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【名師導航】2025年中考數學一輪復習學案（全國版）
第五章 圓
5.4 圓的證明和計算類重難點綜合問題
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 不含三角函數的問題 ☆☆☆ 數學中考中，有關圓的證明與計算的部分，是每年中考試卷解答題里必考的綜合題，每年考查1道題,分值為8~12分，一般略簡單一些的會設置2小問，綜合一些的會設置3小問。一般會出現證明某線段是切線，或者證明兩個角相等，或者兩條線段相等。然后其他小問讓計算某線段長度，或者求某角的大小等。用到的知識比較綜合，圓周角定律、相似三角形性質、勾股定理、三角函數以及數學思想方法。
考點2 含三角函數的問題 ☆☆
考點3 創新型的問題 ☆☆
☆☆☆ 代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示選考點。
1.判定切線的方法
（1）若切點明確，則“連半徑，證垂直”。常見手法有全等轉化；平行轉化；直徑轉化；中線轉化等；有時可通過計算結合相似、勾股定理證垂直；
（2）若切點不明確，則“作垂直，證半徑”。常見手法有角平分線定理；等腰三角形三線合一，隱藏角平分線；總而言之，要完成兩個層次的證明：
①直線所垂直的是圓的半徑（過圓上一點）；
②直線與半徑的關系是互相垂直。在證明中的關鍵是要處理好弧、弦、角之間的相互轉化,要善于進行由此及彼的聯想、要總結常添加的輔助線.
2.與圓有關的計算
計算圓中的線段長或線段比，通常與勾股定理、垂徑定理與三角形的全等、相似等知識的結合，形式復雜，無規律性。分析時要重點注意觀察已知線段間的關系，選擇定理進行線段或者角度的轉化。特別是要借助圓的相關定理進行弧、弦、角之間的相互轉化，找出所求線段與已知線段的關系，從而化未知為已知，解決問題。其中重要而常見的數學思想方法有：
（1）構造思想：①構建矩形轉化線段；②構建“射影定理”基本圖研究線段（已知任意兩條線段可求其它所有線段長）；③構造垂徑定理模型：弦長一半、弦心距、半徑；④構造勾股定理模型；⑤構造三角函數.
（2）方程思想：設出未知數表示關鍵線段，通過線段之間的關系，特別是發現其中的相等關系建立方程，解決問題。
（3）建模思想：借助基本圖形的結論發現問題中的線段關系，把問題分解為若干基本圖形的問題，通過基本圖形的解題模型快速發現圖形中的基本結論，進而找出隱藏的線段之間的數量關系。
3. 圓中常用輔助線的添法順口溜
半徑與弦長計算，弦心距來中間站。
圓上若有一切線，切點圓心半徑連。
切線長度的計算，勾股定理最方便。
要想證明是切線，半徑垂線仔細辨。
是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。
弧有中點圓心連，垂徑定理要記全。
圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。
弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。
要想作個外接圓，各邊作出中垂線。
還要作個內接圓，內角平分線夢圓
如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。
內外相切的兩圓，經過切點公切線。
若是添上連心線，切點肯定在上面。
要作等角添個圓，證明題目少困難。
輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。
假如圖形較分散，對稱旋轉去實驗。
基本作圖很關鍵，平時掌握要熟練。
解題還要多心眼，經常總結方法顯。
切勿盲目亂添線，方法靈活應多變。
分析綜合方法選，困難再多也會減。
虛心勤學加苦練，成績上升成直線。
考點1. 不含三角函數的問題
【例題1】 （2024甘肅臨夏）如圖，直線與相切于點，為的直徑，過點作于點，延長交直線于點．
（1）求證：平分；
（2）如果，，求的半徑．
【答案】（1）見解析 （2）4
【解析】【分析】（1）連接，根據切線的性質可得出，結合題意可證，即得出，再根據等邊對等角可得出，即得出，即平分；
（2）設的半徑為r，則，．再根據勾股定理可列出關于r的等式，求解即可．
【小問1詳解】
證明：如圖，連接．
∵直線與相切于點，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即平分；
【小問2詳解】
解：設的半徑為r，則，．
在中，，
∴，
解得：，
∴的半徑為4．
【點睛】本題考查切線的性質，等腰三角形的性質，同圓半徑相等，平行線的判定和性質，角平分線的判定，勾股定理等知識．連接常用的輔助線是解題關鍵．
【變式練1】（2024山東濟南一模）如圖，⊙中，直徑與弦相交于點，連接、．
（1）求證：；
（2）連接，若，，求⊙的半徑．
【答案】（1）證明見解析 （2）⊙的半徑為3
【解析】（1）證明：在⊙中，
∵，
∴，
又∵,
∴．
（2）解：∵，
由（1）可知，，
∵直徑，
∴，
∴在中，，，
∴，
∴，
即⊙的半徑為3．
【點睛】本題考查圓的基本知識，相似三角形的判定，以及含角的直角三角形．主要涉及的知識點有同弧所對的圓周角相等；兩個角對應相等的兩個三角形相似；直徑所對的圓周角是直角；直角三角形中角所對的直角邊等于斜邊的一半．
【變式練2】（2024湖北一模）如圖，AB為⊙O的直徑，E為⊙O上一點，點C為的中點，過點C作CD⊥AE，交AE的延長線于點D，延長DC交AB的延長線于點F．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若DE＝1，DC＝2，求⊙O的半徑長．
【答案】（1）證明見解析；（2）2.5．
【解析】（1）證明：連接OC，
∵點C為的中點，
∴，
∴∠EAC＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠OCA，
∴∠EAC＝∠OCA，
∴AE∥OC，
∴∠ADC＝∠OCF，
∵CD⊥AE，
∴∠ADC＝90°，
∴∠OCF＝90°，
即OC⊥DF，
又OC為⊙O的半徑，
∴CD是⊙O的切線；
（2）解：連接CE，BC，
由（1）知CD是⊙O的切線，
∴CD2＝DE AD，
∵DE＝1，DC＝2，
∴AD＝4，
在Rt△ADC中，由勾股定理得，
在Rt△DCE中，由勾股定理得，
∵點C是的中點，
∴，
∴EC＝BC＝，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
由勾股定理得，
∴⊙O的半徑長是2.5．
考點2. 含三角函數的問題
【例題2】（2024山東泰安）如圖，是的直徑，是的切線，點為上任意一點，點為的中點，連接交于點，延長與相交于點，若，，則的長為__________．
【答案】
【解析】【分析】本題主要考查相似三角形的判定和性質、切線的性質、圓周角定理等知識，熟練掌握相關知識是解題關鍵．先證可得從而得到，求得，再運用勾股定理可得，再根據圓周角定理以及角和差可得，最后根據等角對等邊即可解答．
【詳解】∵是的直徑，
∴，
∵是的切線，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵點為的中點，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴．
故答案為：．
【變式練1】（2024湖南一模）如圖，AB為⊙O的直徑，點P在AB的延長線上，PC，PD與⊙O相切，切點分別為C，D．若AB＝10，PC＝12，則sin∠CAD等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】連接OC、OD、CD，CD交PA于E，如圖，
∵PC，PD與⊙O相切，切點分別為C，D，
∴OC⊥CP，PC＝PD，OP平分∠CPD，
∴OP⊥CD，
∴＝，
∴∠COB＝∠DOB，
∵，
∴∠COB＝∠CAD，
∵AB＝10，
∴AO＝OC＝OB＝5，
∵OC＝5，PC＝12，
在Rt△OCP中，
，
∴，
∴．
故選：D．
【變式練2】（2024江蘇徐州一模）如圖，△ABC中，AB＝AC，點D為BC上一點，且AD＝DC，過A，B，D三點作⊙O，AE是⊙O的直徑，連接DE．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若sinC＝，AC＝6，求⊙O的直徑．
【答案】見試題解答內容
【解析】（1）證明：∵AB＝AC，AD＝DC，
∴∠C＝∠B，∠1＝∠C，
∴∠1＝∠B，
又∵∠E＝∠B，
∴∠1＝∠E，
∵AE是⊙O的直徑，
∴∠ADE＝90°，
∴∠E+∠EAD＝90°，
∴∠1+∠EAD＝90°，即∠EAC＝90°，
∴AE⊥AC，
∴AC是⊙O的切線；
（2）解：過點D作DF⊥AC于點F，如圖，
∵DA＝DC，
∴CF＝AC＝3，
在Rt△CDF中，∵sinC＝＝，
設DF＝4x，DC＝5x，
∴CF＝＝3x，
∴3x＝3，解得x＝1，
∴DC＝5，
∴AD＝5，
∵∠ADE＝∠DFC＝90°，∠E＝∠C，
∴△ADE∽△DFC，
∴＝，即＝，解得AE＝，
即⊙O的直徑為．
考點3. 創新型的問題
【例題3】（2024云南省）如圖，是的直徑，點、是上異于、的點．點在外，，延長與的延長線交于點，點在的延長線上，，．點在直徑上，，點是線段的中點．
（1）求的度數；
（2）求證：直線與相切：
（3）看一看，想一想，證一證：
以下與線段、線段、線段有關的三個結論：，，，你認為哪個正確？請說明理由．
【答案】（1） （2）見解析 （3），理由見解析
【解析】【分析】（1）直接利用直徑所對的圓周角是直角，即可得出結果；
（2）證明，得到，根據平角的定義，得到，即可得證；
（3）連接，連接交于點，易得，圓周角定理得到，推出，進而得到，根據三角函數推出，得到三點共線，即可得出結果．
【小問1詳解】
解：∵是的直徑，點是上異于、的點，
∴；
【小問2詳解】
證明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵是半徑，
∴直線與相切；
【小問3詳解】
我認為：正確，理由如下：
連接，連接交于點，如圖，則：，
∴點在線段的中垂線上，
∵，
∴點在線段的中垂線上，
∴，
∴，
∵是的直徑，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵為的中點，
∴，
∵，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴三點共線，
∴．
【點睛】本題考查圓周角定理，切線的判定，相似三角形的判定和性質，解直角三角形，熟練掌握相關知識點，并靈活運用，是解題的關鍵．
【變式練1】（2024廣州一模）發動機的曲柄連桿將直線運動轉化為圓周運動，圖①是發動機的實物剖面圖，圖②是其示意圖．圖②中，點A在直線l上往復運動，推動點B做圓周運動形成，與表示曲柄連桿的兩直桿，點C、D是直線l與的交點；當點A運動到E時，點B到達C；當點A運動到F時，點B到達D．若，，則下列結論正確的是（ ）
A. B.
C. 當與相切時， D. 當時，
【答案】AC
【解析】【分析】如圖，由題意可得：，，，，從而可判斷A，B，如圖，當與相切時，求解，可得，可判斷C；當時，如圖，可得，，，可判斷D；從而可得答案．
【詳解】如圖，由題意可得：
，，，，
∴，故A符合題意；
，故B不符合題意；
如圖，當與相切時，
∴，
∴，
∴，故C符合題意；
當時，如圖，
∴，
∴，，
∴，故D不符合題意；故選AC
【點睛】本題考查的是線段的和差運算，圓的切線的性質，勾股定理的應用，理解題意熟練的利用數形結合的方法解題是關鍵．
【變式練2】（2024福建一模）中國最遲在四千多年前的夏禹時代已有了馬車，而目前考古發現最早的雙輪馬車始見年代為商代晚期(河南安陽殷城)．小明在殷墟游玩時，見到了如圖1的馬車車廂模型，他繪制了如圖2的車輪側面圖．如圖2，當過圓心O的車架的一端A落在地面上時，與的另一個交點為點D，水平地面切于點B．
(1)求證：；
(2)若，求的直徑．
【答案】(1)見解析 (2)5/4m
【解析】（1）證明：如圖所示，連接，
∵，
∴，
∴，
∵水平地面切于點B，
∴，即，
∴，即；
（2）解：設的半徑為，則，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得r=5/4m，
∴的半徑為5/4m．
考點1. 不含三角函數的問題
1.（2024遼寧） 如圖，是的外接圓，是的直徑，點在上，，在的延長線上，．
（1）如圖1，求證：是的切線；
（2）如圖2，若，，求的長．
【答案】（1）見詳解 （2）
【解析】【分析】（1）連接，則，故，由，得到，而，則，由，得，因此，故，則是的切線；
（2）連接，可得，則，故，由，得，那么長為．
【小問1詳解】
證明：連接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵為直徑，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的切線；
小問2詳解】
解：連接，
由（1）得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴長為：．
【點睛】本題考查了圓周角定理，切線的判定，直角三角形的性質，三角形的外角性質，弧長公式等，正確添加輔助線是解決本題的關鍵．
2. （2024深圳）如圖，在中，，為的外接圓，為的切線，為的直徑，連接并延長交于點E．
（1）求證：；
（2）若，，求的半徑．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【小問1詳解】
證明：連接并延長，交于點，連接，
∵，，
∴垂直平分，
∴，，
∵為的切線，
∴，
∵為的直徑，
∴，
∴四邊形為矩形，
∴；
小問2詳解】
由（1）知四邊形為矩形，，，
∴，
∴，
設的半徑為，則：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：；
即：的半徑為．
考點2. 含三角函數的問題
1. （2024福建省）如圖，在中，，以為直徑的交于點，，垂足為的延長線交于點．
（1）求的值；
（2）求證：；
（3）求證：與互相平分．
【答案】（1） （2）證明見解析 （3）證明見解析
【解析】（1）先證得，再在中，．在中，，可得，再證得結果；
（2）過點作，交延長線于點，先證明，可得
，再證得，再由相似三角形的判定可得結論；
（3）如圖，連接，由（2），可得，從而得出，從而得出， 得出，再上平行線判定得出，再證得，從而得出四邊形是平行四邊形，最后由平行四邊形的性質可得結果．
【小問1詳解】
，且是的直徑，
．
，
在中，．
，
中，．
，
；
小問2詳解】
過點作，交延長線于點．
．
，
，
．
，
，
，
，，
．
，
，
，
，
．
【小問3詳解】
如圖，連接．
是的直徑，
．
，
．
由（2）知，，
，
，
．
．
，
．
由（2）知，，
．
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
與互相平分．
【點睛】本小題考查等腰三角形及直角三角形的判定與性質、銳角三角函數、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、平行線的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、圓的基本性質等基礎知識，考查推理能力、幾何直觀、運算能力、創新意識等，考查化歸與轉化思想等．
2. （2024甘肅威武）如圖，是的直徑，，點E在的延長線上，且．
（1）求證：是的切線；
（2）當的半徑為2，時，求的值．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】【分析】（1）連接，，證明垂直平分，得出，證明，得出，說明，即可證明結論；
（2）根據是的直徑，得出，根據勾股定理求出，根據三角函數定義求出，證明，得出即可．
【小問1詳解】
證明：連接，，如圖所示：
∵，
∴，
∵，
∴點O、B在的垂直平分線上，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的直徑，
∴是的切線；
【小問2詳解】
解：∵的半徑為2，
∴，
∵是的直徑，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查了切線的判定，勾股定理，求一個角的正切值，圓周角定理，垂直平分線的判定，平行線的判定和性質，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握相關的判定和性質．
3. （2024廣西）如圖，已知是的外接圓，．點D，E分別是，的中點，連接并延長至點F，使，連接．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）求證：與相切；
（3）若，，求的半徑．
【答案】（1）證明見解析 （2）證明見解析 （3）
【解析】【分析】（1）先證明，，再證明，可得，，再進一步解答即可；
（2）如圖，連接，證明，可得過圓心，結合，證明，從而可得結論；
（3）如圖，過作于，連接，設，則，可得，求解，可得，求解，設半徑，可得，再利用勾股定理求解即可．
【小問1詳解】
證明：∵點D，E分別是，的中點，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∴四邊形是平行四邊形；
【小問2詳解】
證明：如圖，連接，
∵，為中點，
∴，
∴過圓心，
∵，
∴，
而為半徑，
∴為的切線；
【小問3詳解】
解：如圖，過作于，連接，
∵，
∴，
設，則，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
設半徑為，
∴，
∴，
解得：，
∴的半徑為．
【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，勾股定理的應用，平行四邊形的判定與性質，切線的判定，垂徑定理的應用，做出合適的輔助線是解本題的關鍵．
考點3. 創新型的問題
1. （2024廣州）如圖，在菱形中，．點在射線上運動（不與點，點重合），關于的軸對稱圖形為．
（1）當時，試判斷線段和線段的數量和位置關系，并說明理由；
（2）若，為的外接圓，設的半徑為．
①求的取值范圍；
②連接，直線能否與相切？如果能，求的長度；如果不能，請說明理由．
【答案】（1），
（2）①且；②能，
【解析】【分析】（1）由菱形的性質可得，，再結合軸對稱的性質可得結論；
（2）①如圖，設的外接圓為，連接交于．連接，，，，證明為等邊三角形，共圓，，在上，，過作于，當時，最小，則最小，再進一步可得答案；②如圖，以為圓心，為半徑畫圓，可得在上，延長與交于，連接，證明，可得，為等邊三角形，證明，可得：，，過作于，再進一步可得答案．
【小問1詳解】解：，；理由如下：
∵在菱形中，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
由對折可得：，
∴；
【小問2詳解】解：①如圖，設的外接圓為，連接交于．連接，，，，
∵四邊形為菱形，，
∴， ，，
∴為等邊三角形，
∴，
∴共圓，，上，
∵，
∴，
過作于，
∴，，
∴，
當時，最小，則最小，
∵，，
∴，
∴；
點E不與B、C重合，
，且，
∴的取值范圍為且；
②能為的切線，理由如下：
如圖，以為圓心，為半徑畫圓，
∵，
∴在上，
延長與交于，連接，
同理可得為等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∵為的切線，
∴，
∴，
∵，
∴為等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
由對折可得：，，
過作于，
∴設，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴．
【點睛】本題考查的是軸對稱的性質，菱形的性質，等邊三角形的判定與性質，圓周角定理的應用，銳角三角函數的應用，勾股定理的應用，切線的性質，本題難度很大，作出合適的輔助線是解本題的關鍵．
考點1. 不含三角函數的問題
1．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點E，點D是BC邊上的中點，連接DE．
（1）求證：DE與⊙O相切；
（2）連接OC交DE于點F，若⊙O的半徑為3，DE＝4，求的值．
【答案】見解析
【解析】（1）連接OE、BE，如圖所示：
∵∠ABC＝90°，
∴∠A+∠ACB＝90°，
∵AB是直徑，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∵D是BC的中點，
∴DE＝BC＝CD，
∴∠DEC＝∠ACB，
∵OA＝OE，
∴∠A＝∠AEO，
∴∠AEO+∠DEC＝90°，
∴∠OED＝90°，∴OE⊥DE，
∵OE為⊙O的半徑，
∴DE與⊙O相切；
（2）連接OD，如圖所示：
∵DE＝BC＝4，∴BC＝8，
∵AB＝2×3＝6，
∴AC＝，
∵∠ABC＝90°，
∴BC與⊙O相切，根據切割線定理得：BC2＝CE AC，
∴CE＝，
∵O是AB的中點，D是BC的中點，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥AC，OD＝AC＝5，
∴△ODF∽△CEF，
∴．
2. 如圖，在中，，以為直徑的⊙交于點，交線段的延長線于點，連接．
（1）求證：；
（2）若，，求．
【答案】（1）證明見詳解 （2）
【解析】【分析】（1）連接AD，由AB為直徑可得AD⊥BC，再根據等腰三角形的三線合一性質即可證明結論．
（2）由（1）可得CD=4，BC=8，根據即可求得，進而利用勾股定理即可求得AC，由為⊙的直徑，得∠BEC=∠ADC=90°，∠C為公共角，可得，根據三角形相似的性質即可求得CE，進而可求解．
【詳解】(1)證明：連接AD，如圖所示：
∵為⊙的直徑，
∴AD⊥BC，
又∵，
∴三角形ABC為等腰三角形，
∴AD為BC的垂直平分線，
∴BD=CD．
(2)由（1）可得BD=CD=4，
，BC=2BD=8，
，
在Rt△ACD中，
，
又∵為⊙的直徑，
∴∠BEC=∠ADC=90°，且∠C=∠C，
∴，
，即，
，
．
【點睛】本題考查了三角形與圓的綜合問題，考查了等腰三角形的判定及性質、圓周角定理、相似三角形的判定及性質、銳角三角函數及勾股定理的應用，熟練掌握等腰三角形三線合一的性質及三角形相似對應邊成比例的性質是解題的關鍵．
3. 如圖，在中，，以為直徑作⊙，交邊于點，在上取一點，使，連接，作射線交邊于點．
（1）求證：；
（2）若，，求及的長．
【答案】（1）見解析 （2）BF=5，
【解析】【分析】（1）根據中，，得到∠A+∠B=∠ACF+∠BCF=90°，根據，得到∠B=∠BCF，推出∠A=∠ACF；
（2）根據∠B=∠BCF，∠A=∠ACF，得到AF=CF，BF=CF，推出AF=BF= AB，根據，AC=8，得到AB=10，得到BF=5，根據，得到，連接CD，根據BC是⊙O的直徑，得到∠BDC=90°，推出∠B+∠BCD=90°，推出∠A=∠BCD，得到，推出，得到，根據∠FDE=∠BCE，∠B=∠BCE，得到∠FDE=∠B，推出DE∥BC，得到△FDE∽△FBC，推出，得到．
【詳解】(1)解：∵中，，
∴∠A+∠B=∠ACF+∠BCF=90°，
∵，
∴∠B=∠BCF，
∴∠A=∠ACF；
(2)∵∠B=∠BCF，∠A=∠ACF
∴AF=CF，BF=CF，
∴AF=BF= AB，
∵，AC=8，
∴AB=10，
∴BF=5，
∵，
∴，
連接CD，∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BDC=90°，
∴∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，
∴，
∴，
∴，
∵∠FDE=∠BCE，∠B=∠BCE，
∴∠FDE=∠B，∴DE∥BC，
∴△FDE∽△FBC，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查了圓周角，解直角三角形，勾股定理，相似三角形，解決問題的關鍵是熟練掌握圓周角定理及推論，運用勾股定理和正弦余弦解直角三角形，相似三角形的判定和性質．
考點2. 含三角函數的問題
1．如圖，△ABC中，以AB為直徑的⊙O交BC于點E，AE平分∠BAC，過點E作ED⊥AC于點D，延長DE交AB的延長線于點P．
（1）求證：PE是⊙O的切線；
（2）若，BP＝4，求CD的長．
【答案】（1）證明過程見解答；（2）CD的長為．
【解析】（1）證明：如圖，連接OE，
∵AE平分∠BAC，
∴∠OAE＝∠DAE，
∵OE＝OA，
∴∠OEA＝∠OAE，
∴∠DAE＝∠OEA，
∴OE∥AD，
∵ED⊥AC，
∴OE⊥PD，
∵OE是⊙O的半徑，
∴PE是⊙O的切線；
（2）解：∵＝，BP＝4，OB＝OE，
∴＝，
∴OE＝2，
∴AB＝2OE＝4，
∴AP＝AB+BP＝8，
在Rt△APD中，sin∠P＝＝，
∴AD＝AP＝，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AEB＝90°＝∠AEC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵AE＝AE，
∴△AEB≌△AEC（ASA），
∴AB＝AC＝4，
∴CD＝AC﹣AD＝4﹣＝，
∴CD的長為．
考點3. 創新型的問題
1. 為弘揚民族傳統體育文化，某校將傳統游戲“滾鐵環”列入了校運動會的比賽項目．滾鐵環器材由鐵環和推桿組成．小明對滾鐵環的啟動階段進行了研究，如圖，滾鐵環時，鐵環與水平地面相切于點C，推桿與鉛垂線的夾角為點O，A，B，C，D在同一平面內．當推桿與鐵環相切于點B時，手上的力量通過切點B傳遞到鐵環上，會有較好的啟動效果．

(1)求證：．
(2)實踐中發現，切點B只有在鐵環上一定區域內時，才能保證鐵環平穩啟動．圖中點B是該區域內最低位置，此時點A距地面的距離最小，測得．已知鐵環的半徑為，推桿的長為，求此時的長．
【答案】(1)證明見詳解；
(2)；
【分析】本題考查解直角三角形，直角三角形兩銳角互余，切線的性質：
（1）過B作，根據切線得到，結合得到，再根據直角三角形兩銳角互余求解即可得到答案；
（2）根據（1）及得到，結合三角函數求出，即可得到答案；
【詳解】（1）解：過B作，
由題意可得，
，
∵鐵環與水平地面相切于點C，
∴，
∵，
∴，
∵推桿與鐵環相切于點B，
，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵的半徑為，推桿的長為，
∴，，
∴，
∴．
2. 定義：對角線互相垂直的圓內接四邊形叫做圓的“奇妙四邊形”．
(1)若是圓的“奇妙四邊形”，則是_________（填序號）：
①矩形；②菱形；③正方形
(2)如圖1，已知的半徑為R，四邊形是的“奇妙四邊形”．求證：；
(3)如圖2，四邊形是“奇妙四邊形”，P為圓內一點，，，，且．當的長度最小時，求的值．
【答案】(1)③ (2)見解析 (3)
【詳解】（1）解：若平行四邊形是“奇妙四邊形”，則四邊形是正方形．
理由∶
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∵四邊形是圓內接四邊形，
∴，
∴，
∴平行四邊形是矩形，
∵四邊形是“奇妙四邊形”，∴，∴矩形是正方形，
故答案為∶③；
（2）證明∶過點B作直徑，分別連接，，，，
∵是的直徑，
∴，
∴，
∵四邊形是“奇妙四邊形”，
∴，∴，
又，
∴，
∵，，
∴，∴，
∵，∴
∴；
（3）解：連接交于E，設的長度為a，，
∵，，
∴，
∴，
∵
∴，，
∵，
∴，
∵
∴，
整理得，
∴∴，
又，∴，∴a有最小值2，
即的長度最小值為2，
∴，
解得∶，
∴，∴，∴，∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
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【名師導航】2025年中考數學一輪復習學案（全國版）
第五章 圓
5.4 圓的證明和計算類重難點綜合問題
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 不含三角函數的問題 ☆☆☆ 數學中考中，有關圓的證明與計算的部分，是每年中考試卷解答題里必考的綜合題，每年考查1道題,分值為8~12分，一般略簡單一些的會設置2小問，綜合一些的會設置3小問。一般會出現證明某線段是切線，或者證明兩個角相等，或者兩條線段相等。然后其他小問讓計算某線段長度，或者求某角的大小等。用到的知識比較綜合，圓周角定律、相似三角形性質、勾股定理、三角函數以及數學思想方法。
考點2 含三角函數的問題 ☆☆
考點3 創新型的問題 ☆☆
☆☆☆ 代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示選考點。
1.判定切線的方法
（1）若切點明確，則“連_____，證______”。常見手法有全等轉化；平行轉化；直徑轉化；中線轉化等；有時可通過計算結合相似、勾股定理證垂直；
（2）若切點不明確，則“作_____，證_______”。常見手法有角平分線定理；等腰三角形三線合一，隱藏角平分線；總而言之，要完成兩個層次的證明：
①直線所垂直的是圓的半徑（過圓上一點）；
②直線與半徑的關系是互相垂直。在證明中的關鍵是要處理好弧、弦、角之間的相互轉化,要善于進行由此及彼的聯想、要總結常添加的輔助線.
2.與圓有關的計算
計算圓中的線段長或線段比，通常與勾股定理、垂徑定理與三角形的全等、相似等知識的結合，形式復雜，無規律性。分析時要重點注意觀察已知線段間的關系，選擇定理進行線段或者角度的轉化。特別是要借助圓的相關定理進行弧、弦、角之間的相互轉化，找出所求線段與已知線段的關系，從而化未知為已知，解決問題。其中重要而常見的數學思想方法有：
（1）______思想：①構建矩形轉化線段；②構建“射影定理”基本圖研究線段（已知任意兩條線段可求其它所有線段長）；③構造垂徑定理模型：弦長一半、弦心距、半徑；④構造勾股定理模型；⑤構造三角函數.
（2）______思想：設出未知數表示關鍵線段，通過線段之間的關系，特別是發現其中的相等關系建立方程，解決問題。
（3）______思想：借助基本圖形的結論發現問題中的線段關系，把問題分解為若干基本圖形的問題，通過基本圖形的解題模型快速發現圖形中的基本結論，進而找出隱藏的線段之間的數量關系。
3. 圓中常用輔助線的添法順口溜
半徑與弦長計算，______來中間站。
圓上若有一切線，切點圓心_____連。
切線長度的計算，_____定理最方便。
要想證明是切線，____垂線仔細辨。
是直徑，成半圓，想成___角徑連弦。
弧有中點圓心連，____定理要記全。
圓周角邊兩條弦，____和弦端點連。
弦切角邊切線弦，____對角等找完。
要想作個外接圓，各邊作出____線。
還要作個內接圓，___角平分線夢圓
如果遇到相交圓，不要忘作____弦。
內外相切的兩圓，經過___點公切線。
若是添上連心線，___點肯定在上面。
要作等角添個圓，證明題目少困難。
輔助線，是___線，畫圖注意勿改變。
假如圖形較分散，____旋轉去實驗。
基本作圖很關鍵，平時掌握要熟練。
解題還要多心眼，經常總結方法顯。
切勿盲目亂添線，方法靈活應多變。
分析綜合方法選，困難再多也會減。
虛心勤學加苦練，成績上升成直線。
考點1. 不含三角函數的問題
【例題1】 （2024甘肅臨夏）如圖，直線與相切于點，為的直徑，過點作于點，延長交直線于點．
（1）求證：平分；
（2）如果，，求的半徑．
【變式練1】（2024山東濟南一模）如圖，⊙中，直徑與弦相交于點，連接、．
（1）求證：；
（2）連接，若，，求⊙的半徑．
【變式練2】（2024湖北一模）如圖，AB為⊙O的直徑，E為⊙O上一點，點C為的中點，過點C作CD⊥AE，交AE的延長線于點D，延長DC交AB的延長線于點F．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若DE＝1，DC＝2，求⊙O的半徑長．
考點2. 含三角函數的問題
【例題2】（2024山東泰安）如圖，是的直徑，是的切線，點為上任意一點，點為的中點，連接交于點，延長與相交于點，若，，則的長為__________．
【變式練1】（2024湖南一模）如圖，AB為⊙O的直徑，點P在AB的延長線上，PC，PD與⊙O相切，切點分別為C，D．若AB＝10，PC＝12，則sin∠CAD等于（　　）
A． B． C． D．
【變式練2】（2024江蘇徐州一模）如圖，△ABC中，AB＝AC，點D為BC上一點，且AD＝DC，過A，B，D三點作⊙O，AE是⊙O的直徑，連接DE．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若sinC＝，AC＝6，求⊙O的直徑．
考點3. 創新型的問題
【例題3】（2024云南省）如圖，是的直徑，點、是上異于、的點．點在外，，延長與的延長線交于點，點在的延長線上，，．點在直徑上，，點是線段的中點．
（1）求的度數；
（2）求證：直線與相切：
（3）看一看，想一想，證一證：
以下與線段、線段、線段有關的三個結論：，，，你認為哪個正確？請說明理由．
【變式練1】（2024廣州一模）發動機的曲柄連桿將直線運動轉化為圓周運動，圖①是發動機的實物剖面圖，圖②是其示意圖．圖②中，點A在直線l上往復運動，推動點B做圓周運動形成，與表示曲柄連桿的兩直桿，點C、D是直線l與的交點；當點A運動到E時，點B到達C；當點A運動到F時，點B到達D．若，，則下列結論正確的是（ ）
A. B.
C. 當與相切時， D. 當時，
【變式練2】（2024福建一模）中國最遲在四千多年前的夏禹時代已有了馬車，而目前考古發現最早的雙輪馬車始見年代為商代晚期(河南安陽殷城)．小明在殷墟游玩時，見到了如圖1的馬車車廂模型，他繪制了如圖2的車輪側面圖．如圖2，當過圓心O的車架的一端A落在地面上時，與的另一個交點為點D，水平地面切于點B．
(1)求證：；
(2)若，求的直徑．
考點1. 不含三角函數的問題
1.（2024遼寧） 如圖，是的外接圓，是的直徑，點在上，，在的延長線上，．
（1）如圖1，求證：是的切線；
（2）如圖2，若，，求的長．
2. （2024深圳）如圖，在中，，為的外接圓，為的切線，為的直徑，連接并延長交于點E．
（1）求證：；
（2）若，，求的半徑．
考點2. 含三角函數的問題
1. （2024福建省）如圖，在中，，以為直徑的交于點，，垂足為的延長線交于點．
（1）求的值；
（2）求證：；
（3）求證：與互相平分．
2. （2024甘肅威武）如圖，是的直徑，，點E在的延長線上，且．
（1）求證：是的切線；
（2）當的半徑為2，時，求的值．
3. （2024廣西）如圖，已知是的外接圓，．點D，E分別是，的中點，連接并延長至點F，使，連接．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）求證：與相切；
（3）若，，求的半徑．
考點3. 創新型的問題
1. （2024廣州）如圖，在菱形中，．點在射線上運動（不與點，點重合），關于的軸對稱圖形為．
（1）當時，試判斷線段和線段的數量和位置關系，并說明理由；
（2）若，為的外接圓，設的半徑為．
①求的取值范圍；
②連接，直線能否與相切？如果能，求的長度；如果不能，請說明理由．
考點1. 不含三角函數的問題
1．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點E，點D是BC邊上的中點，連接DE．
（1）求證：DE與⊙O相切；
（2）連接OC交DE于點F，若⊙O的半徑為3，DE＝4，求的值．
2. 如圖，在中，，以為直徑的⊙交于點，交線段的延長線于點，連接．
（1）求證：；
（2）若，，求．
3. 如圖，在中，，以為直徑作⊙，交邊于點，在上取一點，使，連接，作射線交邊于點．
（1）求證：；
（2）若，，求及的長．
考點2. 含三角函數的問題
1．如圖，△ABC中，以AB為直徑的⊙O交BC于點E，AE平分∠BAC，過點E作ED⊥AC于點D，延長DE交AB的延長線于點P．
（1）求證：PE是⊙O的切線；
（2）若，BP＝4，求CD的長．
考點3. 創新型的問題
1. 為弘揚民族傳統體育文化，某校將傳統游戲“滾鐵環”列入了校運動會的比賽項目．滾鐵環器材由鐵環和推桿組成．小明對滾鐵環的啟動階段進行了研究，如圖，滾鐵環時，鐵環與水平地面相切于點C，推桿與鉛垂線的夾角為點O，A，B，C，D在同一平面內．當推桿與鐵環相切于點B時，手上的力量通過切點B傳遞到鐵環上，會有較好的啟動效果．

(1)求證：．
(2)實踐中發現，切點B只有在鐵環上一定區域內時，才能保證鐵環平穩啟動．圖中點B是該區域內最低位置，此時點A距地面的距離最小，測得．已知鐵環的半徑為，推桿的長為，求此時的長．
2. 定義：對角線互相垂直的圓內接四邊形叫做圓的“奇妙四邊形”．
(1)若是圓的“奇妙四邊形”，則是_________（填序號）：
①矩形；②菱形；③正方形
(2)如圖1，已知的半徑為R，四邊形是的“奇妙四邊形”．求證：；
(3)如圖2，四邊形是“奇妙四邊形”，P為圓內一點，，，，且．當的長度最小時，求的值．
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