資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
【名師導航】2025年中考數學一輪復習學案（全國版）
第六章 圖形的變化
6.1 尺規作圖
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 基本尺規作圖及相應判斷 ☆☆ 幾何作圖題分尺規作圖和無刻度作圖，是全國中考的熱點內容，更是全國中考的必考內容。每年都有一些考生因為知識殘缺、基礎不牢、技能不熟、答欠規范等原因導致失分。 從考點頻率看，尺規作圖是幾何作圖的基礎，也是高頻考點、必考點，所以必須熟練尺規作圖，而無刻度作圖是近幾年的新考法，有幾個省市著重考查此類題型。從題型角度看，以解答題為主，分值8分左右，著實不少！但選擇題、填空題考查幾何作圖題也不少。
考點2 無刻度直尺作圖 ☆
☆☆☆ 代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示中頻考點。
考點1. 基本尺規作圖及相應判斷
1. 由作角平分線過程求解。這類作圖主要考查了_______的性質定理和尺規作圖，勾股定理、菱形判定等知識。
2. 由作垂直平分線過程求解。這類作圖主要考查了_______的作法和性質，等腰三角形的性質和三角形內角和定理，掌根據垂直平分線的性質等。
考點2. 無刻度直尺作圖
1. 網格中有一線的無刻度作圖。這類作圖主要考查作圖-對稱變換，等腰三角形的性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是理解題意，學會利用_______的思想解決問題。
2. 網格中有一三角形的無刻度作圖。 這類作圖主要考查格點作圖，平行四邊形的判定及性質，勾股定理，全等三角形、相似三角形的判定及性質，熟練掌握相關_____的性質是解決問題的關鍵。
3. 網格中有四邊形的無刻度作圖。 這類作圖主要考查了_____作圖、位似圖形、勾股定理、平行四邊形的性質等知識，熟練掌握尺規作圖的常見作法是解題關鍵。
4. 特殊圖形中的無刻度作圖。 這類作圖主要考查了作圖—復雜作圖，解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖_____成基本作圖，逐步操作，也考查了全等三角形的判定與性質和線段垂直平分線的性質等。
5. 平行四邊形中的無刻度作圖。 這類作圖主要考查作圖-復雜作圖、平行四邊形的判定與性質，熟練掌握______的判定與性質是解答本題的關。
6. 矩形、菱形、正方形中的無刻度作圖。這類作圖主要考查了復雜作圖，掌握____________的性質是解題的關鍵。
【提示】幾何作圖題分尺規作圖和無刻度作圖，是全國中考的熱點內容，更是全國中考的必考內容。每年都有一些考生因為知識殘缺、基礎不牢、技能不熟、答欠規范等原因導致失分。
1．從考點頻率看，尺規作圖是幾何作圖的基礎，也是高頻考點、必考點，所以必須熟練尺規作圖，而無刻度作圖是近幾年的新考法，有幾個省市著重考查此類題型。
2．從題型角度看，以解答題形式出現的情況成為常態，分值8分左右。
考點1. 基本尺規作圖及相應判斷
【例題1】（2024深圳）在如圖的三個圖形中，根據尺規作圖的痕跡，能判斷射線平分的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. 只有①
【變式練1】（2024長春一模）如圖，在中，根據尺規作圖痕跡，下列說法不一定正確
是（ ）
A. B.
C. D.
【變式練2】（2024江蘇連云港一模）如圖，在中，．利用尺規在、上分別截取、，使；分別以、為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在內交于點；作射線交于點．若，則的長為_________．
【變式練3】（2024山東煙臺一模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC＝45°．
（1）請用尺規作出⊙O的切線AD（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在（1）的條件下，若AB與切線AD所夾的銳角為75°，⊙O的半徑為2，求BC的長．
考點2. 無刻度直尺作圖
【例題2】（2024武漢市）如圖是由小正方形組成的網格，每個小正方形的頂點叫做格點．三個頂點都是格點．僅用無刻度的直尺在給定網格中完成四個畫圖任務，每個任務的畫線不得超過三條．
（1）在圖（1）中，畫射線交于點D，使平分的面積；
（2）在（1）的基礎上，在射線上畫點E，使；
（3）在圖（2）中，先畫點F，使點A繞點F順時針旋轉到點C，再畫射線交于點G；
（4）在（3）基礎上，將線段繞點G旋轉，畫對應線段（點A與點M對應，點B與點N對應）．
【變式練1】（2024湖南長沙一模）如圖是的正方形網格，已知格點△ABC（頂點在小正方形頂點處的三角形稱為格點三角形），請僅用無刻度直尺完成下列作圖（要求保留作圖痕跡，不要求寫作法）．
(1)圖1中，在邊上找一點，作線段，使得；
(2)圖2中，在邊上找一點，作線段，使得．
【變式練2】（2024廣州一模）如圖是由小正方形組成的網格，四邊形的頂點都在格點上，僅用無刻度的直尺在所給定的網格中按要求完成下列畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結果用實線表示．
(1)在圖1中，先以點為位似中心，將四邊形縮小為原來的，畫出縮小后的四邊形，再在上畫點，使得平分四邊形的周長；
(2)在圖2中，先在上畫點，使得，再分別在，上畫點，，使得四邊形是平行四邊形．
【變式練3】（2024深圳一模）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，E為AD的中點，僅用無刻度的直尺作圖：

(1)在上取點M，使四邊形為平行四邊形；
(2)在的延長線上取一點F，使四邊形為平行四邊形．
考點1. 基本尺規作圖及相應判斷
1. （2024河北省）觀察圖中尺規作圖的痕跡，可得線段一定是的（ ）
A. 角平分線 B. 高線 C. 中位線 D. 中線
2. （2024四川成都市）如圖，在中，按以下步驟作圖：①以點為圓心，以適當長為半徑作弧，分別交，于點，；②分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內交于點；③作射線，交于點，交延長線于點．若，，下列結論錯誤的是（ ）
A. B.
C. D.
3. （2024武漢市）小美同學按如下步驟作四邊形：①畫；②以點為圓心，個單位長為半徑畫弧，分別交，于點，；③分別以點，為圓心，個單位長為半徑畫弧，兩弧交于點；④連接，，．若，則的大小是（ ）
A. B. C. D.
4. （2024湖南省）如圖，在銳角三角形中，是邊上的高，在，上分別截取線段，，使；分別以點E，F為圓心，大于的長為半徑畫弧，在內，兩弧交于點P，作射線，交于點M，過點M作于點N．若，，則________．
5. （2024黑龍江齊齊哈爾）如圖，在平面直角坐標系中，以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交x軸正半軸于點M，交y軸正半軸于點N，再分別以點M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在第一象限交于點H，畫射線，若，則______．
6. （2024貴州省）如圖，在中，以點A為圓心，線段的長為半徑畫弧，交于點D，連接．若，則的長為______．
7. （2024河南省）如圖，在中，是斜邊上的中線，交的延長線于點E．
（1）請用無刻度的直尺和圓規作，使，且射線交于點F（保留作圖痕跡，不寫作法）．
（2）證明（1）中得到的四邊形是菱形
8. （2024四川達州）如圖，線段、相交于點．且，于點．
（1）尺規作圖：過點作的垂線，垂足為點、連接、；（不寫作法，保留作圖痕跡，并標明相應的字母）
（2）若，請判斷四邊形的形狀，并說明理由．（若前問未完成，可畫草圖完成此問）
9. （2024廣西）如圖，在中，，．
（1）尺規作圖：作線段的垂直平分線l，分別交，于點D，E：（要求：保留作圖痕跡，不寫作法，標明字母）
（2）在（1）所作的圖中，連接，若，求的長．
10. （2024廣州） 如圖，中，．
（1）尺規作圖：作邊上的中線（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在（1）所作的圖中，將中線繞點逆時針旋轉得到，連接，．求證：四邊形是矩形．
11. （2024福建省）如圖，已知直線．
（1）在所在的平面內求作直線，使得，且與間的距離恰好等于與間的距離；（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）在（1）的條件下，若與間的距離為2，點分別在上，且為等腰直角三角形，求的面積．
12. （2024甘肅臨夏）根據背景素材，探索解決問題．
平面直角坐標系中畫一個邊長為2的正六邊形
背景素材 六等分圓原理，也稱為圓周六等分問題，是一個古老而經典的幾何問題，旨在解決如何使用直尺和圓規將一個圓分成六等份的問題．這個問題由歐幾里得在其名著《幾何原本》中詳細闡述．
已知條件 點與坐標原點重合，點在軸正半軸上且坐標為
操作步驟 ①分別以點，為圓心，長為半徑作弧，兩弧交于點； ②以點為圓心，長為半徑作圓； ③以的長為半徑，在上順次截取； ④順次連接，，，，，得到正六邊形．
問題解決
任務一 根據以上信息，請你用不帶刻度的直尺和圓規，在圖中完成這道作圖題（保留作圖痕跡，不寫作法）
任務二 將正六邊形繞點順時針旋轉，直接寫出此時點所在位置的坐標：______．
13. （2024甘肅威武）馬家窯文化以發達的彩陶著稱于世，其陶質堅固，器表細膩，紅、黑、白彩共用，彩繪線條流暢細致，圖案繁縟多變，形成了絢麗典雅的藝術風格，創造了一大批令人驚嘆的彩陶藝術精品，體現了古代勞動人民的智慧．如圖1的彩陶紋樣呈現的是三等分圓周，古人用等邊三角形三點定位的方法確定圓周的三等分點，這種方法和下面三等分圓周的方法相通．如圖2，已知和圓上一點M．作法如下：
①以點M為圓心，長為半徑，作弧交于A，B兩點；
②延長交于點C；
即點A，B，C將的圓周三等分．
（1）請你依據以上步驟，用不帶刻度的直尺和圓規在圖2中將的圓周三等分（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）根據（1）畫出的圖形，連接，，，若的半徑為，則的周長為______．
考點2. 無刻度直尺作圖
1. （2024天津市）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網格中，點均在格點上．
（1）線段的長為______；
（2）點在水平網格線上，過點作圓，經過圓與水平網格線的交點作切線，分別與的延長線相交于點中，點在邊上，點在邊上，點在邊上．請用無刻度的直尺，在如圖所示的網格中，畫出點，使的周長最短，并簡要說明點的位置是如何找到的（不要求證明）______．
2. （2024吉林省）圖①、圖②均是的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點．點A，B，C，D，E，O均在格點上．圖①中已畫出四邊形，圖②中已畫出以為半徑的，只用無刻度的直尺，在給定的網格中按要求畫圖．
（1）在圖①中，面出四邊形的一條對稱軸．
（2）在圖②中，畫出經過點E的的切線．
3. （2024江西省）如圖，為菱形的對角線，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）
（1）如圖，過點作的垂線；
（2）如圖，點為線段的中點，過點作的平行線．
考點1. 基本尺規作圖及相應判斷
1.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，由圖中的尺規作圖得到的射線與AC交于點D，則以下推斷錯誤的是（ ）
A. B. C. D.
2．（2021湖北黃石）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，按以下步驟作圖：①以B為圓心，任意長為半徑作弧，分別交BA、BC于M、N兩點；②分別以M、N為圓心，以大于MN的長為半徑作弧，兩弧相交于點P；③作射線BP，交邊AC于D點．若AB＝10，BC＝6，則線段CD的長為（　　）
A．3 B． C． D．
3. 如圖，已知直線AB和AB上的一點C，過點C作直線AB的垂線，步驟如下：
第一步：以點C為圓心，以任意長為半徑作弧，交直線AB于點D和點E；
第二步：分別以點D和點E為圓心，以為半徑作弧，兩弧交于點F；
第三步：作直線CF，直線CF即為所求．
下列關于的說法正確的是（ ）
A. ≥ B. ≤ C. D.
4．如圖，在△ABC中，以A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AB、AC于點M、N；再分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P；連結AP并延長交BC于點D．則下列說法正確的是（　　）
A．AD+BD＜AB B．AD一定經過△ABC的重心
C．∠BAD＝∠CAD D．AD一定經過△ABC的外心
5．如圖，等腰△AOB中，頂角∠AOB＝40°，用尺規按①到④的步驟操作：
①以O為圓心，OA為半徑畫圓；
②在⊙O上任取一點P（不與點A，B重合），連接AP；
③作AB的垂直平分線與⊙O交于M，N；
④作AP的垂直平分線與⊙O交于E，F．
結論Ⅰ：順次連接M，E，N，F四點必能得到矩形；
結論Ⅱ：⊙O上只有唯一的點P，使得S扇形FOM＝S扇形AOB．
對于結論Ⅰ和Ⅱ，下列判斷正確的是（　　）
A．Ⅰ和Ⅱ都對 B．Ⅰ和Ⅱ都不對 C．Ⅰ不對Ⅱ對 D．Ⅰ對Ⅱ不對
6.如圖，線段是半圓O的直徑。分別以點A和點O為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于M，N兩點，作直線，交半圓O于點C，交于點E，連接，，若，則的長是（ ）
A B. 4 C. 6 D.
7．已知線段AB，按如下步驟作圖：①作射線AC，使AC⊥AB；③以點A為圓心，AB長為半徑作弧；④過點E作EP⊥AB于點P，則AP：AB＝（　　）
A．1： B．1：2 C．1： D．1：
8．已知： AOCD的頂點O（0，0），點C在x軸的正半軸上，按以下步驟作圖：
①以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交OA于點M，交OC于點N．
②分別以點M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOC內相交于點E．
③畫射線OE，交AD于點F（2，3），則點A的坐標為（　　）
A．（，3） B．（3﹣，3） C．（﹣，3） D．（2﹣，3）
9. 如圖，在中，，，分別以點A，B為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧分別相交于點M，N，作直線，交于點D，連接，則的度數為_____．
10．如圖，∠MON＝40°，以O為圓心，4為半徑作弧交OM于點A，交ON于點B，分別以點A，B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧在∠MON的內部相交于點C，畫射線OC交于點D，E為OA上一動點，連接BE，DE，則陰影部分周長的最小值為 　 　．
11. 如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，以點B為圓心、BC的長為半徑畫弧交AD于點E，再分別以點C，E為圓心、大于CE的長為半徑畫弧，兩弧交于點F，作射線BF交CD于點G，則CG的長為__________________．
12. 如圖，已知是的一個外角．請用尺規作圖法，求作射線，使．（保留作圖痕跡，不寫作法）
13. 請用直尺、圓規作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．
已知：∠α，直線l及l上兩點A，B．
求作：Rt△ABC，使點C在直線l的上方，且∠ABC＝90°，∠BAC＝∠α．
14. 如圖，BD是菱形ABCD的對角線，∠CBD＝75°，
（1）請用尺規作圖法，作AB的垂直平分線EF，垂足為E，交AD于F；（不要求寫作法，保留作圖痕跡）
（2）在（1）條件下，連接BF，求∠DBF的度數．
15. 如圖，四邊形ABCD是矩形．
（1）用尺規作線段AC的垂直平分線，交AB于點E，交CD于點F（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）若BC＝4，∠BAC＝30°，求BE的長．
16. 如圖，已知P是外一點．用兩種不同的方法過點P作的一條切線．要求：
（1）用直尺和圓規作圖；
（2）保留作圖的痕跡，寫出必要的文字說明．
考點2. 無刻度直尺作圖
1．在如圖所示的網格中，每個小正方形的邊長均為1．
(1)在圖1中作等腰，滿足條件的格點C有______個，請在圖中畫出其中一個．
(2)在圖2中，只用一把無刻度直尺，在線段上求作一點D，使得，并保留作圖痕跡．
2. 如圖，在的正方形網格中，每個小正方形的頂點稱為格點，均在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網格中按下列要求作圖，保留作圖痕跡．
(1)如圖①，是內一點，在上找一點，使；
(2)如圖②，在線段上找到點，連結，使的面積為3；
(3)如圖③，在線段上找到點，連結，使的面積為3．
3. 如圖，在和中，，，與相交于點，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖．（保留作圖痕跡）

(1)如圖1，作線段的垂直平分線；
(2)如圖2，在上分別取點，使得．
1．已知平行四邊形是中心對稱圖形，點是平面上一點，請僅用無刻度直尺畫出點E關于平行四邊形對稱中心的對稱點．
(1)如圖1，點是平行四邊形的上一點；
(2)如圖2，點是平行四邊形外一點．
4. 在矩形中，．圖1中，點在邊上，；圖2中，點在邊上，，點是的中點．請僅用無刻度的直尺按要求畫圖（保留作圖痕跡，不寫作法）．

(1)在圖1的CD邊上作出點F，使四邊形為菱形．
(2)在圖2的CD邊上作出點G，使四邊形為正方形．
5. 只用無刻度的直尺作圖（保留作圖痕跡，不要求寫作法）．

(1)如圖1，已知．點E在OB邊上，其中四邊形是平行四邊形，請你在圖中畫出的平分線．
(2)如圖2．已知E是菱形中邊上的中點，請作出邊上的中點F．
6. 如圖，在正方形中，，請僅用無刻度的直尺畫圖（保留畫圖痕跡，不寫畫法）

(1)在圖①中，畫出的中點M；
(2)在圖②中，畫出的中點N．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
【名師導航】2025年中考數學一輪復習學案（全國版）
第六章 圖形的變化
6.1 尺規作圖
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 基本尺規作圖及相應判斷 ☆☆ 幾何作圖題分尺規作圖和無刻度作圖，是全國中考的熱點內容，更是全國中考的必考內容。每年都有一些考生因為知識殘缺、基礎不牢、技能不熟、答欠規范等原因導致失分。 從考點頻率看，尺規作圖是幾何作圖的基礎，也是高頻考點、必考點，所以必須熟練尺規作圖，而無刻度作圖是近幾年的新考法，有幾個省市著重考查此類題型。從題型角度看，以解答題為主，分值8分左右，著實不少！但選擇題、填空題考查幾何作圖題也不少。
考點2 無刻度直尺作圖 ☆
☆☆☆ 代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示中頻考點。
考點1. 基本尺規作圖及相應判斷
1. 由作角平分線過程求解。這類作圖主要考查了角平分線的性質定理和尺規作圖，勾股定理、菱形判定等知識。
2. 由作垂直平分線過程求解。這類作圖主要考查了垂直平分線的作法和性質，等腰三角形的性質和三角形內角和定理，掌根據垂直平分線的性質等。
考點2. 無刻度直尺作圖
1. 網格中有一線的無刻度作圖。這類作圖主要考查作圖-對稱變換，等腰三角形的性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是理解題意，學會利用數形結合的思想解決問題。
2. 網格中有一三角形的無刻度作圖。 這類作圖主要考查格點作圖，平行四邊形的判定及性質，勾股定理，全等三角形、相似三角形的判定及性質，熟練掌握相關圖形的性質是解決問題的關鍵。
3. 網格中有四邊形的無刻度作圖。 這類作圖主要考查了復雜作圖、位似圖形、勾股定理、平行四邊形的性質等知識，熟練掌握尺規作圖的常見作法是解題關鍵。
4. 特殊圖形中的無刻度作圖。 這類作圖主要考查了作圖—復雜作圖，解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作，也考查了全等三角形的判定與性質和線段垂直平分線的性質等。
5. 平行四邊形中的無刻度作圖。 這類作圖主要考查作圖-復雜作圖、平行四邊形的判定與性質，熟練掌握平行四邊形的判定與性質是解答本題的關。
6. 矩形、菱形、正方形中的無刻度作圖。這類作圖主要考查了復雜作圖，掌握特殊平行四邊形的性質是解題的關鍵。
【提示】幾何作圖題分尺規作圖和無刻度作圖，是全國中考的熱點內容，更是全國中考的必考內容。每年都有一些考生因為知識殘缺、基礎不牢、技能不熟、答欠規范等原因導致失分。
1．從考點頻率看，尺規作圖是幾何作圖的基礎，也是高頻考點、必考點，所以必須熟練尺規作圖，而無刻度作圖是近幾年的新考法，有幾個省市著重考查此類題型。
2．從題型角度看，以解答題形式出現的情況成為常態，分值8分左右。
考點1. 基本尺規作圖及相應判斷
【例題1】（2024深圳）在如圖的三個圖形中，根據尺規作圖的痕跡，能判斷射線平分的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. 只有①
【答案】B
【解析】本題考查了尺規作圖，全等三角形的判定與性質，解決問題的關鍵是理解作法、掌握角平分線的定義．利用基本作圖對三個圖形的作法進行判斷即可．在圖①中，利用基本作圖可判斷平分；在圖③中，利用作法得， 可證明，有，可得，進一步證明，得，繼而可證明，得，得到是的平分線；在圖②中，利用基本作圖得到D點為的中點，則為邊上的中線．
【詳解】在圖①中，利用基本作圖可判斷平分；
在圖③中，利用作法得，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的平分線；
在圖②中，利用基本作圖得到D點為的中點，則為邊上的中線．
則①③可得出射線平分．故選：B．
【變式練1】（2024長春一模）如圖，在中，根據尺規作圖痕跡，下列說法不一定正確
是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根據尺規作圖痕跡，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分線，根據垂直平分線的性質和角平分線的定義，直角三角形兩銳角互余，等邊對等角的性質進行判斷即可．
【詳解】根據尺規作圖痕跡，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分線，
，
，
，
綜上，正確的是A、C、D選項，故選：B．
【點睛】本題考查了垂直平分線和角平分線作圖，垂直平分線的性質，角平分線的定義，直角三角形兩銳角互余，等邊對等角的性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
【變式練2】（2024江蘇連云港一模）如圖，在中，．利用尺規在、上分別截取、，使；分別以、為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在內交于點；作射線交于點．若，則的長為_________．
【答案】
【解析】如圖所示，過點H作HM⊥BC于M，由作圖方法可知，BH平分∠ABC，即可證明∠CBH=∠CHB，得到，從而求出HM，CM的長，進而求出BM的長，即可利用勾股定理求出BH的長．
【詳解】如圖所示，過點H作HM⊥BC于M，
由作圖方法可知，BH平分∠ABC，
∴∠ABH=∠CBH，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴，
∴∠CHB=∠ABH，∠C=180°-∠ABC=30°，
∴∠CBH=∠CHB，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了角平分線的尺規作圖，平行四邊形的性質，含30度角的直角三角形的性質，勾股定理，等腰三角形的性質與判定等等，正確求出CH的長是解題的關鍵．
【變式練3】（2024山東煙臺一模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC＝45°．
（1）請用尺規作出⊙O的切線AD（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在（1）的條件下，若AB與切線AD所夾的銳角為75°，⊙O的半徑為2，求BC的長．
【答案】（1）見解析 （2）2
【解析】【分析】（1）連接OA,過點A作AD⊥AO即可；
（2）連接OB，OC．先證明∠ACB＝75°，再利用三角形內角和定理求出∠CAB，推出∠BOC＝120°，求出CH可得結論．
【詳解】(1)解：如圖，切線AD即為所求；
(2)如圖：連接OB，OC．
∵AD是切線，
∴OA⊥AD，
∴∠OAD＝90°，
∵∠DAB＝75°，
∴∠OAB＝15°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝15°，
∴∠BOA＝150°，
∴∠BCA＝∠AOB＝75°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∵OB＝OC＝2，
∴∠BCO＝∠CBO＝30°，
∵OH⊥BC，
∴CH＝BH＝OC cos30°＝，
∴BC＝2．
【點睛】本題主要考查了作圓的 、三角形的外接圓、切線的判定和性質、解直角三角形等知識點，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．
考點2. 無刻度直尺作圖
【例題2】（2024武漢市）如圖是由小正方形組成的網格，每個小正方形的頂點叫做格點．三個頂點都是格點．僅用無刻度的直尺在給定網格中完成四個畫圖任務，每個任務的畫線不得超過三條．
（1）在圖（1）中，畫射線交于點D，使平分的面積；
（2）在（1）的基礎上，在射線上畫點E，使；
（3）在圖（2）中，先畫點F，使點A繞點F順時針旋轉到點C，再畫射線交于點G；
（4）在（3）基礎上，將線段繞點G旋轉，畫對應線段（點A與點M對應，點B與點N對應）．
【答案】（1）作圖見解析
（2）作圖見解析 （3）作圖見解析
（4）作圖見解析
【解析】【分析】本題考查了網格作圖．熟練掌握全等三角形性質，平行四邊形性質，等腰三角形性質，等腰直角三角形性質，是解題的關鍵．
（1）作矩形，對角線交于點D，做射線，即可；
（2）作,射線于點Q，連接交于點E，即可；
（3）在下方取點F，使，是等腰直角三角形，連接， ，交于點G，即可；
（4）作，交于點M，作，交于點N，連接，即可．
【小問1詳解】
如圖，作線段，使四邊形是矩形，交于點D，做射線，點D即為所求作；
【小問2詳解】
如圖，作,作于點Q，連接交于點E，點E即為作求作；
【小問3詳解】
如圖，在下方取點F，使，連接，連接并延長，交于點G，點F，G即為所求作；
【小問4詳解】
如圖，作，交射線于點M，作，交于點N，連接，線段即為所求作．
【變式練1】（2024湖南長沙一模）如圖是的正方形網格，已知格點△ABC（頂點在小正方形頂點處的三角形稱為格點三角形），請僅用無刻度直尺完成下列作圖（要求保留作圖痕跡，不要求寫作法）．
(1)圖1中，在邊上找一點，作線段，使得；
(2)圖2中，在邊上找一點，作線段，使得．
【答案】(1)見解析(2)見解析
【分析】本題考查作圖—應用與設計作圖、三角形的面積、相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
（1）取線段的中點，連接，則點即為所求．
（2）取格點，，使，且，連接，交于點，連接，則點即為所求．
【詳解】（1）
解：如圖1，取線段的中點，連接，
則得，
則點即為所求；
（2）
解：如圖2，取格點，，使，且，
連接，交于點，連接，
則，
則，
，
，
則點即為所求．
【變式練2】（2024廣州一模）如圖是由小正方形組成的網格，四邊形的頂點都在格點上，僅用無刻度的直尺在所給定的網格中按要求完成下列畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結果用實線表示．
(1)在圖1中，先以點為位似中心，將四邊形縮小為原來的，畫出縮小后的四邊形，再在上畫點，使得平分四邊形的周長；
(2)在圖2中，先在上畫點，使得，再分別在，上畫點，，使得四邊形是平行四邊形．
【答案】(1)見詳解(2)見詳解
【分析】（1）取的中點，然后順次連接即可；根據勾股定理可得，，結合圖形可知，故，取格點，使得，則有，連接，再取點，連接，此時可有，，即四邊形為平行四邊形，則有，易得，，所以，易得，連接，則平分四邊形的周長；
（2）取格點，，，使得，，，連接交于，易證明，所以，結合，可得，即為直角三角形，因為，根據“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，可得；在網格中取點，連接交于點，則，過點作，交為點，即可獲得答案．
【詳解】（1）解：如下圖，四邊形，線段即為所求；
（2）如下圖，，四邊形即為所求．
【變式練3】（2024深圳一模）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，E為AD的中點，僅用無刻度的直尺作圖：

(1)在上取點M，使四邊形為平行四邊形；
(2)在的延長線上取一點F，使四邊形為平行四邊形．
【答案】(1)見詳解 (2)見詳解
【分析】（1）連接，交于點O，連接并延長交于點M，則點M即為所求，因為四邊形為平行四邊形，則，又因為E為的中點，O為的中點，所以，即，所以四邊形為平行四邊形；
（2）連接并延長交的延長線于點F，連接，則點F即為所求，因為四邊形為平行四邊形，則，所以，又因為E為的中點，所以，且，所以，即，所以四邊形為平行四邊形．
【詳解】（1）解：點M即為所求：

（2）解：如圖，點F即為所求：

考點1. 基本尺規作圖及相應判斷
1. （2024河北省）觀察圖中尺規作圖的痕跡，可得線段一定是的（ ）
A. 角平分線 B. 高線 C. 中位線 D. 中線
【答案】B
【解析】本題考查的是三角形的高的定義，作線段的垂線，根據作圖痕跡可得，從而可得答案．
由作圖可得：，
∴線段一定是的高線；故選B
2. （2024四川成都市）如圖，在中，按以下步驟作圖：①以點為圓心，以適當長為半徑作弧，分別交，于點，；②分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內交于點；③作射線，交于點，交延長線于點．若，，下列結論錯誤的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】本題考查角平分線的尺規作圖、平行四邊形的性質、等腰三角形的判定以及相似性質與判定的綜合．先由作圖得到為的角平分，利用平行線證明，從而得到，再利用平行四邊形的性質得到，再證明，分別求出，，則各選項可以判定．
【詳解】由作圖可知，為的角平分，
∴，故A正確；
∵四邊形為平行四邊形，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，故B正確；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，故D錯誤；
∵，
∴，故C正確，故選：D．
3. （2024武漢市）小美同學按如下步驟作四邊形：①畫；②以點為圓心，個單位長為半徑畫弧，分別交，于點，；③分別以點，為圓心，個單位長為半徑畫弧，兩弧交于點；④連接，，．若，則的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本題考查了基本作圖，菱形的判定和性質，根據作圖可得四邊形是菱形，進而根據菱形的性質，即可求解．
【詳解】解：作圖可得
∴四邊形是菱形，
∴
∵，
∴，
∴，故選：C．
4. （2024湖南省）如圖，在銳角三角形中，是邊上的高，在，上分別截取線段，，使；分別以點E，F為圓心，大于的長為半徑畫弧，在內，兩弧交于點P，作射線，交于點M，過點M作于點N．若，，則________．
【答案】6
【解析】本題考查了尺規作圖，角平分線的性質等知識，根據作圖可知平分，根據角平分線的性質可知，結合求出，．
詳解】作圖可知平分，
∵是邊上的高，，，
∴，
∵，
∴，
∴，故答案為：6．
5. （2024黑龍江齊齊哈爾）如圖，在平面直角坐標系中，以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交x軸正半軸于點M，交y軸正半軸于點N，再分別以點M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在第一象限交于點H，畫射線，若，則______．
【答案】2
【解析】此題主要考查了角平分線的尺規作圖和性質，坐標與圖形的性質，根據作圖方法可得點H在第一象限的角平分線上，根據角平分線的性質和第一象限內點的坐標符號可得答案．
【詳解】根據作圖方法可得點H在第一象限角平分線上；點H橫縱坐標相等且為正數；
，
解得：．
6. （2024貴州省）如圖，在中，以點A為圓心，線段的長為半徑畫弧，交于點D，連接．若，則的長為______．
【答案】5
【解析】本題考查了尺規作圖，根據作一條線段等于已知線段的作法可得出，即可求解．
由作圖可知∶ ，
∵，
∴．
7. （2024河南省）如圖，在中，是斜邊上的中線，交的延長線于點E．
（1）請用無刻度的直尺和圓規作，使，且射線交于點F（保留作圖痕跡，不寫作法）．
（2）證明（1）中得到的四邊形是菱形
【答案】（1）見解析 （2）見解析
【解析】【分析】本題考查了尺規作圖，菱形的判定，直角三角形斜邊中線的性質等知識，解題的關鍵是：
（1）根據作一個角等于已知角的方法作圖即可；
（2）先證明四邊形是平行四邊形，然后利用直角三角形斜邊中線的性質得出，最后根據菱形的判定即可得證．
【小問1詳解】
解：如圖，
；
【小問2詳解】
證明：∵，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∵在中，是斜邊上的中線，
∴，
∴平行四邊形是菱形．
8. （2024四川達州）如圖，線段、相交于點．且，于點．
（1）尺規作圖：過點作的垂線，垂足為點、連接、；（不寫作法，保留作圖痕跡，并標明相應的字母）
（2）若，請判斷四邊形的形狀，并說明理由．（若前問未完成，可畫草圖完成此問）
【答案】（1）見解析 （2）四邊形是平行四邊形，理由見解析
【解析】【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定，垂線的尺規作圖，全等三角形的性質與判定：
（1）先根據垂線的尺規作圖方法作出點F，再連接、即可；
（2）先證明，得到，再證明，進而證明，得到，即可證明四邊形是平行四邊形．
【小問1詳解】
解：如圖所示，即為所求；
【小問2詳解】
解：四邊形是平行四邊形，理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形．
9. （2024廣西）如圖，在中，，．
（1）尺規作圖：作線段的垂直平分線l，分別交，于點D，E：（要求：保留作圖痕跡，不寫作法，標明字母）
（2）在（1）所作的圖中，連接，若，求的長．
【答案】（1）見詳解 （2）
【解析】（1）分別以A、B為圓心，大于為半徑畫弧，分別交，于點D，E，作直線，則直線l即為所求．
（2）連接，由線段垂直平分線的性質可得出，由等邊對等角可得出，由三角形內角和得出，則得出為等腰直角三角形，再根據正弦的定義即可求出的長．
【小問1詳解】
解：如下直線l即為所求．
【小問2詳解】
連接如下圖：
∵為線段的垂直平分線，
∴，
∴，
∴，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∴
【點睛】本題主要考查了作線段的垂線平分線，線段的垂線平分線的性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理以及正弦的定義．掌握線段的垂直平分線的性質是解題的關鍵．
10. （2024廣州） 如圖，中，．
（1）尺規作圖：作邊上的中線（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在（1）所作的圖中，將中線繞點逆時針旋轉得到，連接，．求證：四邊形是矩形．
【答案】（1）作圖見解析 （2）證明見解析
【解析】（1）解：如圖，線段即為所求；
（2）證明：如圖，
∵由作圖可得：，由旋轉可得：，
∴四邊形為平行四邊形，
∵，
∴四邊形為矩形．
11. （2024福建省）如圖，已知直線．
（1）在所在的平面內求作直線，使得，且與間的距離恰好等于與間的距離；（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）在（1）的條件下，若與間的距離為2，點分別在上，且為等腰直角三角形，求的面積．
【答案】（1）見解析； （2）的面積為1或．
【解析】本題主要考查基本作圖，平行線的性質，全等三角形的判定，勾股定理以及分類討論思想：
（1）先作出與的垂線，再作出夾在間垂線段的垂直平分線即可；
（2）分；；三種情況，結合三角形面積公式求解即可
【小問1詳解】如圖，
直線就是所求作的直線．
【小問2詳解】
①當時，
，直線與間的距離為2，且與間的距離等于與間的距離，根據圖形的對稱性可知：，
，
．
②當時，
分別過點作直線的垂線，垂足為，
．
，直線與間的距離為2，且與間的距離等于與間的距離，
．
，，
，，
．
在中，由勾股定理得，
．
．
③當時，同理可得，．
綜上所述，的面積為1或．
12. （2024甘肅臨夏）根據背景素材，探索解決問題．
平面直角坐標系中畫一個邊長為2的正六邊形
背景素材 六等分圓原理，也稱為圓周六等分問題，是一個古老而經典的幾何問題，旨在解決如何使用直尺和圓規將一個圓分成六等份的問題．這個問題由歐幾里得在其名著《幾何原本》中詳細闡述．
已知條件 點與坐標原點重合，點在軸正半軸上且坐標為
操作步驟 ①分別以點，為圓心，長為半徑作弧，兩弧交于點； ②以點為圓心，長為半徑作圓； ③以的長為半徑，在上順次截取； ④順次連接，，，，，得到正六邊形．
問題解決
任務一 根據以上信息，請你用不帶刻度的直尺和圓規，在圖中完成這道作圖題（保留作圖痕跡，不寫作法）
任務二 將正六邊形繞點順時針旋轉，直接寫出此時點所在位置的坐標：______．
【答案】任務一：見解析；任務二：
【解析】本題考查尺規作圖，弧、弦、圓心角的關系，旋轉的性質．利用數形結合的思想是解題關鍵．
任務一：根據操作步驟作出，再根據弧、弦、圓心角的關系，分別作出，即得出，最后順次連接即可；
任務二：由旋轉的性質可知，即得出，即此時點所在位置的坐標為．
【詳解】解：任務一：如圖，正六邊形即為所作；
任務二：如圖，
由旋轉可知，
∴，
∴．
13. （2024甘肅威武）馬家窯文化以發達的彩陶著稱于世，其陶質堅固，器表細膩，紅、黑、白彩共用，彩繪線條流暢細致，圖案繁縟多變，形成了絢麗典雅的藝術風格，創造了一大批令人驚嘆的彩陶藝術精品，體現了古代勞動人民的智慧．如圖1的彩陶紋樣呈現的是三等分圓周，古人用等邊三角形三點定位的方法確定圓周的三等分點，這種方法和下面三等分圓周的方法相通．如圖2，已知和圓上一點M．作法如下：
①以點M為圓心，長為半徑，作弧交于A，B兩點；
②延長交于點C；
即點A，B，C將的圓周三等分．
（1）請你依據以上步驟，用不帶刻度的直尺和圓規在圖2中將的圓周三等分（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）根據（1）畫出的圖形，連接，，，若的半徑為，則的周長為______．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】【分析】（1）根據尺規作圖的基本步驟解答即可；
（2）連接，設的交點為D，得到，根據的半徑為，是直徑，是等邊三角形，計算即可．
本題考查了尺規作圖，圓的性質，等邊三角形的性質，熟練掌握尺規作圖的方法和圓的性質是解題的關鍵．
【小問1詳解】
根據基本作圖的步驟，作圖如下：
則點A，B，C是求作的的圓周三等分點．
【小問2詳解】
連接，設的交點為D，
根據垂徑定理得到，
∵的半徑為，是直徑，是等邊三角形，
∴，，
∴，
∴的周長為，
故答案為：．
考點2. 無刻度直尺作圖
1. （2024天津市）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網格中，點均在格點上．
（1）線段的長為______；
（2）點在水平網格線上，過點作圓，經過圓與水平網格線的交點作切線，分別與的延長線相交于點中，點在邊上，點在邊上，點在邊上．請用無刻度的直尺，在如圖所示的網格中，畫出點，使的周長最短，并簡要說明點的位置是如何找到的（不要求證明）______．
【答案】 ①. ②. 圖見解析，說明見解析
【解析】【分析】此題考查了勾股定理、切線的性質等知識，根據題意正確作圖是解題的關鍵．
（1）利用勾股定理即可求解；
（2）根據圓的相關性質和網格特點進行作圖即可．
【詳解】（1）由勾股定理可知，，
故答案為：
（2）如圖，根據題意，切點為；連接并延長，與網格線相交于點；取圓與網格線的交點和格點，連接并延長，與網格線相交于點；連接，分別與相交于點，則點即為所求．
2. （2024吉林省）圖①、圖②均是的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點．點A，B，C，D，E，O均在格點上．圖①中已畫出四邊形，圖②中已畫出以為半徑的，只用無刻度的直尺，在給定的網格中按要求畫圖．
（1）在圖①中，面出四邊形的一條對稱軸．
（2）在圖②中，畫出經過點E的的切線．
【答案】（1）見解析 （2）見解析
【解析】【分析】本題主要考查了正方形的性質與判定，矩形的性質與判定，切線的判定，畫對稱軸等等：
（1）如圖所示，取格點E、F，作直線，則直線即為所求；
（2）如圖所示，取格點，作直線，則直線即為所求．
【小問1詳解】
解：如圖所示，取格點E、F，作直線，則直線即為所求；
易證明四邊形是矩形，且E、F分別為的中點；
【小問2詳解】
解：如圖所示，取格點，作直線，則直線即為所求；
易證明四邊形是正方形，點E為正方形的中心，則．
3. （2024江西省）如圖，為菱形的對角線，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）
（1）如圖，過點作的垂線；
（2）如圖，點為線段的中點，過點作的平行線．
【答案】（1）作圖見解析； （2）作圖見解析．
【解析】【分析】（）作直線，由菱形的性質可得，即為的垂線；
（）連接并延長，與的延長線相交于點，作直線，因為點為線段的中點，所以，因為，所以，，故可得，得到，所以四邊形為平行四邊形，即；
本題考查了菱形的性質，平行四邊形的判定，掌握菱形的性質及平行四邊形的判定方法是解題的關鍵．
【小問1詳解】
解：如圖，即為所求；
【小問2詳解】
解：如圖，即為所求．
考點1. 基本尺規作圖及相應判斷
1.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，由圖中的尺規作圖得到的射線與AC交于點D，則以下推斷錯誤的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根據作圖過程可得BD平分∠ABC，然后根據等腰三角形的性質即可解決問題．
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=（180°-36°）=72°，
根據作圖過程可知：BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，
∴∠BDC=180°-36°-72°=72°，∠ADB=∠DBC+∠ACB=36°+72°=108°，故選項C成立；
∵∠BDC=∠ACB=72°，
∴BD=BC，故選項A成立；
∵∠ABD=∠A=36°，
∴AD=BD，故選項B成立；
沒有條件能證明CD=AD，故選項D不成立；故選：D．
【點睛】考查了作圖-基本作圖，等腰三角形的判定和性質，解決本題的關鍵是掌握基本作圖方法．
2．（2021湖北黃石）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，按以下步驟作圖：①以B為圓心，任意長為半徑作弧，分別交BA、BC于M、N兩點；②分別以M、N為圓心，以大于MN的長為半徑作弧，兩弧相交于點P；③作射線BP，交邊AC于D點．若AB＝10，BC＝6，則線段CD的長為（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【解析】利用基本作圖得BD平分∠ABC，過D點作DE⊥AB于E，如圖，根據角平分線的性質得到則DE＝DC，再利用勾股定理計算出AC＝8，然后利用面積法得到 DE×10+ CD×6＝×6×8，最后解方程即可．
解：由作法得BD平分∠ABC，
過D點作DE⊥AB于E，如圖，則DE＝DC，
在Rt△ABC中，AC＝＝＝8，
∵S△ABD+S△BCD＝S△ABC，
∴ DE×10+ CD×6＝×6×8，
即5CD+3CD＝24，
∴CD＝3．
故選：A．
3. 如圖，已知直線AB和AB上的一點C，過點C作直線AB的垂線，步驟如下：
第一步：以點C為圓心，以任意長為半徑作弧，交直線AB于點D和點E；
第二步：分別以點D和點E為圓心，以為半徑作弧，兩弧交于點F；
第三步：作直線CF，直線CF即為所求．
下列關于的說法正確的是（ ）
A. ≥ B. ≤ C. D.
【答案】C
【解析】根據過直線外一點作已知直線的垂線的步驟，結合三角形三邊關系判斷即可．
由作圖可知，分別以點和點為圓心，以為半徑作弧，兩弧交于點，此時．
【點睛】本題考查作圖基本作圖，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
4．如圖，在△ABC中，以A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AB、AC于點M、N；再分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P；連結AP并延長交BC于點D．則下列說法正確的是（　　）
A．AD+BD＜AB B．AD一定經過△ABC的重心
C．∠BAD＝∠CAD D．AD一定經過△ABC的外心
【答案】C
【解析】根據題意判斷AD是∠BAC的角平分線，可知C正確，根據重心和外心定義可知B、D選項錯誤，根據三角形任意兩邊之和大于第三邊可知A錯誤．
由題可知AD是∠BAC的角平分線，
A、在△ABD中，AD+BD＞AB，故選項A錯誤，不符合題意；
B、△ABC的重心是三條中線的交點，故選項B錯誤，不符合題意；
C、∵AD是∠BAC的角平分線，∴∠BAD＝∠CAD，故選項C正確，符合題意；
D、△ABC的外心是三邊中垂線的交點，故選項D錯誤，不符合題意．
5．如圖，等腰△AOB中，頂角∠AOB＝40°，用尺規按①到④的步驟操作：
①以O為圓心，OA為半徑畫圓；
②在⊙O上任取一點P（不與點A，B重合），連接AP；
③作AB的垂直平分線與⊙O交于M，N；
④作AP的垂直平分線與⊙O交于E，F．
結論Ⅰ：順次連接M，E，N，F四點必能得到矩形；
結論Ⅱ：⊙O上只有唯一的點P，使得S扇形FOM＝S扇形AOB．
對于結論Ⅰ和Ⅱ，下列判斷正確的是（　　）
A．Ⅰ和Ⅱ都對 B．Ⅰ和Ⅱ都不對 C．Ⅰ不對Ⅱ對 D．Ⅰ對Ⅱ不對
【答案】D
【解析】如圖，連接EM，EN，MF．NF．根據矩形的判定證明四邊形MENF是矩形，再說明∠MOF≠∠AOB，可知（Ⅱ）錯誤．
解：如圖，連接EM，EN，MF．NF．
∵OM＝ON，OE＝OF，
∴四邊形MENF是平行四邊形，
∵EF＝MN，
∴四邊形MENF是矩形，故（Ⅰ）正確，
觀察圖象可知∠MOF≠∠AOB，
∴S扇形FOM≠S扇形AOB，故（Ⅱ）錯誤，故選：D．
6.如圖，線段是半圓O的直徑。分別以點A和點O為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于M，N兩點，作直線，交半圓O于點C，交于點E，連接，，若，則的長是（ ）
A B. 4 C. 6 D.
【答案】A
【解析】【分析】根據作圖知CE垂直平分AC，即可得，，根據圓的半徑得，，根據圓周角的推論得，根據勾股定理即可得．
【詳解】根據作圖知CE垂直平分AC，
∴，，
∴，
∴，
即，
∵線段AB是半圓O的直徑，∴，
在中，根據勾股定理得，
，故選A．
【點睛】本題考查了圓，勾股定理，圓周角推論，解題的關鍵是掌握這些知識點．
7．已知線段AB，按如下步驟作圖：①作射線AC，使AC⊥AB；③以點A為圓心，AB長為半徑作弧；④過點E作EP⊥AB于點P，則AP：AB＝（　　）
A．1： B．1：2 C．1： D．1：
【答案】D
【解析】直接利用基本作圖方法得出AP＝PE,再結合等腰直角三角形的性質表示出AE,AP的長，即可得出答案．
∵AC⊥AB， ∴∠CAB＝90°,
∵AD平分∠BAC, ∴∠EAB＝×90°＝45°,
∵EP⊥AB, ∴∠APE＝90°,
∴∠EAP＝∠AEP＝45°,∴AP＝PE, ∴設AP＝PE＝x,
故AE＝AB＝x,
∴AP：AB＝x:x＝1:．
8．已知： AOCD的頂點O（0，0），點C在x軸的正半軸上，按以下步驟作圖：
①以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交OA于點M，交OC于點N．
②分別以點M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOC內相交于點E．
③畫射線OE，交AD于點F（2，3），則點A的坐標為（　　）
A．（，3） B．（3﹣，3） C．（﹣，3） D．（2﹣，3）
【答案】A
【解析】利用基本作圖得到∠AOF＝∠COF，再根據平行四邊形的性質得到AD∥OC，接著證明∠AOF＝∠AFO得到OA＝AF，設AF交y軸于M，如圖，設A（t，3），則AM＝﹣t，AO＝AF＝﹣t+2，利用勾股定理得到t2+32＝（﹣t+2）2，然后解方程求出t即可得到A點坐標．
解：由作法得OE平分∠AOC，則∠AOF＝∠COF，
∵四邊形AOCD為平行四邊形，
∴AD∥OC，
∴∠AFO＝∠COF，
∴∠AOF＝∠AFO，∴OA＝AF，
設AF交y軸于M，如圖，
∵F（2，3），
∴MF＝2，OM＝3，
設A（t，3），
∴AM＝﹣t，AO＝AF＝﹣t+2，
在Rt△OAM中，t2+32＝（﹣t+2）2，解得t＝﹣，
∴A（﹣，3）．故選：A．
9. 如圖，在中，，，分別以點A，B為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧分別相交于點M，N，作直線，交于點D，連接，則的度數為_____．
【答案】
【解析】根據作圖可知，，根據直角三角形兩個銳角互余，可得，根據即可求解．
【詳解】∵在中，，，
∴，
由作圖可知是的垂直平分線，
，
，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了基本作圖，垂直平分線的性質，等邊對等角，直角三角形的兩銳角互余，根據題意分析得出是的垂直平分線，是解題的關鍵．
10．如圖，∠MON＝40°，以O為圓心，4為半徑作弧交OM于點A，交ON于點B，分別以點A，B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧在∠MON的內部相交于點C，畫射線OC交于點D，E為OA上一動點，連接BE，DE，則陰影部分周長的最小值為 　 　．
【答案】4+π．
【解析】利用作圖得到OA＝OB＝OD＝4，∠BOD＝∠AOD＝20°，則根據弧長公式可計算出的長度為π，過B點關于OM的對稱點F，連接DF交OM于E′，連接OF，如圖，證明△ODF為等邊三角形得到DF＝4，接著利用兩點之間線段最短可判斷此時E′B+E′D的值最小，從而得到陰影部分周長的最小值．
解：由作法得OC平分∠MON，OA＝OB＝OD＝4，
∴∠BOD＝∠AOD＝∠MON＝×40°＝20°，
∴的長度為＝π，
過B點關于OM的對稱點F，連接DF交OM于E′，連接OF，如圖，
∴OF＝OB，∠FOA＝∠BOA＝40°，∴OD＝OF，
∴△ODF為等邊三角形，∴DF＝OD＝4，
∵E′B＝E′F，
∴E′B+E′D＝E′F+E′D＝DF＝4，
∴此時E′B+E′D的值最小，
∴陰影部分周長的最小值為4+π．
故答案為4+π．
11. 如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，以點B為圓心、BC的長為半徑畫弧交AD于點E，再分別以點C，E為圓心、大于CE的長為半徑畫弧，兩弧交于點F，作射線BF交CD于點G，則CG的長為__________________．
【答案】
【解析】根據作圖過程可得BF是∠EBC的平分線，然后證明△EBG≌△CBG，再利用勾股定理即可求出CG的長．
如圖，連接EG，
根據作圖過程可知：BF是∠EBC的平分線，
∴∠EBG＝∠CBG，
在△EBG和△CBG中，
，
∴△EBG≌△CBG（SAS），
∴GE＝GC，∠BEG=∠C=90°，
在Rt△ABE中，AB＝6，BE＝BC＝10，
∴AE＝＝8，
∴DE＝AD﹣AE＝10﹣8＝2，
Rt△DGE中，DE＝2，DG＝DC﹣CG＝6﹣CG，EG＝CG，
∴EG2﹣DE2＝DG2
∴CG2﹣22＝（6﹣CG）2，
解得CG＝．
故答案為：．
【點睛】本題考查了矩形的性質，作圖-基本作圖，解決本題的關鍵是掌握矩形的性質．
12. 如圖，已知是的一個外角．請用尺規作圖法，求作射線，使．（保留作圖痕跡，不寫作法）
【答案】見解析
【解析】作的角平分線即可．
如圖，射線即為所求作．
【點睛】考查角平分線、三角形外角的性質、平行線的判定，解題的關鍵是掌握平行線的判定定理．
13. 請用直尺、圓規作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．
已知：∠α，直線l及l上兩點A，B．
求作：Rt△ABC，使點C在直線l的上方，且∠ABC＝90°，∠BAC＝∠α．
【答案】C
【解析】如圖，△ABC為所作．
14. 如圖，BD是菱形ABCD的對角線，∠CBD＝75°，
（1）請用尺規作圖法，作AB的垂直平分線EF，垂足為E，交AD于F；（不要求寫作法，保留作圖痕跡）
（2）在（1）條件下，連接BF，求∠DBF的度數．
【答案】（1）見解析 （2）45°．
【解析】（1）如圖所示，直線EF即為所求；
（2）∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝75°，DC∥AB，∠A＝∠C．
∴∠ABC＝150°，∠ABC+∠C＝180°，
∴∠C＝∠A＝30°，
∵EF垂直平分線段AB，
∴AF＝FB，
∴∠A＝∠FBA＝30°，
∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝45°．
15. 如圖，四邊形ABCD是矩形．
（1）用尺規作線段AC的垂直平分線，交AB于點E，交CD于點F（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）若BC＝4，∠BAC＝30°，求BE的長．
【答案】（1）見解析。（2）．
【解析】（1）如圖所示：
（2）∵四邊形ABCD是矩形，EF是線段AC的垂直平分線，
∴AE＝EC，∠CAB＝∠ACE＝30°，
∴∠ECB＝60°，
∴∠ECB＝30°，
∵BC＝4，
∴BE＝．
16. 如圖，已知P是外一點．用兩種不同的方法過點P作的一條切線．要求：
（1）用直尺和圓規作圖；
（2）保留作圖的痕跡，寫出必要的文字說明．
【答案】答案見解析．
【解析】方法一：作出OP的垂直平分線，交OP于點A，再以點A為圓心，PA長為半徑畫弧，交于點Q，連結PQ，PQ即為所求．
方法二：作出以OP為底邊的等腰三角形BPO，再作出∠OBP的角平分線交OP于點A，再以點A為圓心，PA長為半徑畫弧，交于點Q，連結PQ，PQ即為所求．
【詳解】解：
作法：連結PO，分別以P、O為圓心，大于PO的長度為半徑畫弧，交于兩點，連結兩點交PO于點A；以點A為圓心，PA長為半徑畫弧，交于點Q，連結PQ，PQ即為所求．
作法：連結PO，分別以P、O為圓心，以大于PO的長度為半徑畫弧交PO上方于點B，連結BP、BO；以點B為圓心，任意長為半徑畫弧交BP、BO于C、D兩點，分別以于C、D兩點為圓心，大于CD的長度為半徑畫弧交于一點，連結該點與B點，并將其反向延長交PQ于點A，以點A為圓心，PA長為半徑畫弧，交于點Q，連結PQ，PQ即為所求．
【點睛】本題考查了作圖——復雜作圖，涉及垂直平分線的作法，角平分線的作法，等腰三角形的作法，圓的作法等知識點．復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖．解題的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合基本幾何圖形的性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．
考點2. 無刻度直尺作圖
1．在如圖所示的網格中，每個小正方形的邊長均為1．
(1)在圖1中作等腰，滿足條件的格點C有______個，請在圖中畫出其中一個．
(2)在圖2中，只用一把無刻度直尺，在線段上求作一點D，使得，并保留作圖痕跡．
【答案】(1)4，見解析 (2)見解析
【解析】（1）當以為底邊時，點C應在線段的中垂線上，顯然易找出點C，如圖1、圖2；
當以為腰時，如圖3、圖4．（畫出其中一個即可）
故答案為：4；
（2）如圖5，D即為所求作的點．
提示：∵，
∴與相似．
又∵，
∴．
2. 如圖，在的正方形網格中，每個小正方形的頂點稱為格點，均在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網格中按下列要求作圖，保留作圖痕跡．
(1)如圖①，是內一點，在上找一點，使；
(2)如圖②，在線段上找到點，連結，使的面積為3；
(3)如圖③，在線段上找到點，連結，使的面積為3．
【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析
【分析】本題考查格點作圖，平行四邊形的判定及性質，勾股定理，相似三角形的判定及性質，熟練掌握相關圖形的性質是解決問題的關鍵．
（1）取格點，連接，交于，點即為所求；
（2）取格點，，連接交于，點即為所求；
（3）取格點，，連接交于，連接，，點即為所求．
【解析】（1）如圖，取格點，連接，交于，
由勾股定理可得，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，則，
即：點為所求；
（2）的面積，
如圖，取格點，，連接交于，
由圖可知，，則，，
∴，
∴，
∴，
∴，則，
即：點即為所求；
（3）如圖，取格點，，連接交于，連接，，
由圖可知，，，，
則四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
即：點即為所求．
3. 如圖，在和中，，，與相交于點，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖．（保留作圖痕跡）

(1)如圖1，作線段的垂直平分線；
(2)如圖2，在上分別取點，使得．
1．已知平行四邊形是中心對稱圖形，點是平面上一點，請僅用無刻度直尺畫出點E關于平行四邊形對稱中心的對稱點．
(1)如圖1，點是平行四邊形的上一點；
(2)如圖2，點是平行四邊形外一點．
【答案】(1)見解析(2)見解析
【分析】（1）連接，，交于點O，再連接并延長，與交于點F即可；
（2）同（1）的方法找出點O，連接，交于G，連接并延長，交于H，連接并延長，與的延長線交于點F．
【詳解】（1）解：如圖，點F即為所求；
（2）如圖，點F即為所求．
【點睛】本題考查了平行四邊形的對稱性，中心對稱圖形的性質，解題的關鍵是通過對稱構造圖形，得到需要的點和線．
4. 在矩形中，．圖1中，點在邊上，；圖2中，點在邊上，，點是的中點．請僅用無刻度的直尺按要求畫圖（保留作圖痕跡，不寫作法）．

(1)在圖1的CD邊上作出點F，使四邊形為菱形．
(2)在圖2的CD邊上作出點G，使四邊形為正方形．
【答案】(1)見解析(2)見解析
【分析】（1）連接，相交于點，則點為的中點，也是菱形的對角線交點，連接并延長交于點，則點即為所求；
（2）連接，交于點，連接并延長交于點，則點為的中點，連接交于點，則為正方形的對角線，為的中點，也是正方形的對角線交點，連接并 延長交于點，則點即為所求．
【詳解】（1）解：如圖1所示，連接，相交于點，連接并延長交于點，連接，則點即為所求，
在矩形中，，
，
，，
，
，
又，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是菱形．

（2）解：如圖2所示，連接，交于點，連接并延長交于點，連接交于點，連接并 延長交于點，連接，則點即為所求，
四邊形是矩形，
，，，，，
點為中點，
，，
，，
點為的中點，
，
在中，，在中，，
，，
四邊形是平行四邊形，
又，，
四邊形是正方形．

【點睛】本題考查了直尺作圖，矩形的性質，菱形的判定，正方形的判定，三角形中位線性質，根據矩形對角線的性質確定菱形和正方形的對角線交點，是解本題關鍵．
5. 只用無刻度的直尺作圖（保留作圖痕跡，不要求寫作法）．

(1)如圖1，已知．點E在OB邊上，其中四邊形是平行四邊形，請你在圖中畫出的平分線．
(2)如圖2．已知E是菱形中邊上的中點，請作出邊上的中點F．
【答案】(1)作圖見解析(2)作圖見解析
【分析】（1）由等腰三角形三線合一，可知的角平分線過線段的中點，由平行四邊形的性質可知，的中點即為平行四邊形對角線的交點，過與的中點的射線即為所求，作圖即可，如圖1；
（2）由菱形的性質，三角形的三條中線交于一點即重心，作的中線，，交點為重心，連接并延長交于，即為所求，如圖2．
【詳解】（1）解：如圖1，連接、交于點，過作射線，即為所求；

（2）解：如圖2，連接，，與交于點G，連接，與交于點，連接并延長交于，即為所求；

6. 如圖，在正方形中，，請僅用無刻度的直尺畫圖（保留畫圖痕跡，不寫畫法）

(1)在圖①中，畫出的中點M；
(2)在圖②中，畫出的中點N．
【答案】(1)見解析(2)見解析
【分析】本題考查無尺規作圖，涉及到正方形的性質，等腰三角形的性質，全等三角形的判定與性質；
（1）連接，連接的交點和點E，交于點M，點M為所求；
（2）作法不唯一，根據正方形的性質，由（1）得：點M為的中點，連接與交于點H，連接交與點N，點N即為所求．
【詳解】（1）解：如圖，點M為所求；

（2）解：如圖，點N即為所求，

由（1）得：點M為的中點，連接與交于點H，連接交于點N，點N即為所求；
∵四邊形是正方形，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑