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中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
【名師導(dǎo)航】2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（全國(guó)版）
第五章 圓
5.3 與圓有關(guān)的計(jì)算
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1 弧長(zhǎng)、扇形面積的計(jì)算 ☆☆ 數(shù)學(xué)中考中，與圓有關(guān)計(jì)算部分，每年考查1道題,分值為3分，通常以填空題的形式考察。需要學(xué)生熟練掌握 弧長(zhǎng)、扇形面積的計(jì)算，對(duì)圓柱、圓錐的相關(guān)計(jì)算也不能忽視。不規(guī)則圖形的面積的計(jì)算問(wèn)題基本思路就是轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形的面積計(jì)算。
考點(diǎn)2 圓柱、圓錐的相關(guān)計(jì)算 ☆
考點(diǎn)3 不規(guī)則圖形的面積的計(jì)算 ☆
☆☆☆ 代表必考點(diǎn)，☆☆代表常考點(diǎn)，☆星表示選考點(diǎn)。
考點(diǎn)1. 弧長(zhǎng)、扇形面積的計(jì)算
1. 與弧長(zhǎng)相關(guān)的計(jì)算
扇形的弧長(zhǎng)計(jì)算公式為：__________
注意：用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)，要注意公式中n的意義．n表示1°圓心角的倍數(shù)，它是不帶單位的.
2. 與扇形面積相關(guān)的計(jì)算
（1）扇形的定義：圓的一條弧和經(jīng)過(guò)這條弧的_____的兩條半徑所圍成的圖形叫作扇形.
如圖，黃色部分是一個(gè)扇形，記作扇形OAB.
（2）扇形的面積公式為S==．扇形的面積與______、_____有關(guān)。
3. 弓形的面積公式
S弓形=S扇形-S三角形 S弓形=S扇形+S三角形
考點(diǎn)2. 圓柱、圓錐的相關(guān)計(jì)算
1. 圓柱側(cè)面展開(kāi)圖可以求解圓柱的表面積
=
2. 圓柱的體積：
3.圓錐及相關(guān)概念
（1）圓錐的母線：我們把連接圓錐的頂點(diǎn)S和底面圓上任一點(diǎn)的____叫做圓錐的母線．圓錐有無(wú)數(shù)條母線，它們都相等．
（2）圓錐的高：從圓錐的頂點(diǎn)到圓錐底面____之間的距離是圓錐的高．
注意：如果用r表示圓錐底面的半徑, h表示圓錐的高線長(zhǎng), l表示圓錐的母線長(zhǎng),那么r、h、l 之間數(shù)量關(guān)系是：r2+h2=l2
4.圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖
圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是______。
（1）其側(cè)面展開(kāi)圖扇形的半徑=母線的長(zhǎng)l
（2）側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)=底面周長(zhǎng) C=2πr，
（3）圓錐的側(cè)面積計(jì)算公式(r表示圓錐底面的半徑, l 表示圓錐的母線長(zhǎng) )
（4）圓錐的全面積計(jì)算公式
S圓錐全＝側(cè)面積＋底面圓面積=πrl＋πr2．
考點(diǎn)3. 不規(guī)則圖形的面積的計(jì)算
求陰影部分面積的幾種常見(jiàn)方法：
（1）公式法；
（2）割補(bǔ)法；
（3）拼湊法；
（4）等積變形構(gòu)造方程法；
（5）去重法．
考點(diǎn)1. 弧長(zhǎng)、扇形面積的計(jì)算
【例題1】（2024安徽省）若扇形的半徑為6，，則的長(zhǎng)為（ ）
A. B. C. D.
【例題2】（2024甘肅威武）甘肅臨夏磚雕是一種歷史悠久的古建筑裝飾藝術(shù)，是第一批國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)．如圖1是一塊扇面形的臨夏磚雕作品，它的部分設(shè)計(jì)圖如圖2，其中扇形和扇形有相同的圓心O，且圓心角，若，，則陰影部分的面積是______ ．（結(jié)果用π表示）
【變式練1】（2024大連一模）圓心角為，半徑為3的扇形弧長(zhǎng)為（ ）
A. B. C. D.
【變式練2】（2024江蘇連云港一模）如圖，有一個(gè)半徑為2的圓形時(shí)鐘，其中每個(gè)刻度間的弧長(zhǎng)均相等，過(guò)9點(diǎn)和11點(diǎn)的位置作一條線段，則鐘面中陰影部分的面積為（ ）
A. B. C. D.
考點(diǎn)2. 圓柱、圓錐的相關(guān)計(jì)算
【例題3】（2024廣州）如圖，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓心角為的扇形，若扇形的半徑是5，則該圓錐的體積是（ ）
A. B. C. D.
【變式練1】（2024廣安一模）蒙古包可以近似地看作由圓錐和圓柱組成．下圖是一個(gè)蒙古包的示意圖，底面圓半徑DE＝2m，圓錐的高AC＝1.5m，圓柱的高CD＝2.5m，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（　　）
A．圓柱的底面積為4πm2
B．圓柱的側(cè)面積為10πm2
C．圓錐的母線AB長(zhǎng)為2.25m
D．圓錐的側(cè)面積為5πm2
【變式練2】（2024河南一模）如圖，圓錐底面圓半徑為7cm，高為24cm，則它側(cè)面展開(kāi)圖的面積是（ ）
A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2
考點(diǎn)3. 不規(guī)則圖形的面積的計(jì)算
【例題4】（2024山東威海）如圖，在扇形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．在扇形內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，則點(diǎn)落在陰影部分的概率是（ ）
A. B. C. D.
【變式練1】（2024廣州一模）如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得，將線段繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得線段，分別以O(shè)，E為圓心，、長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧和弧，連接，則圖中陰影部分面積是（　　）
A．π B． C． D．
考點(diǎn)1. 弧長(zhǎng)、扇形面積的計(jì)算
1. （2024貴州省）如圖，在扇形紙扇中，若，，則的長(zhǎng)為（ ）
A. B. C. D.
2. （2024四川成都市）如圖，在扇形中，，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
3. （2024河南省）如圖，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形的外接圓，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，連接，．以點(diǎn)D為圓心，的長(zhǎng)為半徑在內(nèi)畫(huà)弧，則陰影部分的面積為（ ）
A. B. C. D.
4. （2024重慶市A）如圖，在矩形中，分別以點(diǎn)和為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．若，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A. B.
C. D.
5. （2024吉林省）某新建學(xué)校因場(chǎng)地限制，要合理規(guī)劃體育場(chǎng)地，小明繪制鉛球場(chǎng)地設(shè)計(jì)圖如圖所示，該場(chǎng)地由和扇形組成，分別與交于點(diǎn)A，D．，，，則陰影部分的面積為_(kāi)_____（結(jié)果保留）．
6. （2024深圳）如圖，在矩形中，，O為中點(diǎn)，，則扇形的面積為_(kāi)_______．
7. （2024甘肅臨夏）如圖，對(duì)折邊長(zhǎng)為2的正方形紙片，為折痕，以點(diǎn)為圓心，為半徑作弧，分別交，于，兩點(diǎn)，則的長(zhǎng)度為_(kāi)_____（結(jié)果保留）．
考點(diǎn)2. 圓柱、圓錐的相關(guān)計(jì)算
1.（2024黑龍江大慶） 如圖所示，一個(gè)球恰好放在一個(gè)圓柱形盒子里，記球的體積為，圓柱形盒子的容積為，則______．（球體體積公式：，其中r為球體半徑）
2. （2024云南省）某校九年級(jí)學(xué)生參加社會(huì)實(shí)踐，學(xué)習(xí)編織圓錐型工藝品．若這種圓錐的母線長(zhǎng)為厘米，底面圓的半徑為厘米，則該圓錐的側(cè)面積為（ ）
A. 平方厘米 B. 平方厘米
C. 平方厘米 D. 平方厘米
3. （2024黑龍江齊齊哈爾）若圓錐的底面半徑是1cm，它的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是直角，則該圓錐的高為_(kāi)_____cm．
4. （2024黑龍江綏化）用一個(gè)圓心角為，半徑為的扇形作一個(gè)圓錐的側(cè)面，這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為_(kāi)_____．
5. （2024江蘇鹽城）已知圓錐的底面圓半徑為4，母線長(zhǎng)為5，則圓錐的側(cè)面積是______．
6. （2024山東煙臺(tái)）如圖，在邊長(zhǎng)為6的正六邊形中，以點(diǎn)F為圓心，以的長(zhǎng)為半徑作，剪下圖中陰影部分做一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面半徑為_(kāi)_______．
7. （2024廣東） 綜合與實(shí)踐
【主題】濾紙與漏斗
素材】如圖1所示：
①一張直徑為的圓形濾紙；
②一只漏斗口直徑與母線均為的圓錐形過(guò)濾漏斗．
【實(shí)踐操作】
步驟1：取一張濾紙；
步驟2：按如圖2所示步驟折疊好濾紙；
步驟3：將其中一層撐開(kāi)，圍成圓錐形；
步驟4：將圍成圓錐形的濾紙放入如圖1所示漏斗中．
【實(shí)踐探索】
（1）濾紙是否能緊貼此漏斗內(nèi)壁（忽略漏斗管口處）？用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)說(shuō)明．
（2）當(dāng)濾紙緊貼漏斗內(nèi)壁時(shí)，求濾紙圍成圓錐形的體積．（結(jié)果保留）
考點(diǎn)3. 不規(guī)則圖形的面積的計(jì)算
1. （2024四川遂寧）工人師傅在檢查排污管道時(shí)發(fā)現(xiàn)淤泥堆積．如圖所示，排污管道的橫截面是直徑為米的圓，為預(yù)估淤泥量，測(cè)得淤泥橫截面（圖中陰影部分）寬為米，請(qǐng)計(jì)算出淤泥橫截面的面積（ ）
A. B. C. D.
2. （2024黑龍江大慶）如圖所示的曲邊三角形也稱作“萊洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等邊三角形；分別以點(diǎn)，，為圓心，以的長(zhǎng)為半徑作，，．三段弧所圍成的圖形就是一個(gè)曲邊三角形．若該“萊洛三角形”的周長(zhǎng)為，則它的面積是______．
3. （2024黑龍江齊齊哈爾）如圖，內(nèi)接于，為的直徑，于點(diǎn)D，將沿所在的直線翻折，得到，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：是的切線；
（2）若，，求圖中陰影部分的面積．
4. （2024山東棗莊）如圖，在四邊形中，，，．以點(diǎn)為圓心，以為半徑作交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，以為半徑作所交于點(diǎn)，連接交于另一點(diǎn)，連接．
（1）求證：為所在圓的切線；
（2）求圖中陰影部分面積．（結(jié)果保留）
考點(diǎn)1. 弧長(zhǎng)、扇形面積的計(jì)算
1．某小區(qū)內(nèi)的消防車(chē)道有一段彎道，如圖，彎道的內(nèi)外邊緣均為圓弧，，所在圓的圓心為O，點(diǎn)C，D分別在OA，OB上．已知消防車(chē)道半徑OC＝12m，消防車(chē)道寬AC＝4m，∠AOB＝120°，則彎道外邊緣的長(zhǎng)為（　　）
A．8πm B．4πm C．πm D．πm
2. 某款“不倒翁”（圖1）的主視圖是圖2，PA，PB分別與所在圓相切于點(diǎn)A，B．若該圓半徑是9cm，∠P＝40°，則的長(zhǎng)是（ ）
A. cm B. cm C. cm D. cm
3. 中國(guó)高鐵的飛速發(fā)展，已成為中國(guó)現(xiàn)代化建設(shè)的重要標(biāo)志．如圖是高鐵線路在轉(zhuǎn)向處所設(shè)計(jì)的圓曲線（即圓弧），高鐵列車(chē)在轉(zhuǎn)彎時(shí)的曲線起點(diǎn)為，曲線終點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的兩條切線相交于點(diǎn)，列車(chē)在從到行駛的過(guò)程中轉(zhuǎn)角為．若圓曲線的半徑，則這段圓曲線的長(zhǎng)為（ ）．
A. B. C. D.
考點(diǎn)2. 圓柱、圓錐的相關(guān)計(jì)算
1．如圖，圓錐底面圓半徑為7cm，高為24cm，則它側(cè)面展開(kāi)圖的面積是（　　）
A．cm2 B．cm2 C．175πcm2 D．350πcm2
2．如圖，圓錐的高是4，它的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為120°的扇形，則圓錐的側(cè)面積是 　　（結(jié)果保留π）．
3. 如圖，圓錐形煙囪帽的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，則煙囪帽的側(cè)面積為_(kāi)______．（結(jié)果保留）
4．如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開(kāi)并展平，得到一個(gè)扇形，若母線長(zhǎng)為，扇形的圓心角，則圓錐的底面圓半徑為_(kāi)_________．
5．如圖，要用一個(gè)扇形紙片圍成一個(gè)無(wú)底蓋的圓錐（接縫處忽略不計(jì)），若該圓錐的底面圓周長(zhǎng)為20πcm，側(cè)面積為240πcm2，則這個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)是 　　度．
6．某種冰激凌的外包裝可以視為圓錐，它的底面圓直徑ED與母線AD長(zhǎng)之比為1：2．制作這種外包裝需要用如圖所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．將扇形AEF圍成圓錐時(shí)，AE，AF恰好重合．
（1）求這種加工材料的頂角∠BAC的大小．
（2）若圓錐底面圓的直徑ED為5cm，求加工材料剩余部分（圖中陰影部分）的面積．（結(jié)果保留π）
7.如圖，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD是∠BAC的角平分線，且AD＝6，以點(diǎn)A為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧EF，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．
（1）求由弧EF及線段FC.CB.BE圍成圖形（圖中陰影部分）的面積；
（2）將陰影部分剪掉，余下扇形AEF，將扇形AEF圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，AE與AF正好重合，圓錐側(cè)面無(wú)重疊，求這個(gè)圓錐的高h(yuǎn)．
考點(diǎn)3. 不規(guī)則圖形的面積的計(jì)算
1. 如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，點(diǎn)C為OA的中點(diǎn)，CE⊥OA交弧AB于點(diǎn)E，以點(diǎn)O為圓心，OC的長(zhǎng)為半徑作弧CD交OB于點(diǎn)D，若OA＝2，則陰影部分的面積為（　　）
A． B． C．+ D．
2. 如圖，點(diǎn)A，B，C在上，，連接，．若的半徑為3，則扇形（陰影部分）的面積為（ ）
A. B. C. D.
3. 如圖，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，以O(shè)為圓心，以O(shè)B為半徑作半圓，交AC于點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積是　　 ．
4．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，BC＝2，以點(diǎn)A為圓心，AC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)C，以點(diǎn)B為圓心，AC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，則圖中陰影部分的面積為（　　）
A．8﹣π B．4﹣π C．2﹣ D．1﹣
5．如圖，直徑AB＝6的半圓，繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，此時(shí)點(diǎn)A到了點(diǎn)A'，則圖中陰影部分的面積是（　　）
A． B． C．π D．3π
6．如圖，半徑為10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C為上一點(diǎn)，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D、E．若∠CDE為36°，則圖中陰影部分的面積為（　　）
A．10π B．9π C．8π D．6π
7．如圖，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA，過(guò)的中點(diǎn)C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D、E，則圖中陰影部分的面積為（　　）
A．π﹣1 B．1 C．π D．
8．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，分別以B，C為圓心，以正方形的邊長(zhǎng)為半徑的圓相交于點(diǎn)P，那么圖中陰影部分的面積為 　 　．
9．如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，BE是⊙O的直徑，連接BF，延長(zhǎng)BA，過(guò)F作FG⊥BA，垂足為G．
（1）求證：FG是⊙O的切線；
（2）已知FG＝2，求圖中陰影部分的面積．
10.如圖，以△ABC的邊BC為直徑作⊙O，點(diǎn)A在⊙O上，點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，AD＝AB，∠D＝30°．
（1）求證：直線AD是⊙O的切線；
（2）若直徑BC＝4，求圖中陰影部分的面積．
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第五章 圓
5.3 與圓有關(guān)的計(jì)算
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1 弧長(zhǎng)、扇形面積的計(jì)算 ☆☆ 數(shù)學(xué)中考中，與圓有關(guān)計(jì)算部分，每年考查1道題,分值為3分，通常以填空題的形式考察。需要學(xué)生熟練掌握 弧長(zhǎng)、扇形面積的計(jì)算，對(duì)圓柱、圓錐的相關(guān)計(jì)算也不能忽視。不規(guī)則圖形的面積的計(jì)算問(wèn)題基本思路就是轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形的面積計(jì)算。
考點(diǎn)2 圓柱、圓錐的相關(guān)計(jì)算 ☆
考點(diǎn)3 不規(guī)則圖形的面積的計(jì)算 ☆
☆☆☆ 代表必考點(diǎn)，☆☆代表常考點(diǎn)，☆星表示選考點(diǎn)。
考點(diǎn)1. 弧長(zhǎng)、扇形面積的計(jì)算
1. 與弧長(zhǎng)相關(guān)的計(jì)算
扇形的弧長(zhǎng)計(jì)算公式為：l=
注意：用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)，要注意公式中n的意義．n表示1°圓心角的倍數(shù)，它是不帶單位的.
2. 與扇形面積相關(guān)的計(jì)算
（1）扇形的定義：圓的一條弧和經(jīng)過(guò)這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑所圍成的圖形叫作扇形.
如圖，黃色部分是一個(gè)扇形，記作扇形OAB.
（2）扇形的面積公式為S==．扇形的面積與圓心角、半徑有關(guān)。
3. 弓形的面積公式
S弓形=S扇形-S三角形 S弓形=S扇形+S三角形
考點(diǎn)2. 圓柱、圓錐的相關(guān)計(jì)算
1. 圓柱側(cè)面展開(kāi)圖可以求解圓柱的表面積
=
2. 圓柱的體積：
3.圓錐及相關(guān)概念
（1）圓錐的母線：我們把連接圓錐的頂點(diǎn)S和底面圓上任一點(diǎn)的連線叫做圓錐的母線．圓錐有無(wú)數(shù)條母線，它們都相等．
（2）圓錐的高：從圓錐的頂點(diǎn)到圓錐底面圓心之間的距離是圓錐的高．
注意：如果用r表示圓錐底面的半徑, h表示圓錐的高線長(zhǎng), l表示圓錐的母線長(zhǎng),那么r、h、l 之間數(shù)量關(guān)系是：r2+h2=l2
4.圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖
圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形。
（1）其側(cè)面展開(kāi)圖扇形的半徑=母線的長(zhǎng)l
（2）側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)=底面周長(zhǎng) C=2πr，
（3）圓錐的側(cè)面積計(jì)算公式(r表示圓錐底面的半徑, l 表示圓錐的母線長(zhǎng) )
（4）圓錐的全面積計(jì)算公式
S圓錐全＝側(cè)面積＋底面圓面積=πrl＋πr2．
考點(diǎn)3. 不規(guī)則圖形的面積的計(jì)算
求陰影部分面積的幾種常見(jiàn)方法：
（1）公式法；
（2）割補(bǔ)法；
（3）拼湊法；
（4）等積變形構(gòu)造方程法；
（5）去重法．
考點(diǎn)1. 弧長(zhǎng)、扇形面積的計(jì)算
【例題1】（2024安徽省）若扇形的半徑為6，，則的長(zhǎng)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】此題考查了弧長(zhǎng)公式，根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．
由題意可得，的長(zhǎng)為,故選：C．
【例題2】（2024甘肅威武）甘肅臨夏磚雕是一種歷史悠久的古建筑裝飾藝術(shù)，是第一批國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)．如圖1是一塊扇面形的臨夏磚雕作品，它的部分設(shè)計(jì)圖如圖2，其中扇形和扇形有相同的圓心O，且圓心角，若，，則陰影部分的面積是______ ．（結(jié)果用π表示）
【答案】
【解析】根據(jù)扇形面積公式計(jì)算即可．本題考查了扇形面積公式，熟練掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．
∵圓心角，，，
∴陰影部分的面積是
．
【變式練1】（2024大連一模）圓心角為，半徑為3的扇形弧長(zhǎng)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式（弧長(zhǎng)為l，圓心角度數(shù)為n，圓半徑為r），由此計(jì)算即可．
該扇形的弧長(zhǎng)，故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的弧長(zhǎng)計(jì)算公式（弧長(zhǎng)為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為r），正確記憶弧長(zhǎng)公式是解答此題的關(guān)鍵．
【變式練2】（2024江蘇連云港一模）如圖，有一個(gè)半徑為2的圓形時(shí)鐘，其中每個(gè)刻度間的弧長(zhǎng)均相等，過(guò)9點(diǎn)和11點(diǎn)的位置作一條線段，則鐘面中陰影部分的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】陰影部分的面積等于扇形面積減去三角形面積，分別求出扇形面積和等邊三角形的面積即可．
如圖，過(guò)點(diǎn)OC作OD⊥AB于點(diǎn)D，
∵∠AOB=2×=60°，
∴△OAB是等邊三角形，
∴∠AOD=∠BOD=30°，OA=OB=AB=2，AD=BD=AB=1，
∴OD=，
∴陰影部分的面積為，故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積、等邊三角形的面積計(jì)算方法，掌握扇形面積、等邊三角形的面積的計(jì)算方法是正確解答的關(guān)鍵．
考點(diǎn)2. 圓柱、圓錐的相關(guān)計(jì)算
【例題3】（2024廣州）如圖，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓心角為的扇形，若扇形的半徑是5，則該圓錐的體積是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本題考查了弧長(zhǎng)公式，圓錐的體積公式，勾股定理，理解圓錐的底面周長(zhǎng)與側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)相等是解題關(guān)鍵，設(shè)圓錐的半徑為，則圓錐的底面周長(zhǎng)為，根據(jù)弧長(zhǎng)公式得出側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)，進(jìn)而得出，再利用勾股定理，求出圓錐的高，再代入體積公式求解即可．
設(shè)圓錐的半徑為，則圓錐的底面周長(zhǎng)為，
圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓心角為的扇形，且扇形的半徑是5，
扇形的弧長(zhǎng)為，
圓錐的底面周長(zhǎng)與側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)相等，
，
，
圓錐的高為，
圓錐的體積為，故選：D．
【變式練1】（2024廣安一模）蒙古包可以近似地看作由圓錐和圓柱組成．下圖是一個(gè)蒙古包的示意圖，底面圓半徑DE＝2m，圓錐的高AC＝1.5m，圓柱的高CD＝2.5m，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（　　）
A．圓柱的底面積為4πm2
B．圓柱的側(cè)面積為10πm2
C．圓錐的母線AB長(zhǎng)為2.25m
D．圓錐的側(cè)面積為5πm2
【答案】C
【解析】∵底面圓半徑DE＝2m，
∴圓柱的底面積為4πm2，所以A選項(xiàng)不符合題意；
∵圓柱的高CD＝2.5m，
∴圓柱的側(cè)面積＝2π×2×2.5＝10π（m2），所以B選項(xiàng)不符合題意；
∵底面圓半徑DE＝2m，即BC＝2m，圓錐的高AC＝1.5m，
∴圓錐的母線長(zhǎng)AB＝＝2.5（m），所以C選項(xiàng)符合題意；
∴圓錐的側(cè)面積＝×2π×2×2.5＝5π（m2），所以D選項(xiàng)不符合題意．故選：C．
【變式練2】（2024河南一模）如圖，圓錐底面圓半徑為7cm，高為24cm，則它側(cè)面展開(kāi)圖的面積是（ ）
A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2
【答案】C
【解析】【分析】先利用勾股定理計(jì)算出AC=25cm，由于圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)，則可根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算出圓錐的側(cè)面積．
【詳解】在中，
cm，
∴它側(cè)面展開(kāi)圖的面積是cm2．故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算，理解圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)3. 不規(guī)則圖形的面積的計(jì)算
【例題4】（2024山東威海）如圖，在扇形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．在扇形內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，則點(diǎn)落在陰影部分的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本題考查的是求不規(guī)則圖形的面積，幾何概率，根據(jù)陰影部分面積等于扇形的面積，即可求解．
∵，，
∴四邊形是矩形，
∴
∴
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)
∴
∴
∴
∴，，
點(diǎn)落在陰影部分的概率是 故選：B．
【變式練1】（2024廣州一模）如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得，將線段繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得線段，分別以O(shè)，E為圓心，、長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧和弧，連接，則圖中陰影部分面積是（　　）
A．π B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查的是扇形面積的計(jì)算、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)，扇形的面積公式為．作于H，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)陰影部分面積的面積的面積扇形的面積扇形的面積、利用扇形面積公式計(jì)算即可．
【詳解】作于H，
∵，，，
∴，
由旋轉(zhuǎn)，得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
陰影部分面積的面積的面積扇形的面積扇形的面積
故選：C．
考點(diǎn)1. 弧長(zhǎng)、扇形面積的計(jì)算
1. （2024貴州省）如圖，在扇形紙扇中，若，，則的長(zhǎng)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本題考查了弧長(zhǎng)，根據(jù)弧長(zhǎng)公式∶求解即可．
∵，，
∴的長(zhǎng)為，故選∶C．
2. （2024四川成都市）如圖，在扇形中，，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】此題考查了弧長(zhǎng)公式，把已知數(shù)據(jù)代入弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．
由題意得的長(zhǎng)為
3. （2024河南省）如圖，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形的外接圓，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，連接，．以點(diǎn)D為圓心，的長(zhǎng)為半徑在內(nèi)畫(huà)弧，則陰影部分的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】過(guò)D作于E，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)求出，利用弧、弦的關(guān)系證明，利用三線合一性質(zhì)求出，，在中，利用正弦定義求出，最后利用扇形面積公式求解即可．
【詳解】過(guò)D作于E，
∵是邊長(zhǎng)為的等邊三角形的外接圓，
∴，，，
∴，
∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，扇形面積公式，解直角三角形等知識(shí)，靈活應(yīng)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
4. （2024重慶市A）如圖，在矩形中，分別以點(diǎn)和為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．若，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】本題考查扇形面積的計(jì)算，勾股定理等知識(shí)．根據(jù)題意可得，由勾股定理得出，用矩形的面積減去2個(gè)扇形的面積即可得到結(jié)論．
【詳解】解：連接，
根據(jù)題意可得，
∵矩形，∴，，
在中，，
∴圖中陰影部分的面積．故選：D．
5. （2024吉林省）某新建學(xué)校因場(chǎng)地限制，要合理規(guī)劃體育場(chǎng)地，小明繪制鉛球場(chǎng)地設(shè)計(jì)圖如圖所示，該場(chǎng)地由和扇形組成，分別與交于點(diǎn)A，D．，，，則陰影部分的面積為_(kāi)_____（結(jié)果保留）．
【答案】
【解析】本題考查了扇形面積公式，熟練掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．
利用陰影部分面積等于大扇形減去小扇形面積，結(jié)合扇形面積公式即可求解．
由題意得：，
6. （2024深圳）如圖，在矩形中，，O為中點(diǎn)，，則扇形的面積為_(kāi)_______．
【答案】
【解析】本題考查了扇形的面積公式，解直角三角形．利用解直角三角形求得，，得到，再利用扇形的面積公式即可求解．
【詳解】∵，，
∴，
∵O為中點(diǎn)，
∴，
∵，
在中，，
∴，
同理，
∴，
∴扇形的面積為，
7. （2024甘肅臨夏）如圖，對(duì)折邊長(zhǎng)為2的正方形紙片，為折痕，以點(diǎn)為圓心，為半徑作弧，分別交，于，兩點(diǎn)，則的長(zhǎng)度為_(kāi)_____（結(jié)果保留）．
【答案】##
【解析】本題主要考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算、正方形的性質(zhì)及翻折變換（折疊問(wèn)題），解直角三角形，熟知正方形的性質(zhì)、圖形翻折的性質(zhì)及弧長(zhǎng)的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．
由對(duì)折可知，，過(guò)點(diǎn)E作的垂線，進(jìn)而可求出的度數(shù)，則可得出的度數(shù)，最后根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可解決問(wèn)題．
【詳解】∵折疊，且四邊形是正方形
四邊形是矩形，，
則，．
過(guò)點(diǎn)E作于P，
則，
，
在中，，
，
則，
的長(zhǎng)度為：
考點(diǎn)2. 圓柱、圓錐的相關(guān)計(jì)算
1.（2024黑龍江大慶） 如圖所示，一個(gè)球恰好放在一個(gè)圓柱形盒子里，記球的體積為，圓柱形盒子的容積為，則______．（球體體積公式：，其中r為球體半徑）
【答案】
【解析】題考查了圓柱的體積和球的體積，根據(jù)圓柱的體積和球的體積公式計(jì)算即可得出答案．
設(shè)球的半徑為，則圓柱的高為，
依題意，，
∴，
2. （2024云南省）某校九年級(jí)學(xué)生參加社會(huì)實(shí)踐，學(xué)習(xí)編織圓錐型工藝品．若這種圓錐的母線長(zhǎng)為厘米，底面圓的半徑為厘米，則該圓錐的側(cè)面積為（ ）
A. 平方厘米 B. 平方厘米
C. 平方厘米 D. 平方厘米
【答案】C
【解析】本題考查了圓錐側(cè)面積，先求出圓錐底面圓的周長(zhǎng)，再根據(jù)圓錐的側(cè)面積計(jì)算公式計(jì)算即可求解，掌握?qǐng)A錐側(cè)面積計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．
【詳解】圓錐的底面圓周長(zhǎng)為厘米，
∴圓錐的側(cè)面積為平方厘米，故選：．
3. （2024黑龍江齊齊哈爾）若圓錐的底面半徑是1cm，它的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是直角，則該圓錐的高為_(kāi)_____cm．
【答案】
【解析】本題考查了圓錐的計(jì)算．設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為R，根據(jù)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)和弧長(zhǎng)公式得到，然后解方程即可得母線長(zhǎng)，然后利用勾股定理求得圓錐的高即可．
【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為R，
根據(jù)題意得，
解得：．
即圓錐的母線長(zhǎng)為，
∴圓錐的高cm，
4. （2024黑龍江綏化）用一個(gè)圓心角為，半徑為的扇形作一個(gè)圓錐的側(cè)面，這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】本題考查了弧長(zhǎng)公式，根據(jù)圓錐的底面圓的周長(zhǎng)等于側(cè)面的弧長(zhǎng)，代入數(shù)據(jù)計(jì)算，即可求解．
設(shè)這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為，由題意得，
解得：
5. （2024江蘇鹽城）已知圓錐的底面圓半徑為4，母線長(zhǎng)為5，則圓錐的側(cè)面積是______．
【答案】
【解析】結(jié)合題意，根據(jù)圓錐側(cè)面積和底面圓半徑、母線的關(guān)系式計(jì)算，即可得到答案．
∵圓錐的底面圓半徑為，母線長(zhǎng)為
∴圓錐的側(cè)面積
【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A錐的性質(zhì)，從而完成求解．
6. （2024山東煙臺(tái)）如圖，在邊長(zhǎng)為6的正六邊形中，以點(diǎn)F為圓心，以的長(zhǎng)為半徑作，剪下圖中陰影部分做一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面半徑為_(kāi)_______．
【答案】
【解析】本題考查正多邊形的性質(zhì)，求圓錐的底面半徑，先求出正六邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，進(jìn)而求出扇形的圓心角的度數(shù)，過(guò)點(diǎn)作，求出的長(zhǎng)，再利用圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于扇形的弧長(zhǎng)，進(jìn)行求解即可．
【詳解】∵正六邊形，
∴，，
∴，，
∴，
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則：，
設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，則：，
∴；
故答案為：．
7. （2024廣東） 綜合與實(shí)踐
【主題】濾紙與漏斗
素材】如圖1所示：
①一張直徑為的圓形濾紙；
②一只漏斗口直徑與母線均為的圓錐形過(guò)濾漏斗．
【實(shí)踐操作】
步驟1：取一張濾紙；
步驟2：按如圖2所示步驟折疊好濾紙；
步驟3：將其中一層撐開(kāi)，圍成圓錐形；
步驟4：將圍成圓錐形的濾紙放入如圖1所示漏斗中．
【實(shí)踐探索】
（1）濾紙是否能緊貼此漏斗內(nèi)壁（忽略漏斗管口處）？用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)說(shuō)明．
（2）當(dāng)濾紙緊貼漏斗內(nèi)壁時(shí)，求濾紙圍成圓錐形的體積．（結(jié)果保留）
【答案】（1）能，見(jiàn)解析 （2）
【解析】本題考查了圓錐，解題的關(guān)鍵是：
（1）利用圓錐的底面周長(zhǎng)＝側(cè)面展開(kāi)扇形的弧長(zhǎng)求出圓錐展開(kāi)圖的扇形圓心角，即可判斷；
（2）利用圓錐的底面周長(zhǎng)＝側(cè)面展開(kāi)扇形的弧長(zhǎng)，求出濾紙圍成圓錐形底面圓的半徑，利用勾股定理求出圓錐的高，然后利用圓錐體積公式求解即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：能，
理由：設(shè)圓錐展開(kāi)圖的扇形圓心角為，
根據(jù)題意，得，
解得，
∴將圓形濾紙對(duì)折，將其中一層撐開(kāi)，圍成圓錐形，此時(shí)濾紙能緊貼此漏斗內(nèi)壁；
【小問(wèn)2詳解】
解：設(shè)濾紙圍成圓錐形底面圓的半徑為，高為，
根據(jù)題意，得，
解得，
∴，
∴圓錐的體積為．
考點(diǎn)3. 不規(guī)則圖形的面積的計(jì)算
1. （2024四川遂寧）工人師傅在檢查排污管道時(shí)發(fā)現(xiàn)淤泥堆積．如圖所示，排污管道的橫截面是直徑為米的圓，為預(yù)估淤泥量，測(cè)得淤泥橫截面（圖中陰影部分）寬為米，請(qǐng)計(jì)算出淤泥橫截面的面積（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，求不規(guī)則圖形的面積，過(guò)點(diǎn)作于，由垂徑定理得，由勾股定理得，又根據(jù)圓的直徑為米可得，得到為等邊三角形，即得，再根據(jù)淤泥橫截面的面積即可求解，掌握垂徑定理及扇形面積計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．
【詳解】過(guò)點(diǎn)作于，則，，
∵圓直徑為米，
∴，
∴在中，，
∵，
∴為等邊三角形，
∴，
∴淤泥橫截面的面積，故選：．
2. （2024黑龍江大慶）如圖所示的曲邊三角形也稱作“萊洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等邊三角形；分別以點(diǎn)，，為圓心，以的長(zhǎng)為半徑作，，．三段弧所圍成的圖形就是一個(gè)曲邊三角形．若該“萊洛三角形”的周長(zhǎng)為，則它的面積是______．
【答案】
【解析】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，扇形面積的計(jì)算，三角函數(shù)的應(yīng)用，曲邊三角形是由三段弧組成，如果周長(zhǎng)為，則其中的一段弧長(zhǎng)就是，所以根據(jù)弧長(zhǎng)公式可得，即正三角形的邊長(zhǎng)為．那么曲邊三角形的面積=三角形的面積+三個(gè)弓形的面積，從而可得答案．
曲邊三角形的周長(zhǎng)為，為等邊三角形，
曲邊三角形的面積為：
3. （2024黑龍江齊齊哈爾）如圖，內(nèi)接于，為的直徑，于點(diǎn)D，將沿所在的直線翻折，得到，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：是的切線；
（2）若，，求圖中陰影部分的面積．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）
【解析】【分析】（1）連接，由折疊的性質(zhì)得，，再證明，推出，據(jù)此即可證明是的切線；
（2）先求得，在中，求得，再利用扇形面積公式求解即可．
【小問(wèn)1詳解】證明：連接，
∵，
∴，
∵沿直線翻折得到，
∴，，
∵是的半徑，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴于點(diǎn)C，
又∵為的半徑，
∴是的切線；
【小問(wèn)2詳解】
解：∵，
∴，
由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與扇形面積公式，折疊的性質(zhì)，解直角三角形．充分運(yùn)用圓的性質(zhì)，綜合三角函數(shù)相關(guān)概念，求得線段長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．
4. （2024山東棗莊）如圖，在四邊形中，，，．以點(diǎn)為圓心，以為半徑作交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，以為半徑作所交于點(diǎn)，連接交于另一點(diǎn)，連接．
（1）求證：為所在圓的切線；
（2）求圖中陰影部分面積．（結(jié)果保留）
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）
【解析】【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定，圓的性質(zhì)，扇形面積，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，證明四邊形是平行四邊形是解題關(guān)鍵．
（1）根據(jù)圓的性質(zhì)，證明，即可證明四邊形是平行四邊形，再證明是等邊三角形，再根據(jù)圓的切線判定定理即可證得結(jié)果．
（2）先求出平行四邊形的高，根據(jù)扇形面積公式三角形面積公式，平行四邊形面積公式求解即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：連接如圖，
根據(jù)題意可知：，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∴在以為直徑圓上，
∴，
∴為所在圓的切線．
【小問(wèn)2詳解】
過(guò)作于點(diǎn)，
由圖可得：，
在中，，，
∴，
∴，
由題可知：扇形和扇形全等，
∴，
等邊三角形的面積為：，
∴
考點(diǎn)1. 弧長(zhǎng)、扇形面積的計(jì)算
1．某小區(qū)內(nèi)的消防車(chē)道有一段彎道，如圖，彎道的內(nèi)外邊緣均為圓弧，，所在圓的圓心為O，點(diǎn)C，D分別在OA，OB上．已知消防車(chē)道半徑OC＝12m，消防車(chē)道寬AC＝4m，∠AOB＝120°，則彎道外邊緣的長(zhǎng)為（　　）
A．8πm B．4πm C．πm D．πm
【答案】C
【解析】根據(jù)線段的和差得到OA＝OC+AC，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可得到結(jié)論．
∵OC＝12m，AC＝4m，
∴OA＝OC+AC＝12+4＝16（m），
∵∠AOB＝120°，
∴彎道外邊緣的長(zhǎng)為：＝（m）．
2. 某款“不倒翁”（圖1）的主視圖是圖2，PA，PB分別與所在圓相切于點(diǎn)A，B．若該圓半徑是9cm，∠P＝40°，則的長(zhǎng)是（ ）
A. cm B. cm C. cm D. cm
【答案】A
【解析】如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，根據(jù)四邊形內(nèi)角和可得的角度，進(jìn)而可得所對(duì)的圓心角，根據(jù)弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可求解．如圖，
PA，PB分別與所在圓相切于點(diǎn)A，B．
，
∠P＝40°，
，
該圓半徑是9cm，
cm．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，求弧長(zhǎng)，牢記弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．
3. 中國(guó)高鐵的飛速發(fā)展，已成為中國(guó)現(xiàn)代化建設(shè)的重要標(biāo)志．如圖是高鐵線路在轉(zhuǎn)向處所設(shè)計(jì)的圓曲線（即圓弧），高鐵列車(chē)在轉(zhuǎn)彎時(shí)的曲線起點(diǎn)為，曲線終點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的兩條切線相交于點(diǎn)，列車(chē)在從到行駛的過(guò)程中轉(zhuǎn)角為．若圓曲線的半徑，則這段圓曲線的長(zhǎng)為（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由轉(zhuǎn)角為可得，由切線的性質(zhì)可得，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理可得，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．
如圖：
∵，
∴，
∵過(guò)點(diǎn)的兩條切線相交于點(diǎn)，
∴,
∴,
∴．故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)、弧長(zhǎng)公式等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意求得是解答本題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)2. 圓柱、圓錐的相關(guān)計(jì)算
1．如圖，圓錐底面圓半徑為7cm，高為24cm，則它側(cè)面展開(kāi)圖的面積是（　　）
A．cm2 B．cm2 C．175πcm2 D．350πcm2
【答案】C
【解析】在Rt△AOC中，AC＝＝25（cm），
所以圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的面積＝×2π×7×25＝175π（cm2）．故選：C．
2．如圖，圓錐的高是4，它的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為120°的扇形，則圓錐的側(cè)面積是 　　（結(jié)果保留π）．
【答案】6π．
【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，
根據(jù)題意得：2πr＝，
解得：l＝3r，
∵高為4，
∴r2+42＝（3r）2，
解得：r＝，
∴母線長(zhǎng)為3，
∴圓錐的側(cè)面積為πrl＝π××3＝6π．
3. 如圖，圓錐形煙囪帽的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，則煙囪帽的側(cè)面積為_(kāi)______．（結(jié)果保留）
【答案】
【解析】根據(jù)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，由扇形面積公式代值求解即可得到答案．
圓錐形煙囪帽的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，
煙囪帽的側(cè)面積（），
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查圓錐側(cè)面展開(kāi)圖及扇形面積公式，熟記扇形面積公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
4．如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開(kāi)并展平，得到一個(gè)扇形，若母線長(zhǎng)為，扇形的圓心角，則圓錐的底面圓半徑為_(kāi)_________．
【答案】2
【解析】結(jié)合題意，根據(jù)弧長(zhǎng)公式，得圓錐的底面圓周長(zhǎng)；再根據(jù)圓形周長(zhǎng)的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案．
∵母線長(zhǎng)為，扇形的圓心角
∴圓錐的底面圓周長(zhǎng)
∴圓錐的底面圓半徑
5．如圖，要用一個(gè)扇形紙片圍成一個(gè)無(wú)底蓋的圓錐（接縫處忽略不計(jì)），若該圓錐的底面圓周長(zhǎng)為20πcm，側(cè)面積為240πcm2，則這個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)是 　　度．
【答案】150
【解析】根據(jù)扇形面積公式求出圓錐的母線長(zhǎng)，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案．
設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為lcm，扇形的圓心角為n°，
∵圓錐的底面圓周長(zhǎng)為20πcm，
∴圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)為20πcm，
由題意得：×20π×l＝240π，
解得：l＝24，
則＝20π，
解得，n＝150，即扇形的圓心角為150°．
6．某種冰激凌的外包裝可以視為圓錐，它的底面圓直徑ED與母線AD長(zhǎng)之比為1：2．制作這種外包裝需要用如圖所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．將扇形AEF圍成圓錐時(shí)，AE，AF恰好重合．
（1）求這種加工材料的頂角∠BAC的大小．
（2）若圓錐底面圓的直徑ED為5cm，求加工材料剩余部分（圖中陰影部分）的面積．（結(jié)果保留π）
【答案】見(jiàn)解析。
【解析】(1)設(shè)∠BAC＝n°．根據(jù)弧EF的兩種求法，構(gòu)建方程，可得結(jié)論．
（2）根據(jù)S陰＝ BC AD﹣S扇形AEF求解即可．
解：（1）設(shè)∠BAC＝n°．
由題意得π DE＝,AD＝2DE,
∴n＝90,∴∠BAC＝90°．
(2)∵AD＝2DE＝10(cm),
∴S陰＝ BC AD﹣S扇形AEF＝×10×20﹣＝(100﹣25π)cm2．
7.如圖，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD是∠BAC的角平分線，且AD＝6，以點(diǎn)A為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧EF，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．
（1）求由弧EF及線段FC.CB.BE圍成圖形（圖中陰影部分）的面積；
（2）將陰影部分剪掉，余下扇形AEF，將扇形AEF圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，AE與AF正好重合，圓錐側(cè)面無(wú)重疊，求這個(gè)圓錐的高h(yuǎn)．
【答案】見(jiàn)解析。
【解析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)得到AD⊥BC，BD＝CD，則可計(jì)算出BD＝6，然后利用扇形的面積公式，利用由弧EF及線段FC.CB.BE圍成圖形（圖中陰影部分）的面積＝S△ABC﹣S扇形EAF進(jìn)行計(jì)算；
∵在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，
∴∠B＝30°，
∵AD是∠BAC的角平分線，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∴BD＝AD＝6，
∴BC＝2BD＝12，
∴由弧EF及線段FC.CB.BE圍成圖形（圖中陰影部分）的面積
S＝S△ABC﹣S扇形EAF＝×6×12﹣＝36﹣12π；
（2）設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，利用圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)和弧長(zhǎng)公式得到2πr＝，解得r＝2，然后利用勾股定理計(jì)算這個(gè)圓錐的高h(yuǎn)．
根據(jù)題意得2πr＝，解得r＝2，
這個(gè)圓錐的高h(yuǎn)＝＝4．
考點(diǎn)3. 不規(guī)則圖形的面積的計(jì)算
1. 如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，點(diǎn)C為OA的中點(diǎn)，CE⊥OA交弧AB于點(diǎn)E，以點(diǎn)O為圓心，OC的長(zhǎng)為半徑作弧CD交OB于點(diǎn)D，若OA＝2，則陰影部分的面積為（　　）
A． B． C．+ D．
【答案】C
【解析】連接OE、AE，
∵點(diǎn)C為OA的中點(diǎn)，
∴∠CEO＝30°，∠EOC＝60°，
∴△AEO為等邊三角形，
∴S扇形AOE＝＝π，
∴S陰影＝S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）
＝﹣﹣（π﹣×1×）
＝π﹣π+
＝+．
2. 如圖，點(diǎn)A，B，C在上，，連接，．若的半徑為3，則扇形（陰影部分）的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】先利用圓周角定理求出度數(shù)，然后利用扇形面積公式求解即可．
∵，
∴，
又的半徑為3，
∴扇形（陰影部分）的面積為．故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理，扇形面積公式等，掌握“同弧所對(duì)的圓周角是它所對(duì)的圓心角的一半”是解題的關(guān)鍵．
3. 如圖，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，以O(shè)為圓心，以O(shè)B為半徑作半圓，交AC于點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積是　　 ．
【答案】﹣．
【解析】根據(jù)題意，作出合適的輔助線，即可求得DE的長(zhǎng)、∠DOB的度數(shù)，然后根據(jù)圖形可知陰影部分的面積是△ABC的面積減去△COD的面積和扇形BOD的面積，從而可以解答本題．
連接OD，過(guò)D作DE⊥BC于E，
在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，
∴sinC＝＝＝，BC＝＝＝2，
∴∠C＝30°，
∴∠DOB＝60°，
∵OD＝BC＝，
∴DE＝，
∴陰影部分的面積是：2×2﹣﹣＝﹣，
故答案為：﹣．
4．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，BC＝2，以點(diǎn)A為圓心，AC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)C，以點(diǎn)B為圓心，AC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，則圖中陰影部分的面積為（　　）
A．8﹣π B．4﹣π C．2﹣ D．1﹣
【答案】D
【解析】先根據(jù)直角三角形中的勾股定理求得AC＝1，再將求不規(guī)則的陰影部分面積轉(zhuǎn)化為求規(guī)則圖形的面積：S陰影部分＝S△ABC﹣（S扇形EBF+S扇形DAC），將相關(guān)量代入求解即可．
解：根據(jù)題意可知AC＝＝＝1，則BE＝BE＝AD＝AC＝1，
設(shè)∠B＝n°，∠A＝m°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，即n+m＝90，
∴S陰影部分＝S△ABC﹣（S扇形EBF+S扇形DAC）＝﹣（）＝1﹣＝1﹣，
5．如圖，直徑AB＝6的半圓，繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，此時(shí)點(diǎn)A到了點(diǎn)A'，則圖中陰影部分的面積是（　　）
A． B． C．π D．3π
【答案】D
【解析】由半圓A′B面積+扇形ABA′的面積﹣空白處半圓AB的面積即可得出陰影部分的面積．
∵半圓AB，繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，
∴S陰影＝S半圓A′B+S扇形ABA′﹣S半圓AB
＝S扇形ABA′
＝3π，
6．如圖，半徑為10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C為上一點(diǎn)，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D、E．若∠CDE為36°，則圖中陰影部分的面積為（　　）
A．10π B．9π C．8π D．6π
【答案】A
【分析】連接OC，易證得四邊形CDOE是矩形，則△DOE≌△CEO，得到∠COB＝∠DEO＝∠CDE＝36°，圖中陰影部分的面積＝扇形OBC的面積，利用扇形的面積公式即可求得．
【解析】連接OC，
∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴四邊形CDOE是矩形，
∴CD∥OE，
∴∠DEO＝∠CDE＝36°，
由矩形CDOE易得到△DOE≌△CEO，
∴∠COB＝∠DEO＝36°
∴圖中陰影部分的面積＝扇形OBC的面積，
∵S扇形OBC10π
∴圖中陰影部分的面積＝10π
7．如圖，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA，過(guò)的中點(diǎn)C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D、E，則圖中陰影部分的面積為（　　）
A．π﹣1 B．1 C．π D．
【答案】B
【分析】根據(jù)矩形的判定定理得到四邊形CDOE是矩形，連接OC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OD＝OE，得到矩形CDOE是正方形，根據(jù)扇形和正方形的面積公式即可得到結(jié)論．
【解析】∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠CDO＝∠CEO＝∠AOB＝90°，
∴四邊形CDOE是矩形，
連接OC，
∵點(diǎn)C是的中點(diǎn)，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵OC＝OC，
∴△COD≌△COE（AAS），
∴OD＝OE，
∴矩形CDOE是正方形，
∵OC＝OA，
∴OE＝1，
∴圖中陰影部分的面積1×11
8．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，分別以B，C為圓心，以正方形的邊長(zhǎng)為半徑的圓相交于點(diǎn)P，那么圖中陰影部分的面積為 　 　．
【答案】2﹣．
【解析】連接PB、PC，作PF⊥BC于F，
∵PB＝PC＝BC，
∴△PBC為等邊三角形，
∴∠PBC＝60°，∠PBA＝30°，
∴BF＝PB cos60°＝PB＝1，PF＝PB sin60°＝，
則圖中陰影部分的面積＝[扇形ABP的面積﹣（扇形BPC的面積﹣△BPC的面積）]×2
＝[﹣（﹣×2×）]×2＝2﹣，
故答案為：2﹣．
9．如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，BE是⊙O的直徑，連接BF，延長(zhǎng)BA，過(guò)F作FG⊥BA，垂足為G．
（1）求證：FG是⊙O的切線；
（2）已知FG＝2，求圖中陰影部分的面積．
【答案】見(jiàn)解析
【解析】（1）證明：連接OF，AO，
∵AB＝AF＝EF，
∴＝＝，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠EBF＝30°，
∵OB＝OF，
∴∠OBF＝∠BFO＝30°，
∴∠ABF＝∠OFB，∴AB∥OF，
∵FG⊥BA，∴OF⊥FG，
∴FG是⊙O的切線；
（2）解：∵＝＝，
∴∠AOF＝60°，
∵OA＝OF，
∴△AOF是等邊三角形，
∴∠AFO＝60°，∴∠AFG＝30°，
∵FG＝2，
∴AF＝4，∴AO＝4，
∵AF∥BE，
∴S△ABF＝S△AOF，
∴圖中陰影部分的面積＝＝．
10.如圖，以△ABC的邊BC為直徑作⊙O，點(diǎn)A在⊙O上，點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，AD＝AB，∠D＝30°．
（1）求證：直線AD是⊙O的切線；
（2）若直徑BC＝4，求圖中陰影部分的面積．
【答案】見(jiàn)解析。
【解析】（1）證明：連接OA，則∠COA＝2∠B，
∵AD＝AB，∴∠B＝∠D＝30°，∴∠COA＝60°，
∴∠OAD＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴OA⊥AD，
即CD是⊙O的切線；
（2）解：∵BC＝4，∴OA＝OC＝2，
在Rt△OAD中，OA＝2，∠D＝30°，
∴OD＝2OA＝4，AD＝2，
所以S△OAD＝OA AD＝×2×2＝2，
因?yàn)椤螩OA＝60°，
所以S扇形COA＝＝π，
所以S陰影＝S△OAD﹣S扇形COA＝2﹣．
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