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【名師導(dǎo)航】2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（全國(guó)版）
第六章 圖形的變化
6.3 圖形的相似
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1 相似的有關(guān)概念與相似多邊形 ☆☆ 圖形相似部分，屬于初中數(shù)學(xué)難點(diǎn)，也是中考重點(diǎn)，每年考查1~3道題,分值為3~19分，常以選擇題、填空題、解答題的形式考察。特別是在壓軸題里體現(xiàn)圖形相似的知識(shí)點(diǎn)多，如在解決圓的證明與計(jì)算有的題用到相似、有的拋物線壓軸題體現(xiàn)相似、有的探索實(shí)踐類(lèi)綜合題也體現(xiàn)相似。其重要性不言而喻。
考點(diǎn)2 相似三角形的性質(zhì)與判定 ☆☆☆
考點(diǎn)3 圖形的位似 ☆
考點(diǎn)4 一線三等角問(wèn)題 ☆☆☆
☆☆☆ 代表必考點(diǎn)，☆☆代表?？键c(diǎn)，☆星表示中頻考點(diǎn)。
考點(diǎn)1. 相似的有關(guān)概念與相似多邊形
1.比例線段的相關(guān)概念
（1）如果選用同一長(zhǎng)度單位量得兩條線段a，b的長(zhǎng)度分別為m，n，那么就說(shuō)這兩條線段的比是或?qū)懗蒩：b=m：n
（2）在兩條線段的比a：b中，a叫做比的前項(xiàng)，b叫做比的后項(xiàng)。
（3）在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段
（4）若四條a，b，c，d滿足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做組成比例的項(xiàng)，線段a，d叫做比例外項(xiàng)，線段b，c叫做比例內(nèi)項(xiàng)，線段的d叫做a，b，c的第四比例項(xiàng)。
（5）如果作為比例內(nèi)項(xiàng)的是兩條相同的線段，即或a：b=b：c，那么線段b叫做線段a，c的比例中項(xiàng)。
2.比例的性質(zhì)
（1）基本性質(zhì)
①a：b=c：dad=bc
②a：b=b：c
（2）更比性質(zhì)（交換比例的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng)）
（3）反比性質(zhì)（交換比的前項(xiàng).后項(xiàng)）：
（4）合比性質(zhì)：
（5）等比性質(zhì)：
3.黃金分割
把線段AB分成兩條線段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)，叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，其中AC=AB0.618AB
4.平行線分線段成比例定理
三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。
推論：（1）平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。
逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。
（2）平行于三角形一邊且和其他兩邊相交的直線截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例。
5.相似多邊形
相似多邊形定義1：形狀相同的圖形叫做相似圖形。
相似多邊形定義2：兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的角分別相等，邊成比例，那么這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形。相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比。
相似多邊形性質(zhì)：相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例。
注意：多邊形的相似比為1的相似多邊形是全等形．
考點(diǎn)2. 相似三角形的性質(zhì)與判定
1. 相似三角形的判定定理
判定1：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。
判定2：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似。
符號(hào)語(yǔ)言：
∴ △ ABC ∽ △A′B′C.
判定3：兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似。
符號(hào)語(yǔ)言：
判定4：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似。
符號(hào)語(yǔ)言：
∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'，
∴ △ABC ∽ △A'B'C'.
判定直角三角形相似的方法：
推論1：有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似.
推論2：斜邊和一直角邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似.
【易錯(cuò)點(diǎn)提示】
如果兩個(gè)三角形兩邊對(duì)應(yīng)成比例，但相等的角不是兩條對(duì)應(yīng)邊的夾角，那么兩個(gè)三角形不一定相似，相等的角一定要是兩條對(duì)應(yīng)邊的夾角.
【思路方法總結(jié)】三角形相似的判定定理的使用：
（1）條件中若有平行線，可采用相似三角形的判定1；
（2）條件中若有一對(duì)等角，可再找一對(duì)等角或再找?jiàn)A邊成比例；
（3）條件中若有兩邊對(duì)應(yīng)成比例，可找?jiàn)A角相等；
（4）條件中若有一對(duì)直角，可考慮再找一對(duì)等角或證明斜邊、直角邊對(duì)應(yīng)成比例；
（5）條件中若有等腰條件，可找頂角相等，或找一個(gè)底角相等，也可找底和腰對(duì)應(yīng)成比例．
2. 相似三角形的性質(zhì)定理
（1）相似三角形定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形，相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比．
（2）相似三角形性質(zhì)：
性質(zhì)定理1：相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等；
性質(zhì)定理2：相似三角形的對(duì)應(yīng)線段（邊、高、中線、角平分線）成比例；
性質(zhì)定理3：相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方．
注意1：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比。相似三角形對(duì)應(yīng)中線、角平分線的比也等于相似比。
注意2：由三角形面積公式和相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比可推出相似三角形面積的比等于相似比的平方．
【思路方法總結(jié)】相似三角形的判定方法歸納總結(jié)（理解牢記）
(1)定義：對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形相似。
（2）平行于三角形一邊，與另外兩邊相交所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。
（3）三邊成比例的兩個(gè)三角形相似。
（4）兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似。
（5）兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似。
（6）一組直角邊和斜邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似。
3. 相似三角形的應(yīng)用
（1）利用相似三角形測(cè)量高度
1）測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，可以用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成正比例”的原理解決.
2）測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，也可以用“利用鏡子的反射測(cè)量高度”的原理解決.
（2）利用相似三角形測(cè)量寬度：測(cè)量如河寬等不易直接測(cè)量的物體的寬度，常構(gòu)造相似三角形求解.
（3）利用相似解決有遮擋物問(wèn)題
考點(diǎn)3. 圖形的位似
1.位似圖形的概念
兩個(gè)相似多邊形，如果它們對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)所在的直線相交于一點(diǎn)，我們就把這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)交點(diǎn)叫做位似中心．
【易錯(cuò)點(diǎn)提示】
（1）判斷兩個(gè)圖形是不是位似圖形，需要從兩方面去考察：一是這兩個(gè)圖形是相似的，二是要有特殊的位置關(guān)系，即每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)．
（2）找位似中心的方法：將兩個(gè)圖形的各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連接起來(lái)，若它們的直線或延長(zhǎng)線相交于一點(diǎn)，則該點(diǎn)即是位似中心．
2.位似圖形的性質(zhì)
（1）位似圖形是一種特殊的相似圖形，它具有相似圖形的所有性質(zhì)，即對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等．
（2）位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比．（位似圖形的相似比也叫做位似比）
（3）對(duì)應(yīng)線段平行或者在一條直線上．
3.畫(huà)位似圖形
畫(huà)位似圖形的一般步驟：
① 確定位似中心；
② 分別連接并延長(zhǎng)位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)；
③ 根據(jù)相似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；
④ 順次連接上述各點(diǎn)，得到放大或縮小的圖形.
利用位似進(jìn)行作圖的關(guān)鍵是確定位似中心和關(guān)鍵點(diǎn)．
位似分為內(nèi)位似和外位似，內(nèi)位似的位似中心在連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段上；外位似的位似中心在連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段之外.
4.基本模型
5.平面直角坐標(biāo)系中的位似
（1）平面直角坐標(biāo)系中的位似變換
1）在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為位似中心作一個(gè)圖形的位似圖形可以作兩個(gè)．
2）當(dāng)位似圖形在原點(diǎn)同側(cè)時(shí)，其對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)的比為 k；當(dāng)位似圖形在原點(diǎn)兩側(cè)時(shí)，其對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)的比為－k．
3）當(dāng) k＞1 時(shí)，圖形擴(kuò)大為原來(lái)的 k 倍；當(dāng) 0＜k＜1時(shí)，圖形縮小為原來(lái)的 k 倍．
（2）性質(zhì)：1）在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或–k；2）位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比或相似比．
考點(diǎn)4. 一線三等角問(wèn)題
1.一線三等角基本含義： 一線三等角就是指兩個(gè)三角形中相等的兩個(gè)角落在同一條直線上，另外兩條邊所構(gòu)成的角與這兩個(gè)角相等且落在同一條直線上，故稱一線三等角。如圖所示，一線三等角包括一線三直角、一線三銳角、一線三鈍角。
2.一線三等角基本類(lèi)型及特點(diǎn)與結(jié)論
（1）同側(cè)型一線三等角
銳角一線三等角 鈍角一線三等角 直角一線三等角
【特點(diǎn)】∠1＝∠2＝∠3
【結(jié)論】1.△CAP∽△PBD
2．當(dāng)AC＝BP或AP＝BD或CP＝PD時(shí)，△CAP≌△PBD
（2）異側(cè)型一線三等角
銳角一線三等角 鈍角一線三等角 直角一線三等角
【特點(diǎn)】點(diǎn)P在線段BA的延長(zhǎng)線上，∠1＝∠2＝∠3
【結(jié)論】1.△CAP∽△PBD；
2．當(dāng)AC＝BP或AP＝BD或CP＝PD時(shí)，△CAP≌△PBD
考點(diǎn)1. 相似的有關(guān)概念與相似多邊形
【例題1】 （2024江蘇連云港）下列網(wǎng)格中各個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，陰影部分圖形分別記作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的為（ ）
A. 甲和乙 B. 乙和丁 C. 甲和丙 D. 甲和丁
【答案】D
【解析】本題考查相似圖形，根據(jù)對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例的圖形是相似圖形結(jié)合正方形的性質(zhì)，進(jìn)行判斷即可．
由圖可知，只有選項(xiàng)甲和丁中的對(duì)應(yīng)角相等，且對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例，它們的形狀相同，大小不同，是相似形．
故選D．
【變式練1】（2024湖北一模）如圖，將圖形用放大鏡放大，應(yīng)該屬于( )
A．平移變換 B．相似變換 C．旋轉(zhuǎn)變換 D．對(duì)稱變換
【答案】B
【解析】根據(jù)放大鏡成像的特點(diǎn)，結(jié)合各變換的特點(diǎn)即可得出答案．
根據(jù)相似圖形的定義知，用放大鏡將圖形放大，屬于圖形的形狀相同，大小不相同，所以屬于相似變換．故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是相似形的識(shí)別，關(guān)鍵要聯(lián)系圖形，根據(jù)相似圖形的定義得出．
【變式練2】（2024內(nèi)蒙古赤峰一模）如圖，四邊形 ABCD 和 EFGH 相似，求角α，β的大小和EH的長(zhǎng)度 x.
【答案】見(jiàn)解析。
【解析】∵ 四邊形 ABCD 和 EFGH 相似，
∴ 它們的對(duì)應(yīng)角相等．由此可得
∠α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°.
在四邊形ABCD中，
∠β＝360°－(78°＋83°＋118°)＝81°.
∵ 四邊形ABCD和EFGH相似，
∴它們的對(duì)應(yīng)邊成比例，由此可得
解得 x ＝ 28 cm.
考點(diǎn)2. 相似三角形的性質(zhì)與判定
【例題2】 （2024湖南?。┤鐖D，在中，點(diǎn)分別為邊的中點(diǎn)．下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，由三角形中位線性質(zhì)可判斷；由相似三角形的判定和性質(zhì)可判斷，掌握三角形中位線的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】∵點(diǎn)分別為邊的中點(diǎn)，
∴，，故正確；
∵，
∴，故正確；
∵，
∴，
∴，故錯(cuò)誤；
故選：．
【變式練1】（2024河北一模）如圖，已知，那么添加下列一個(gè)條件后，仍然無(wú)法判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用相似三角形的判定依次判斷可求解．
∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAE=∠BAC，
A.若，且∠DAE=∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故選項(xiàng)A不符合題意；
B.若，且∠DAE=∠BAC，無(wú)法判定△ABC∽△ADE，故選項(xiàng)B符合題意；
C.若∠B=∠D，且∠DAE=∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故選項(xiàng)C不符合題意；
D.若∠C=∠AED，且∠DAE=∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，熟練運(yùn)用相似三角形的判定是本題的關(guān)鍵．
【變式練2】（2024湖南一模） 如圖，在中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件_________，使．
【答案】∠ADE=∠B（答案不唯一）．
【解析】已知有一個(gè)公共角，則可以再添加一個(gè)角從而利用有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似來(lái)判定或添加夾此角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例也可以判定．
∵∠A=∠A，
∴根據(jù)兩角相等的兩個(gè)三角形相似，可添加條件∠ADE=∠B或∠AED=∠C證相似；
根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，可添加條件證相似．
故答案為∶∠ADE＝∠B（答案不唯一）．
【點(diǎn)睛】此題考查了本題考查了相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法．
【變式練3】（2024河南一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若AF＝2FD，則的值為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由AF＝2DF，可以假設(shè)DF＝k，則AF＝2k，AD＝3k，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBG，∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，
∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，∴CG＝CD+DG＝3k，
∵AB∥DG，∴△ABE∽△CGE，∴，故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理，熟練掌握性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．
【變式練4】（2024浙江湖州一模）如圖，已知在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，，．若DE＝2，則BC的長(zhǎng)是______．
【答案】6
【解析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)DE=2，進(jìn)而得到BC長(zhǎng)．
根據(jù)題意，
∵，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵DE＝2，
∴，
∴；
故答案為：6．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．
考點(diǎn)3. 圖形的位似
【例題3】 （2024黑龍江綏化）如圖，矩形各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，，以原點(diǎn)為位似中心，將這個(gè)矩形按相似比縮小，則頂點(diǎn)在第一象限對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)
是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，根據(jù)題意橫縱的坐標(biāo)乘以，即可求解．
依題意，，以原點(diǎn)為位似中心，將這個(gè)矩形按相似比縮小，則頂點(diǎn)在第一象限對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是
故選：D．
【變式練1】（2024深圳一模）如圖，以點(diǎn)O為位似中心，把△ABC放大為原圖形的2倍得到△A′B′C′，以下說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（　?。?br/>A．△ABC∽△A′B′C′
B．點(diǎn)C、點(diǎn)O、點(diǎn)C′三點(diǎn)在同一直線上
C．AO：AA′=1：2
D．AB∥A′B′
【答案】C．
【解析】直接利用位似圖形的性質(zhì)進(jìn)而分別分析得出答案．
∵以點(diǎn)O為位似中心，把△ABC放大為原圖形的2倍得到△A′B′C′，
∴△ABC∽△A′B′C′，點(diǎn)C、點(diǎn)O、點(diǎn)C′三點(diǎn)在同一直線上，AB∥A′B′，
AO：OA′＝1：2，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，符合題意．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了位似變換，正確把握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
【變式練2】（2024云南一模）如圖，△ABC與△A'B'C'是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，若點(diǎn)A（2，2），B（3，4），C（6，1），B'（6，8），則△A'B'C'的面積為　 ?。?br/>【答案】18．
【解析】直接利用位似圖形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案．
∵△ABC與△A'B'C'是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，點(diǎn)A（2，2），B（3，4），C（6，1），B'（6，8），
∴A′（4，4），C′（12，2），
∴△A'B'C'的面積為：6×8﹣×2×4﹣×6×6﹣×2×8＝18．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了位似變換以及三角形面積求法，正確得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．
【變式練3】（2024長(zhǎng)沙一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABO 三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A (－2，4)，B (－2，0)，O (0，0). 以原點(diǎn) O 為位似中心，畫(huà)出一個(gè)三角形使它與 △ABO 的相似比為 3 : 2.
【答案】見(jiàn)解析
【解析】利用位似中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律，分別取點(diǎn) A′ (－3，6)，B′ (－3，0)，O (0，0).順次連接點(diǎn) A′ ，B′ ，O，所得的 △A′ B′ O 就是要畫(huà)的一個(gè)圖形.
考點(diǎn)4. 一線三等角問(wèn)題
【例題4】 （2024廣州） 如圖，點(diǎn)，分別在正方形的邊，上，，，．求證：．
【答案】見(jiàn)解析
【解析】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．根據(jù)正方形的性質(zhì)，得出，，進(jìn)而得出，根據(jù)兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似即可證明．
，，
，
四邊形是正方形，
，，
，，
又，
．
【變式練1】（2024武漢一模）如圖，在等邊△ABC中，D，E分別是邊BC，AC上的點(diǎn)，連接AD，DE，且∠ADE＝60°，若BD＝4，CE＝3，求AB的長(zhǎng)．
【答案】16
【解析】∵△ABC為等邊三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，
∴∠BAD＋∠ADB＝120°，
∵∠ADE＝60°，
∴∠CDE＋∠ADB＝120°，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，
∴＝，即＝，
∴AB＝16.
【變式練2】（2024海南一模）如圖，在Rt△ABC中，AC＝2AB，∠BAC＝90°，AE⊥CE于點(diǎn)E，BD⊥AE于點(diǎn)D，若DE＝4AD，求cos ∠ABD的值．
【答案】.
【解析】∵∠BAC＝90°，AE⊥CE，BD⊥AE，
∴∠BAD＋∠EAC＝90°，∠EAC＋∠ACE＝90°，
∴∠BAD＝∠ACE，
∵∠BDA＝∠AEC＝90°，
∴△BAD∽△ACE，
∵AC＝2AB，
∴EC＝2AD，
∵DE＝4AD，
∴AE＝DE＋AD＝5AD，
在Rt△AEC中，由勾股定理，得AC＝＝AD，
∴cos ∠ABD＝cos ∠CAE＝＝.
考點(diǎn)1. 相似的有關(guān)概念與相似多邊形
1. （2024江蘇鹽城）兩個(gè)相似多邊形的相似比為，則它們的周長(zhǎng)的比為_(kāi)_____．
【答案】##
【解析】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，根據(jù)相似多邊形周長(zhǎng)之比等于相似比即可求解，掌握相似多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
∵兩個(gè)相似多邊形的相似比為，
∴它們的周長(zhǎng)的比為．
考點(diǎn)2. 相似三角形的性質(zhì)與判定
1. （2024重慶市B）若兩個(gè)相似三角形的相似比為，則這兩個(gè)三角形面積的比是（　?。?br/>A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方進(jìn)行求解即可．
∵兩個(gè)相似三角形的相似比為，
∴這兩個(gè)三角形面積的比是，故選：D．
2. （2024陜西?。┤鐖D，正方形的頂點(diǎn)G在正方形的邊上，與交于點(diǎn)H，若，，則的長(zhǎng)為（ ）
A. 2 B. 3 C. D.
【答案】B
【解析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)．證明，利用相似三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可求解．
【詳解】解：∵正方形，，
∴，
∵正方形，，
∴，
∴，
由題意得，
∴，
∴，即，
解得，故選：B．
3. （2024四川內(nèi)江）已知與相似，且相似比為，則與的周長(zhǎng)比為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形周長(zhǎng)之比等于相似比是解題的關(guān)鍵．
∵與相似，且相似比為，
∴與的周長(zhǎng)比為，故選B．
4. （2024四川樂(lè)山）如圖，在梯形中，，對(duì)角線和交于點(diǎn)O，若，則______．
【答案】
【解析】本題考查了平行線間距離，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．熟練掌握平行線間的距離，相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
設(shè)的距離為，則，即，證明，則，計(jì)算求解即可．
【詳解】解：設(shè)的距離為，
∴，即，
∵，
∴，，
∴，
∴．
5. （2024遼寧）如圖，，與相交于點(diǎn)，且與面積比是，若，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
【答案】12
【解析】考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，把握相似三角形面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．
可得，再根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方即可求解．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
6. （2024云南?。┤鐖D，與交于點(diǎn)，且．若，則__________．
【答案】##0.5
【解析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，證明，根據(jù)相似三角形周長(zhǎng)之比等于相似比，即可解題．
，
，
．
7. （2024山東濱州）如圖，在中，點(diǎn)D，E分別在邊上．添加一個(gè)條件使，則這個(gè)條件可以是____________．（寫(xiě)出一種情況即可）
【答案】或或
【解析】本題考查了相似三角形的判定：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．
利用有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似添加條件．
，
∴當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，．
故答案為：或或．
8. （2024吉林省）如圖，正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F是上一點(diǎn)．連接．若，則的值為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，先由正方形的性質(zhì)得到，，再證明，進(jìn)而可證明，由相似三角形的性質(zhì)可得，即．
【詳解】∵正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，
∴，，
∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即
9. （2024江蘇揚(yáng)州）物理課上學(xué)過(guò)小孔成像的原理，它是一種利用光的直線傳播特性實(shí)現(xiàn)圖像投影的方法．如圖，燃燒的蠟燭（豎直放置）經(jīng)小孔在屏幕（豎直放置）上成像．設(shè)，．小孔到的距離為，則小孔到的距離為_(kāi)____．
【答案】
【解析】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，由題意得，，過(guò)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，利用已知得出，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)求出即可，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
【詳解】由題意得：，
∴，
如圖，過(guò)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，
∴，，
∴，即，
∴（），
即小孔到的距離為
10. （2024湖南長(zhǎng)沙）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)E是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)F．設(shè)，，則y與x之間的函數(shù)解析式為（不考慮自變量x的取值范圍）（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本題考查菱形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，利用相似三角形的性質(zhì)求解x、y的關(guān)系式是解答的關(guān)鍵．過(guò)D作，交延長(zhǎng)線于H，則，根據(jù)菱形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到，，，進(jìn)而利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)，證明得到，然后代值整理即可求解．
【詳解】如圖，過(guò)D作，交延長(zhǎng)線于H，則，
∵在菱形中，，，
∴，，，
∴，，
在中，，
∵，
∴，又，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，故選：C．
11. （2024內(nèi)蒙古赤峰）如圖，中，，．將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)與點(diǎn)B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)C是對(duì)應(yīng)點(diǎn)．若點(diǎn)恰好落在BC邊上，下列結(jié)論：①點(diǎn)B在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)是；②；③；④．其中正確的結(jié)論是（　?。?br/>A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ②④
【答案】A
【解析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求得各角的度數(shù)，再逐一判斷各項(xiàng)，即可求解．
【詳解】∵，，
∴，，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，
∴，
①點(diǎn)B在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)是；①說(shuō)法正確；
②∵，∴；②說(shuō)法正確；
③∵，
∴，
∴；③說(shuō)法正確；
④∵，，
∴，
∴．④說(shuō)法正確；
綜上，①②③④都是正確的，
故選：A．
12. （2024山東棗莊）如圖，點(diǎn)為平行四邊形ABCD的對(duì)角線上一點(diǎn)，，，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，則為（ ）
A. B. 3 C. D. 4
【答案】B
【解析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，平行證明相似等知識(shí)點(diǎn)，正確作輔助線是解題關(guān)鍵．
作輔助線如圖，由平行正相似先證，再證，即可求得結(jié)果．
【詳解】延長(zhǎng)和，交于點(diǎn)，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，即，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴
∵，
∴．故選：B．
13. （2024江蘇常州）如圖，在矩形中，對(duì)角線的垂直平分線分別交邊于點(diǎn)E、F．若，，則________．
【答案】
【解析】本題主要考查三角形相似的判定和性質(zhì)以及勾股定理，熟練掌握三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．設(shè)與相交于點(diǎn)，證明，根據(jù)相似的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可；
的垂直平分線分別交邊于點(diǎn)E、F．
，，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
令，
，
解得或（舍去），
．
14. （2024四川德陽(yáng)）如圖，在菱形中，，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接與相交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．
（1）證明：；
（2）證明：．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）證明見(jiàn)解析
【解析】【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定、三角形全等的判定等知識(shí)，熟練掌握菱形的性質(zhì)和相似三角形的判定是解題關(guān)鍵．
（1）先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，再證出是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)相似三角形的判定即可得證；
（2）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)定理即可得證．
【小問(wèn)1詳解】
證明：∵四邊形是菱形，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，
∴，
∴
∵，
∴．
【小問(wèn)2詳解】
證明：∵是等邊三角形，，，
∴，
∴
∵是等邊三角形，
∴，
在和中，
，
∴．
15. （2024內(nèi)蒙古赤峰）數(shù)學(xué)課上，老師給出以下條件，請(qǐng)同學(xué)們經(jīng)過(guò)小組討論，提出探究問(wèn)題．如圖1，在中，，點(diǎn)D是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
請(qǐng)你解決下面各組提出的問(wèn)題：
（1）求證：；
（2）探究與的關(guān)系；
某小組探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
請(qǐng)你繼續(xù)探究：
①當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出的值；
②當(dāng)時(shí)，猜想的值（用含m，n的式子表示），并證明；
（3）拓展應(yīng)用：在圖1中，過(guò)點(diǎn)F作，垂足為點(diǎn)P，連接，得到圖2，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到使時(shí)，若，直接寫(xiě)出的值（用含m，n的式子表示）．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）①②，證明見(jiàn)解析
（3）
【解析】【分析】（1）等邊對(duì)等角，得到，等角的余角的相等，結(jié)合對(duì)頂角相等，得到，即可得出結(jié)論；
（2）①根據(jù)給定的信息，得到是的2倍，即可得出結(jié)果；
②猜想，作于點(diǎn)，證明，得到，三線合一得到，即可得出結(jié)論；
（3）過(guò)點(diǎn)作，角平分線的性質(zhì)，得到，推出，等角的余角相等，得到，進(jìn)而得到，得到，根據(jù)，即可得出結(jié)果．
【小問(wèn)1詳解】
證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，且，
∴，
∴；
【小問(wèn)2詳解】
解：①當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
∴總結(jié)規(guī)律得：是的2倍，
∴當(dāng)時(shí)，；
②當(dāng)時(shí)，猜想，
證明：作于點(diǎn)，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，又，
∴，即，
∴；
【小問(wèn)3詳解】
，理由如下：
過(guò)點(diǎn)作，
∵，，
∴，
由（2）知，當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，添加輔助線構(gòu)造特殊圖形和相似三角形，是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)3. 圖形的位似
1. （2024四川涼山）如圖，一塊面積為的三角形硬紙板（記為）平行于投影面時(shí)，在點(diǎn)光源的照射下形成的投影是，若，則的面積是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵一塊面積為的三角形硬紙板（記為）平行于投影面時(shí)，在點(diǎn)光源的照射下形成的投影是，，
∴，
∴位似圖形由三角形硬紙板與其燈光照射下的中心投影組成，相似比為，
∵三角形硬紙板的面積為，
∴，
∴的面積為．
故選：D．
2. （2024重慶）如圖，與位似，點(diǎn)O是它們的位似中心，且位似比為1∶2，則與的周長(zhǎng)之比是（ ）
A. 1∶2 B. 1∶4 C. 1∶3 D. 1∶9
【答案】A
【解析】根據(jù)位似圖形是相似圖形，位似比等于相似比，相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比即可求解．
∵與位似
∴
∵與的位似比是1:2
∴與的相似比是1:2
∴與的周長(zhǎng)比是1:2
【點(diǎn)睛】本題考查了位似變換，解題的關(guān)鍵是掌握位似變換的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)．
考點(diǎn)4. 一線三等角問(wèn)題
1. （2024甘肅威武）【模型建立】
（1）如圖1，已知和，，，，．用等式寫(xiě)出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【模型應(yīng)用】
（2）如圖2，在正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在對(duì)角線和邊上，，．用等式寫(xiě)出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【模型遷移】
（3）如圖3，在正方形中，點(diǎn)E在對(duì)角線上，點(diǎn)F在邊的延長(zhǎng)線上，，．用等式寫(xiě)出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【答案】（1），理由見(jiàn)詳解，（2），理由見(jiàn)詳解，（3），理由見(jiàn)詳解
【解析】（1），理由如下：
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2），理由如下：
過(guò)E點(diǎn)作于點(diǎn)M，過(guò)E點(diǎn)作于點(diǎn)N，如圖，
∵四邊形是正方形，是正方形的對(duì)角線，
∴，平分，，
∴，
即，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，，
∴四邊形是正方形，
∴是正方形對(duì)角線，，
∴， ，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
即有；
（3），理由如下，
過(guò)A點(diǎn)作于點(diǎn)H，過(guò)F點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，如圖，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵在正方形中，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，題目難度中等，作出合理的輔助線，靈活證明三角形的全等，并準(zhǔn)確表示出各個(gè)邊之間的數(shù)量關(guān)系，是解答本題的關(guān)鍵．
2. （2024山東煙臺(tái)）在等腰直角中，，，D為直線上任意一點(diǎn)，連接．將線段繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得線段，連接．
【嘗試發(fā)現(xiàn)】
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，線段與的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_______；
【類(lèi)比探究】
（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，先在圖2中補(bǔ)全圖形，再探究線段與的數(shù)量關(guān)系并證明；
【聯(lián)系拓廣】
（3）若，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．
【答案】（1）；（2），補(bǔ)圖及證明見(jiàn)解析；（3）或
【解析】【分析】本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)，掌握一線三垂直全等模型是解題的關(guān)鍵．
（1）過(guò)點(diǎn)作延長(zhǎng)線于點(diǎn)，利用一線三垂直全等模型證明，再證明即可；
（2）同（1）中方法證明，再證明即可；
（3）分兩種情況討論：過(guò)點(diǎn)作延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求出，即可．
【詳解】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)作延長(zhǎng)線于點(diǎn)，
由旋轉(zhuǎn)得，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案為：；
（2）補(bǔ)全圖形如圖：
，理由如下：
過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，
由旋轉(zhuǎn)得，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）如圖，當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，
由（2）得，，
∴，
∴，
∴．
當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，連接，
同理可得：，
∴，，
∴，
∴，
∴；
綜上：或
考點(diǎn)1. 相似的有關(guān)概念與相似多邊形
1.在如圖所示的相似四邊形中，求未知邊x、y的長(zhǎng)度和角的大?。?br/>【答案】x=31.5,y=27,=83°．
【解析】∵兩個(gè)四邊形相似，它們的對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等．
∴，
∴．
．
【點(diǎn)撥】利用圖形相似，對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行解題。
考點(diǎn)2. 相似三角形的性質(zhì)與判定
1.如圖，已知 AB : AD = BC : DE = AC : AE，找出圖中相等的角 (對(duì)頂角除外)，并說(shuō)明你的理由.
【答案】見(jiàn)解析。
【解析】在 △ABC 和 △ADE 中，
∵ AB : CD = BC : DE = AC : AE，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，∠C=∠E.
∴∠BAC－∠CAD =∠DAE－∠CAD ，
∴∠BAD=∠CAE.
故圖中相等的角有∠BAC=∠DAE，
∠B=∠D，∠C=∠E，
∠BAD=∠CAE.
2.如圖，△ABC 和 △DEF 中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80 °，∠F=60 ° ．求證：△ABC ∽△DEF.
【答案】見(jiàn)解析。
【解析】證明：∵ 在△ ABC中，∠A=40 ° ，∠B=80 ° ，
∴ ∠C=180 °－∠A－∠B=60 °.
∵ 在△DEF中，∠E=80 °，
∠F=60 °.
∴ ∠B=∠E，∠C=∠F.
∴ △ABC ∽△DEF.
3. 如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的點(diǎn)，DE∥BC，若AD＝2，AB＝3，DE＝4，則BC等于（　?。?br/>A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】由平行線得出△ADE∽△ABC，得出對(duì)應(yīng)邊成比例＝，即可得出結(jié)果．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得：BC＝6，
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形相似得出對(duì)應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵．
4. 如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，則BC的長(zhǎng)為（ ）
A. 9cm B. 12cm C. 15cm D. 18cm
【答案】C
【解析】根據(jù)平行得到，根據(jù)相似的性質(zhì)得出，再結(jié)合，DE＝6cm，利用相似比即可得出結(jié)論．
在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，若DEBC，
，
，
，
，
，
，
，
，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查利用相似求線段長(zhǎng)，涉及到平行線的性質(zhì)、兩個(gè)三角形相似的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
5. 如圖，在中，是邊上的點(diǎn)，，，則與的周長(zhǎng)比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】先證明△ACD∽△ABC，即有，則可得，問(wèn)題得解．
∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴△ADC與△ACB的周長(zhǎng)比1:2，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，證明△ACD∽△ABC是解答本題的關(guān)鍵．
6．如圖，在中，，分別是邊，的中點(diǎn)．若的面積為．則四邊形的面積為_(kāi)______．
【答案】
【解析】先根據(jù)三角形中位線定理得出，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)得出，從而可得的面積，由此即可得出答案．
點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)
，即
又
則四邊形的面積為．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
7. 如圖，相交于點(diǎn)E，，則的長(zhǎng)為（ ）
A. B. 4 C. D. 6
【答案】C
【解析】根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)成比例可求得BE的長(zhǎng)，即可求得BD的長(zhǎng)．
∵
∴
∴
∵，
∴
∵
∴
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)成比例，解題的關(guān)鍵在于找到對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)．
8. 如圖，在中，，則的值是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】根據(jù)相似三角形的判定定理得到，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計(jì)算，得到答案．
∴ ，
∴．
【點(diǎn)睛】考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．
9. 如圖，在中，是邊上的點(diǎn)，，，則與的周長(zhǎng)比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】先證明△ACD∽△ABC，即有，則可得，問(wèn)題得解．
∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴△ADC與△ACB的周長(zhǎng)比1:2，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，證明△ACD∽△ABC是解答本題的關(guān)鍵．
10．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若AF＝2FD，則的值為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由AF＝2DF，可以假設(shè)DF＝k，則AF＝2k，AD＝3k，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBG，∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，
∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，∴CG＝CD+DG＝3k，
∵AB∥DG，∴△ABE∽△CGE，∴，故選：C．
11. 如圖，已知是內(nèi)的一點(diǎn)，，，若的面積為2，，，則的面積是________．
【答案】12
【解析】延長(zhǎng)EF、DF分布交AC于點(diǎn)M、N，可以得到相似三角形并利用相似三角形分別求出AM、MN、CN之間的關(guān)系，從而得到三角形的面積關(guān)系即可求解．
如圖所示：延長(zhǎng)EF、DF分布交AC于點(diǎn)M、N，
，，，，
，
，
令，則，
，
，
，
，
，
設(shè)，
，
，
，
求出,
．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形中的A型，也可以利用平行線分線段成比例知識(shí)，具有一定的難度，不斷的利用相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)線段成比例進(jìn)行求解線段的長(zhǎng)度；利用相似三角形的面積之比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．
12. 已知：如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AD上，BE=DF，CE的延長(zhǎng)線交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，CF的延長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．
（1）求證：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2=AB AE，求證：AG=DF．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析．
【分析】(1)先證明△CDF≌△CBE，進(jìn)而得到∠DCF=∠BCE，再由菱形對(duì)邊CDBH，得到∠H=∠DCF，進(jìn)而∠BCE=∠H即可求解．(2) 由BE2=AB AE，得到=，再利用AGBC，平行線分線段成比例定理得到=，再結(jié)合已知條件即可求解．
【詳解】(1)∵四邊形ABCD是菱形，∴CD=CB，∠D=∠B，CDAB．
∵DF=BE，∴△CDF≌△CBE(SAS)，∴∠DCF=∠BCE．
∵CDBH，∴∠H=∠DCF，∴∠BCE=∠H．且∠B=∠B，∴△BEC∽△BCH．
(2)∵BE2=AB AE，∴=，∵AGBC，∴=，∴=，
∵DF=BE，BC=AB，∴BE=AG=DF，即AG=DF．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．
13. 如圖，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB．
（1）求證：△DFC∽△AED；
（2）若CD＝AC，求的值．
【答案】見(jiàn)解析。
【解析】（1）證明：∵DF∥AB，DE∥BC，
∴∠DFC＝∠ABF，∠AED＝∠ABF，
∴∠DFC＝∠AED，
又∵DE∥BC，
∴∠DCF＝∠ADE，
∴△DFC∽△AED；
（2）∵CD＝AC，
∴＝
由（1）知△DFC和△AED的相似比為：＝，
故：＝（）2＝（）2＝．
13. 如圖，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D
（1）求證：△ABC∽△DEC；
（2）若S△ABC：S△DEC＝4：9，BC＝6，求EC的長(zhǎng)．
【答案】見(jiàn)解析。
【解析】（1）由兩角相等的兩個(gè)三角形相似可判斷△ABC∽△DEC；
（2）由相似三角形的性質(zhì)可得＝()2＝，即可求解．
證明：（1）∵∠BCE＝∠ACD．
∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，
∴∠DCE＝∠ACB，
又∵∠A＝∠D，
∴△ABC∽△DEC；
（2）∵△ABC∽△DEC；
∴＝()2＝，
又∵BC＝6，
∴CE＝9．
考點(diǎn)3. 圖形的位似
1．如圖，△ABC中，A、B兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸的上方，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，0），以點(diǎn)C為位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A'B'C，并把△ABC的邊長(zhǎng)放大到原來(lái)的2倍，設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是a，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的橫坐標(biāo)是（　　）
A．﹣2a+3 B．﹣2a+1 C．﹣2a+2 D．﹣2a﹣2
【答案】A
【解析】設(shè)點(diǎn)B′的橫坐標(biāo)為x，根據(jù)數(shù)軸表示出BC、B′C的橫坐標(biāo)的距離，再根據(jù)位似比列式計(jì)算即可．
設(shè)點(diǎn)B′的橫坐標(biāo)為x，
則B、C間的橫坐標(biāo)的長(zhǎng)度為a﹣1，B′、C間的橫坐標(biāo)的長(zhǎng)度為﹣x+1，
∵△ABC放大到原來(lái)的2倍得到△A′B′C，
∴2（a﹣1）＝﹣x+1，
解得：x＝﹣2a+3
2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將△OAB以原點(diǎn)O為位似中心放大后得到△OCD，若B（0，1），D（0，3），則△OAB與△OCD的相似比是（　?。?br/>A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3
【答案】D
【解析】根據(jù)信息，找到OB與OD的比值即可．
∵B（0，1），D（0，3），
∴OB＝1，OD＝3，
∵△OAB以原點(diǎn)O為位似中心放大后得到△OCD，
∴△OAB與△OCD的相似比是OB：OD＝1：3．
3. 如圖，△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O為位似中心．已知OA∶OD=1∶2，則△ABC與△DEF的面積比為（　?。?br/>A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5
【答案】C
【解析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)即可得出答案．
由位似變換的性質(zhì)可知，
△ABC與△DEF的相似比為：1∶2
△ABC與△DEF的面積比為：1∶4故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
4. 如圖，與位似，點(diǎn)為位似中心，相似比為．若的周長(zhǎng)為4，則的周長(zhǎng)是（ ）
A. 4 B. 6 C. 9 D. 16
【答案】B
【解析】根據(jù)周長(zhǎng)之比等于位似比計(jì)算即可．
設(shè)的周長(zhǎng)是x，
∵ 與位似，相似比為，的周長(zhǎng)為4，
∴4：x=2：3，
解得：x=6，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了位似的性質(zhì)，熟練掌握位似圖形的周長(zhǎng)之比等于位似比是解題的關(guān)鍵．
5. 如圖，和是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形．若，則與的周長(zhǎng)比是_________．
【答案】
【解析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，得到，根據(jù)得到相似比為，再結(jié)合三角形的周長(zhǎng)比等于相似比即可得到結(jié)論．
和是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形，
，
，
，
，
根據(jù)與的周長(zhǎng)比等于相似比可得．
【點(diǎn)睛】本題考查相似圖形的性質(zhì)，掌握位似圖形與相似圖形的關(guān)系，熟記相似圖形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)4. 一線三等角問(wèn)題
1. 如圖，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在BC，AB，AC邊上，且∠EDF＝45°，若AE＝，BD＝BC，求CF的長(zhǎng)．
【答案】.
【解析】∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC＝6，
∴∠B＝∠C＝45°，BC＝6.
∵∠EDF＝45°，
∴∠B＝∠C＝∠EDF，
∵∠EDC＝∠EDF＋∠FDC＝∠B＋∠BED，
∴∠FDC＝∠BED，
∴△BED∽△CDF，
∴＝，
∵AE＝，BD＝BC＝2，
∴BE＝，CD＝4，
∴＝，
∴CF＝.
2. 如圖所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，點(diǎn)E，F(xiàn)在線段BC上，點(diǎn)Q在線段AB上，且CF=BE，AE =AQ·AB求證：
（1）∠CAE=∠BAF；
（2）CF·FQ=AF·BQ
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）見(jiàn)解析
【解析】【分析】（1）利用SAS證明△ACE≌△ABF即可；
（2）先證△ACE∽△AFQ可得∠AEC=∠AQF，求出∠BQF=∠AFE，再證△CAF∽△BFQ，利用相似三角形的性質(zhì)得出結(jié)論．
【小問(wèn)1詳解】
證明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵CF=BE，
∴CE=BF，
在△ACE和△ABF中，，
∴△ACE≌△ABF（SAS），
∴∠CAE=∠BAF；
【小問(wèn)2詳解】
證明：∵△ACE≌△ABF，
∴AE＝AF，∠CAE=∠BAF，
∵AE =AQ·AB，AC＝AB，
∴，即，
∴△ACE∽△AFQ，
∴∠AEC=∠AQF，
∴∠AEF=∠BQF，
∵AE＝AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴∠BQF=∠AFE，
∵∠B=∠C，
∴△CAF∽△BFQ，
∴，即CF·FQ=AF·BQ．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
3. （2022山東煙臺(tái)）
（1）【問(wèn)題呈現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．
（2）【類(lèi)比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．
（3）【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．連接BD，CE．
①求的值；
②延長(zhǎng)CE交BD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G．求sin∠BFC的值．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2） （3）①；②
【解析】【分析】（1）證明△BAD≌△CAE，從而得出結(jié)論；
（2）證明△BAD∽△CAE，進(jìn)而得出結(jié)果；
（3）①先證明△ABC∽△ADE，再證得△CAE∽△BAD，進(jìn)而得出結(jié)果；
②在①的基礎(chǔ)上得出∠ACE＝∠ABD，進(jìn)而∠BFC＝∠BAC，進(jìn)一步得出結(jié)果．
【小問(wèn)1詳解】
證明：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
【小問(wèn)2詳解】
解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
，∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
；
【小問(wèn)3詳解】
解：①，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，
；
②由①得：△CAE∽△BAD，
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠AGC＝∠BGF，
∴∠BFC＝∠BAC，
∴sin∠BFC．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握“手拉手”模型及其變形．
4. 如圖，CA⊥AD，ED⊥AD，點(diǎn)B是線段AD上的一點(diǎn)，且CB⊥BE.已知AB＝8，AC＝6，DE＝4.
(1)證明：△ABC∽△DEB；
(2)求線段BD的長(zhǎng)．
【答案】見(jiàn)解析
【解析】 (1)證明：∵AC⊥AD，ED⊥AD，
∴∠A＝∠D＝90°，∠C＋∠ABC＝90°.
∵CB⊥BE，
∴∠ABC＋∠EBD＝90°，
∴∠C＝∠EBD，
∴△ABC∽△DEB；
(2)解：由(1)得△ABC∽△DEB，
∴＝.
∵AB＝8，AC＝6，DE＝4，
∴＝，∴BD＝3.
5.如圖①，小紅在學(xué)習(xí)了三角形相關(guān)知識(shí)后，對(duì)等腰直角三角形進(jìn)行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA＝CB，∠C＝90°，過(guò)點(diǎn)B作射線BD⊥AB，垂足為點(diǎn)B，點(diǎn)P在CB上.
(1)【動(dòng)手操作】
如圖②，若點(diǎn)P在線段CB上，畫(huà)出射線PA，并將射線PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與BD交于點(diǎn)E，根據(jù)題意在圖中畫(huà)出圖形，圖中∠PBE的度數(shù)為_(kāi)_____度；
(2)【問(wèn)題探究】
根據(jù)(1)所畫(huà)圖形，探究線段PA與PE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(3)【拓展延伸】
如圖③，若點(diǎn)P在射線CB上移動(dòng)，將射線PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與BD交于點(diǎn)E，探究線段BA，BP，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
圖①　 圖② 圖③
【答案】見(jiàn)解析
【解析】(1)畫(huà)出圖形如圖
∵CA＝CB，∠C＝90°，
∴∠ABC＝×(180°－90°)＝45°.
又∵BD⊥AB，∴∠ABD＝90°，
∴∠PBE＝∠ABC＋∠ABD＝135°.
(2)PA＝PE.理由如下：
如解圖②，過(guò)點(diǎn)P作PG∥AB交AC于點(diǎn)G.
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴△CPG為等腰直角三角形，
∴CG＝CP，∠AGP＝∠C＋∠CPG＝135°.
∴∠PBE＝∠AGP.
又∵AC＝BC，∴AC－CG＝BC－CP，
即GA＝PB.
∵∠APE＝90°，
∴∠BPE＋∠APC＝90°.
∵∠C＝90°，
∴∠APC＋∠CAP＝90°，
∴∠BPE＝∠CAP.
在△PBE和△AGP中，
，
∴△PBE≌△AGP(ASA)，
∴PA＝PE；
【一題多解】 如解圖③，連接AE.∵∠ABE＝∠APE＝90°，
∴A，P，B，E四點(diǎn)在以AE為直徑的圓上．
∵＝，
∴∠BAE＝∠BPE.
又∵∠APE＝90°，
∴∠BPE＋∠APC＝90°.
∵∠C＝90°，
∴∠APC＋∠CAP＝90°，
∴∠BPE＝∠CAP＝∠BAE.
∵∠BAC＝∠BAP＋∠CAP＝45°，
∴∠BAE＋∠BAP＝45°，
即∠EAP＝45°，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴PA＝PE.
(3)BA＝BP＋BE或BA＝BE－BP.
理由如下：
∵點(diǎn)P在射線CB上移動(dòng)，∴分情況討論：
①當(dāng)點(diǎn)P在線段CB上時(shí)，
如解圖④，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥CB交射線CB于點(diǎn)H.
∵∠ABC＝45°，∠ABD＝90°，
∴∠EBH＝45°，即BE＝HE.
由(2)可知，∠CAP＝∠BPE，PA＝PE，
在△PAC和△EPH中，
，
∴△PAC≌△EPH(AAS)，
∴CP＝HE，
即BE＝CP，
∴CP＝BE.
又∵BA＝BC，
∴BA＝(BP＋CP)＝(BP＋BE)＝BP＋BE.
②當(dāng)點(diǎn)P在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，
如解圖⑤，過(guò)點(diǎn)E作EI⊥CB交射線CB于點(diǎn)I.
∵∠ABC＝45°，∠ABD＝90°，
∴∠EBI＝45°，
即BE＝IE.
同理可證，△PAC≌△EPI，
∴CP＝IE，
即BE＝CP，
∴CP＝BE.
又∵BA＝BC，
∴BA＝(CP－BP)＝(BE－BP)＝BE－BP.
綜上所述，BA，BP，BE之間的數(shù)量關(guān)系為BA＝BP＋BE或BA＝BE－BP.
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【名師導(dǎo)航】2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（全國(guó)版）
第六章 圖形的變化
6.3 圖形的相似
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1 相似的有關(guān)概念與相似多邊形 ☆☆ 圖形相似部分，屬于初中數(shù)學(xué)難點(diǎn)，也是中考重點(diǎn)，每年考查1~3道題,分值為3~19分，常以選擇題、填空題、解答題的形式考察。特別是在壓軸題里體現(xiàn)圖形相似的知識(shí)點(diǎn)多，如在解決圓的證明與計(jì)算有的題用到相似、有的拋物線壓軸題體現(xiàn)相似、有的探索實(shí)踐類(lèi)綜合題也體現(xiàn)相似。其重要性不言而喻。
考點(diǎn)2 相似三角形的性質(zhì)與判定 ☆☆☆
考點(diǎn)3 圖形的位似 ☆
考點(diǎn)4 一線三等角問(wèn)題 ☆☆☆
☆☆☆ 代表必考點(diǎn)，☆☆代表常考點(diǎn)，☆星表示中頻考點(diǎn)。
考點(diǎn)1. 相似的有關(guān)概念與相似多邊形
1.比例線段的相關(guān)概念
（1）如果選用同一長(zhǎng)度單位量得兩條線段a，b的長(zhǎng)度分別為m，n，那么就說(shuō)這兩條線段的比是或?qū)懗蒩：b=m：n
（2）在兩條線段的比a：b中，a叫做比的_____，b叫做比的_____。
（3）在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱______（4）若四條a，b，c，d滿足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做組成比例的項(xiàng)，線段a，d叫做_____，線段b，c叫做______，線段的d叫做a，b，c的第四比例項(xiàng)。
（5）如果作為比例內(nèi)項(xiàng)的是兩條相同的線段，即或a：b=b：c，那么線段b叫做線段a，c的_________。
2.比例的性質(zhì)
（1）基本性質(zhì)
①a：b=c：d______
②a：b=b：c
（2）更比性質(zhì)（交換比例的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng)）
（3）反比性質(zhì)（交換比的前項(xiàng).后項(xiàng)）：
（4）合比性質(zhì)：
（5）等比性質(zhì)：
3.黃金分割
把線段AB分成兩條線段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)，叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，其中AC=AB0.618AB
4.平行線分線段成比例定理
三條______截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。
推論：（1）平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。
逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。
（2）平行于三角形一邊且和其他兩邊相交的直線截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例。
5.相似多邊形
相似多邊形定義1：_____相同的圖形叫做相似圖形。
相似多邊形定義2：兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的____-分別相等，____成比例，那么這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形。相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做______。
相似多邊形性質(zhì)：相似多邊形的對(duì)應(yīng)角_____，對(duì)應(yīng)邊______。
注意：多邊形的相似比為1的相似多邊形是全等形．
考點(diǎn)2. 相似三角形的性質(zhì)與判定
1. 相似三角形的判定定理
判定1：______于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。
判定2：三邊________的兩個(gè)三角形相似。
符號(hào)語(yǔ)言：
∴ △ ABC ∽ △A′B′C.
判定3：兩邊_______且____相等的兩個(gè)三角形相似。
符號(hào)語(yǔ)言：
判定4：_____分別相等的兩個(gè)三角形相似。
符號(hào)語(yǔ)言：
∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'，
∴ △ABC ∽ △A'B'C'.
判定直角三角形相似的方法：
推論1：有個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似.
推論2：斜邊和一直角邊______的兩個(gè)直角三角形相似.
【易錯(cuò)點(diǎn)提示】
如果兩個(gè)三角形兩邊對(duì)應(yīng)成比例，但相等的角不是兩條對(duì)應(yīng)邊的夾角，那么兩個(gè)三角形不一定相似，相等的角一定要是兩條對(duì)應(yīng)邊的夾角.
【思路方法總結(jié)】三角形相似的判定定理的使用：
（1）條件中若有平行線，可采用相似三角形的判定1；
（2）條件中若有一對(duì)等角，可再找一對(duì)等角或再找?jiàn)A邊成比例；
（3）條件中若有兩邊對(duì)應(yīng)成比例，可找?jiàn)A角相等；
（4）條件中若有一對(duì)直角，可考慮再找一對(duì)等角或證明斜邊、直角邊對(duì)應(yīng)成比例；
（5）條件中若有等腰條件，可找頂角相等，或找一個(gè)底角相等，也可找底和腰對(duì)應(yīng)成比例．
2. 相似三角形的性質(zhì)定理
（1）相似三角形定義：對(duì)應(yīng)角_____，對(duì)應(yīng)邊______的兩個(gè)三角形叫做相似三角形，相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做_______．
（2）相似三角形性質(zhì)：
性質(zhì)定理1：相似三角形的______相等；
性質(zhì)定理2：相似三角形的________（邊、高、中線、角平分線）成比例；
性質(zhì)定理3：相似三角形的周長(zhǎng)比______相似比，面積比等于相似比的______．
注意1：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比。相似三角形對(duì)應(yīng)中線、角平分線的比也等于相似比。
注意2：由三角形面積公式和相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比可推出相似三角形面積的比等于相似比的平方．
【思路方法總結(jié)】相似三角形的判定方法歸納總結(jié)（理解牢記）
(1)定義：對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形相似。
（2）平行于三角形一邊，與另外兩邊相交所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。
（3）三邊成比例的兩個(gè)三角形相似。
（4）兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似。
（5）兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似。
（6）一組直角邊和斜邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似。
3. 相似三角形的應(yīng)用
（1）利用相似三角形測(cè)量高度
1）測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，可以用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成正比例”的原理解決.
2）測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，也可以用“利用鏡子的反射測(cè)量高度”的原理解決.
（2）利用相似三角形測(cè)量寬度：測(cè)量如河寬等不易直接測(cè)量的物體的寬度，常構(gòu)造相似三角形求解.
（3）利用相似解決有遮擋物問(wèn)題
考點(diǎn)3. 圖形的位似
1.位似圖形的概念
兩個(gè)相似多邊形，如果它們對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)所在的直線_____于一點(diǎn)，我們就把這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)交點(diǎn)叫做______．
【易錯(cuò)點(diǎn)提示】
（1）判斷兩個(gè)圖形是不是位似圖形，需要從兩方面去考察：一是這兩個(gè)圖形是相似的，二是要有特殊的位置關(guān)系，即每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)．
（2）找位似中心的方法：將兩個(gè)圖形的各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連接起來(lái)，若它們的直線或延長(zhǎng)線相交于一點(diǎn)，則該點(diǎn)即是位似中心．
2.位似圖形的性質(zhì)
（1）位似圖形是一種特殊的相似圖形，它具有相似圖形的所有性質(zhì)，即______相等，_____的比相等．
（2）位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比____相似比．（位似圖形的相似比也叫做位似比）
（3）對(duì)應(yīng)線段_____或者在一條直線上．
3.畫(huà)位似圖形
畫(huà)位似圖形的一般步驟：
① 確定__________；
② 分別連接并延長(zhǎng)位似中心和能代表原圖的_____；
③ 根據(jù)_____，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；
④ 順次連接上述各點(diǎn)，得到______的圖形.
利用位似進(jìn)行作圖的關(guān)鍵是確定位似中心和關(guān)鍵點(diǎn)．
位似分為內(nèi)位似和外位似，內(nèi)位似的位似中心在連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段上；外位似的位似中心在連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段之外.
4.基本模型
5.平面直角坐標(biāo)系中的位似
（1）平面直角坐標(biāo)系中的位似變換
1）在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為位似中心作一個(gè)圖形的位似圖形可以作兩個(gè)．
2）當(dāng)位似圖形在原點(diǎn)同側(cè)時(shí)，其對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)的比為 k；當(dāng)位似圖形在原點(diǎn)兩側(cè)時(shí)，其對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)的比為－k．
3）當(dāng) k＞1 時(shí)，圖形擴(kuò)大為原來(lái)的 k 倍；當(dāng) 0＜k＜1時(shí)，圖形縮小為原來(lái)的 k 倍．
（2）性質(zhì)：1）在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或–k；2）位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比或相似比．
考點(diǎn)4. 一線三等角問(wèn)題
1.一線三等角基本含義： 一線三等角就是指兩個(gè)三角形中相等的兩個(gè)角落在______一條直線上，另外兩條邊所構(gòu)成的角與這兩個(gè)角______且落在同一條直線上，故稱一線三等角。如圖所示，一線三等角包括一線三直角、一線三銳角、一線三鈍角。
2.一線三等角基本類(lèi)型及特點(diǎn)與結(jié)論
（1）同側(cè)型一線三等角
銳角一線三等角 鈍角一線三等角 直角一線三等角
【特點(diǎn)】∠1＝∠2＝∠3
【結(jié)論】1.△CAP∽△PBD
2．當(dāng)AC＝BP或AP＝BD或CP＝PD時(shí)，△CAP≌△PBD
（2）異側(cè)型一線三等角
銳角一線三等角 鈍角一線三等角 直角一線三等角
【特點(diǎn)】點(diǎn)P在線段BA的延長(zhǎng)線上，∠1＝∠2＝∠3
【結(jié)論】1.△CAP∽△PBD；
2．當(dāng)AC＝BP或AP＝BD或CP＝PD時(shí)，△CAP≌△PBD
考點(diǎn)1. 相似的有關(guān)概念與相似多邊形
【例題1】 （2024江蘇連云港）下列網(wǎng)格中各個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，陰影部分圖形分別記作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的為（ ）
A. 甲和乙 B. 乙和丁 C. 甲和丙 D. 甲和丁
【變式練1】（2024湖北一模）如圖，將圖形用放大鏡放大，應(yīng)該屬于( )
A．平移變換 B．相似變換 C．旋轉(zhuǎn)變換 D．對(duì)稱變換
【變式練2】（2024內(nèi)蒙古赤峰一模）如圖，四邊形 ABCD 和 EFGH 相似，求角α，β的大小和EH的長(zhǎng)度 x.
考點(diǎn)2. 相似三角形的性質(zhì)與判定
【例題2】 （2024湖南?。┤鐖D，在中，點(diǎn)分別為邊的中點(diǎn)．下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（ ）
A. B. C. D.
【變式練1】（2024河北一模）如圖，已知，那么添加下列一個(gè)條件后，仍然無(wú)法判定的是（ ）
A． B． C． D．
【變式練2】（2024湖南一模） 如圖，在中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件_________，使．
【變式練3】（2024河南一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若AF＝2FD，則的值為（　?。?br/>A． B． C． D．
【變式練4】（2024浙江湖州一模）如圖，已知在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，，．若DE＝2，則BC的長(zhǎng)是______．
考點(diǎn)3. 圖形的位似
【例題3】 （2024黑龍江綏化）如圖，矩形各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，，以原點(diǎn)為位似中心，將這個(gè)矩形按相似比縮小，則頂點(diǎn)在第一象限對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)
是（ ）
A. B. C. D.
【變式練1】（2024深圳一模）如圖，以點(diǎn)O為位似中心，把△ABC放大為原圖形的2倍得到△A′B′C′，以下說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（　?。?br/>A．△ABC∽△A′B′C′
B．點(diǎn)C、點(diǎn)O、點(diǎn)C′三點(diǎn)在同一直線上
C．AO：AA′=1：2
D．AB∥A′B′
【變式練2】（2024云南一模）如圖，△ABC與△A'B'C'是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，若點(diǎn)A（2，2），B（3，4），C（6，1），B'（6，8），則△A'B'C'的面積為　 　．
【變式練3】（2024長(zhǎng)沙一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABO 三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A (－2，4)，B (－2，0)，O (0，0). 以原點(diǎn) O 為位似中心，畫(huà)出一個(gè)三角形使它與 △ABO 的相似比為 3 : 2.
考點(diǎn)4. 一線三等角問(wèn)題
【例題4】 （2024廣州） 如圖，點(diǎn)，分別在正方形的邊，上，，，．求證：．
【變式練1】（2024武漢一模）如圖，在等邊△ABC中，D，E分別是邊BC，AC上的點(diǎn)，連接AD，DE，且∠ADE＝60°，若BD＝4，CE＝3，求AB的長(zhǎng)．
【變式練2】（2024海南一模）如圖，在Rt△ABC中，AC＝2AB，∠BAC＝90°，AE⊥CE于點(diǎn)E，BD⊥AE于點(diǎn)D，若DE＝4AD，求cos ∠ABD的值．
考點(diǎn)1. 相似的有關(guān)概念與相似多邊形
1. （2024江蘇鹽城）兩個(gè)相似多邊形的相似比為，則它們的周長(zhǎng)的比為_(kāi)_____．
考點(diǎn)2. 相似三角形的性質(zhì)與判定
1. （2024重慶市B）若兩個(gè)相似三角形的相似比為，則這兩個(gè)三角形面積的比是（　　）
A. B. C. D.
2. （2024陜西省）如圖，正方形的頂點(diǎn)G在正方形的邊上，與交于點(diǎn)H，若，，則的長(zhǎng)為（ ）
A. 2 B. 3 C. D.
3. （2024四川內(nèi)江）已知與相似，且相似比為，則與的周長(zhǎng)比為（ ）
A. B. C. D.
4. （2024四川樂(lè)山）如圖，在梯形中，，對(duì)角線和交于點(diǎn)O，若，則______．
5. （2024遼寧）如圖，，與相交于點(diǎn)，且與面積比是，若，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
6. （2024云南?。┤鐖D，與交于點(diǎn)，且．若，則__________．
7. （2024山東濱州）如圖，在中，點(diǎn)D，E分別在邊上．添加一個(gè)條件使，則這個(gè)條件可以是____________．（寫(xiě)出一種情況即可）
8. （2024吉林省）如圖，正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F是上一點(diǎn)．連接．若，則的值為_(kāi)_____．
9. （2024江蘇揚(yáng)州）物理課上學(xué)過(guò)小孔成像的原理，它是一種利用光的直線傳播特性實(shí)現(xiàn)圖像投影的方法．如圖，燃燒的蠟燭（豎直放置）經(jīng)小孔在屏幕（豎直放置）上成像．設(shè)，．小孔到的距離為，則小孔到的距離為_(kāi)____．
10. （2024湖南長(zhǎng)沙）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)E是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)F．設(shè)，，則y與x之間的函數(shù)解析式為（不考慮自變量x的取值范圍）（ ）
A. B. C. D.
11. （2024內(nèi)蒙古赤峰）如圖，中，，．將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)與點(diǎn)B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)C是對(duì)應(yīng)點(diǎn)．若點(diǎn)恰好落在BC邊上，下列結(jié)論：①點(diǎn)B在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)是；②；③；④．其中正確的結(jié)論是（　?。?br/>A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ②④
12. （2024山東棗莊）如圖，點(diǎn)為平行四邊形ABCD的對(duì)角線上一點(diǎn)，，，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，則為（ ）
A. B. 3 C. D. 4
13. （2024江蘇常州）如圖，在矩形中，對(duì)角線的垂直平分線分別交邊于點(diǎn)E、F．若，，則________．
14. （2024四川德陽(yáng)）如圖，在菱形中，，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接與相交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．
（1）證明：；
（2）證明：．
15. （2024內(nèi)蒙古赤峰）數(shù)學(xué)課上，老師給出以下條件，請(qǐng)同學(xué)們經(jīng)過(guò)小組討論，提出探究問(wèn)題．如圖1，在中，，點(diǎn)D是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
請(qǐng)你解決下面各組提出的問(wèn)題：
（1）求證：；
（2）探究與的關(guān)系；
某小組探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
請(qǐng)你繼續(xù)探究：
①當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出的值；
②當(dāng)時(shí)，猜想的值（用含m，n的式子表示），并證明；
（3）拓展應(yīng)用：在圖1中，過(guò)點(diǎn)F作，垂足為點(diǎn)P，連接，得到圖2，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到使時(shí)，若，直接寫(xiě)出的值（用含m，n的式子表示）．
考點(diǎn)3. 圖形的位似
1. （2024四川涼山）如圖，一塊面積為的三角形硬紙板（記為）平行于投影面時(shí)，在點(diǎn)光源的照射下形成的投影是，若，則的面積是（ ）
A. B. C. D.
2. （2024重慶）如圖，與位似，點(diǎn)O是它們的位似中心，且位似比為1∶2，則與的周長(zhǎng)之比是（ ）
A. 1∶2 B. 1∶4 C. 1∶3 D. 1∶9
考點(diǎn)4. 一線三等角問(wèn)題1. （2024甘肅威武）【模型建立】
（1）如圖1，已知和，，，，．用等式寫(xiě)出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【模型應(yīng)用】
（2）如圖2，在正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在對(duì)角線和邊上，，．用等式寫(xiě)出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【模型遷移】
（3）如圖3，在正方形中，點(diǎn)E在對(duì)角線上，點(diǎn)F在邊的延長(zhǎng)線上，，．用等式寫(xiě)出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
2. （2024山東煙臺(tái)）在等腰直角中，，，D為直線上任意一點(diǎn)，連接．將線段繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得線段，連接．
【嘗試發(fā)現(xiàn)】
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，線段與的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_______；
【類(lèi)比探究】
（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，先在圖2中補(bǔ)全圖形，再探究線段與的數(shù)量關(guān)系并證明；
【聯(lián)系拓廣】
（3）若，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．
考點(diǎn)1. 相似的有關(guān)概念與相似多邊形
1.在如圖所示的相似四邊形中，求未知邊x、y的長(zhǎng)度和角的大小．
考點(diǎn)2. 相似三角形的性質(zhì)與判定
1.如圖，已知 AB : AD = BC : DE = AC : AE，找出圖中相等的角 (對(duì)頂角除外)，并說(shuō)明你的理由.
2.如圖，△ABC 和 △DEF 中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80 °，∠F=60 ° ．求證：△ABC ∽△DEF.
3. 如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的點(diǎn)，DE∥BC，若AD＝2，AB＝3，DE＝4，則BC等于（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
4. 如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，則BC的長(zhǎng)為（ ）
A. 9cm B. 12cm C. 15cm D. 18cm
5. 如圖，在中，是邊上的點(diǎn)，，，則與的周長(zhǎng)比是（ ）
A. B. C. D.
6．如圖，在中，，分別是邊，的中點(diǎn)．若的面積為．則四邊形的面積為_(kāi)______．
7. 如圖，相交于點(diǎn)E，，則的長(zhǎng)為（ ）
A. B. 4 C. D. 6
8. 如圖，在中，，則的值是（ ）
A. B. C. D.
9. 如圖，在中，是邊上的點(diǎn)，，，則與的周長(zhǎng)比是（ ）
A. B. C. D.
10．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若AF＝2FD，則的值為（　?。?br/>A． B． C． D．
11. 如圖，已知是內(nèi)的一點(diǎn)，，，若的面積為2，，，則的面積是________．
12. 已知：如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AD上，BE=DF，CE的延長(zhǎng)線交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，CF的延長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．
（1）求證：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2=AB AE，求證：AG=DF．
13. 如圖，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB．
（1）求證：△DFC∽△AED；
（2）若CD＝AC，求的值．
13. 如圖，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D
（1）求證：△ABC∽△DEC；
（2）若S△ABC：S△DEC＝4：9，BC＝6，求EC的長(zhǎng)．
考點(diǎn)3. 圖形的位似
1．如圖，△ABC中，A、B兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸的上方，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，0），以點(diǎn)C為位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A'B'C，并把△ABC的邊長(zhǎng)放大到原來(lái)的2倍，設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是a，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的橫坐標(biāo)是（　?。?br/>A．﹣2a+3 B．﹣2a+1 C．﹣2a+2 D．﹣2a﹣2
2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將△OAB以原點(diǎn)O為位似中心放大后得到△OCD，若B（0，1），D（0，3），則△OAB與△OCD的相似比是（　?。?br/>A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3
3. 如圖，△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O為位似中心．已知OA∶OD=1∶2，則△ABC與△DEF的面積比為（　?。?br/>A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5
4. 如圖，與位似，點(diǎn)為位似中心，相似比為．若的周長(zhǎng)為4，則的周長(zhǎng)是（ ）
A. 4 B. 6 C. 9 D. 16
5. 如圖，和是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形．若，則與的周長(zhǎng)比是_________．
考點(diǎn)4. 一線三等角問(wèn)題
1. 如圖，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在BC，AB，AC邊上，且∠EDF＝45°，若AE＝，BD＝BC，求CF的長(zhǎng)．
2. 如圖所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，點(diǎn)E，F(xiàn)在線段BC上，點(diǎn)Q在線段AB上，且CF=BE，AE =AQ·AB求證：
（1）∠CAE=∠BAF；
（2）CF·FQ=AF·BQ
3. （2022山東煙臺(tái)）
（1）【問(wèn)題呈現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．
（2）【類(lèi)比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．
（3）【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．連接BD，CE．
①求的值；
②延長(zhǎng)CE交BD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G．求sin∠BFC的值．
4. 如圖，CA⊥AD，ED⊥AD，點(diǎn)B是線段AD上的一點(diǎn)，且CB⊥BE.已知AB＝8，AC＝6，DE＝4.
(1)證明：△ABC∽△DEB；
(2)求線段BD的長(zhǎng)．
5.如圖①，小紅在學(xué)習(xí)了三角形相關(guān)知識(shí)后，對(duì)等腰直角三角形進(jìn)行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA＝CB，∠C＝90°，過(guò)點(diǎn)B作射線BD⊥AB，垂足為點(diǎn)B，點(diǎn)P在CB上.
(1)【動(dòng)手操作】
如圖②，若點(diǎn)P在線段CB上，畫(huà)出射線PA，并將射線PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與BD交于點(diǎn)E，根據(jù)題意在圖中畫(huà)出圖形，圖中∠PBE的度數(shù)為_(kāi)_____度；
(2)【問(wèn)題探究】
根據(jù)(1)所畫(huà)圖形，探究線段PA與PE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(3)【拓展延伸】
如圖③，若點(diǎn)P在射線CB上移動(dòng)，將射線PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與BD交于點(diǎn)E，探究線段BA，BP，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
圖①　 圖② 圖③
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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