廣證明：見(jiàn)解析；拓展應(yīng)用：．
【解析】【分析】本題考查三角形的外接圓，三角形內(nèi)角和，圓周角定理，等腰三角形性質(zhì)，垂徑定理，銳角三角函數(shù)．添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
教材呈現(xiàn)：分別作，垂足分別為，根據(jù)正弦的定義，在4個(gè)直角三角形中分別表示出，進(jìn)而將等式變形，即可求得．
基礎(chǔ)應(yīng)用：利用三角形內(nèi)角和定理求得，利用公式，代入數(shù)據(jù)求解即可；
推廣證明：作直徑，連接，利用圓周角定理求得，，推出，即，同理，，據(jù)此即可證明結(jié)論成立；
拓展應(yīng)用：連接，作于點(diǎn)，證得四邊形是矩形，利用勾股定理求得和，證明，利用三角函數(shù)的定義求得，再根據(jù)，據(jù)此即可求解．
【詳解】解：教材呈現(xiàn)：如圖，分別作，垂足分別為，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
．
基礎(chǔ)應(yīng)用：∵中，，，
∴，
由題意得，
∴，
解得；
推廣證明：作直徑，連接，
∵直徑，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理，，
∴；
拓展應(yīng)用：連接，作于點(diǎn)，
∵，
∴四邊形是矩形，
∵，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴．
4. （2024山東濱州）劉徽（今山東濱州人）是魏晉時(shí)期我國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家，中國(guó)古典數(shù)學(xué)理論的奠基者之一，被譽(yù)為“世界古代數(shù)學(xué)泰斗”．劉徽在注釋《九章算術(shù)》時(shí)十分重視一題多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圓公式的推導(dǎo)，他給出了內(nèi)切圓直徑的多種表達(dá)形式．如圖，中，，的長(zhǎng)分別為．則可以用含的式子表示出的內(nèi)切圓直徑，下列表達(dá)式錯(cuò)誤的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】【分析】如圖，設(shè)為切點(diǎn)，連接，則，再結(jié)合切線長(zhǎng)定理可判定A，再結(jié)合三角形的面積可判定B，再由，結(jié)合完全平方公式與勾股定理可判斷C，通過(guò)舉反例可得D錯(cuò)誤.
【詳解】如圖，設(shè)為切點(diǎn)，連接，則，，，，
由切線長(zhǎng)定理得，，，，
∵，，
∴四邊形是正方形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故正確，不合題意；
∵，
∴，
∴
∴，故正確，不合題意；
∵，
，
∵，
，
∵，
，故C正確；
令，，，
，
而，
，故D錯(cuò)誤；
故選D
【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，分解因式的應(yīng)用，舉反例的應(yīng)用，切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用，掌握基礎(chǔ)知識(shí)并靈活應(yīng)用是解本題的關(guān)鍵.
5. （2024四川自貢）在中，，是的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)．
（1）圖1中三組相等的線段分別是，________，________；若，，則半徑長(zhǎng)為_(kāi)_______；
（2）如圖2，延長(zhǎng)到點(diǎn)M，使，過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)N．
求證：是的切線．
【答案】（1）；；1 （2）見(jiàn)解析
【解析】【分析】（1）根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到，，，代入求解即可得到答案；
（2）證明，推出，，，求得，，根據(jù)，列式求得，根據(jù)切線的判定定理，即可得到是的切線．
【小問(wèn)1詳解】
解：連接，設(shè)半徑為，
∵是的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，
∴，，；
在四邊形中，，
四邊形為矩形，
又因?yàn)椋?br/>四邊形為正方形．
則，則，，
在中，由勾股定理得，
∴，即，
解得，
故答案為：；；1；
【小問(wèn)2詳解】
證明：連接，，，作于點(diǎn)，
設(shè)半徑為，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，，
∵是的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴，
∵，
∴是的切線．
【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定，切線長(zhǎng)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)切圓及勾股定理，正確引出輔助線解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)1. 點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系
1．平面內(nèi)，已知⊙O的半徑是8cm，線段OP＝7cm，則點(diǎn)P（　　）
A．在⊙O外 B．在⊙O上 C．在⊙O內(nèi) D．不能確定
【答案】C
【解析】∵平面內(nèi)，已知⊙O的半徑r是8cm，線段OP＝7cm，
∴r＞OP，
∴點(diǎn)P在⊙O內(nèi)．故選：C．
2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)（﹣3，4）為圓心，4為半徑的圓與x軸的位置關(guān)系是（　　）
A．相交 B．相離 C．相切 D．無(wú)法判斷
【答案】C
【解析】∵圓心的坐標(biāo)為（﹣3，4），
∴圓心與x軸距離為4，等于其半徑4，
∴以點(diǎn)（﹣3，4）為圓心，4為半徑的圓與x軸的關(guān)系為相切．故選：C．
3．已知⊙O和直線l相交，圓心到直線l的距離為10cm，則⊙O的半徑可能為（　　）
A．11cm B．10cm C．9cm D．8cm
【答案】A
【解析】∵⊙O和直線l相交
∴d＜r
又∵圓心到直線l的距離為10cm
∴r＞10cm 故選：A．
4．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA＝，以點(diǎn)B為圓心，r為半徑作⊙B，當(dāng)r＝3時(shí)，⊙B與AC的位置關(guān)系是（　　）
A．相離 B．相切 C．相交 D．無(wú)法確定
【答案】B
【解析】∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA＝，
∴＝＝，
∴AC＝4，
∴BC＝＝3，
∵r＝3，
∴BC＝r＝3，
∴⊙B與AC的位置關(guān)系是相切，故選：B．
5．已知平面內(nèi)有⊙O和點(diǎn)A，B，若⊙O半徑為2cm，線段OA＝3cm，OB＝2cm，則直線AB與⊙O的位置關(guān)系為（　　）
A．相離 B．相交
C．相切 D．相交或相切
【答案】D
【解析】⊙O的半徑為2cm，線段OA＝3cm，OB＝2cm，
即點(diǎn)A到圓心O的距離大于圓的半徑，點(diǎn)B到圓心O的距離等于圓的半徑，
∴點(diǎn)A在⊙O外，點(diǎn)B在⊙O上，
∴直線AB與⊙O的位置關(guān)系為相交或相切，故選：D．
6．如圖，直線a⊥b，垂足為H，點(diǎn)P在直線b上，PH＝4cm，O為直線b上一動(dòng)點(diǎn)，若以1cm為半徑的⊙O與直線a相切，則OP的長(zhǎng)為　 　．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【解析】∵直線a⊥b，O為直線b上一動(dòng)點(diǎn)，
∴⊙O與直線a相切時(shí)，切點(diǎn)為H，
∴OH＝1cm，
當(dāng)點(diǎn)O在點(diǎn)H的左側(cè)，⊙O與直線a相切時(shí)，如圖1所示：
OP＝PH﹣OH＝4﹣1＝3（cm）；
當(dāng)點(diǎn)O在點(diǎn)H的右側(cè)，⊙O與直線a相切時(shí)，如圖2所示：
OP＝PH+OH＝4+1＝5（cm）；
∴⊙O與直線a相切，OP的長(zhǎng)為3cm或5cm，
故答案為：3cm或5cm．
考點(diǎn)2. 切線的性質(zhì)與判定
1．如圖，PA是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，PO的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)B，若∠P=40°，則∠B的度數(shù)為 （ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
【答案】B
【解析】連接OA，由切線的性質(zhì)可得∠OAP=90°，繼而根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠AOP=50°，再根據(jù)圓周角定理即可求得答案.
連接OA，如圖：
∵PA是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，
∴OA⊥AP，
∴∠OAP=90°，
∵∠P=40°，
∴∠AOP=90°-40°=50°，
∴∠B=1/2∠AOB=25°
2. 如圖，在△ABC中，O是AC上（異于點(diǎn)A，C）的一點(diǎn)，⊙O恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，AD⊥CB于點(diǎn)D，且AB平分∠CAD．
（1）判斷BC與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（2）若AC＝10，DC＝8，求⊙O的半徑長(zhǎng)．
【答案】（1）BC與⊙O相切，理由見(jiàn)解答；
（2）⊙O的半徑長(zhǎng)為．
【解析】（1）BC與⊙O相切，理由如下：
如圖，連接OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵AB平分∠CAD，
∴∠DAB＝∠CAB，
∴∠DAB＝∠OBA，
∴AD∥OB，
∵AD⊥CB，
∴OB⊥CB，
∵OB是⊙O的半徑，
∴BC與⊙O相切；
（2）∵∠D＝90°，AC＝10，DC＝8，
∴AD＝＝6，
∵AD∥OB，
∴＝，
∴＝，
∵OA＝OB，
∴OB＝，
∴⊙O的半徑長(zhǎng)為．
3.如圖,△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交邊BC于P， PE⊥AC于E.
求證:PE是⊙O的切線.
證明：連接OP.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，
∴∠OBP=∠C.
∴OP∥AC.
∵PE⊥AC，
∴PE⊥OP.
∴PE為⊙O的切線.
4．如圖，已知，BE是⊙O的直徑，BC切⊙O于B，弦DE∥OC，連接CD并延長(zhǎng)交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)A．
（1）證明：CD是⊙O的切線；
（2）若AD＝2，AE＝1，求CD的長(zhǎng)．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【解析】（1）證明：連接OD，
∵ED∥OC，
∴∠COB＝∠DEO，∠COD＝∠EDO，
∵OD＝OE，
∴∠DEO＝∠EDO，
∴∠COB＝∠COD，
在△BCO和△DCO中，
∴△BCO≌△DCO（SAS），
∴∠CDO＝∠CBO，
∵BC為圓O的切線，
∴BC⊥OB，即∠CBO＝90°，
∴∠CDO＝90°，
又∵OD為圓的半徑，
∴CD為圓O的切線；
（2）解：∵CD，BC分別切⊙O于D，B，
∴CD＝BC，
∵AD2＝AE AB，即22＝1 AB，
∴AB＝4，
設(shè)CD＝BC＝x，則AC＝2+x，
∵A2C＝AB2+BC2
∴（2+x）2＝42+x2，
解得：x＝3，
∴CD＝3．
考點(diǎn)3. 三角形的外接圓與內(nèi)切圓
1．如圖，PA、PB分別與⊙O相切于A、B，∠P＝70°，C為⊙O上一點(diǎn)，則∠ACB的度數(shù)為（　　）
A．110° B．120° C．125° D．130°
【答案】C
【解析】由切線的性質(zhì)得出∠OAP＝∠OBP＝90°，利用四邊形內(nèi)角和可求∠AOB＝110°，再利用圓周角定理可求∠ADB＝55°，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)可求∠ACB．
如圖所示，連接OA，OB，在優(yōu)弧AB上取點(diǎn)D，連接AD，BD，
∵AP、BP是⊙O切線，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，
∴∠ADB＝AOB＝55°，
又∵圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，
∴∠ACB＝180°﹣∠ADB＝180°﹣55°＝125°．
2．已知三角形的周長(zhǎng)為12，面積為6，則該三角形內(nèi)切圓的半徑為（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解析】設(shè)這個(gè)三角形的內(nèi)切圓半徑是r，
∵三角形周長(zhǎng)為12，面積為6，
∴×12r＝6，
解得r＝1．故選：D．
3．如圖是一塊直角三角形木料，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，木工師傅要從中裁下一塊圓形木料，則可裁圓形木料的最大半徑為　 　．
【答案】見(jiàn)解析
【解析】∵∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝＝5，
∴圓形木料的最大半徑＝＝1．
4．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)O是內(nèi)心，若CO＝2，△ABC的周長(zhǎng)為16，則△ABC的面積為（　　）
A． B． C．16 D．32
【答案】B
【解析】過(guò)O點(diǎn)作OD⊥AB于D點(diǎn)，OE⊥AC于E點(diǎn)，OF⊥BC于F點(diǎn)，連接OA、OB，如圖，
∵⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，
∴OD＝OE＝OF，OC平分∠ACB，
∴∠OCE＝∠OCF＝∠ACB＝45°，
∴OE＝OC＝，
∴OD＝OF＝，
∵S△AOB+S△AOC+S△BOC＝S△ABC，
∴××AB+××AC+××BC＝×（AB+AC+BC），
∵AB+AC+BC＝16，
∴△ABC的面積＝××16＝8，故選：B．
5．一個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為2，則這個(gè)等邊三角形的內(nèi)切圓半徑為（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】如圖：
過(guò)O點(diǎn)作OD⊥AB，則AD＝AB＝1，
∵∠OAD＝30°，
∴OD＝tan30° AD＝．故選：C．
6. 如圖，在中，的內(nèi)切圓與分別相切于點(diǎn)，，連接的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則_________．
【答案】##度
【解析】【分析】如圖所示，連接，設(shè)交于H，由內(nèi)切圓的定義結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出，再由切線長(zhǎng)定理得到，進(jìn)而推出是的垂直平分線，即，則．
【詳解】如圖所示，連接，設(shè)交于H，
∵是的內(nèi)切圓，
∴分別是的角平分線，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵與分別相切于點(diǎn)，，∴，
又∵，∴是的垂直平分線，
∴，即，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)切圓，切線長(zhǎng)定理，三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線的判定，三角形外角的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
7. 如圖，△ABC中，I是內(nèi)心，∠A的平分線和△ABC的外接圓相交于點(diǎn)D.
求證：DI＝DB.
【答案】見(jiàn)解析。
【解析】證明：連接BI.
∵I是△ABC的內(nèi)心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD，
∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD，
∴BD=ID．
8. 如圖，⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，BE．
（1）求證：DB＝DE；
（2）若AE＝3，DF＝4，求DB的長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）6．
【解答】（1）證明：∵點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，
∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE，
又∵∠CAD與∠CBD所對(duì)弧為，
∴∠CAD＝∠CBD＝∠BAD．
∵∠BED＝∠ABE+∠BAD，∠DBE＝∠CBE+∠CBD，
∴∠BED＝∠DBE，
故DB＝DE．
（2）解：∵∠D＝∠D，∠DBF＝∠CAD＝∠BAD，
∴△ABD∽△BFD，
∴①，
∵DF＝4，AE＝3，設(shè)EF＝x，
由（1）可得DB＝DE＝4+x，
則①式化為，
解得：x1＝2，x2＝﹣6（不符題意，舍去），
則DB＝4+x＝4+2＝6．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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